高中数学导数的应用之极值和最值
利用导数求函数的极值与最值 内容再现
1、函数的单调性与其导数正负的关系：
在某个区间(),a b 内，如果 ，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；在某个区间(),a b 内，
如果 ，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减；若恒有 ，则函数()y f x =在这个区间内是常函数。
2、利用函数判断函数值的增减快慢： 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值 ，那么函数在这个范围内变化的快，这时函数的图像比较“陡峭”（向上或向下）：反之，若函数在这个范围内导数的绝对值 ，那么函数在这个范围内变化的比较慢，这时函数的图像比较“平缓”。
3、判断函数极大、极小值的方法: 解方程()'
00f
x =，当()'00f x =时：
（1）如果在0x 附近的左侧 ，右侧 ，那么()0f x 是极大值，0x 是极大值点。
（2）如果在0x 附近的左侧 ，右侧 ，那么()0f x 是极小值点。 4、（1）函数()f x 的闭区间[],a b 上的最值： 如果在闭区间[],a b 上函数()y f x =的图像是一条 曲线，则该函数在
[]
,a b 上一定能取得
和 ，并且函数的最值必在 或 取得。
（2）求函数()y f x =在区间[],a b 上的最值的步骤：求函数()y f x =在(),a b 的 ；将函数()y f x =的 与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 三、巩固练习
1、 已知函数)(x f y =在区间),(b a 内可导，且),(0b a x ∈，则=--+→h
h x f h x f h )
()(lim 000
( )
(A))('0x f (B))('20x f (C))('20x f - (D)0
D
C
x
O
A B
y 2、函数x x y ln =在区间 ( )
(A) )1
,0(e 上单调递减 (B) ),1(+∞e
上单调递减 (C) ),0(+∞上单调递减 (D) ),0(+∞上单调递增
3、已知a x x x f ++=2
33)()(R a ∈在]33[，-上有最小值3，则在]33[，-上， )(x f 的最大值是
4、已知1x =是函数3
2
()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<，（I ）求m 与n 的关系式； （II ）求()f x 的单调区间；
（III ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值
五、典型例题
1、一个物体的运动方程为21s t t =-+ 其中S 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）
A 、 7米/秒
B 、6米/秒
C 、 5米/秒
D 、 8米/秒
2、用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为（ ）
A ．6cm
B ．8cm
C ．10cm
D ．12cm
3、如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为10 000米2，鱼塘前面要留4米的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长宽分别为 （ ） A ．长102米，宽
51
5000
米 B ．长150米，宽66米 C ．长宽均为100米 D ．长100米，宽
3
200
米 4、过抛物线y=x 2-3x 上一点P 的切线的倾斜角为45°，它与两坐标轴交于A ，B 两点，则
△AOB 的面积是
5、如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为_______时,其容积最大．
6、6、某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元。如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人，如何组团可使旅行社的收费最多? (不到100人不组团)
7、某机车拖运货物时对货物所做的功W （单位：J ）是时间t （单位：s ）的函数，设这个函数可以表示为：753
-+=t t t w )(。
(1) 求t 从1s 变到3s 时，功W 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2) 求在t=1s 和t=3s 时,该机车每秒做的功。
8、用长为90cm ，宽为48cm 的长方形做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形转090角，再焊接而成（如图所示），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
9、某轮船公司争取一个相距1 000公里的甲、乙两地的客运航线权，已知轮船平均载客人数为400人，轮船每小时使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，轮船的最大速度为25公里/小时．当轮船的速度为10公里/小时，它的燃料费用是每小时30元，轮船的其余费用(与速度无关)都是每小时480元．若公司打算从每个乘客身上获利10元，试为该公司设计一种较为合理的船票价格．
10、一根水平放置的长方形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比．
(1)将此枕木翻转90°(即宽度变为了厚度)后，枕木的安全负荷会变大吗？为什么？
(2)现有一根横断面为半圆(半圆的半径为R)的柱形木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？
11、用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角α多大时，容器的容积最大？
六、课堂练习
1、一质点做直线运动,由始点起经过ts 后的距离为s=4
1t 4-4t 3+16t 2
,则速度为零的时刻是 （ ）
A 4s 末
B 8s 末
C 0s 与8s 末
D 0s,4s,8s 末 2、要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则其高应为（ ）
A
B 100cm
C 20cm
D 20
3
cm 3、做一个圆柱形锅炉，容积为V ，两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积价格为b 元，当造价最低时，锅炉的直每径与高的比为（ ） A ．a/b B ．a 2/b C ．b/a D ．b 2/a
4、某天中午12时整甲船自A 处以每小时16公里的速度向正东行驶，乙船自A 的正北18公里处以每小时24公里的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船间的距离对时间的变化率是 。
5、函数2cos y x x =+在0,
2π??
