战略资产配置研究

第三章 战略资产配置研究

资产配置（Asset Allocation ）是指资产类别选择，投资组合中的各类资产的适当配

置以及对这些混合资产进行实时管理。在60年代根本不存在资产配置这个名词，传统的分

散化投资也只是简单的避免了“将所有鸡蛋都放在一个篮子里”。随着时间的推移和现代投

资理论的发展，资产管理的重心从单个证券渐渐转移到将投资组合作为一个整体来看。随

着投资组合整体属性的进一步挖掘，深化了资产配置的含义，也出现了行业资产配置和风

格资产配置。

资产配置的方式有很多种，按照不同的标准可以划分出不同的层次。比较常见的划分

方式是将资产配置策略分成战略资产配置和战术资产配置。战略资产配置是长期资产配置，

体现在宏观经济状况、利率的分析以及各类资产之间的风险收益的比较上。根据宏观经济

形势、央行货币政策、短期资金市场状况等因素对短期利率走势进行综合判断，确定各类

资产的预期收益率以及风险水平，合理安排资金在股票、证券与其他金融产品的配置比例，

构建在风险得到有效控制的最优投资组合。而战术资产配置指的是依据资产的预期收益的

短期变化进行追踪调整以期望获得超额收益的策略。战术资产配置是对资产类别比例的动

态性调整，主要是依据各类别资产的投资限制、利率的短期变化进行追踪调整以谋求超出

某一基准水平的超额收益。

本章我们主要介绍战略资产配置。第一节我们先介绍最常见的一种投资组合选择方法

——均方差分析，这是一种适用于投资者仅关心当期资产组合的收益和风险时的短视资产

组合选择方法。第二节针对长期资产组合选择提出的一种VAR 模型——向量的自回归模型，

当短期利率发生实际变动时，投资者原本忽视的下一期资产收益和风险变动所得出的最优

资产组合已经不再适用，VAR 模型是针对此种情况下风险有溢价的讨论。第三节是连续时间

下讨论长期资产选择，主要有动态规划法、鞅方法、递归效用法以及动量和均值复归模型，

在此节中我们重点讨论动量和均值复归模型，分析加入动量后的模型对最优化问题的求解

比较原本仅有均值复归特性模型的优势。最后我们验证加入新的资产类后对初始组合业绩

表现的影响，并针对对业绩有改善的新资产类研究他们适用的经济周期。

3.1 均方差分析—短期资产组合选择

战略资产配置是一种传统的长期资产配置策略，其重要的方法之一就是按照主要股票

指数中的股票配置方法来组合。而之所以这样做的理论基础在于Markowitz 的均值-方差理

论。首先我们介绍一下均方差分析的理论

不妨假设仅有一种风险资产，其收益率为1t R +，且投资与风险资产的比例为t α，则其

资产组合收益率为：

(),11,11p t t t t f t R R R αα+++=+-

其中,1f t R +为无风险资产的收益率。

则资产组合的期望收益率为()

,1,11,1t p t f t t r t f t E R R E R R α++++=+-，方差为222,p t t t σασ=。 投资者往往倾向于高收益率低方差的组合。我们不妨给期望收益率赋一个正的权重，给方差赋一个负的权重，则投资者收益最大化可以写作：2,1,max 2t p t p t k E R σ+?

?- ???

，等价于 ()21,1,max 2

t t t f t p t k E R R ασ++-- 该问题的解为：

1,1

2,t t f t t p t E R R k ασ++-= （1）

Sharp 比率是资产组合分析中一个很有效的指标，它被定义为超额期望收益率与标准差之比：1,1

t t f t t t E R R S σ++-=。这样的话t t t

S k ασ=。 如果扩展到n 中风险资产的情形。那最大化问题的解为

()11,11t t t t f t E R k

-++=∑-αR i

其中t α为投资与风险资产的权重向量，t ∑为n 中风险资产的方差-协方差矩阵。

该分析中我们可以惊奇地看到，只关心均值和标准差的所有投资者将持有相同的风险

资产组合——股票和债券的唯一组合。无论投资者对风险的偏好如何变化，均不改变有效

边界与资本市场线的切点组合（此切点又称市场组合）的风险资产相对比率。这就是托宾

的共同基金定律。

3.2 VAR 模型中的长期资产组合选择

Markowitz 的均方差分析在风险分散化上提供了很好的模型，但是这个模型却忽略了许

多重要的因素。例如，模型是静态的，并且假设投资者只关注当前风险。但实际上，无论

机构还是个人，都无法忽视下一期资产组合的表现对当前决策的影响，也就是说，都在寻

求一种长期的资产组合。

Merton 和Samuelson 提出了多阶段组合选择问题。假设投资机会是可变化，那长期投

资者或许寻找一种可以对冲他们的风险暴露的资产组合。但是Merton 等人提出的模型只在

一些特殊情况下是可以求解的。渐渐地，随着向量自回归（VAR ）模型的提出，，这类问题

可以通过数值分析进行求解。

下面我们先来看一下VAR 模型

3.1.1 VAR 模型

VAR 模型是基于数据的统计性质建立的模型，VAR 模型把系统中的每一个内生变量作为

系统中所有内生变量滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归模型推广到多元时间

序列变量的滞后值的函数来构造模型。

首先我们假定投资者将他的资产分配到n 种资产上。则组合的实际收益率

(),1,,11,11,12n

p t i t i t t t i R R R R α++++==-+∑

其中,i t α为第i 种资产的投资权重。1,1t R +为一种短期金融工具的实际收益率，虽然我

们将1,1t R +视作基准利率，但是1,1t R +不一定就是无风险利率。我们有时候会选择名义票据

作为短期金融工具，而名义票据的名义收益率是无风险的，但实际收益率并不是，因为实

际收益率还跟通货膨胀率相关。

下面我们用VAR(1)（一阶向量自回归过程）来刻画状态变量。

首先令2,11,13,11,11,11,1t t t t t n t t r r r r r r +++++++-????-??=????-??

