1.角的概念推广及弧度制(导学案)
第5章 三角函数
5.1 角的概念推广及弧度制（导学案）
【学习目标】
1. 知道角的定义，
2. 能进行角度和弧度的互化，
3. 知道象限角的定义，知道界限角的含义；
4. 会写出所有与角终边相同角的集合，能判断出任意角所在的象限.
【知识整理】
一、 任意角的概念
1．任意角的概念
平面内，一条射线绕着它的端点O 从一个位置旋转到另一个位置所形成
的图形，如图5.1-1所示，点是角的顶点，射线是角的始边，射
线是角的终边．
2．零角、正角、负角
(1) 零角：如果一条射线没有作任何旋转，也认为形成了一个角，叫做零角．
(2) 正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角． (3) 负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．这样，我们就把角的概念推广到了任意角．
二、象限角与界限角
1．象限角： 将角放在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边落在第几象限，就称这个角是第几象限的角．
2．界限角：如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为界限角，它不属于任何象限．
3．象限角的集合
(1)第一象限的角的集合：Z .
2)第二象限的角的集合：{
}Z k k k ∈+⋅<<+⋅,180********| αα. (3)第三象限的角的集合：Z .
(4)第四象限的角的集合：},360360270360|{Z k k k ∈+⋅<<+⋅ αα
4．界限角的集合
(5)终边在轴上的角的集合：Z .
(6)终边在轴上的角的集合：},18090|{Z k k ∈⋅+ α .
三、 终边相同的角
αO αOA αOB αx {|k α36090360,k k α⋅<<+⋅∈}{|360180270360,k k k αα⋅+<<+⋅∈}x {|180,k k αα=⋅∈}y
与角终边相同的角可以表示为Z ，连同角在内，可以构成与角终边相同的角的集合.
四、弧度制
1．弧度的概念
我们把长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做弧度的角，记作rad ，读作弧度．以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制．圆的半径为， 的弧长为，则就
是弧度的角，记作=rad ．
在角度制中规定周角的为的角． 2．弧度数 零角的弧度数是0，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数．
3．弧度与角度的换算： 4．常用特殊角的弧度数
度
弧度 6π 4π 3π 125π 2π 32π 43π 65π π 2
3π 5．弧长公式与扇形面积公式
（1）弧长公式： l r α=（α是半径为的圆中，长为的弧所对的圆心角的弧度数）．
（2）扇形面积公式： 或． 【典型例题】
例1 写出与下列各角终边相同的角的集合S,并写出S 中在-360°～720°范围内的角：
(1) 60°； ⑵ －114°．
例2 写出终边在y 轴上的角的集合．
例3 下列命题正确的是（ ）
A ．小于的角都是锐角
B ．第一象限角都是锐角
C ．第二象限角一定是钝角
D ．锐角一定是第一象限角
例3 把下列各角用弧度或角度表示：
(1)； (2) ； (3)
； (4). 解: (1) 4
7180315315ππ
-=⨯-=- ； (2)； αβ360(k k βα=+⋅∈)αα111O 1AB 1AOB ∠1AOB ∠11360
110.01745rad 1803602π rad 1801rad 57.3ππ⎧=≈⎪⎪=⇒⎨⎛⎫⎪=≈ ⎪⎪⎝⎭⎩0304560759012013515018027036002πr l 12S =lr 12
S =2||r α90315-1207π125π3-120=120π×1802π=3
(3)； (4)
3001803535=⨯-=-πππ
【基础练习】
1．下列命题正确的是（ ）
A ．终边相同的角一定相等
B ．第二象限角必定大于第一象限角
C ．大于的角一定是钝角
D ．锐角一定是正角
2．下列角中终边与 330-相同的角是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．930
3．与1303终边相同的角是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4.下列各组角中，终边相同的是 ( )
A.,
B.,
C.,
D., 5.若3α=，则下列说法错误的是（ ）
A.角α是正角
B. 角α是负角 C ．角α是钝角 D.角α是第二象限角
6.把化成弧度是（ ）
A ． B. C ． D. 7. 所在象限是（ ） A ．第一象限 B.第二象限 C ．第三象限 D.第四象限
8. 在半径为2米的圆中， 120的圆心角所对的弧长为_____米。
【提高练习】
9．已知角α是第二象限角，则2
α是第（ ）象限角 A ．一 B. 二 C.一或三 D.无法判断
10.圆的半径是cm ，则的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是（ ）
A ． B. C ． D. 11.已知两弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（ ）
A. 2
B. sin2
C. 1
sin 2 D. 1sin 2 7π127π=12×180π=105903030-630763493137-47
-4040-5040070290-150450215-43π72-
43π36-4336-4372-296
π-615︒2cm 2π
23cm 2
π2cm π23cm π
12. 终边与坐标轴重合的角的集合是 ( )
A. Z
B. Z
B. C. Z D. Z
13.第三象限的角的取值范围是 ．
14.在～范围内与角终边相同的角是 .