????
上取最大值时，x 的值为__ _. 6、一容积为256升的方底无盖水箱，则它的高为 时，材料最省。
7、如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？
8、某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式
为:p=24200－
5
1x 2
,且生产x t 的成本为:R=50000+200x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入－成本)
9、在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？
10、已知f(x)=ax 3+bx 2+cx(a ≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=－1.
(1)试求常数a 、b 、c 的值；
(2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.
11、统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千
米每小时）的函数解析式为：)
1200(,8803
12800013≤≤+-=
x x x y ，已知甲乙两地相距
100千米。
（1）当汽车以每小时40千米的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
七、家庭作业
1、某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是R ＝R(x)＝?????
400x －12x 2 (0≤x ≤400)
80 000 (x>400)，则总利润最大时，
每年生产的产品是________．
2、在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大.
3、如果物体做直线运动的方程为s(t)＝2(1－t)2
，则其在t ＝4 s 时的瞬时速度为( ) A ．12 B ．－12 C ．4
D ．－4
4、从时间t ＝0开始的t s 内，通过某导体的电量(单位：C)可由公式q ＝2t 2
＋3t 表示，则第5 s 时的电流强度为( )
A ．27 C/s
B ．20 C/s
C ．25 C/s
D ．23 C/s
5、球的半径从1增加到2时，球的体积的平均膨胀率为______．
6、如果一质点从固定点A 开始运动，位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为y ＝s(t)＝t 3
＋3.
求：(1)t ＝4时，物体的位移s(4)； (2)t ＝4时，物体的速度v(4)； (3)t ＝4时，物体的加速度a(4)．
7、、如图所示：一吊灯的下圆环直径为4 m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB)为2 m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3.点C 为OB 上一点(不包含端点O 、B)，同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等．设细绳的总长为y m. (1)设∠CA 1O=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式；
(2)请你设计θ，当角θ正弦值是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时BC 应为多长．
8、已知a 、b 为实数，且b ＞a ＞e,其中e 为自然对数的底，求证：a b ＞b a .
9、设关于x 的方程2x 2－ax －2=0的两根为α、β(α＜β),函数f(x)=
1
42+-x a
x . (1)求f(α)·f(β)的值；
(2)证明f(x)是［α，β］上的增函数；
(3)当a 为何值时，f(x)在区间［α，β］上的最大值与最小值之差最小？
10、某地建一座桥，两端的桥墩已经建好，两桥墩相距m 米，余下的工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经测算：一个桥墩的工程费用是256万元，距离为x 米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为x x )2(
万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑
其它因素，记余下的工程费用是y 万元，
（1）试写出y 关于x 的函数关系式。
（2）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？
附答案： 典型例题答案： 1、 C 2、 A 3、 D 4、 8
5、设被切去的全等四边形的一边长为x , 则正六棱柱的体积V=6×34(1-2x)2×3x (0 2),利用导数知识可求得:当x=16时,V 有最大值,此时正六棱柱的底面边长为2 3. 6、解：设参加旅游的人数为x ，旅游团收费为y 则依题意有 ()f x =1000x-5（x-100）x （100≤x ≤180） 令()1500100f x x '=-=得x=150 又(100)100000f =， (150)112500f =，(180)108000f = 所以当参加人数为150人时，旅游团的收费最高，可达112500元。 7、解：（1）t 从1s 变到3s 时，功W 关于时间t 的平均变化率为： 181 313=--) ()(w w ，其实 际意义是：t 从1s 变到3s 时间内机车对货物所做的功的平均值，即平均功率。 （2）根据导数的意义，在t=1s 和t=3s 时，机车对货物每秒所做的功即瞬时功率分别为)(1w '和)(3w '， 532+='t t w )(，所以：81=')(w ，323=')(w 。 8、解：设截去的小正方形的边长为xcm ，则此容器的长、宽、高分别为：902,482,x x x --（单位：cm ）。∴容积为：3 (902)(482)()(024)y x x x cm x =--<< 即：3 2 42764320(024)y x x x x =-+<< ∴2125524320y x x '=-+ 令0y '=得：36x =（舍）或10x = 又当(0,10)x ∈时，0y '>，y ↗；当(10,24)x ∈时，0y '<，y ↘ ∴10x =时，19600y =最大 故：该容器的高为10cm 时，容积最大，最大容积为3 19600()cm 9、解：设轮船航行速度为v 公里/小时，则0 y ＝480·1 000v ＋1 000v ·a v 3.(其中a 为比例系数)．由条件30＝a·103，所以a ＝3 100.代入上 式有y ＝480 000v ＋30v 2 ，v ∈(0,25]，所以y ′＝－480 000v 2＋60v ＝60(v 3－8 000)v 2 令y ′＝0，解得v ＝20.当v <20时，y ′<0；当v >20时，y ′>0，又v ＝20是(0,25]内 唯一极值点且是极小值点，于是，当v ＝20时，y 有最小值36 000元．所以平均每个 乘客的费用为36 000 400 ＝90(元)．因此，该公司可定票价为100元． 10、解：(1)由题可设，安全负荷y 1=k · ( k 为正常数)，翻转90°后，安全负荷y 2=k ·. ∵，∴当0＜d ＜a 时，y 1 小； 当d=a 时，y 1=y 2，安全负荷不变．