2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷2

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2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）

理科数学

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域

内。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.

31i

i

+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -

2. 设集合{}1,2,4A =，{}

2

40B x x x m =-+=．若{1}A

B =，则B =（ ）

A ．{}1,3-

B ．{}1,0

C ．{}1,3

D ．{}1,5 3. 我国古代数学名着《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共

灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由

一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）

A ． 90π

B ．63π

C ．42π

D ．36π

5. 设x ，y 满足约束条件2330

233030x y x y y +-≤??

-+≥??+≥?

，则2z x y =+的最小值是（ ）

A ．15-

B ．9-

C ．1

D ．9 6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安

排方式共有（ ）

A ．12种

B ．18种

C ．24种

D ．36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2

位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

9. 若双曲线C:22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆

()

2

224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）

A ．2 B

C D ．

3

10. 已知直三棱柱111ABC A B C -中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直

线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）

A 11. 若2x =-是函数2

1`

()(1)x f x x ax e

-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）

A.1-

B.3

2e -- C.3

5e - D.1 12. 已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ?+的

最小值是（ ） A.2- B.32-

C. 4

3

- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X

表示抽到的二等品件数，则D X = ． 14. 函数(

)23sin 4f x x x =+-

（0,2x π??

∈????

）的最大值是 ． 15. 等差数列{}n a 的前项和为n S ，33a =，410S =，则

11

n

k k

S ==∑ ． 16. 已知F 是抛物线C ：2

8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．

若M 为F N 的中点，则FN = ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分）

ABC ?的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知2

sin()8sin 2

B

A C +=， （1）求cos

B ；

（2）若6a c +=，ABC ?的面积为2，求b ． 18.（12分）

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率分布直方图如下：

（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,

新养殖法的箱产量不低于50kg ”,估计A 的概率；

（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

19.（12

分）

如

图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，

o 1

,90,2

AB BC AD BAD ABC ==

∠=∠= E 是PD 的中点. （1）证明：直线//CE 平面PAB

（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45 ，求二面角

M AB D --的余弦值

20. （12分）

设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2

212

x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =

.

（1）求点P 的轨迹方程；

（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ?=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过

C 的左焦点F .

21.（12分）

已知函数()2

ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。

（1）求a ；

（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2

202e

f x --<<.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．

（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ?=,求点P 的

轨迹2C 的直角坐标方程；

（2）设点A 的极坐标为(2,

)3

π

，点B 在曲线2C 上，求OAB ?面积的最大值．

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知3

3

0,0,2a b a b >>+=，证明： （1）5

5()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．

2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2

理科数学参考答案

一、选择题：

1. D

2. C

3. B

4. B

5. A

6. D

7. D

8. B

9. A

10. C 11. A 12. B

二、填空题：

13. 1.96

14. 1

15.

21

n

n + 16. 6

三、解答题： 17.（12分）解：

（1）由题设及A B C π++=得2

sin 8sin 2

B

B =，故 上式两边平方，整理得 217cos 32cos 150B B -+= 解得 15cosB=cosB 17

1（舍去），= （2）由158cosB sin B 1717==

得，故14

sin 217

ABC S ac B ac ?== 又17

=22

ABC S ac ?=，则

由余弦定理及a 6c +=得 所以2b =

18.（12分） 解：

（1）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”， C 表示事件“新养殖法的箱产量

不低于50kg ”.