15.的角所在的象限是 .
16．终边在轴的角的集合可以表示为 .
17.飞轮直径为1.6米，每分钟转300转，求飞轮圆周上的一点每秒转过的弧长。
α{|360,k k αα=⋅∈}{|18090,k k αα=⋅+∈}{|180,k k αα=⋅∈}{|90,k k αα=⋅∈}0360480-2130x
任意角的三角函数及弧度制教案及练习(含答案)
第一章：三角函数 第一课时 教材：角的概念的推广 目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。 过程： 一、提出课题：“三角函数” 回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。 二、角的概念的推广 1.回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘” 2.讲解：“旋转”形成角 突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边” “始边”往往合于x轴正半轴 3.“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 记法：角α或α ∠可以简记成α 4.由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1?角有正负之分如：α=210?β=-150?γ=-660? 2?角可以任意大 实例：体操动作：旋转2周（360?32=720?） 3周（360?33=1080?） 3?还有零角一条射线，没有旋转 三、关于“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：30? 390?-330?是第Ⅰ象限角， 300?-60?是第Ⅳ象限角 585? 1180?是第Ⅲ象限角，-2000?是第Ⅱ象限角等 四、关于终边相同的角 1．观察：390?，-330?角，它们的终边都与30?角的终边相同 2．终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与) k∈个周角的和 (Z k 390?=30?+360?)1 k (=
高中数学——角概念的推广与弧度制(教案)
角概念的推广与弧度制 【知识导图】 知识讲解 知识点1 角的有关概念 1、从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角. 2、从终边位置来看，可分为象限角与轴线角. 3、若β与α是终边相同的角，则β用α表示为()2k k Z βπα=+∈. 知识点2 角度与弧度 1、弧度的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、角α的弧度数 如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是l r α=. 3．角度与弧度的换算①1180rad π ︒=；②1801rad π⎛⎫ =︒ ⎪⎝⎭ . 4．弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l ，圆心角大小为()rad α，半径为r ，则l r α=，扇形的面积为211 22 S lr r α= =. [易错提醒] 角度制与弧度制不可混用 角度制与弧度制可利用180rad π︒=进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用. 知识点3 任意角的三角函数 1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(),P x y ，那么sin y α=，cos x α=，y tan x α= 角的概念与弧度制 任意角 角的概念的推广 角的分类终边相同的角弧度制 定义 弧度制与扇形 任意角的三角函数 三角函数的定义 三角函数的符号三角函数线
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是()1,0. [方法技巧] 三角函数值符号记忆口诀 记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦(为正)．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正. 知识点4 三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于 x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos sin αα，，即 ()P cos sin αα，，其中cos OM α=，sin MP α=，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切 线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan AT α=．我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余 例题讲解 【例题1】与263-︒角终边相同的角的集合是（ ） A ． {α|α=k ⋅360°+250°,k ∈Z } B ． {α|α=k ⋅360°+197°,k ∈Z } C ． {α|α=k ⋅360°+63°,k ∈Z } D ． {α|α=k ⋅360°−263°,k ∈Z } 【答案】D 当α终边相同的角与α相差360°的整数倍，所以，与−263°角终边相同的角的集合是{α|α=k ⋅360°−263°,k ∈Z }，故选D ． 【例题2】9°=（ ） A ． π 36 B ． π 20 C ． π 10 D ． π 9 【答案】B 由角度制与弧度制的转化公式可知：9∘=9 180π=π 20.本题选择B 选项. 【例题3】已知0240的圆心角所对的弧长为8m π，则这个扇形的面积为_______2m . 【答案】24π 04 240π3 = 弧度．
高中数学专题 角的概念的推广 弧度制