故将此枕木翻转90°后，安全负荷不一定变大． (2)设截取的宽为a ，高为d ，则，即a 2+4d 2=4R 2. ∵枕木的长度不变．∴u=ad 2最大时，安全负荷最大． 由题意可设u(a)=ad 2=a(R 2-1 4 a 2)，u ′(a)=R 2－a 2，令u ′(a)=0，可得a= R. 当0 u(a)单调递减．所以当a=R ，d=R 时，u(a)取得最大，即安全负荷最大． 11、解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则 由222h r R +=，所以 )0(,31 31)(313132222R h h h R h h R h r V <<-=-== ππππ ∴'221 3 V R h ππ= -，令'0V =得 3h R = 易知：3 h = 是函数V 的唯一极值点，且为最大值点，从而是最大值点。 ∴当3 h = 时，容积最大。 6 .1|S )t 16()t 2418(t 16162)24)(t 2418(221S )t 16()t 2418(S 2 1t '22'22-=?+-??+--?= ?+-== 把3h R = 代入222h r R +=，得 3 r R = 由2R r απ=，得 α= 即圆心角α=时，容器的容积最大。 课堂作业答案： 1、 D 2、 A 3、 C 4、 －1.6 【解析】某时刻距离对时间的变化率是距离对时间的导数在该时刻的导数值 5、' 12sin y x =-，令0y =，得6 x π = 而( )02,66222 f f f ππ ππ????==+= ? ????? 所以最大值662 f ππ??=+ ? ??最小值,22 f ππ ??= ???。 答案： 6 π 6、解：设一无盖水箱的底面边长为x 分米，高为h 分米，则2562=h x ，全面积 4,801024 2',10242422=∴==-=∴+ =+=h x x x S x x xh x S ，得令，由本题的实际意义可知当高为4分米时，材料最省 7、解：设小正方形的边长为xcm ，盒子容积为y=f(x)；则y=f(x)=(8－2x)(5－2x)x=4x 3－26x 2+40x (2 50≤ ≤x )；∵)1)(103(4405212)(2 --=+-='x x x x x f ；当0)(='x f 得13 10==x x 或；∵]25 ,0[1],25,0[310∈?，又f(1)=18，f(0)= f(25)=0，∴小正方形边长为1 ㎝时，盒子的容积最大，为18㎝3。 8、解:每月生产x 吨时的利润为f(x)=(24200－ 5 1x 2 )x －(50000+200x) =－ 5 1x 3 +24000x －50000(x ≥0). 由f ′(x)=－5 3 x 2+24000=0,解得x 1=200,x 2=－200(舍去). ∵f(x)在［0,+∞)内只有一个点x 1=200使f ′(x)=0, ∴它就是最大值点.f(x)的最大值为f(200)=3150000(元). ∴每月生产200 t 才能使利润达到最大,最大利润是315万元. 9、解：根据题意知，只有点C 在线段AD 上某一适当位置，才能使总运费最省，设C 点距D 点x km,则 ∵BD=40,AC=50－x, ∴BC=222240+= +x CD BD 又设总的水管费用为y 元，依题意有： y=30(5a －x)+5a 2240+x (0＜x ＜50) y ′=－3a+ 2 2 40 5+x ax ,令y ′=0,解得x=30 在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据实际问题的意义， 函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50－x=20(km) ∴供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省. 10、解：(1)f ′(x)=3ax 2+2bx+c ∵x=±1是函数f(x)的极值点， ∴x=±1是方程f ′(x)=0,即3ax 2+2bx+c=0的两根. 由根与系数的关系，得???????-==-13032a c a b 又f(1)=－1,∴a+b+c=－1, ③ 由①②③解得a=2 3,0,21==c b , (2)f(x)= 21x 3－23x, ∴f ′(x)=23x 2－23=2 3 (x －1)(x+1) ① ② 当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x)＞0 当－1＜x ＜1时，f ′(x)＜0 ∴函数f(x)在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数. ∴当x=－1时，函数取得极大值f(－1)=1, 当x=1时，函数取得极小值f(1)=－1. 11、解：（1）当x=40时，代入) 1200(,8803 12800013≤≤+-= x x x y 得每小时的耗油量 是： )840803 401280001(3+?-?=7（升），故此时耗油量是5.175.27=?（升） （2）当速度是x （千米每小时），从甲地到乙地行驶时间是x 100（小时）。耗油量为h （x ）（升） )120x 0(,415 x 800x 12801x 100)8x 803x 1280001(x 100y )x (h 23≤≤-+=?+-=? =∴ ) 1200(,64080800640)(23 32' ≤≤-=-=x x x x x x h 令800)(' =?=x x h 当）是减函数，，在区间（时，800)x (h ,0)x (h )80,0(x '<∈0)x (h )120,80(x ' >∈时，当， 此时），在区间（12080)(x h 上是增函数。 故当x=80时，h （x ）取得最小值。此时 25 .1145 )880803801280001()(3=?+?-?=x h 升 即当汽车以每小时80千米的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油最少，最少为11.25升。 家庭作业： 1、300 2、3 2 x R = 3、A 4、D 5、 283 π 6、解析： y ＝s(t)＝t 3 ＋3 (1)t ＝4时，s(4)＝43 ＋3＝67(m) (2)V (4)＝s(t)＝3·42 ＝48 m/s (3)a(t)＝V ′(t)＝6t ∴a(4)＝V ′(4)＝24 m/s 2 . 7、解：(1)在Rt △COA 1中，CA 1=，CO=2tan θ， y=3CA 1+CB=3·+2-2tan θ= +2(0<θ<π 4 )． (2)y ′=2=2 ，令y ′=0，则sin θ=1 3 . 当sin θ>13时，y ′>0；sin θ<1 3 时，y ′<0，∵y=sin θ在 上是增函数， ∴当角θ满足sin θ=13时，y 最小，最小为42+2；此时BC=2－2 2 (m)． 8、证法一：∵b ＞a ＞e,∴要证a b ＞b a ,只要证blna ＞alnb,设f(b)=blna －alnb(b ＞e),则 f ′(b)=lna － b a .∵b ＞a ＞e,∴lna ＞1,且b a ＜1,∴f ′(b)＞0.∴函数f(b)=blna －alnb 在(e,+∞)上是增函数，∴f(b)＞f(a)=alna －alna=0,即blna －alnb ＞0,∴blna ＞alnb,∴a b ＞b a . 