X ，其中对,1,1ln(1)i t i t r R ++=+，i ? 则1t +X 表示超额收益率（,1i t r +为离散复利,1i t R +等价的连续复利）。我们不妨把其他状

态变量包括在向量1t +S 中。

联合1t +X ，1t +S 及1,1t r +形成一个1m ?阶向量1t +Z ：1,1111t t t t r ++++????=??????

Z X S 这里我们称1t +Z 为状态变量并假设服从一阶向量自回归方程，如下：

1011t t t ++=++Z z V ΦΦ （2）

其中0Φ是1m ?阶截距向量，1Φ是m m ?阶斜率系数矩阵，1t +V 是满足如下分布的冲

击因子：

..1(0,)i i d t v N +∑ V

2111111()x s V t x xx

xs s xs ss Var σ+??''??'∑==∑∑????∑∑??

V σσσσ 我们允许冲击因子是截面相关的，但是假设其同方差并且是独立同分布的。这样一来，

VAR 框架（2）很好的刻画了各种资产的超额收益率对其历史收益率，以及其他状态变量的

依赖性。其中1t +S 是系统既定的。

同方差的假设当然具有局限性，它排除了状态变量预测风险变化的能力。状态变量只

能通过预测期望率变化来影响投资组合的。Campell, Harvey 等人探讨了此处用来预测风险

的状态变量的能力，发现对收益率的影响不大。

在连续时间的金融文献中作完全市场假设是很普遍的，这意味着控制投资机会的状态

变量同样是由哪些驱动资产收益率的随机过程驱动的，这样金融资产就可以对投资机会变

革进行完全的套利。但是我们上面的模型中并不使用这一假设，每当向量1t +Z 中有增加的

状态变量1t +S 且VAR 系统的方差-均方差矩阵V ∑满秩时，投资机会冲击因子就不与资产收

益率冲击因子完全相关，就不能实现金融资产完全套利，处理不完全市场的能力是该模型

重要的实证优点。

给定冲击因子1t +V 同方差，很容易推导出t Z 的非条件分布，状态向量t Z 继承了冲击因

子t V 的正态特征，其非条件均值Z μ，方差-均方差矩阵Z ∑可以直接通过VAR 系数01,,V

∑ΦΦ计算。

对于理性投资者来说，最优组合的前提是投资者效用最大化。在我们讨论最有资产组

合选择和最优消费之前，我们不妨先看一下有关效用函数的内容。

假设投资者只在单一投资期限范围内，考察财富与效用的关系，则财富t W 的效用U 最

大化问题可以写成下面动态规划的形式

()1max t

t EU W + ()1,11t p t t W R W ++=+

其中效用函数()1t U W +是标准的凹型效用函数，它的弯曲程度，表示投资者对风险的

厌恶程度。这里我们用绝对风险厌恶系数()()()

U W ARA W U W ''=-'和相对风险厌恶系数()()()

WU W RRA W U W ''=-'来刻画。绝对风险厌恶系数决定了投资者为避免某个给定绝对规模的投资风险，愿意支付的绝对货币数量。相对风险厌恶系数决定了投资者为规避一个相对

于给定财富规模的投资风险所愿意支付的财富的比例。其中一种常见的财富效用函数为幂

效用函数()()

()1111/1t t t U W W γγ-++=--，资产收益率服从对数正态分布。幂效用意味着绝对风险厌恶系数随财富量增加而递减，相对风险厌恶系数为常数γ。当γ趋近于1时，幂效

用函数变成对数效用函数()()11ln t t t U W W ++=。

下面我们不妨把单一期限投资的假设改成效用函数是由一系列消费决定的。则投资者

对有消费决定的效用最大化问题写成：

()1001max 1t i t t i t i i C E U C E γδδγ+∞∞

++==-=-∑∑ （3）

()()1,11t p t t t W R W C ++=+- （4）

其中δ为贴现因子。在幂效用函数模型中，消费的边际效用递减限制了投资者容忍背

离平缓的消费路径的意愿。相对于消费延迟激励的变动，投资者倾斜消费的意愿被称为消

费的跨期替代弹性，恰好等于风险厌恶系数γ的倒数。而风险厌恶系数描述了消费者对于

世界上跨国度建校费替代的不情愿，而跨期替代弹性描述的是消费者对不同时期消费替代

的意愿。同时，在此模型中，消费-财富比例总是常数，因此可以推出资产组合选择为短视

的结论——投资者只关心下一期的投资决策。尽管幂效用模型有很好的特征，但是却有一

个强限制的条件——跨期替代弹性等于风险厌恶系数的倒数。而两者之间这么紧密的关系

并不是那么显而易见。Epstein-Zin 提出了更灵活的效用函数模型。这也是本节中我们主要

运用的效用函数

Epstein-Zin 目标函数被递归的定义为：

()()()()111111,1()t t t t t t U C E U C E U θγγ

γ

θθδδ---++??=-+????

（5）

其中t C 指t 时刻的消费，

γ是相对风险厌恶系数且0γ>，?是跨期替代弹性且0?>，01δ<<为贴现因子，()()

11/1θγ?-=--，()t E 为一直t 时信息的条件期望。当1

γ?-=时，1θ=，递归方程为线性，对其求解即产生上面提及的幂效用模型。。

这里我们假设投资者具有Epstein-Zin 效用函数。在这个模型中，风险厌恶是资产组

合选择的首要因素，而跨期替代弹性是一个影响消费决策的主要因素，但对于资产组合决

策却只有次要作用。

如果投资者完全由金融财富提供消费而无任何劳动收入，即跨期预算约束条件同（4）

式： ()()1,11t t t p t W W C R ++=-+

则存在这样一种欧拉方程

()()1111,1,1111t t p t i t t C E R R C θ?θδ--+-++??????????++=?? ?????????????