1. 主要内容：角的概念的推广，弧度制 2. 知识点： ①角的定义：初中：是从一点出发的两条射线形成的几何图形。 现在：角是一条射线绕其端点旋转而成的。规定按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针方向旋转形成的角叫负角；如果一条射线没有作任何旋转，称它形成的角叫做零角。 ②象限角：在直角坐标系中讨论角时，使角的顶点与坐标原点重合、角的始边与x轴非负半轴重合，这时角的终边（端点除外）在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，则认为此角不在任何象限。 ③终边在x轴非负半轴上角的集合是{α|α=k·360°，k∈Z}，终边在x轴上角的集合是{α|α=kπ，k∈Z}，终边在第一象限的角的集合是： ④若α是锐角，则角α终边在第一象限，角180°－α终边在第二象限，角180°＋α终边在第三象限，角360°－α终边在第四象限。 ⑤弧度制：把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 （其中α为圆心角的弧度数） 【典型例题】 例1. 写出与－1840°终边相同的角的集合M （2）把－1840°的角写成k·360°+α（0°≤α<360°）的形式。 （3）若角α∈M，且α∈[－360°，360°]，求角α 解： 小结：在0°到360°角范围内找与任意一个角终边相同的角时，可根据实数的带余除法进行，因为任意一个角α均可写成k·360°+α1（0°≤α1＜360°）形式，所以与α终边相同的角的集合也可写成{β|β=k·360°+α1，k∈Z}，如本题M={β|β=k·360°+320°，k∈Z}，由此确定[－360°，360°]范围内的角时，只需令k=－1和0即可。
例2. 解：由α在第二象限，则90°+k·360°<α<180°+k·360°k∈Z， 小结： 例3. 已知扇形的周长为20cm，当扇形的中心角为多大时，求它的最大面积？ 解：设扇形的弧长为l，半径为R，由已知条件： 小结：当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值，其求法是把面积S转化为关于R的二次函数，但要注明R的取值范围，特别注意一个扇形的弧长必需满足0 中职教育数学《角的概念推广》教案 一、教案背景 角是初中数学中的重要知识点，是理解几何图形的基础。然而，学生在初中阶段对角的理解多停留在基本概念上，对于角的推广应用能力不足。本教案旨在通过设计一系列的教学活动，帮助学生深入理解角的概念，并能够将角的概念推广应用于实际问题解决中。 二、教学目标 1. 理解角的概念及其性质； 2. 掌握角的度量方法，并能够正确使用度计量角； 3. 掌握角的推广应用，能够灵活运用角的概念解决实际问题。 三、教学内容与重点 1. 角的概念与性质： a. 角的定义及其元素：顶点、始边、终边； b. 角的分类：锐角、直角、钝角、平角； c. 角的性质：对顶角相等、补角和为直角、邻角互补； d. 角的度量：度、弧度制及转化。 2. 角的度量方法与工具： a. 度的定义及度量方法； b. 度量角的工具：度规、直尺、三角板； c. 度与弧度的转换关系。 3. 角的推广应用： a. 角的旋转：角的终边和始边不变，角度变化； b. 角的平分线：通过构造角的平分线，推导出角度相等的性质； c. 三角形内角和：利用角的概念解决三角形内角和的问题。 四、教学方法与手段 1. 情境式教学法：通过构建生活实际和实用化情境，引导学生主动参与学习，加深对角概念的理解。 2. 合作学习: 通过小组合作、互动探究的方式，培养学生的思维能力，提高解决问题的能力。 3. 多媒体教学手段: 结合计算机辅助教学软件，呈现图形和角度变化演示，增加教学内容的可视性与直观性。 五、教学步骤 1. 角的概念与性质的引入： a. 引导学生观察身边事物中的角，并描述其特征； b. 介绍角的概念及其元素； c. 呈现不同类型的角，并引导学生进行分类讨论； 角的概念的推广 一、考点突破 1. 掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同 的角”的含义； 2. 掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法； 3. 体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。 二、重难点提示 重点：掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。 难点：终边相同的角、第几象限角的表示。 1. 角的概念的推广： 一条射线由原来位置OA,绕着它的端点O 点，可以向两个方向旋转：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，未作任何旋转时，也看作一个角，叫零角。这样就形成了任意大小的角。 2. 记法与运算： （1）记法： 射线OA 绕O 点旋转到OB 所成的角记作∠AOB ； 射线OB 绕O 点旋转到OA 所成的角记作∠BOA ； （2）运算：各角和的旋转量等于各角旋转量的和： 射线OA 绕点O 旋转到OB ，又从OB 旋转到OC ，得到∠AOC ，这个过程可表示成角的运算：∠AOC=∠AOB+∠BOC 。 3. 终边相同的角： 与α终边相同的角的集合：},360|{Z k k ∈??+=αββ。 4. 象限角： 角的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正半轴重合，此时终边在第几象限，则称这个角是第几象限角。 例题1 射线OA 绕点A 顺时针旋转80°到OB ，再逆时针旋转300°到OC ，再顺时 针旋转100°到OD 位置，求AOD ∠的大小。 思路分析：利用正负角的概念结合角的运算求解。 答案：解：AOD ∠=AOB ∠+BOC ∠+COD ∠=?=?-+?+?-120)100(300)80(。 例题2 在ο0～ο 360之间,找出下列终边相同的角,并判定它们是第几象限角: （1）?-150；（2）?650；（3）'?-15950。 思路分析：把负角逆时针旋转一周或者几周，即可得到ο0～ο360之间的角，把超过ο360 的角顺时针旋转一周或者几周，即可得到ο0～ο360之间的角。 