高二数学理科测试卷含答案

高二理科测试卷（摸底）

一 单项选择（本大题12小题，每小题5分，计60分）

1.对于命题p 和q ，若p 且q 为真命题，则下列四个命题： ① p 或q ?是真命题 ② p 且q ?是真命题 ③ ?p 且q ?是假命题 ④ ?p 或q 是假命题

其中真命题是（ ）

A. ①②

B. ③④

C. ①③

D.②④ 2. 已知命题p ：存在,Z x ∈使2

220x x ++≤ , 则p ?：( )

A.存在,Z x ∈使2

220x x ++> B.不存在,Z x ∈使2

220x x ++> C.对任意,Z x ∈都有2

220x x ++≤ D.对任意,Z x ∈都有2

220x x ++>

3. 若不重合的两个平面,αβ的法向量分别为,u v r r

且u r ∥v r ,则α与β的位置关系是( )

A.垂直

B.平行

C.相交

D.不确定 4.已知:12,:(3)0p x q x x <<-<,则P 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5.已知(1,0,2),(6,21,2),//,a b a b λλμλμ=+=-r r r r

若则与的值分别为( )

A ．2

1

,

51 B ．5，2 C ．11

,52

--

D ．-5，-2 6. 已知椭圆的两个焦点分别为F 1(0, -4), F 2(0, 4), F 1到椭圆上点的最短距离是2, 则这个椭圆的方程为（ ）

A.

2213620x y += B.22

12036

x y +=

C ．

22

13616x y += D ．

22

11636

x y +=． 7. 已知方程

22

141

x y m m +=-+表示双曲线,则m 的取值范围是（ ） A . m<-1 B . m>4 C .m<-1或m>4 D ．-1

8. 在同一坐标系中，方程2

2

2

2

1a x b y +=与2

0ax by +=（a ＞ｂ＞０）的曲线大致是（ ）

9. 在下列等式中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( )

A.2OM OA OB OC =--u u u u r u u u r u u u r u u u r

B.111532

OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r

C.0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r r

D.0OM OA OB OC +++=u u u u r u u u r u u u r u u u r r

10. 已知S 是ABC ?所在平面外一点, 0

,90SA ABC BAC ⊥∠=平面,2SA AB AC ==, E 、F 分别是SB 、AB 的中点,则异面直线AE 与CF 所成角的大小是（ ） A. 0

30 B. 0

60 C. 0

120 D. 0

150

11.在正方体1111ABCD A B C D -中,点P 是面11BB C C 内一动点,若点P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等,则动点P 的轨迹所在的曲线是( )

A ．直线

B ．圆

C ．双曲线

D ．抛物线

12.椭圆()222210x y a b a b

+=>>上一点P,若0

1260F PF ∠=,则这个椭圆的离心率的取值范围是

( )

A ．1(0,]2

B ．1[,1)2

C ．3

D ．3[

二填空题（本大题4小题，每小题4分，计16分）

13. .已知直线l 的方向向量为(1,1,1)s =-r ,平面π的法向量为(1,3,3)n x x =+-r ,若l ∥π,

则x =________.

14. 已知抛物线2

12y x a

=-

的通径长为2,则a =_______. 15.已知下列命题: (1)若a r ∥,b b r r ∥,0c b ≠r r r 且,则a r ∥c r

;(2)若?=?,则=;

(3) )()(?=?.则假命题的序号为__________.

16.P 是双曲线

22

1916

x y -=的右支上一点, 1F 、2F 分别为左、右焦点,则12PF F ?的内切圆的圆心横坐标为________.

二解答题（本大题共6小题，计74分）

17．（１２分）已知原命题P:若03,a b a ==且则+b=3

(1)写出P 的逆命题、否命题、逆否命题; (2)判断P 的否命题的真假,并说明理由.

18. （１２分）如图：空间四边形OABC 中，点,M G 分别是,BC AM 的中点.设

,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r

（1）用,,a b

c v v v

表示向量OG u u u r .

（2）若||||||a b c ===r r r 且a r 与b r 、c r 夹角的余弦值均为13

，b r 与c r 夹角为600

，求OG u u u u r

19.（１２分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 在x 轴的正半轴上,且F 到抛物线的准线的距离为p.

(1) 求出这个抛物线的方程; (2)若直线l 过抛物线的焦点F ，交抛物线与A 、B 两点, 且AB =4p ,求直线l 的方程.

20．（１２分）如图已知正四棱柱ABCD----A 1B 1C 1D 1，AB=1，AA 1=2，点E 为CC 1的中点，点F 为BD 1的中点。

（1）证明EF ⊥平面11D DB ; （2）求点A 1到平面BDE 的距离;

（3）求BD 1与平面BDE 所成的角的余弦值.

21. (12分) 如果双曲线1M 与双曲线2M 的焦点在同一坐标轴上且它们的虚轴长和实轴长的比值

相等,则称他们为平行双曲线.已知双曲线M 与双曲线

2

21164

x y -=为平行双曲线,且点(2,0)在双曲线M 上.

(1)求双曲线M 的方程;

(2) 设P 是双曲线M 上的任一点,点A 的坐标为(3,0),求｜PA ｜的最小值.

22.（１4分）如图，线段MN 的两个端点M 、N 分别在x 轴、y 轴上滑动，5=MN ,P 是线段

MN 上一点，且23

MP PN =u u u r u u u r

，点P 随线段MN 的运动而变化.