（6）

投资者的最优消费以及投资策略必须要满足欧拉方程（6）。当投资机会是常数时，最优策略隐含了单位财富消费t

t C W 是常值以及短视资产组合选择——投资者只关心下一财富

期的投资决策，如果投资机会是随着时间变化的，除了,γ?取某些特定值时才有解析解。

Giovannini 验证1γ=，最优决策还是短视资产组合选择。而当1?=时，投资者最优选择

为单位财富消费等于()1δ-。

最后Epstein-Zin 还用如下的表达式说明了单位财富最大化效用函数或价值函数

t t t U V W =，与单位财富消费t t

C W 之间的关系为： ()1111t t t t t U C V W W ???δ---??=

=- ??? 可以看出当?趋向于1时，

t t

C W 趋向于()1δ-。 3.1.2模型求解

3.1.2.1 近似模型 我们使用对数收益率()

,1,1ln 1i t i t r R ++=+可以将（1）式近似写作 ()

2,11,1112p t t t t t x xx t r r +++''=++-∑X αασα （7） 再将对数财富()ln 1t t w W =+以及对数消费()ln 1t t c C =+将约束条件近似写作：

()1,111t p t t t w r c w k ρ++???≈+--+ ???

（8）

其中()1exp[]t t E c w ρ=--，()()()

ln 1ln 1/k ρρρρ=+--

这样目标函数欧拉方程（6）改写成如下对数线性形式： ()()()1,1,10ln 1t t t p t t i t E c E r E r θθδθ?

+++=-?--+ ()1,1,1112t t p t i t Var c r r θθ?+++??+-?--+????

（9） 将（9）式减去（9）式令1i =，再利用()1111t t t t c c w w ++++?=?-+?，可得：

()()(),11,1,11,1,,1,,12t i t t t i t t i c w t c w t E r r Var r r θσσ?

++++---+-=- ()(),,1,,,1,1,1,i p t p t i t t γσσσσ+--- （10）

其中(),,,111,i c w t t i t t t Cov r c w σ-+++=-，()

1,,1,111,c w t t t t t Cov r c w σ-+++=-，(),,,1,1,i p t t i t p t Cov r r σ++=，()1,,1,1,1,p t t t p t Cov r r σ++=，(),1,,11,1,i t t i t t Cov r r σ++=，

()1,1,1,1t t t Cov r σ+=。

3.1.2.2 近似模型求解

为了求解模型，我们假设最优资产组合和消费规则采用如下形式

01t t =+A A Z α

（11） 01

2t t t t t c w b ''-=++B Z Z B Z (12) 即 VAR 中状态向量的最优组合选择是线性的，而最优消费选择是二次的。0A 是n-1维向量，

1A 是()1n m -?阶矩阵，1B 是m 维向量，2B 是m m ?阶矩阵。

为检验我们的估计并求解出参数，我们将（10）中的条件矩阵记作VAR 系数以及（11）

（12）未知参数的的函数。然后求出满足（10）的参数。

回顾之前1t +X 的定义，将（10）左边写成组合的形式

()()211011122

t t t t x x t x E Var ++==Φ+Φ+X X H H Z σ 其中x H 为从全体状态向量中选出超额收益向量的选择矩阵。解关于资产组合的类似

（10）欧拉方程，可以得到VAR 系数函数形式（11）的参数。

()()()11111112t xx t t t t x E Var γγ-

++??

=∑++-????X X ασ ,11,,1

()c w t xx c w t θστγ?---??+∑--????σ 这样我们就求出来最优组合选择t α。

下面我们求解（12）中所隐含的最优消费-财富比例。

在（9）式中令i p =，重排可得

()()()1,11,1ln 2t t t p t t t p t E c E r Var c r θ?δ???

++++?=++?- （13） 我们把（13）称作消费欧拉方程。联立（8），（13）可以得出t

t c w -的变分方程如下

形式： ()()(),,111ln 1t t p t t p t t t t c w E r k E c w ρ?δρχρ?ρρ+++-=--+-++- （14）

其中(),1t p t E r +，,p t χ均为VAR 状态变量的二次函数。给定对数线性化化参数ρ，有

解析解。如果消费-财富比（单位财富消费）是常数，那么当资产价格满足连续发散过程时，

解在续时间是精确的。其余所有情况下，解都是近似的。如果跨期替代弹性1?=，那么消

费财富比是常数，此时ρδ=

同时我们可以得到价值函数的表达式：

()1111t t t C V W ???δ---??=- ???

()012exp ln 11111t t t b ?δ?