答案：（1）?=?+?-210360150，第三象限角； （2）?=?-?290360650，第四象限角； （3）95015360312945-?'+??=?'，第二象限角。 例题3 写出终边在下列位置上的角的集合。 （1）在坐标轴上； （2）在第三象限； （3）在第一和三象限； （4）在y 轴左方。 思路分析：（1）利用旋转的方法，选择0°开始，旋转k 个90°，即得坐标轴上的所有角；对于（2）（3）（4）表示某一区域内的角，可以选择这一区域边界上的一条射线或直线逆时针旋转到另一边界，然后将终边在两边界上的角的集合用不等式连接起来即可。 答案： （1）{} 90,k k Z αα=?∈o ； （2）{}180********,k k k Z αα-+?<<-+?∈o o o o ； （3）{}18090180,k k k Z αα?<<+?∈o o o ； （4）{}90360270360,k k k Z αα+?<<+?∈o o o o 。 【综合拓展】 当α是第一象限角时，请在坐标系内画出 3 α 所在的位置。 思路分析：根据α是第几象限角，表示出α的范围，进而求出3 α 的范围，再根据范围判断是第几象限角。 答案：以α是第一象限角为例： 第5章 三角函数 5.1 角的概念推广及弧度制（导学案） 【学习目标】 1. 知道角的定义， 2. 能进行角度和弧度的互化， 3. 知道象限角的定义，知道界限角的含义； 4. 会写出所有与角终边相同角的集合，能判断出任意角所在的象限. 【知识整理】 一、 任意角的概念 1．任意角的概念 平面内，一条射线绕着它的端点O 从一个位置旋转到另一个位置所形成 的图形，如图5.1-1所示，点是角的顶点，射线是角的始边，射 线是角的终边． 2．零角、正角、负角 (1) 零角：如果一条射线没有作任何旋转，也认为形成了一个角，叫做零角． (2) 正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角． (3) 负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．这样，我们就把角的概念推广到了任意角． 二、象限角与界限角 1．象限角： 将角放在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边落在第几象限，就称这个角是第几象限的角． 2．界限角：如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为界限角，它不属于任何象限． 3．象限角的集合 (1)第一象限的角的集合：Z . 2)第二象限的角的集合：{ }Z k k k ∈+⋅<<+⋅,180********| αα. (3)第三象限的角的集合：Z . (4)第四象限的角的集合：},360360270360|{Z k k k ∈+⋅<<+⋅ αα 4．界限角的集合 (5)终边在轴上的角的集合：Z . (6)终边在轴上的角的集合：},18090|{Z k k ∈⋅+ α . 三、 终边相同的角 αO αOA αOB αx {|k α36090360,k k α⋅<<+⋅∈}{|360180270360,k k k αα⋅+<<+⋅∈}x {|180,k k αα=⋅∈}y 角的概念的推广和弧度制、任意角的三角函数 【基础知识】 1．角的概念 (1)任意角： ①定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． (2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360° ＋α，k∈Z}． (3)象限角： ①定义：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那 么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限． ②分类：角按终边位置不同分为象限角和轴线角． 2．弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，正角的弧度数 是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零． (2)用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．|α|＝l r，l是以角α作为圆心 角时所对圆弧的长，r为半径．比值l r与所取的r的大小无关，仅与角的大小 有关． (3)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ π 180rad,1 rad＝? ? ? ? ? 180 π°. (4)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝1 2lr＝ 1 2|α|·r 2. 3．任意角的三角函数 (1)任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝y x.三个三角函数的初步性质如下表： 4．三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T. (Ⅱ) (Ⅲ)(Ⅳ) 为正弦线；有向线段OM为余弦线；有 [ 1．对角概念的理解要准确 (1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的 角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°<α 深圳雅文教育同步优化讲义 一、角的概念的推广、弧度制 ★知识归纳 1、正角、负角、零角的概念：平面内一条射线绕端点旋转产生正角、负角和零角. 2、终边相同的角 所有与α终边相同的角连同α在内构成集合：{} |360,S k k ββα==+?∈Z . 3、象限角 象限角的集合 第一象限: ； 第二象限: ； 第三象限: ； 第四象限: . 