2017年高考理科数学全国卷1-答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

一、选择题 1.【答案】A

【解析】本题考查集合的运算及简单不等式的求解.由31x <,得0x <,所以{}|0B x x =<,故{| 0}A B x x =

【解析】本题考查几何概型.设正方形的边长为2,则正方形的内切圆半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为

2

π

,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率2228

P π

π==?,故选B . 3.【答案】B

【解析】本题考查复数的计算和命题真假的判断.对于命题1p ,设(,)z a bi a b =+∈R ,由

22

11a bi z a bi a b -==∈++R ,得0b =,则z ∈R 成立,故命题1p 正确；对于命题2p ,设(,)z a bi a b =+∈R ,由222()2z a b abi =-+∈R ,得0a b =g ,则0a =或0b =,复数z

可能为实数或纯虚数,故命题2p 错误；对于命题3p ,设1(,)z a bi a b =+∈R ,

2(c,d )z c di =+∈R ,由12()()z z ac bd ad bc i =-++∈R g ,得0ad bc +=,不一定有

12z z =,故命题3p 错误；对于命题4p ,设(,)z a bi a b =+∈R ,则由z ∈R ,得0b =,所以

z a =∈R 成立,故命题4p 正确.故选B .

4.【答案】C

【解析】本题考查等差数列基本量的计算与性质的综合应用.等差数列{}n a 中,

166()482

a a n

S +=

=,则162516a a a a +==+,又4524a a +=,所以42224168a a d -==-=,得4d =,故选C . 5.【答案】D

【解析】本题考查利用函数的性质求解不等式.已知函数()f x 在(,)-∞+∞上为单调递减函数,且为奇函数,则(1)(1)1f f -=-=,所以原不等式可化为(1)(x 2)(1)f f f ≤-=≤-,则

121x -≤-≤,即13x ≤≤,故选D .

6.【答案】C

【解析】本题考查二项式定理中项的系数问题.对于621

(1)(1)x x

+

+,若要得到2x 项,可以在21(1)x +中选取1,此时6(1)x +中要选取含2x 的项,则系数为26C ；当在21(1)x +中选取21x

时,

6(1)x +中要选取含4x 的项,即系数为46C ,所以,展开式中2x 项的系数为246630C C +=,故选

C .

7.【答案】B

【解析】本题考查立体几何中的三视图问题.由多面体的三视图还原直观图如图.该几何体

由上方的三棱锥A BCE -和下方的三棱柱11BCE B C A -构成,其中面11CC A A 和面11BB A A

是梯形,则梯形的面积之和为(24)2

122

+?=.故选B . 8.【答案】D

【解析】本题考查程序框图问题.本题求解的是满足32 1 000n n ->的最小偶数,可判断出循环结构为当型循环结构,即满足条件要执行循环体,不满足条件要输出结果,所以判断语句应为 1 000A ≤,另外,所求为满足不等式的偶数解,因此中语句应为2n n =+,故选D .

9.【答案】D

【解析】本题考查三角函数的诱导公式及图象变换.首先利用诱导公式化异名为同名.

22sin(2)cos(2)cos(2)cos[2()]332612

y x x x x πππππ=+

=+-=+=+,由cos y x =的图象得到cos2y x =的图象,需将曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

,纵坐标不变；由cos2y x =的图象得到cos[2()]12

y x π

=+

的图象,需将cos2y x =的图象上的各点向左平移

12

π

个单位长度,故选D . 10.【答案】A

【解析】如图所示,设直线AB 的倾斜角为θ,过A ,B 分别作准线的垂线,垂足为1A ,1B ,则

1||=||AF AA ,1||=||BF BB ,过点F 向1AA 引垂线FG ,得

||||cos ||||

AG AF p

AF AF θ-==, 则||=

1cos p AF θ-,同理,||=1cos p

BF θ

+,

则22||||||sin p AB AF BF θ=+=,即2

4

||sin AB θ

=, 因l 与2l 垂直,故直线DE 的倾斜角为2

π

θ+

或2

π

θ-

,

则2

4||cos DE θ

=,则222222444416

||||1

sin cos sin cos sin 2(sin 2)2

AB DE θθθθθθ+=+===

, 则易知||||AB DE +的最小值为16.故选A . 11.【答案】D

【解析】由235x y z ==,可设23535(2)(3)(5)x y z t ===,因为x ,y ,z 为正数,所以1t >,因为636228==,6236339==,所以323<；因为105102232==,510525=,所以525>,所以53523<<.分别作出(2)x y =,3(3)x y =,5(5)x y =的图像,如图.则

325y x z <<,故选D .