???''??'=--+++??----??B B Z Z Z 此模型的一个重要特点是：给定对数线性化参数ρ，最优资产组合选择不依赖于跨期

替代弹性?。?只能通过影响ρ来影响资产组合选择。实践证明这种间接影响并不大。

3.1.3 模型的应用

这里我们简要用上述的模型来研究具有不同消费表现和风险厌恶程度的消费者如何将

他们的资产合理分配与下面三种资产：股票、名义债券和名义国库券。我们用VAR 模型刻

画投资机会，并以前一期的短期实际利率、超额股票收益、超额债券收益以及实际研究所

发现的其他变量：如短期名义利率、红利-价值比以及长期债券和国库券之间的利差。（这

里所提及的收益率均为对数收益率）。

在这里我们用3个月作为模型中的周期，用90天票据的对数收益率与通货膨胀对数值

之差表示由经验所得的实际国库券收益率，用股指的对数收益率与90天票据的对数收益率

之差表示超额股票对数收益率。这里我们用价值加权的收益率，即在不同市场上价值加权

的收益率作为我们这里的收益率。在刻画超额对数债券收益率，我们用相同的方法，用5

年期国库券收益率与通货膨胀率来刻画。在这里我们先用CRSP （证券价格研究中心）提供

的无风险利率作为我们90天的票据利率。这样国库券的名义利率即90天票据的对数收益

率。在计算红利-价格比是，我们首先通过包含分红的价值加权收益率来构造已支付红利的

序列，而用不包含分红的价值加权收益率来构造价格指数序列。当然这里红利序列的总值

要与去年总共支付的红利值相匹配。对数红利剑去对数价格指数即是我们这里要求的红利-

价格比。而利差我们用5年期零息票债券利率与票据利率之差来表示。股指我们选取标准

普尔S&P500数据，价格指数选取生产物价指数。通过上述方式选取数据后，我们可以将长

期债券收益利用对数线性近似法进行如下刻画：

().1,,,1,11n t n t n t n t n t r D y D y +-+≈--

这里n 为债券年限，用,n t Y 表示债券收益率，则对数债券收益率为(),,ln 1n t n t y Y =+，

,n t D 表示为债券久期，可以近似表示为()(),,1,1111n

n t n t n t Y D Y ---+≈-+。这里可以用,1n t y +近似1,1n t y -+

这样一来，模型所需要的数据我们就处理完毕，在根据上面模型的求解过程求解作图

即可。这里我们就不再赘述了。

通过选取不同的风险厌恶系数γ和跨期替代弹性?，我们可以捕捉红利-价格比与股票

期望收益率之间的关系。当股票期望收益率增加时，投资机会也有所改善；当红利-价格比

增加时，股票的期望收益率也增加；由于股票与红利-价格比强负相关，因此股票收益下滑与投资机会改善也有一定的关联。因此，股票可以用来对冲组合未来收益的变动，并且保守投资者对股票的需求更多。这种效应在风险中度厌恶投资者身上体现得尤为明显，因为γ=的投资者不希望进行跨期对冲，而风险严重厌恶投资者对股票市场的风险投资机会几1

乎不感兴趣。

上面是VAR模型中对股票的探讨，下面我们看看债券对投资选择的影响。

通过计算，我们可以看出，跨期对冲需求在名义债券上表现尤为显著，在图形上他与风险厌恶程度呈U型图形，即与风险中度厌恶系数呈强负相关，与极度保守投资者呈正相关性。结合两种效应，对风险中度厌恶投资者来说，他们对名义债券的需求与风险厌恶系数负相关。

这些结论我们通过理论来解释一下。

首先，非期望超额股票收益率与名义债券收益是正相关的。因此投资者可以通过大量持有源于跨期对冲需求的股票，同时空头长期名义债券来抵消短期风险。这种效应在风险中度厌恶情况下表现最好，这是因为对股票的跨期对冲需求在此情况下是最大的其次，短期名义利率对实际利率的预期是积极的，但是对超额股票收益是消极的。高实际利率是一次好的投资机会，但低的超额股票收益则不适于投资。风险中度厌恶投资和对股票市场的可行投资机会是非常感兴趣的，因此认为短期利率增加对投资机会是不利的。而对极度保守投资者来说，他们对实际利率非常关心，因此短期利率增加对投资机会是有利的。由于名义债券收益与短期名义利率的变动是正相关的，这样就会对风险中度厌恶投资者产生消极的跨期对冲需求，而对极度保守投资者产生积极的跨期对冲需求。

第三，利差对实际利率与超额债券收益有预期是积极的，因此利差增加意味着投资机会的改善。由于利差改产对非预期债券收益是正相关的，这样就降低了对长期债券的跨期对冲需求。

在分析资产需求变化的时候，我们发现尽管债券超额收益的可预测性不好，但长期名义债券的资产配置在短期内波动最大。这个现象我们可以这样解释：短视资产选择的变动正向依赖于收益的可预测性，但是消极的依赖于波动率的不可预测性，而债券波动率的可预测性很差。

在应用过程中我们可以看出决定股票需求的均值和方差的最重要的状态变量是红利率—，而用与预测实际利率、通货膨胀率和超额债券收益的变量决定了债券需求的均值和方差。

3.1.4 模型的结论及局限性

在本节中主要针对长期投资者的历史经验来研究资产收益的可预测性。对由票据、股

票和名义债券组成的资产组合，我们研究红利率、利率、利差、通货膨胀率从以及其他可

以预测资产收益的变量对最优资产配置的影响。对股票和债券的非期望收益与红利-价格比

是强相关的，因此，红利-价格比对最优组合需求的水平和可变性是决定性的因素。之后我

们判断出跨期对冲需求对风险中度厌恶的影响会随着不同时期的实际利率风险的变动而向

着相反的方向变动。这也由于以年为单位划分的数据比以月为单位划分的数据变化大，因

此保守投资者常用债券来对冲实际利率风险。同时，名义债券对股票的影响是正相关的，

这样鼓励投资者们通过空头债券来对冲多头股票所带来的风险。

但本节中存在两个很重要的局限性：第一，我们忽略了可能阻碍投资和卖空或以借入

资金来投资风险资产的组合限制。第二，这是一个局部均衡模型。 解决了投资者面对外生

资产收益时问题，但没有证明这些资产收益如何与一般均衡取得一致。

3.3 连续时间下的战略资产配置 （动量和均值复归的战略资产配置）

本节使用连续时间数学方法来分析动态资产组合选择。主要有四部分内容，首先是最

有消费和资产组合选择的动态规划法，主要利用贝尔曼最优原则；其次是鞅方法，这是连

续时间下用于替代动态规划法的主要方法，通过随机折现因子（SDF ）解决动态资产组合选

择问题；之后介绍递归效用模型——Epstein-Zin 效用的连续时间版本；最后我们介绍一下

动量和均值复归模型，区别于一般的均值复归模型。

3.3.1 连续时间最优消费与资产组合选择的动态规划方法

我们以在简单设置中推导贝尔曼最优方程作为开始。贝尔曼最优原则是解决动态资产组

合的有用工具，因为它能将动态最优问题转化为微分方程，而微分方程就可以求解。为了简

便起见，我们假设只有两种资产可供选择，一是瞬时总收益为t t

dP P 的风险资产，一是瞬时收益为t t

dB B 的无风险资产。此外，还有一个驱动投资可行集动态过程的单一状态变量t S 。 假设资产收益和状态变量都满足发散过程：

(,)(,)P t P P t t

dP S t dt S t dZ P μσ=+ (,)t t dB r S t dt B = (,)(,)S t S S t dS S t dt S t dZ μσ=+