证法二：要证a b ＞b a ,只要证blna ＞alnb(e ＜a ＜b ),即证,设f(x)= x x ln (x ＞e)，则f ′(x)= 2 ln 1x x -＜0,∴函数f(x)在(e,+∞)上是减函数，又∵e ＜a ＜b, ∴f(a)＞f(b),即b b a a ln ln > ,∴a b ＞b a . 9、解：(1)f(α)=a a -+-1682 ,f(β)= a a ++-1682 ,f(α)=f(β)=4 (2)设φ(x)=2x 2－ax －2,则当α＜x ＜β时，φ(x)＜0, 2 222222)1() 4(2)1(4)1()1)(4()1()4()(+--+=+'+--+'-='x a x x x x x a x x a x x f 0)1() (2)1()22(22 2222>+-=++--=x x x ax x ? ∴函数f(x)在(α，β)上是增函数 (3)函数f(x)在［α，β］上最大值f(β)＞0,最小值f(α)＜0, ∵|f(α)·f(β)|=4,∴当且仅当f(β)=－f(α)=2时，f(β)－f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4，此时a=0,f(β)=2 10、解：（1）设需新建桥墩的个数是n 个，则 1)1(-= ?=+x m n m x n ，（注意：不是m nx =） 所建桥墩的费用： )1( 256256-=x m n （万元） 桥面总费用： x x x m x x n )2()2)(1(+= ++（万元） 故：余下工程 x )x 2(x m )1x m ( 256)x (f y +?+-===2562256-++m x m x m （2）当m=640时，函数的定义域是（0，640） ) 512(221256)(23 221 2' -=+-=-x x m mx x m x f 令6405120)(2 3 ' =?=-?=x x x f 当 ）上单调递减，在区间（时，640)(0)(640' x f x f x ?<<< 当）上单调递增， 在区间（时，64064)(0)(64064' x f x f x ?><< 故当x=64时，函数y 取得最小值，此时91646401=-=-= x m n 即需新建9个桥墩才能使y 最小。 高中数学：导数与函数的极值、最值练习 (时间:30分钟) 1.函数f(x)=ln x-x在区间(0，e]上的最大值为( B ) (A)1-e (B)-1 (C)-e (D)0 解析:因为f′(x)=-1=，当x∈(0，1)时，f′(x)>0;当x∈(1，e]时， f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x=1时，f(x)取得最大值ln 1-1=-1. 2.(豫南九校第二次质量考评)若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值，则常数c的值为( C ) (A)4 (B)2或6 (C)2 (D)6 解析:因为f(x)=x(x-c)2， 所以f′(x)=3x2-4cx+c2， 又f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值， 所以f′(2)=12-8c+c2=0，解得c=2或6， c=2时，f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值; c=6时，f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值; 所以c=2. 3.函数f(x)=3x2+ln x-2x的极值点的个数是( A ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)无数 解析:函数定义域为(0，+∞)，且f′(x)=6x+-2=，不妨设g(x)=6x2-2x+1. 由于x>0，令g(x)=6x2-2x+1=0，则Δ=-20<0， 所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立， 即f(x)在定义域上单调递增，无极值点. 4.(银川模拟)已知y=f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)=ln x-ax(a>)，当x∈(-2，0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于( D ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 解析:由题意知，当x∈(0，2)时，f(x)的最大值为-1. 令f′(x)=-a=0，得x=， 高中数学专题训练 导数的应用——极值与最值一、选择题 1．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和1 3，则() A．a－2b＝0B．2a－b＝0 C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0 答案 D 解析y′＝3ax2＋2bx，据题意， 0、1 3是方程3ax 2＋2bx＝0的两根 ∴－2b 3a＝ 1 3，∴a＋2b＝0. 2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝() A. 1 ln2B．－ 1 ln2 C．－ln2 D．ln2 答案 B 解析由y＝x·2x得y′＝2x＋x·2x·ln2 令y′＝0得2x(1＋x·ln2)＝0 ∵2x＞0，∴x＝－ 1 ln2 3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则() A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜1 2 答案 A 解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0， ∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1 综上，b的范围为0＜b＜1 4．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是() A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点 B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点 C．x＝－1不是函数f(x)的极值点 D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点 答案 B 解析x>－1时，f′(x)>0 x<－1时，f′(x)<0 ∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点． 5．函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( ) A ．－173 B ．－103 C ．－4 D ．－643 答案 A 解析 y ′＝x 2＋2x －3. 令y ′＝x 2＋2x －3＝0，x ＝－3或x ＝1为极值点． 当x ∈[0,1]时，y ′<0.当x ∈[1,2]时，y ′>0，所以当x ＝1时，函数取得极小值，也为最小值． ∴当x ＝1时，y min ＝－173. 6．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，如右图所示，则( ) A ．