4、角的度量 （1）角度制：规定周角的 360 1 为1度的角，用度做单位来度量角的制度叫角度制. （2）弧度制：与半径等长的圆弧所对的圆心角称为1 rad （弧度）的角，用弧度做单位来度量角的制度叫 弧度制. 一般我们规定：正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. 显然，任意已知角α的弧度数的绝对值 r l =α（l 为弧长，r 为半径）. 角度与弧度之间的换算关系： π23600 =弧度， π=0 180 由此还可以得到 1801 =57.35718'rad π ≈= ， 1= 0.01745 180 rad rad π ≈ . 注意几点： （1）今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如：3表示3rad ， sin π表示πrad 角的正弦； （2）角度制与弧度制不能混用，如230,Z k k απ=+∈ 与 3 360,Z 2 k k βπ=?+ ∈ 均不准确. 5、角的概念推广之后，角的集合与实数的集合之间具有一一对应的关系 任意角的集合 ? 实数集R 6、正确理解角 “00090 ”间的角”指的是：0 0090α≤≤； “第一象限的角”是：{ } 36036090,k k k Z θθ?< 高中数学弧度制知识点 任意角与弧度制 知识梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角，记作：角或 可以简记成。 注意： （1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 例1、若，求和的范围。（0,45） （180,270） 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960 （2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ． 3、“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、30?；390?；?330?是第 象限角 300? 60是第 象限角 585? 1180?是第 象限角 2000是第 象限角。 例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④（填序号）. ①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③{第一象限的角} ④以上都不对 （2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（B） A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C 例3、写出各个象限角的集合： 例4、若是第二象限的角，试分别确定2,的终边所在位置. 解 ∵是第二象限的角。 ∴k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）. （1）∵2k·360°+180°＜2＜2k·360°+360°（k∈Z）。 任意角的概念与弧度制教案 一、概念解释 任意角是指角的顶点可以位于坐标系中的任意位置，而不仅仅局限于角的顶点位于原点或坐标轴上。在平面直角坐标系中，如果将角的顶点放在原点上，且不在坐标轴上，则该角为任意角。 在数学中，角的度量方式有两种，分别是度度量和弧度度量。本教案将重点介绍弧度制的概念与应用。 二、弧度制的定义 弧度制是一种用弧长来度量角的单位制度。弧度制中，角的度量用弧长与半径相等的弧所对应的弧度数表示。 三、弧度制与度度量的转换 1. 弧度制转度度量： 角度(度) = 弧度数× (180°/π) 2. 度度量转弧度制： 弧度数 = 角度(度) × (π/180°) 四、弧度制的优点 1. 精确性：弧度制可以更精确地表示小角度，保证计算结果的准确性。 2. 便利性：在三角函数的计算中，弧度制更便于推导与计算，使得 计算过程更加简洁。 3. 单位统一：由于弧度制是用弧长来度量角度的单位制度，使得角 度和长度的单位得到了统一。 五、任意角的弧度表示 在任意角中，以顺时针为正方向，角的弧度表示为正角度的弧度数。 六、弧度制在三角函数中的应用 在三角函数中，弧度制是最常用的单位制度。以下是几个常用三角 函数值对应的弧度制表示： 1. 正弦函数：sin(30°) = sin(π/6) = 0.5 2. 余弦函数：cos(45°) = cos(π/4) = 0.707 3. 正切函数：tan(60°) = tan(π/3) = √3 七、弧度制的练习与应用 1. 练习一： 求解以下各角的弧度制表示： a) 45° b) 60° c) 90° 2. 练习二： 根据题意求解下列三角函数的值（保留两位小数）： a) sin(π/4) b) cos(π/3) c) tan(π/6) 3. 应用一：计算角度为45°的正弦值 解答：sin(45°) = sin(π/4) = 0.707 4. 应用二：计算角度为60°的余弦值 解答：cos(60°) = cos(π/3) = 0.5 八、总结 通过本教案的学习，我们了解了任意角的概念以及其中的弧度制度 量方式。弧度制在数学计算中具有精确性、便利性和单位统一的优点，尤其在三角函数的计算中更加常用。通过练习和应用，我们可以更好 地理解和掌握弧度制的概念与应用。 弧度制导学案 引言 弧度制是一种用来度量角度的单位系统。相较于我们常用的度数制，弧度制在数学、物理和工程等领域具有重要的应用。本文档旨在介绍弧度制的定义、换算关系、使用方法以及常见应用。 一、弧度制的定义 弧度制是一种用弧长来度量角度的单位系统。定义如下： 1弧度（简写为1 rad）是半径为1的圆的弧所对应的角度。 即当圆的半径为1单位长度时，弧长等于半径的角度称为1弧度。 二、弧度与度数的换算 弧度制和度数制是常用的角度单位制度，它们之间的换算关系如下： 1弧度 = (180/π)度 1度 = (π/180)弧度 其中，π是圆周率，约等于3.14159。 应用实例： 1. 将60°转换为弧度。 根据换算关系可得：60°× (π/180) ≈ 1.0471 rad 因此，60°约等于1.0471弧度。 2. 将2π弧度转换为度数。 