上式中P t dZ 和S t dZ 满足维纳过程，且(,)P S t t PS dZ dZ S t dt ρ=

为使记号方便，下面叙述中忽略S ，例如直接用P μ代替(,)P S t μ。

W 为总财富，C 为消费，a 为与投资于风险资产的比率，则长期投资者的最优投资组合

和消费问题可以表示为：

00,max [(,)]C a E U C t dt ∞

? （15）

且服从连续时间跨期预算约束：

[(())]P t t P t t t t P t dW a r r W C dt aW dZ μσ=-+-+

（16） 令(,,)J W S t 为这个问题的效用最大化函数或价值函数，那么由贝尔曼原则意味着： ,10max{(,)[(,,)]}t C a U C t E dJ W S t dt

=+ （17） （17）式表明，在最优点，投资者即期消费和未来消费的价值正好对冲。今天的消费是以消耗原本可以增加未来消费的即期资源为代价而取得的。投资者决策的即期消费的效用价值，精确的对冲了因此而损失的未来消费的期望效用成本。 利用伊藤公式，我们可以进一步得到：

222,10max{(,)[(())]2

W P S S WW P C a J U C t J a r r W C J J a W t μμσ?=+-+-+++? 21}2

WS S PS SS S J aW J σρσ++ （18） 由于没有任何策略可以是投资者的效用无穷大，所以必须加上边界条件：

0lim [(,,)]0t E J W S t →∞= 为了求解这个问题，需要对C 和a 求导数，得到一阶条件，

C W U J = （19） 21()()/WS S P

PS WW W P WW P

J r a J W J J W σμρσσ-=-- （20） 其中，(19)式确定了最优消费策略，即在最优点每增加一单位现时消费的价值等同于增加一单位可用于支付未来消费的财富，(20)式确定了对风险资产的最优组合配置。（20）式的第一项恰好是3.1均方差模型中最优投资比例2P t P

r k μασ-=（1）式，k 取相对厌恶系数WW W

WJ J -，这样来看，（20）式第一项恰好是短视组合规则——风险资产的最优配置比例与该资产的风险溢价成正比，预期收益波动率成反比，并线与投资者价值函数的风险厌恶系数成反比。（20）式中第二项是跨期套利部分，只要投资机会具有时变性()0S σ>与风险资产瞬时以实现收益相关（0PS ρ≠），以及能够独财富的边际效用施加影响()0WS J ≠，那么，第二项是非零的。

（19）（20）并不是模型的完全解，因为他们取决于仍然未知的价值函数。不过把这些表达式代回贝尔曼方程（18），可以得到价值函数(,,)J W S t 的二阶偏微分方程，只要解出这个偏微分方程，就可以通过价值函数带入消费和资产选择的一阶条件，并且求（19）的逆

运算()1C W C U J -=，就可以得到最优策略。但这种方程多数情况下无法解出解析解，是用

待定系数的解析方法求解的。也就是先对方程解的函数形式作出估计，再证明以此函数估计来定义的某些参数值满足该偏微分方程。但是估计函数形式也不是那么容易的，一般要通过一些数值算法，如贾德(Jude,1998)或罗杰斯和特雷(Rogers and Talay,1997).。

能解出解析解的特殊情况有：Merton 证明了如果投资者的消费效用是对数形式或投资者具有幂效用而投资机会确定，那么有解析解，并且此时的最优资产组合选择是短视的；基姆和欧姆伯格考虑具有常数无风险利率和单一风险资产的模型，此模型恰好是V AR 模型的连续时间版本，对于那些以某种固定投资期期末财富定义的幂效用最大化的投资者，该方程也有精确解；沃驰德解出市场完全有效的前提下，当投资者最大化以各期消费定义的幂效用时，方程解出现一个必须进行数值分析的积分，但在其他情况下是可以解析的；即使市场不是完全有效，而且投资者的价值评价不是期末财富而是消费，只要投资者具有单位跨期替代弹性的递归效用，那么也有解析解。

虽然近年来的理论研究取得了巨大进步，但是具有已知精确解细节的情形相对而言仍然很少，这样一来往往还是需要用近似解析方法。动态规划方法很直观，但是多数情况下还是很难求解的。

3.3.2 鞅方法

鞅方法利用完全市场的随机贴现因子(SDF)属性，把动态问题转化成静态问题，而且后者的未知数是最优投资的财富而不是价值函数，这样生成的最有投资财富的微分方程有时比价值函数的贝尔曼方程(15)更容易求解。

下面我们不妨先从描述连续时间的SDF 属性开始。连续时间的SDF 被定义为t M 过程，对于价格为t V 以及在未来日期s t ≥的瞬时支付为s X 的任何证券，我们有：

()s t t s t

M V E X M = SDF 也成为定价核或状态-价格密度。SDF 的一个重要属性是：如果市场是完全的，并且不存在套利机会，那么SDF 是唯一的。

若证券是不付息的，那么s X =s V ，则上式化简为：

()t t t s s M V E M V =

即t t M V 满足鞅过程

(())0t t t E d M V = （21）

这就是SDF 的鞅属性

若证券每期支付瞬时股利t D dt ，那么我们有t t t X V D dt =+，带入关于价格t V 的方程，我们可以得到()()

0t t t t t E d M V M D dt +=。只要将s V 解释成证券的瞬时变化率等于其总收

益率的指标，则可以把这种情况下的鞅属性写成（21）式的形式

这样来看，只要给定SDF 过程，我们可以对市场上的任何证券定价。在这里我们假设市场是完全的，即交易证券的价格向量完全转化成状态变量的向量，也就是说状态变量的创新值和风险资产的创新值必须完全相关，因此模型中就只有一个不确定性的来源（即

P S t t dZ dZ =）

。在这种情形下，SDF 满足只有一个发散项的发散过程： ()(),,P t M M t t

dM S t dt S t dZ M μσ=+ （22） 再根据鞅特性（21）可以得到(())0t t t E d M P =和(())0t t t E d M B =。再对风险资产应用伊藤引理可以得到

()()P t t t t P M P M P M t dM P M P dt dZ μμσσσσ??=++++??