x ＝1是最小值点 B ．x ＝0是极小值点 C ．x ＝2是极小值点 D ．函数f (x )在(1,2)上单增 答案 C 解析 由导数图象可知，x ＝0，x ＝2为两极值点，x ＝0为极大值点，x ＝2为极小值点，选C. 7．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( ) A ．f (－a 2)≤f (－1) B ．f (－a 2) 导数的应用学案 【教学目的】 1.通过函数图像直观理解导数的几何意义。 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值。 【重点难点】 ①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间； ③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性； ⑤导数与函数、不等式方程根的分布等知识相融合的问题； ⑥导数与解析几何相综合的问题。 【教学过程】 一、准备知识 1.导数的意义 从代数上来说： 从几何上来说： 单调性与导数的关系(注意区间)： 2.什么叫光滑(圆滑)曲线：不会出现尖角，导数不会突变。 二．新课教授 1.极值定义： 一般地, 设函数f (x) 在点x0附近有定义, 如果对x0附近的所有的点, 都有f(x) 数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？ 高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可 正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点 处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（） 内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数 是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量； ②求平均变化率； ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。 专题4 利用导数研究函数的极值和最值 专题知识梳理 1.函数的极值 （1）函数极值定义:一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作y 极大值=,是极大值点。如果对附近的所有的点，都 有.就说是函数的一个极小值，记作y 极小值=，是极小值点。极大值与极 小值统称为极值. (2)判别f (x 0)是极大、极小值的方法: 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值. (3)求可导函数f (x )的极值的步骤: ①确定函数的定义区间，求导数 ; ①求出方程的定义域内的所有实数根； ①用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.标出在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值。 ①根据表格下结论并求出需要的极值。 2. 函数的最值 （1）定义：若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最大值，记作;若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最小值，记作; （2）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值． （3）求函数在上的最大值与最小值的步骤： ①求在内的极值； ①将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值, 从而得出函数在上的最值。 考点探究 )(x f x 0x 0f (x ) 第三十九讲 函数的极值、最值与导数 一、引言 1.用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为高考试题的又一热点． 2.考纲要求：了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值和极小值，能求出最大值和最小值；会利用导数解决某些实际问题． 3.考情分析：2010年高考预测对本专题内容的考查将继续以解答题形式与解析几何、不等式、平面向量等知识结合，考查最优化问题，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法． 二、考点梳理 1．函数的极值： 一般地，设函数()y f x =在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说()0f x 是函数()y f x =的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说()y f x =是函数()y f x =的一个极小值．极大值与极小值统称极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值． 理解极值概念要注意以下几点： （1）极值是一个局部概念．由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （2）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个． （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值．如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而4()f x >)(1x f ． 2．函数极值的判断方法： 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点， 【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】 类型一 利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解析】 试题分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】 试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为 三、知识新授 （一）函数极值的概念 （二）函数极值的求法：（1）考虑函数的定义域并求f'(x); （2）解方程f'(x)=0，得方程的根x (可能不止一个） （3）如果在x 0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x )是 极大值；反之，那么f(x ）是极大值 题型一图像问题 1、函数() f x的导函数图象如下图所示，则函数() f x在图示区间上（） （第二题图） A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 2、函数() f x的定义域为开区间() a b ，，导函数() f x '在() a b ，内的图象如图所示，则函数() f x在 开区间() a b ，内有极小值点（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3、若函数2 () f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数() f x '的图象可能为（） D. C. B. A. 4、设() f x '是函数() f x的导函数，() y f x ' =的图象如下图所示，则() y f x =的图象可能是（） C. A. 5、 已知函数 () f x 的导函数 () f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ） -1 1 f '(x ) y x O 6、()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（ ） 2x O 22D. C. B. A. O x O x x O x y 7、如果函数 () y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ） y y y x x x y x D C A x y y=f(x) 课时规范练 A 组 基础对点练 1．