欧氏几何与非欧几何学习笔记

欧氏几何与非欧几何

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●欧氏几何

欧几里得几何学简称欧氏几何，主要是以欧几里得平行公理为基础的几何学。欧几里得把当代希腊数学家积累的几何知识和逻辑推理的思想方法加以系统化，初步奠定了几何学逻辑结构的基础。19世纪末期，德国数学家希尔伯特于1899年发表了著名的著作《几何基础》，书中提出了一个欧几里得几何的完整的公理体系。从此人们把满足希尔伯特公理系统中的结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理等五组公理以及由其导出的一切推论组成的几何学叫欧几里得几何学。

欧几里得著有《几何原本》一书，《几何原本》共有23个定义，5条公设，5条公理，他力图把几何学建立在这些原始的定义、公理和公设的基础上，然后以这些显然的假设为依据推证出体系里的一切定理。

23个定义：（1）点没有大小；（2）线有长度没有宽度; (3)线的界是点；(4)直线是它上面的点同样平放着的线；(5)面只有长度和宽度；(6)面的界是线；(7)平面是它上面的线一样的平放着的面；（8）平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度；（9）当包含角的两条线都是直线时，这个角叫做直线角；（10）当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角每一个被叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线；（11）大于直角的角称为钝角；（12）小于直角的角称为锐角；（13）边界是物体的边缘；（14）图形是一个边界或者几个边界所围成的；（15）圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等；（16）这个点（定义15中的点）叫做圆心；（17）圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆截得的线段，且把圆二等分；（18）半圆是直径与被它所切割的圆弧所围成的图形，半圆的圆心与原圆心相同；（19）直线形是由直线围成的，三边形是由三条直线围成的，四边形是由四条直线围成的，多边形是由四条以上直线围成的；（20）在三边形中，三条边相等的叫做等边三角形，只有两条边相等的叫做等腰三角形，各边不等的叫做不等边三角形；（21）此外，在三边形中，有一个角是直角的叫做直角三角形，有一个角是钝角的角钝角三角形；（22）在四边形中，四条边相等且四个角都是直角的叫做正方形，角是直角但四边不全相等的叫做长方形，四边相等但角不是直角的叫做菱形，对角相等且对边相等但边不全相等且角不是直角的叫做斜方形，其余的四边形叫做不规则四边形；（23）平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线。

5个公设：①过两点能作且只能作一条直线；②有限直线可以无限延长；③以任意点为圆心，可用任意半径作圆；④所有直角都相等；⑤如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这一侧必相交。

5个公理：①等于同量的量相等；②等量加等量其和相等；③等量减等量其差相等；④可重合的物体全等；⑤整体大于部分。

意义：公正地说，欧几里得的这本著作是现代科学产生的一个主要因素。科学绝不仅仅是把经过细心观察的东西和小心概括出来的东西收集在一起而已，科学上的伟大成就，就其原因而言，一方面是将经验同试验进行结合；另一方面，需要细心的分析和演绎推理。

●非欧几何

如今，数学家们已经认识到，欧几里得的几何学并不是能够设计出来的惟一的一种内在统一的几何体系。在过去的150年间，人们已经创立出许多非欧几里得几何体系。自从爱因斯坦的广义相对论被接受以来，人们的确已经认识到，在实际的宇宙之中，欧几里得的几何学并非总是正确的。便如，在黑洞和中子星的周围，引力场极为强烈，在这种情况下，欧几里得的几何学无法准确地描述宇宙的情况。但是，这些情况是相当特殊的。在大多数情况下，

欧几里得的几何学可以给出十分近似于现实世界的结论，用现在的科学水平衡量，它的几何逻辑结构在严谨性上还存在很多缺点。首先，欧几里得的定义并不能成为一种数学定义，有的不过是几何对象点、线、面的一种直观描述，有的含混不清，这些定义在后面的论证中，实际上是无用的。其次，欧几里得的公设和公理，是远不够用的，因而在《几何原本》的许多命题的论证中，不得不借助直观，或者或明或暗地引用了用他的公设和公理无法证明的事实。特别要指出的是研究《几何原本》的许多学者都注意到欧几里得的第五公设比较复杂，看来很象定理。欧几里得之后的两千年很多学者都试图用其他公设和公理加以证明，但都失败。直到19世纪，C.F.高斯、H.И.罗巴切夫斯基、J.波尔约、（G.F.）B.黎曼等发现了非欧几何，才了解到欧几里得第五公设不是其余公设和公理的推论，不能用那些公设和公理来证明，而是一个独立的命题。在欧几里得几何体系中，第五公设和“在平面内过已知直线外一点，只有一条直线与已知直线平行”相等价，现在把后一命题称作欧几里得平行公理。它体现了“欧几里得几何”与“非欧几里得几何”的区别。

1、罗氏几何

十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子，他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题，用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理，他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设，这其实就是数学中的反证法。

但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：

第一，第五公设不能被证明。

第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。

这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。

罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。我们知道，罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的，在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。

2、黎曼几何

黎曼几何是德国数学家黎曼创立的，他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。

黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。

近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。