要使鞅特性(())0t t t E d M P =成立，则0P M P M μμσσ++=。对无风险债券我们采用同样的处理手段可以得到0M r μ+=。这样可以求得M μ,M σ的唯一解。

M P

M P

r

r μμσσ=--=- （23） 这等于说，SDF 的瞬时预期收益率等于负的瞬时无风险利率，SDF 的瞬时收益的波动率等于负的单位风险下的超额报酬（风险资产的Sharp 比率）。

下面我们介绍如何将动态问题转化为静态问题：

鞅方法利用了SDF 在完全市场中的特性来求解资产组合与消费问题。我们如上定义长期投资者的最优投资组合和消费问题：

00,max [(,)]C a E U C t dt ∞

? （24） 且服从连续时间跨期预算约束：

[(())]P t t P t t t t P t dW a r r W C dt aW dZ μσ=-+-+

（25） 将（25）式重新整理可得：

[((1))]P t t t P t t P t t

dW C dt a a r dt a dZ W μσ+=+-+ （26） （26）将动态预算约束解释为资产的总收益，该资产的价格为t W ，在各期具有等于最有消费t C 的瞬时股利。在这种解释下，最优投资财富t W 必须满足：

()s t t s t t

M W E C ds M ∞=? （27） 也就是说，最优投资财富等于按SDF 折现的最优未来消费的期望现值，任何时候的最

优投资财富必须能够为在时间t 决定的最优消费计划的预期消费提供融资。利用对预算约束的这种解释，我们就可以把动态最优化问题（24）（26）转化成静态问题：

00max [(,)]C E U C t dt ∞

? （28） 且满足静态预算约束条件

0000

()s s M W E C ds M ∞=? （29） 其中，我们在最大化算式（28）的自变量中省略了a ，因为我们假设上式中t C ,0W 分别代表了最优消费和最优投资的财富。上静态问题我们可以用经典的拉格朗日方法来求解。 该静态问题的一阶边界条件可以写作：

()()1C t t t C t U C M C U M ττ-=?= （30）

τ表示拉格朗日算子。将该边界条件带入我们静态约束（29）中，可以得到：

()10000

()s C s M W E U M ds M τ∞-=? （31） 我们定义一个新变量来简化上述表达式：()1?t t X M τ-=，这样意味着

0t o t

M X M X =，则将t M 的动态过程（22）代入t X 的动态过程，可得： ()22t t t t t t dM dX dM X M M =-+()

2P M M M t dt dZ μσσ=-+- Cox 和Huang 给出了t X 的一个有趣解释，指出t X 适当所有股利都用于在投资时的“增长-最优资产组合”的价值。

这样之前我们将静态预算约束条件（29）利用上述变形改写到t 时刻的约束条件：

()11()t t t C s t s

X W E U X ds X ∞--=?()111()t t C s s t X E U X X ds ∞---=? （32） 给定X 与S 的动态马尔可夫结构，该预期就是t X 现值的某个函数F 。如果t X 的该过程取决于状态变量，那么，它也将是S 的限制的函数，不妨如下表示：

(,,)t W F X S t =

该结果对具有时变性的资产组合选择的期望收益、方差和协方差意味深长。由t X 的定义，t X 过程取决于瞬时利率M r μ=-，以及对单位风险的超额报酬P M P

r μσσ-=-。但是它不单独取决于风险资产的期望收益P μ或其瞬时标准差P σ。这样，如果顺势利率和风险价格都是常数，即使P μ,P σ分别是S 的函数，那么最优投资财富也不取决于S 。最优资产组

合选择与消费也将独立于状态变量的过程，因为他们只是通过最优投资财富简洁的依赖于状态变量。

我们可以用鞅属性和伊藤公式来求解函数(,,)F X S t 。结合鞅属性和静态一阶条件（30）可以得到：

()()()()()

110t t t t t t t t t C t E d M W M C dt E d M F M U X dt --+=+= 为了计算上式，我们首先需要对()t t d M F ，t dM ，t dF 应用伊藤引理，再根据我们的鞅属性（位移项为零，即含dt 的项总和为零），我们得到最优投资财富的二阶偏微分方程： 112222211()()22S C M X S S M XX S SS M S XS M X M S F U X r XF F rF X F F F t F X F σμσσσσσσσ--?++++

-++-?=- （33）

边界条件为：

0lim ((,,))0t E F X S t →∞

= 这样，只要解出偏微分方程（22），我们就可以得到最优财富W ，也就很容易可以求出消费与资产组合选择了。

下面我们先来求解消费，利用静态问题的一阶条件（30）可以得到

()()11111,,t C t C

C U

X U F W S t ----??== ? ??? 其中我们假设(),,F W S t 可逆。 为了求解最优资产组合选择，我们不妨假设市场是完全的，根据（25）式和对F 运用伊藤引理，我们可以得到如下等式：

P P P P t X M t S S t aF dZ F X dZ F dZ σσσ=-+

在完全市场假设下，最优资产组合规则为：

S S X P P P F F X

r a F F σμσσ????-=+ ? ?????

这就是我们的鞅方法，利用鞅的属性并通过将动态问题转化成静态问题，对原最优投资和最优消费的过程。

3.3.3 连续时间递归效用

递归效用是一种将标准的时间可分幂效用模型推广到从消费的跨期替代弹性中分离相对风险厌恶的一种方法。

连续形式的递归效用最早是由达菲——爱泼斯坦提出的如下形式：

((,))t t s s t J E f C J ds ∞

=?