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a ＞－1e D ．a ＜－1e 解析：∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x ＜－1.选A. 答案：A 2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 解析：∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 即????? 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得????? a ＝－3，b ＝3，或????? a ＝4， b ＝－11. 而当????? a ＝－3， b ＝3 时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2，x ∈(－∞，1)，f ′(x )＞0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )＞0， 故舍去． ∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (2)＝18.选C. 答案：C 3．(2019·岳阳模拟)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln(－x ) C．y＝x e－x D．y＝x＋2 x 解析：A、B为单调函数，不存在极值，C不是奇函数，故选D. 答案：D 4．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为() A．2 B．3 C．6 D．9 解析：∵f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2，∴f′(x)＝12x2－2ax－2b，又∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0?a＋b＝6，∵a＞0，b＞0，a＋b≥2ab，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立．故选D. 答案：D 5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是() A．－37 B．－29 C．－5 D．以上都不对 解析：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)， 所以f(x)在[－2,0]上单调递增，在(0,2]上单调递减． 所以x＝0为极大值点，也为最大值点． 所以f(0)＝m＝3，所以m＝3.所以f(－2)＝－37，f(2)＝－5. 所以最小值是－37. 答案：A 6．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是() 《函数的最大(小)值与导数》教案 【教学目标】 1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； 2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤． 【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 【教学过程】 一、复习回顾： 1．极值的概念： 极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点． 极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点． 2． 判断函数)(x f y =的极值的方法： 解方程0)(='x f .当0)(0='x f 时： （1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，那么)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，那么)(0x f 是极小值. 3． 求可导函数f (x )的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； （2）求方程f ′(x )=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不 高中数学导数及其应用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 高中数学导数及其应用 一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如 在点处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间 （）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量； ②求平均变化率； ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解读】 试卷分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞ 【答案】B 【解读】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解读】 试卷分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为 1.【2016高考四川文科】已知函数3()12f x x x =-的极小值点，则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D 考点：函数导数与极值. 【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解， 但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点， 2.【2015高考福建，文12】“对任意(0,)2x π ∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的 （） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 当1k <时，s i n c o s s i n 22 k k x x x =，构造函数()sin 22 k f x x x = -，则'()c o s 210f x k x =-<．