12.【答案】A

【解析】本题考查了等比数列求和、不等式以及逻辑推理能力.不妨设

11(12)(122)(122)2n t m -+++???+++???++++???=(其中m 、n 、t ∈N ,0t n ≤≤),

则有(1)

12

n n N t +=

++,因为100N >,所以13n ≥. 由等比数列的前n 项和公式可得1122212n t m n ++--+-=. 因为13n ≥,所以22n n >+,

所以1222n n n +>++,即1222n n n +--> 因为1210t +->,

所以12222m n n n +>-->,故1m n ≥+,

因为112121t n ++-≤-,所以2223m n n +≤--,故1m n ≤+. 所以1m n =+,从而有t 123n +=-,因为13n ≥,所以3t ≥. 当3t =时,95N =,不合题意；

当4t =时,440N =,满足题意,故所求的最小值为440. 二、填空题 13.【答案】23

【解析】本题考查向量数量积的计算.由题意知1

||||cos602112

=?=??

=g g a b a b ,则2222|2|(2)||4||444412+=+=++=++=g a b a b a b a b .所以|2|23+=a b .

14.【答案】5-

【解析】本题考查利用线性规划求解最值.由约束条件作出可行域,如图阴影部分所示.平移

直线320x y -=可知,目标函数32z x y =-在A 点处取最小值,又由21,

21x y x y +=??+=-?解得

1,

1,x y =-??=?

即(1,1)A -,所以min 3(1)215z =?--?=-. 15.【答案】

23

【解析】本题考查双曲线的几何性质和圆的性质.不妨设点M 、N 在渐近线b

y x a

=

上,如图,AMN △为等边三角形,且||AM b =,则A 点到渐近线b y x a

=的距离为3

b ,又将

b

y x a

=变形为一般形式为0bx ay -=,则(,0)A a 到渐近线0bx ay -=的距离

22

ab d c a b =

=

+,所以32ab b c =,即32a c =,所以双曲线离心率233

c e a ==.

16.【答案】415

【解析】由题意知折叠以后三棱锥的直观图如图所示.连接CO 并延长交AB 于H ,连接DO 、

DH .则DO ⊥平面ABC .令 cm OH x =,则2 cm OC x =,(5) cm DH x =-,得

2

2

(5)2510 cm OD x x x =--=-,2 3 cm AB =.

则22311

( 23 3) 25103 25101552 cm 32

D ABC V x x x x x x x -=-=-=-g g g g ,令2

()1552f x x

x =-,则22

15(105)

()15(252 )5252x x f x x x x x x

-'=-+=--g ,则当(0,2)x ∈时,()f x 单调递增,当(2,2.5)x ∈时,()f x 单调递减,所以当2x =时,体积取最大

值,为3345415 cm ??=.

三、解答题

17.【答案】解：(1)由题设得2

1sin 23sin a ac B A =,即1sin 23sin a c B A =.

由正弦定理得

1sin sin sin 23sin A

C B A =. 故2

sin sin 3

B C =.

(2)由题设及(1)得1cos cos sin sin 2B C B C -=-,即1cos()2

B C +=-. 所以23B C π+=

,故3

A π

=. 由题设得2

1sin 23sin a bc A A

=,即8bc =.

由余弦定理得229b c bc +-=,即2

()39b c bc +-=,得33b c +=. 故ABC ?的周长为333+.

【解析】本题考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式及其综合应用. 18.【答案】解：(1)由已知90BAP CDP ∠=∠=o ,得AB AP ⊥,CD PD ⊥. 由于//AB CD ,故AB PD ⊥,从而AB ⊥平面PAD . 又AB ?平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PAD .

(2)在平面PAD 内作PF AD ⊥,垂足为F . 由(1)可知,AB ⊥平面PAD ,故AB PF ⊥, 可得PF ⊥平面ABCD .

以F 为坐标原点,FA u u u r

的方向为x 轴正方向,||AB uuu r 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标

系F xyz -.

由(1)及已知可得2222(

,0,0),(0,0,),(,1,0),(,1,0)2222

A P

B

C -

所以2222(,1,),(2,0,0),(,0,),(0,1,0)2222

PC CB PA AB =--==-=u u u r u u u r u u u r u u u

r

设(,,)n x y z =是平面PCB 的法向量,则

0,0,n PC n CB ??=???=??u u u r u u u r 即220,2220.

x y z x ?-

+-=??

?=?

可取(0,1,2)n =--.

设(,,)m x y z =是平面PAB 的法向量,则

0,0,m PA m AB ??=???=??u u u r u u u r 即220,

0.

x z y ?-=??=?

可取(1,0,1)m =.

则cos ,||||n m n m n m <>=

=g .

所以二面角A PB C --的余弦值为3

-

【解析】本题考查了立体几何中面面垂直的证明和二面角问题.

19.【答案】(1)抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.997 4,从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.002 6,故~(16,0.0026)X B ,因此

16(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-≈.

X 的数学期望为160.00260.0416EX =?=.