根据换算关系可得：2π× (180/π) ≈ 360° 因此，2π弧度约等于360°。 三、弧度的使用方法 弧度制在数学和物理中常用于计算角度的大小以及相关的三角函数。 1. 弧度制在三角函数中的应用 三角函数中角度的输入参数为弧度制。常见三角函数包括：正弦函数、余弦函数、正切函数等。 例如，sin(π/6)表示半径为1的圆上相对于x轴正向的角度为π/6弧度的点的y轴坐标。 2. 弧度制在角速度中的应用 角速度是表示物体旋转快慢的物理量，单位是弧度/秒。 例如，当一个物体以每秒2π弧度的角速度旋转时，它完成了一圈的运动。 四、弧度制的常见应用 1. 计算圆的弧长和扇形面积 使用弧度制可以简化圆的弧长和扇形面积的计算。 根据圆的弧长公式：弧长 = 半径×弧度 根据扇形面积公式：扇形面积 = 1/2 ×半径²×弧度 2. 物体的旋转学 弧度制在描述和计算物体的旋转学中起着重要作用。 例如，刚体的转动惯量和角动量的计算都需要使用弧度制。 结论 1对1个性化教案 学生 张彤 学 校 年 级 教师 张玉妮 授课日期 授课时段 课题 任意角与弧度制 重点 难点 教学步骤及教学内容 导入—【知识点回顾】 【错题再练】 【知识梳理】 一、角的概念推广 1、任意角的概念定义 在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向：顺时针方向和逆时针方向。习惯上规定，按 任意角的概念与弧度制 角的概念的推广 弧度制和弧度制与角度制的转换 正角、负角、零角 象限角 轴线角 终边相同的角 弧度制 弧长公式 扇形面积公式 弧度与角度的互化 角度化为弧度 弧度化为角度 特殊角的弧度 照逆时针旋转而成的角叫做正角；按照顺时针旋转而成的角叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。 角的概念经以上推广以后，就应该包括正角、负角、零角，也就是可以形成任意大小的角。判断角的正负关键是由终边的旋转方向是顺时针、逆时针还是没有旋转来确定。 在图中，射线OA 绕端点O 旋转到OB 位置所成的角，记作AOB ∠，其中OA 叫做AOB ∠的始边，OB 叫做AOB ∠的终边。 例题 （1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960 （2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3 π ． 课堂练习 1、在下列说法中： （1）时针经过两个小时，时针转过的角是60° （2）钝角一定大于锐角 （3）射线OA 绕端点O 按逆时针旋转一周所成的角是0° （4）小于90°的角都是锐角 其中错误说法的序号为（ ） 2、若 13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。（0,45） （180,270） 2、终边相同的角 设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为 {},360|Z k k S ∈︒⋅+==αββ。集合S 的每一个元素都与α的终边相等，当0=k 时，对应元素为α。 相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差︒360的整数倍。 例题 1、在︒︒360~0范围内，找出与︒-650角终边相同的角，并写出所有与︒-650终边相同的角的集合。 2、写出如图所示的直线上的角的集合 B O A ︒-120 ︒ 120 任意角的概念与弧度制 任意角的概念与弧度制 1、角的概念的推广： 角可以看作平面内一条射线绕端点从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)形成的图形.规定按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角：射线没有旋转时称零角.任意角的概念与弧度制 1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角. 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释： 角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义. 2.终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 要点诠释： (1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是 一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. (2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径. 3、弧度制的概念及换算： 规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.注意在用弧度制时，“弧度”或“rad”可以略去不写. 在半径为的圆中，弧长为的弧所对圆心角 为，则 所以，rad，(rad)，1(rad). 4、弧度制下弧长公式： ；弧度制下扇形面积公式. 类型一：象限角 1．已知角； (1)在区间内找出所有与角有相同终边的角； (2)集合，,那么两集合的关系是什么？ 解析：(1)所有与角有相同终边的角可表示为：， 则令， 得 解得，从而或 代回或. (2)因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合; 而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集 合，从而：. 总结升华：(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；(2)可对整数的奇、偶数情况展开讨论. 角度制与弧度制、三角函数的概念 一、知识梳理 1.角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. (2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式 3.