式中f(C,J)是即期消费与连续效用的标准化的加总数，并由下式决定：

11/1/(1)(,)(1)[()1]1(1/)((1))

C f C J J J ψγβ

γψγ--=---- 式中，0β>是时间偏好率，0γ>是相对风险厌恶系数，0ψ>是跨期替代弹性。通过令1/ψγ=便可以得到幂效用。

当1ψ→时，标准化的加总数f(C,J)取如下形式：

1(,)(1)[log log((1))]1f C J J C J βγγγ

=---- 达菲与爱泼斯坦指出，贝尔曼最优原则适用于递归效用，从计算的角度来看，递归效用与标准可加效用的唯一不同就是，我们需要用标准化的加总数f(C,J)替换贝尔曼方程的瞬时效用函数U(C)。

3.3.4动量与均值复归的战略资产配置

投资者在作出资产配置决策的时候需要考虑时间变动对投资机会的影响。经验证据表明市场收益在短期内有延续性而在较长的时间段内倾向于复归。这种收益延续性，又称为动量的市场性质使得股票在短期内有较大的风险，从而在长期资产配置时应该减少在股票上的投资。相反地，均值复归减少了股票的长期风险，从而导致投资者在股票投资上的增加。

一些近期的文章验证动量在最优资产配置中的重要性。Balvers 和 Mitchell 说明当收益是正的自相关时，对股票的投资会随着投资年限而减递。 Brandt 通过非参的方法，发现如果短期和中期股票收益正相关时，股票的初始投资会减少。类似的，Ait-Sahalia 和 Brandt 用单指数模型估计了条件欧拉方程，说明动量与最优对冲需求的相关性是弱的并且消极的。

另一方面，均值复归是权益类指数收益在长期投资中表现出的主要特性。Campbell 和 Viceira , Wachter , Campbell , Chan 和 Viceira 指出由于这一现象的存在，长期的资产配置对权益类资产的投资大于短期资产配置中的比例，并且对投资区间是单调增加的。这个结果对于参数不确定性的模型也是稳健的。

这里我们提出的动态资产配置问题中既有动量也有均值复归特性。这里我们着重研究股票收益的可预测性对投资者的影响，这里的我们研究的投资年限至多5年的中期投资者。在决定股票的资产配置时，收益连续性和均值复归都发挥了至关重要的作用。

这里，我们首先引入一个结合动量和均值复归特性的简单的连续时间模型。期望指数收益由两个状态变量来决定——过去收益的加权均值和红利率。.我们将模型与CRSP 价值加权指数和平均权重指数进行校对，可以发现对冲需求对中期投资者的影响是消极的。这是由于短期内，动量是主要动力，投资者通过减少市场暴露来对冲增加的风险。由于消极的对冲需求，股票的全部配置并不随着投资年限而单调增加：从短视开始，然后下降，根据我们校对的指数达到最低点，最后随着均值复归的主导地位增加开始上升。

对股票的最低配置一般要低于短视资产配置，当模型根据价值加权指数校对时，最低配

置会出现在6个月上，或者根据平均权重加权指数校队时出现在18个月的时候。这也隐含了上面的投资年限分别为1年和5年。最后我们发现投资机会中对冲时变性的价值在收益连续性存在的条件下会增加，尽管成本，作为时间的函数，完全依赖于指数。

下面我们引入同时具有短期收益连续性和长期均值复归特性的模型。动量表示股票价格最近的价格变动对未来收益具有前瞻性。为了更好的验证这一点，我们引入可以涵盖股票历史业绩的状态变量。而均值复归特性一般通过分红率或者价格收益比来刻画。为了能同时满足动量和均值复归特性，我们假设投资者运用基本信息和业绩分析来预测下一期的股票收益率。

首先定义t S 为股票在t 时刻的价格或者指数，服从如下方程：

'((1)),01t t t S t t

dS M dt dZ S φφμσφ=+-+≤≤ （34） 其中S σ是二维波动向量，t Z 是二维布朗运动，即期收益率取决于两个变量随机均值t μ和绩效变量t M 。绩效变量t M 反映了股票过去的表现，具体是用过去收益的加权平均来刻画：

()

0t t u u t u

dS M e S --=? （35） 显然

'(1)()u t t t t S t u

dS dM M dt M dt dZ S φμσ=-=--+ （36） （36）可以看出绩效变量在随机均值t μ附近波动，t μ可以解释成只依赖于基本信息的股票期望收益率，所以把t μ叫做基本变量。另外，t μ是平稳变量，服从如下

Ornstein-Uhlenbeck 过程：

'0(),0t t t d dt dZ μμαμμσα=-+>

常数0μ是长期期望收益率。即期收益率可以表示成

()(())t t t t t t

dS E M dt S μφμ=+- （37） 另外，投资策略里面还包含一个无风险现金账户资产记为t B 且

t t dB rdt B =，r 是无风险利率。尽管t M 依赖于股票的所有历史价格，但(),,t t t S M μ却是一个三维的Markov 过程。

下面我们来分析最优战略资产配置策略。首先考虑长期投资者的最终财富价值效用，其中效用函数为相对风险厌恶系数为γ的CRRA 效用指数。在每个时刻t ，投资者动态的把可用资产t W 配置到股票和现金账户上，因此，这个区间为T t -的投资问题可表示成：

1()[,]1(,,,,)max ()1s t T s t T J W M t T E W γπμγ

-∈=- （37） 其中资产的动态约束为：

'((()))t t t t t t S t t

dW M r dt dZ W πμφμπσ=+-++ （38） t π表示投资到股票上面的比率，(,,,,)J W M t T μ对应于最优投资策略的值函数。上述问题可以通过动态规划方法来求解。而下面命题给出了价值方程J 的主要结论和最优动态战略配置。

命题1：对于一个投资时间为T t τ=-的投资者来说，若相对风险厌恶系数为γ，那么值函数是如下的形式：

11(,,,,)(,)1J W M t T W H Y γμτγ

-=- 1(,)exp('()()'())2

H Y Y A Y B Y C ττττ=++ 其中(,)'Y M μ=，22A ?∈

，21B ?∈ ，C ∈ 是一组常微分方程的解。股票的最优

投资策略是： *'00''''()1111'((()()')())2

t t t t S S S S S S S S S r M A A Y B μμμμφπστττγσσγσσγσσγσσ---=++

+∑++ 其中22(,)'S μσσ?∑=∈ 。而余下的1π*-是投资于现金账户的比例 此性质说明在股票上的最优投资包含四部分。第一部分是对股票的无条件的短期需求，即当绩效变量和基本变量等于其无条件期望，第一部分表示当投资者放弃未来投资机会的情况下对于权益类资产的投资。第二部分和第三部分都是包含绩效变量t M 和基本变量t μ所代表信息的时变组合。第二部分表示基本变量t μ的非条件期望一般都会增加对权益类资产的投资。第三部分表示，历史业绩t M 与t μ的强相关性，收益连续性将会导致投资者增加权益类投资。由于状态变量对未来投资机会的影响，最优资产配置将包含与未来投资机会相反变化的对冲需求。最后一部分度量了绩效变量和基本变量对于价值函数的冲击，价值函数对t M 与t μ的变化越敏感，对应的对冲需求就越大。