(2)(i )如果生产状态正常,一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.002 6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.

(ii )由9.97,0.212x s =≈,得μ的估计值为?9.97,μ

σ=的估计值为?0.212σ=,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在????(3,3)μ

σμσ-+之外,因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除????(3,3)μ

σμσ-+之外的数据9.22,剩下数据的平均数为1

(169.979.22)10.0215

?-=,因此μ的估计值为10.02.

16

2221

160.212169.971591.134i

i x

==?+?≈∑,剔除

????(3,3)μ

σμσ-+之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为, 221

(1591.1349.221510.02)0.00815

--?≈,因此σ0.09≈. 【解析】本题考查了统计与概率中的二项分布和正态分布的性质及应用.

20.【答案】(1)由于34,P P 两点关于y 轴对称,故由题设知C 经过34,P P 两点. 又由

222211134a b a b

+>+知,C 不经过点1P ,所以点2P 在C 上. 因此2221

1,131,4b a b ?=????+=??解得22

4,

1.a b ?=??=?? 故C 的方程为2

214

x y +=.

(2)设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为12,k k .如果l 与x 轴垂直,设:l x t =,由题设知

0t ≠,且||2t <,可得,A B

的坐标分别为(,,22

t t -.

则1222

122k k t t +=-=-,得2t =,不符合题设.

从而可设:(1)l y kx m m =+≠.将y kx m =+代入2

214x y +=得

222(41)8440k x kmx m +++-=.

由题设可知2

2

16(41)0k m ?=-+>.

设1122(,),(,)A x y B x y ,则2121222844

,4141

km m x x x x k k -+=-=

++. 而121212

11

y y k k x x --+=

+ 1212

11kx m kx m x x +-+-=

+

121212

2(1)()

kx x m x x x x +-+=

,

由题设121k k +=-,故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.

即222

448(21)(1)04141

m km

k m k k --++-=++g g . 解得12

m k +=-

. 当且仅当1m >-时,0?>,于是1

:2

m l y x m +=-+, 即()1

122

m y x ++=-

-, 所以l 过定点(2,1)-.

【解析】解析本题考查了圆锥曲线的方程以及圆锥曲线与直线位置关系中的定点问题. 21.【答案】(1)()f x 的定义域为(,)-∞+∞,2()2(2)1

x x f x ae a e '=+--(1)(21)x x ae e =-+.

(i )若0a ≤,则()0f x '<,所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. (ii )若0a >,则由()0f x '=的ln x a =-. 当(,ln )x a ∈-∞-时,()0f x '<； 当(ln ,)x a ∈-+∞时,()0f x '>

所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减,在(ln ,)a -+∞单调递增. (2)(i )若0a ≤,由(1)知,()f x 至多有一个零点.

(ii )若0a >,由(1)知,当ln x a =-时,()f x 取得最小值,最小值为1

(ln )1ln f a a a

-=-+. 当1a =时,由于(ln )0f a -=,故()f x 只有一个零点；

当(1,)a ∈+∞时,由于1

1ln 0a a

-+>,即(ln )0f a ->,故()f x 没有零点； 当(0,1)a ∈时,1

1ln 0a a

-+<,即(ln )0f a -<. 又4

22(2)(2)2220f ae

a e e ----=+-+>-+>,故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点.

设正整数0n 满足03ln(1)n a

>-,

则00000000()(2)20n

n

n

n

f n e ae a n e n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a

->-,因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点. 综上,a 的取值范围为(0,1).

【解析】本题考查了利用导数讨论函数的单调性和函数的零点问题.

22.【答案】解：(1)曲线C 的普通方程为.

当1a =-时,直线l 的普通方程为430x y +-=.

由22

430,1

9x y x y +-=???+=??解得3,0x y =??=?或21,

25

24.25x y ?

=-????=??

从而C 与l 的交点坐标为2124

(3,0),(,)2525

-

. (2)直线l 的普通方程为440x y a +--=,故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为

d =

.

当4a ≥-时,d

=所以8a =； 当4a <-时,d

,

=所以16a =-. 2

219

x y +=

综上,8a =或16a =-.

【解析】本题考查参数方程的应用.

23.【答案】解：(1)当时,不等式()()f x g x ≥等价于

2|1||1|40x x x x -+++--≤. ①

当1x <-时,①式化为2340x x --≤,无解；

当11x -≤≤时,①式化为220x x --≤,从而11x -≤≤； 当1x >时,①式化为240x x +-≤,

从而112

x -+<≤

. 所以()()f x g x ≥的解集为1{|1}2

x x -+-≤≤. (2)当[1,1]x ∈-时,()2g x =.

所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-,等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.

又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一,所以(1)2f -≥且(1)2f ≥,得

11a -≤≤.

所以a 的取值范围为[1,1]-. 【解析】本题考查参数方程的应用.

1a =