故()f x 在(0,)2x π∈单调递增， 故()()022 f x f ππ <=-<，则sin cos k x x x <；当1k =时，不等式sin cos k x x x <等价于1 sin 22 x x <，构造 函数1()sin 22g x x x =-，则'()cos 210g x x =-<，故()g x 在(0,)2x π ∈递增，故 ()()022g x g ππ<=-<，则s i n c o s x x x <．综上所述，“对任意(0,)2 x π ∈， sin cos k x x x <”是“1k <”的必要不充分条件，选B ． 【考点定位】导数的应用． 【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用，根据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现， 高二理科数学下学期训练四 函数的极值与最值 姓名学号分数 1．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．非充分非必要条件 2．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是() A．(2,3) B．(3，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，3) 3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是() 4．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为() A．1，－3B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3 5．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是() A．(－1,2) B．(－3,6) C．(－∞，－3)∪(6，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 6．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是() A．12，－8 B．1，－8 C．12，－15 D．5，－16 7．函数y＝ln x x的最大值为() A．e－1B．e C．e2D．10 8．若函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为() A．－10 B．－71 C．－15 D．－22 9．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是() A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞) C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3) 10．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的 导数与函数的极值、最值 【题型突破】 利用导数解决函数的极值问题 ?考法1根据函数图象判断函数极值的情况 【例1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是() A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) D ?考法2求已知函数的极值 【例2】已知函数f(x)＝(x－2)(e x－ax)，当a＞0时，讨论f(x)的极值情况．[解]∵f′(x)＝(e x－ax)＋(x－2)(e x－a) ＝(x－1)(e x－2a)， ∵a＞0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln 2a. ①当a＝e 2时，f′(x)＝(x－1)(e x－e)≥0，∴f(x)单调递增，故f(x)无极值． ②当0＜a＜e 2时，ln 2a＜1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，ln 2a)ln 2a (ln 2a,1)1(1，＋∞) f′(x)＋0－0＋ f(x)极大值极小值 ③当a＞e 2时，ln 2a＞1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，1)1(1，ln 2a)ln 2a (ln 2a，＋∞) f′(x)＋0－0＋ f(x)极大值极小值 综上，当0＜a ＜e 2时，f (x )有极大值－a (ln 2a －2)2，极小值a －e ； 当a ＝e 2 时，f (x )无极值； 当a ＞e 2时，f (x )有极大值a －e ，极小值－a (ln 2a －2)2. ?考法3 已知函数极值求参数的值或范围 【例3】 (1)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________. (2)若函数f (x )＝e x －a ln x ＋2ax －1在(0，＋∞)上恰有两个极值点，则a 的取值范围为( ) A ．(－e 2，－e) B .? ? ???－∞，－e 2 C .? ? ???－∞，－12 D ．(－∞，－e) (1)－7 (2)D [方法总结] 1.利用导数研究函数极值问题的一般流程 2．已知函数极值点和极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． A ．2或6 B ．2 C .23 D ．6 (2)(2019·广东五校联考)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有极值，则实数a 的取值范围 是( ) 高中数学导数及其应用 一、知识网络 二、高考考点?１、导数定义的认知与应用； ?2、求导公式与运算法则的运用; ? 3、导数的几何意义； ?4、导数在研究函数单调性上的应用; ５、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。??三、知识要点? (一)导数?１、导数的概念?（1)导数的定义 （Ⅰ)设函数在点及其附近有定义,当自变量x在处有增量△x（△ｘ可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ,叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时,有极限,则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率）,记作 ,即 。 ?(Ⅱ）如果函数在开区间(）内每一点都可导，则说在开区间()内可导,此时,对于开区间(）内每一个确定的值 ,都对应着一个确定的导数 ,这样在开区间(）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间( )内的导函数(简称导数),记作或, 即。??认知： （Ⅰ)函数的导数是以ｘ为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值;在点处的导数是的导函数当 时的函数值。 （Ⅱ)求函数在点处的导数的三部曲: ①求函数的增量 ;? ②求平均变化率； ③求极限?上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。?? (2)导数的几何意义:?函数在点处的导数，是曲线在点 处的切线的斜率。? (3)函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别:?（Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续;?若函数在开区间(）内可导,则在开区间（）内连续(可 导一定连续）。??事实上，若函数在点处可导，则有 此 时,? ? ? ?记 ,则有即在点处连续。?（Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。?反例：在点处连续，但在点处无导数。 事实上，在点处的增量?当 时，, ；?当时，, 由此可知，不存在，故在点处不可导。??2、求导公式与 求导运算法则 （１）基本函数的导数(求导公式） 公式1 常数的导数：(c为常数），即常数的导数等于0。??公式2 幂函 数的导数:。? 公式3 正弦函数的导数:。??公式4 余弦函数的导数： ??公式5 对数函数的导数:? (Ⅰ)； ?（Ⅱ） 导数与函数的极值、最值 最新考纲了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次). 知识梳理 1.函数的极值与导数 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0， ①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤： ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值. 2.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示 (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(×) (2)函数的极大值不一定比极小值大.(√) (3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.(×) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(√) 2.函数f(x)＝－x3＋3x＋1有() A.极小值－1，极大值1 B.极小值－2，极大值3 C.极小值－2，极大值2 D.极小值－1，极大值3 解析因为f(x)＝－x3＋3x＋1，故有y′＝－3x2＋3，令y′＝－3x2＋3＝0，解得x ＝±1，于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 专题 导数及其应用 考点精要 1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义． 3．了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数不超过三次）． 4．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）． 5．会利用导数解决某些实际问题． 热点解析 导数的几何意义及其应用，基本初等函数的导数公式及导数运算的四则运算法则是高考的重点与热点，要会利用导数求曲线的切线，注意区分在．某点处的切线与过． 某点的曲线的切线． 求函数在点（x 0，)(0x f ）处的切线方程或切线斜率；求函数)(x f 的单调增区间或单调减区间；求函数在（a ，b ） 上的极值，求)(x f 在［a ，b ］上的最大值、最小值等等，在近几年高考试题中频频出现． 知识梳理 1．一般地，函数y=()f x 在x =x 0处的瞬时变化率是000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-?=0lim ,x f x ?→??我们称它为函数y =()f x 在x =x 0处的导数，记作0()f x '或y ′|x =x 0 ，即 0()f x '=000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-? 2．函数()f x 在x =x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即 k =000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?=0()f x ' 3．导函数()f x '= y ′=0 ()() lim x f x x f x x ?→+?-? 第2课时 导数与函数的极值、最值 一、选择题 1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 ( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln(－x ) C ．y ＝x e －x D ．y ＝x ＋2 x 解析 由题可知，B ，C 选项中的函数不是奇函数，A 选项中，函数y ＝x 3单调递增(无极值)，D 选项中的函数既为奇函数又存在极值． 答案 D 2．(2017·石家庄质检)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，则a ＋b ＝6， 又a >0，b >0，则t ＝ab ≤? ????a ＋b 22 ＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 答案 D 3．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ? ???? a >12，当x ∈(－2,0)时， f (x )的最小值为1，则a 的值等于 ( ) A.14 B.13 C.1 2 D ．1 解析 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1 a ， 当0 ∴f (x )max ＝f ? ???? 1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1. 答案 D 4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a 2－4×3×(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0， ∴a >6或a <－3. 答案 B 5．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )图像的是 ( ) 解析 因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中，f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0. 答案 D 二、填空题 6．(2017·咸阳模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________.高中数学：导数与函数的极值、最值练习
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