下面我们利用上面的模型评估一下动量与均值回归模型在战略资产配置中的作用。为了更好地突出动量的作用，我们不妨刻画仅允许均值回归的简单模型，即0φ=。此时，股票的风险报酬仅依赖于市场的基本信息。为了更好的估计之前如（34）（35）描述的金融市场，我们可以表示基础变量t μ如下：

()0101t t D t

t t D D X D X μμμμμμμ=+-=+=+ （39）

其中t D 为对数红利率，()t D E D μ=，t X 表示超出期望对数红利率的对数红利率。在刻画另一变量t M 时，我们采用将连续时间离散化，根据股票的历史业绩来构造过去收益率的加权平均值，以月为周期，我们可以将（35）式近似表示成11t i t i t i t i t i S S M e S --+-=-??-≈

???

∑ 这样我们可以重新将金融市场刻画为： ()()()()0101(1)1t t t S t t

t t t S

t t t X t

dS X M dt dZ S dM X M dt dZ dX X dt dZ μμφφσφμμσασ'=+-++'=-+-+'=-+

这里我们运用根据包含分红的价值加权和平均加权指数的收益率。在计算红利率的时候，我们首先根据包含红利的价值加权收益率构造已支付红利序列，并根据不含红利的价值加权收益率构造价值指数序列。这里的红利序列为去年红利支付的总额。这样红利率可以用红利与当前价值比的对数化来求得。

在上面模型中的不确定因素由两个独立的布朗运动来驱动。为了更好的运用统计方法，不妨将波动率矩阵正态化为如下形式： S X σσ'?? ?'??

这个恰好是下三角阵。再根据我们以月为周期，恰好可以得到一个三变量的高斯V AR 模型——对数收益率、业绩变量和红利变量，这些根据上面的方法及观察的数据可以求得。再利用极大似然法来构造模型中的参数。但是，当模型用无限制的极大似然法估计的时候，我们发现隐含的自相关系数很难和样本的自相关系数相匹配。这样我们需要在带限制的自相关方程条件下最优化估计。在对红利率的处理上，我们将其分解成样本均值以及t X 的估计值来求得（根据（39）中t t D D X μ=+）。

我们主要关心对短期和中期投资者来说，动量与均值复归在战略资产配置中的相互作用。为了将上述模型与仅允许运用基本信息来预测股票风险溢价模型进行比较，我们还要对0φ=的模型进行估计。尽管构造的模型不能同时具备收益的正自相关性和负自相关性，我们仍然需要长期自相关性与样本匹配。再重新估计模型后，我们认为对投资者丢弃业绩变量所包含的信息的假设是有潜在问题的。

在0φ=条件下分析股票的价格过程中，有两点值得我们注意。首先，参数φ表示权衡基本信息和业绩信息在预测股票收益的相对重要性，在平均加权指数下的φ几乎是价值加权

指数下的三倍。这说明了，在平均加权指数下，即使过去业绩是期望收益的主要因素，基本信息在价值加权指数下还是起着较为显著的作用。另外值得注意的是，股票收益的瞬时波动率()1S σ在不带限制条件的模型下比带限制条件时的要小。这也是由于加入历史业绩信息所带来的加强预测力度的结果。由于期望收益0μ是可比的，这也意味着0φ=时对股票的短视资产配置要高于结合动量和均值回归模型下的结论。而对红利率的估计也可以看出其对股票收益变动的强连续性和强相关性。

对动量和均值复归模型，我们可以得到带限制条件的模型（仅含有一个状态变量）要么具备正自相关性，要么具备负自相关性，但不可能同时具备二者。

在分析结果时，我们主要分析在动量与均值复归模型下的最优投资策略，并对比仅有均值回归模型。

在处理数据过程中，有四点值得我们探讨：首先，初始股票投资，即短视资产配置，一般比运用业绩信息的投资者要高得多。这是由于加强可预测力使得对未来收益的预测加强，从而条件波动率减少。第二，认可投资的战略性的投资者有必要的对冲需求。而长期投资者的对冲需求随着投资年限增加而增加。这是现象是源于股票的长期均值复归特性，这也在许多文献总被验证。由于均值复归的作用，长期权益类投资的风险性会随着最优配置的增加。另一方面，短期和中期投资者的对冲需求很大程度上受到收益连续性的影响。一旦模型根据平均加权指数进行校对，投资者的对冲需求会随着投资年限而递减（投资年限上限是6年）。更进一步的，在根据价值权重指数对模型进行校对后，在投资年限至多为1年的条件下，投资者的对冲需求随着投资年限而递减，即是在此指数下收益连续性的作用较弱。也就是说，动量将使得短期和中期股票收益的风险性，这也推出，投资者应当减少对股票的最优配置。这也说明对中期投资者来说，忽略收益连续性的特性，或许能够得到并不是完全没有意义的投资策略。第三，对于较长的投资年限，两种投资策略之间的差别是可以忽略的，结合之前对中期投资者对冲需求的消极性，可以看出股票的全部配置在投资年限之间是非单调的。这种非单调性的另一个显著结果为，存在一个正的投资年限使得对冲动量和均值复归的需求完全消失，当投资者短视时也有同样的结论。对平均权重指数来说这个投资年限是5年，而对价值权重指数来说是1年。这也是收益连续性和均值复归性相互作用的结果。第四，价值加权指数的期望收益率的时变性主要取决于基础变量的变动，在我们这里指的是红利率。相比之下，对平均权重指数来说，投资者的决策主要受业绩信息的影响。

为了强调动量和均值复归作用上的差别，在无限制模型下，我们将对冲需求分成两部分。首先我们给出总体对冲需求的表达式：

()11

S

S S WY J σσσγ-'''∑