（1）求点P 的轨迹C 的方程；

（2）过点（2，0）作直线l ，与曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，设OS OA OB =+u u u r u u u r u u u r

,是否

存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线相等（即||||OS AB =）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.

参考答案

一 单项选择（本大题12小题，每小题5分，计60分）

二填空题（本大题4小题，每小题4分，计16分）

13．1； 14. 1或-1 ; 15.(2) (3) ; 16. 3

三解答题（本大题共6小题，计74分） 17.(1)逆命题: 3,03a b a b +===若则且 否命题: 03,3a b a b ≠≠+≠若或则

逆否命题: 3,03a b a b +≠≠≠若则或 ---------------------------------------(6分) (2) P 的否命题是假命题

由(1) 知P 的逆命题是假命题,反例:312a b a b +===当时，可能有且 P 的否命题和逆命题互为逆否命题,故P 的否命题是假命题------------(12分)

18. 解：（1）1()2OG OA OM =+u u u r u u u r u u u u r ,()

12

OM OB OC =+u u u u r u u u r u u u r

11

1244OG OA OB OC ∴=++u u u r u

u u r u u u r u u u r , 即111244OG a b c =++u u u r r r r

---(5分)

(2) 2

2

111()244OG a b c =++u u u u r r r r

＝()

222

1444216a b c a b a c b c +++?+?+?r r r r r r u r r r 又 a b c ===r r r

4

OG ∴=

u u u r

------------------------(12分) 19.(1) 抛物线的焦点F 的坐标为(,0)2p

抛物线的准线的方程为2

p

x =-

()212943334431616

OG ∴=?+++++=

u u u r

故抛物线的方程为22y px =-------------------------------------------------------(4分)

(2) 设直线l 的方程为2

p x my =+代入2

2y px =得222(2)04p x p pm x -++= 设1,122(),(,)A x y B x y ,则2122x x p pm +=+

故21212()()2222p p

AB x x x x p p pm =+++=++=+

由已知得222p pm +=4p , ∴m =±1 故直线l 的方程为22

p p

x y x y =+

=-+或 即 200x y p x y p --=+-=或2-------------------------------------------------(12分) 20.(1) 以D 为原点，DA 、DC 、AA 1所在直线

为X 、Y 、Z 轴建立空间直角坐标系. D(0，0，0)，B （1，1，0）

D 1（0，0，2），

E （0，1，1），

F （12，1

2，1

∴→

DB =（1，1，0），1DD =（0，0，2），

→

EF =（12，－12，0）

由 →DB ·→EF =0，1DD ·→

EF =0，

得，EF ⊥DB ，EF ⊥DD 1 ∴EF ⊥面D 1DB 1------------------------------------------------------(4分)

(2) 设n r =（x,y,z ）是平面BDE 的法向量，→DB =(1,1,0)，→

DE =(0,1,1) 由n r ⊥→DB , n r ⊥→

DE 得 ???=+=+00z y y x 即???-=-=y z y x

∴取y=1，n r

=（-1，1，-1）

(1,0,2)=u u u r

1DA ,由(2)知点1A 到平面BDE 的距离为 1DA n d n ?=u u u u r r r 分) (3) 1BD =(-1,-1,2)

由(2)知111cos ,3BD n BD n BD n

?<>==-

?u u u u r r

u u u u r r u u u u r r

设直线BD 1与平面BDE 所成的角的正弦值为θ,则sin θ=

32,cos θ=73

∴直线BD 1与平面BDE 所成的角的余弦值为

7

3

---------------------------(12分) 21.(1) 由题意可设双曲线M 的方程为

22

1(0)164x y k k k

-=> 又点(2,0) 双曲线M 在上, 40116k

∴

-=, 14k =

故双曲线M 的方程为2

214

x y -=-------------------------------------------------(5分)

(2) 22(,),(3)x y PA x y =-+设P 点坐标为则

2

2

(1)1,24

x y x =-≥由知

22

25124

(3)1()4455

x PA x x ∴=-+-=-+

故min 122

,,555

x PA PA =

=当时取最小值且------------------------------12分 22.解：（1）设),0(),0,(00y N x M ,P(x , y) 因为5=MN ，所以252

02

0=+y x （*）

又点P 是线段MN 上一点，且23

MP PN =u u u r u u u r

002

3

x x y x y y -=--则（，）（，）

0053

52x x y y ?=??∴?

?=??

将其代入（*）得14

92

2=+

y x 即为所求的方程------------------(6分) （2）OS u u u r OA OB =+u u u r u u u r

，所以四边形OASB 为平行四边形.

若存在l 使得|OS u u u r |=|AB u u u r

|，则四边形OASB 为矩形,0OA OB ?=u u u r u u u r .

若l 的斜率不存在，直线l 的方程为x =2

，由2222

194x x x y y ==??????+==????

得 160,09OA OB OA OB ∴?=>?=u u u r u u u r u u u r u u u r

与矛盾，故l 的斜率存在.

设l 的方程为),(),,(),2(2211y x B y x A x k y -=

12120OA OB x x y y ?=+=u u u r u u u r

则

0)1(3636)49(149

)2(222222=-+-+????

??=+-=k x k x k y x x k y 由

4

9)

1(36,49362

2212221+-=+=+∴k k x x k k x x ① )]2()][2([2121--=x k x k y y 4

920]4)(2[22

21212

+-=++-=k k x x x x k ②

把①、②代入2

3

02121±==+k y y x x 得

∴存在直线06230623:=-+=--y x y x l 或使得四边形OASB 的对角线相等 -------------------------------------------------------------------------------------(14分)