任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0). (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线. 结论： 1.若α∈⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α. 2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量 制度必须一致，不可混用. 3.象限角的集合 4.轴线角的集合 二、例题精讲 + 随堂练习 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角.( ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然.( ) (3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.( ) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( ) 解析 (1)锐角的取值范围是⎝ ⎛ ⎭⎪⎫0，π2. (2)第一象限角不一定是锐角. (3)顺时针旋转得到的角是负角. (4)终边相同的角不一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.已知角α的终边过点P (8m ，3)，且cos α＝－4 5，则m 的值为( ) A.－12 B.12 C.－32 D.32 解析 由题意得m <0且8m (8m )2＋3 2＝－45，解得m ＝－1 2. 答案 A 任意角与弧度制教案 任意角与弧度制 【基础再现】 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角α，记作：角α或α ∠可以简记成α。 注意： （1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 【重点、难点、考点】 一、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角： （1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)(Z k k ∈个周角的和。 （2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 {}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ 即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意： 1、Z ∈k 2、α是任意角 3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角 有无数个，它们相差360°的整数倍。 4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 2、终边在坐标轴上的点： 终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ 3、终边共线且反向的角： 终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 第17讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. (2)分类:按旋转方向分为 、 和零角;按终边位置分为 和轴线角. (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S= . 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长度等于 的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度记作rad . (2)公式: 角α的弧度数的 绝对值 |α|=l r (弧长用l 表示) 角度与弧度的换 算 ①1°=π180 rad,②1 rad = 180 π ° 弧长公式 弧长l= 扇形面积公式 S=12lr=1 2|α|r 2 3.任意角的三角函数 (1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),则sin α= ,cos α= ,tan α=π π(x ≠0). (2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图3-17-1中的有向线段OM ,MP ,AT 分别称为角α的 、 和 . (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ) 图3-17-1 常用结论 象限角与轴线角 (1)象限角 (2)轴线角 题组一 常识题 1.[教材改编] 终边落在第一象限角平分线上的角的集合是 . 2.[教材改编] (1)67°30'= rad;(2)π 12= °. 3.[教材改编] 半径为120 mm 的圆上长为144 mm 的弧所对圆心角α的弧度数是 . 4.[教材改编] 若角α的终边经过点P (-1,2),则sin α-cos α+tan α= . 题组二 常错题 ◆索引:对角的范围把握不准;不能据函数值的符号确定角所在的象限;不熟悉角在不同象限时对应的三角函数值的符号;求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错. 5.在△ABC 中,若sin A=√2 2,则A= . 6.已知P (-√3,y )为角β的终边上的一点,且sin β=√13 13,则y= . 7.当α为第二象限角时, |sin π|sin π -cos π |cos π|的值是 .中职教育数学《角的概念推广》教案
必修4第一章任意角的概念与弧度制,三角函数定义
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