由题意知()()()()P A P BC P B P C == 旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为

(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62++++?=，

故()P B 的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为

(0.0680.0460.0100.008)50.66+++?=，

故()P C 的估计值为0.66

因此，事件A 的概率估计值为0.620.660.4092?= （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

由于15.705 6.635>，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。 （3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图面积为

(0.0040.0200.044)50.340.5++?=<，

箱产量低于55kg 的直方图面积为

(0.0040.0200.0440.068)50.680.5+++?=>，

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 19.（12分） 解：

（1）取PA 的中点F ，连接,EF BF ，

因为E 是PD 的中点， 所以//EF AD ，1

2

EF AD =

由90BAD ABC ∠=∠= 得//BC AD ， 又1

2

BC AD =

， 所以//EF BC ，

四边形BCEF 是平行四边形，//CE BF ， 又BF ?平面PAB ，CE ?平面PAB ， 故//CE 平面PAB

（2）由已知得BA AD ⊥，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，||AB 为单位长，

建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则

(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),A B C P ，

设(,,)(01)M x y z x <<，则

因为BM 与底面ABCD 所成的角为45，而

(0,0,1)n =是底面ABCD 的法向量，

所

以

2

||

o 1B

n y

<>

=

+，

即222

(1)0x y z -+-=

①

又M 在棱PC 上，设PM PC λ=，则

,1,x y z λ===

②

由①，②解得121,2x y z ?=+???=???=-??（舍去）

，121,2x y z ?=-?

??

=??

?=??

所以(122M -

，从而2(1,1,22

AM - 设000(,,)m x y z =是平面ABM 的法向量，则

0,0,

m AM m AB ?=??

=?

?

即0000(22)0,0,x y x ?+=?

?=?? 所以可取(0,2)m =，

于是10

cos ,||||5

m n m n m n

<>=

=

因此二面角M AB D --

的余弦值为5

20. （12分） 解：

（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，

则000(,0),(,),(0,)N x NP x x y NM y =-=

由2NP NM =

得

00,2

x x y y ==

因为00(,)M x y 在C 上，所以22

122

x y += 因此点P 的轨迹方程为2

2

2x y += （2）由题意知(1,0)F -

设(3,),(,)Q t P m n -，则

(3,),(1,),33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---=+-，

由1OQ PQ =得22

31m m tn n --+-=

又由（1）知22

2m n +=，故 所以0OQ PF =，即OQ PF ⊥. 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，

所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 21.（12分） 解：

（1）()f x 的定义域为(0,)+∞

设()ln g x ax a x =--，则()(),()0f x xg x f x =≥等价于()0g x ≥ 因为(1)0,()0g g x =≥， 故(1)0g '=， 而1

(),(1)1g x a g a x

''=-=-， 得1a =

若1a =，则1()1g x x

'=-

当01x <<时，()0,()g x g x '<单调递减； 当1x >时，()0,()g x g x '>单调递增

所以1x =是()g x 的极小值点，故()(1)0g x g ≥= 综上，1a =

（2）由（1）知2

()ln ,()22ln f x x x x x f x x x '=--=--

设()22ln h x x x =--，则1()2h x x

'=-

当1(0,)2x ∈时，()0h x '<；当1(,)2

x ∈+∞时，()0h x '>.

所以()h x 在1(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增.

又2

1()0,()0,(1)02h e h h -><=，所以()h x 在1(0,)2有唯一零点0x ，在1[,)2

+∞有唯

一零点1，且当0(0,)x x ∈时，()0h x >；当0(,1)x x ∈时，()0h x <；当(1,)x ∈+∞时，()0h x >.

因为()()f x h x '=，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点. 由0()0f x '=得00ln 2(1)x x =-，故000()(1)f x x x =-. 由0(0,1)x ∈得01

()4

f x <

. 因为0x x =是()f x 在(0,1)的最大值点，由1

1

(0,1),()0e f e --'∈≠得

120()()f x f e e -->=.

所以2

20()2e

f x --<<

（二）选考题： 22.解：

（1）设P 的极坐标为(,)(0)ρθρ>，M 的极坐标为11(,)(0)ρθρ>.

由题设知14||,||cos OP OM ρρθ

===

由||||16OM OP =得2C 的极坐标方程4cos (0)ρθρ=> 因此2C 的直角坐标方程为2

2

(2)4(0)x y x -+=≠

（2）设点B 的极坐标为(,)(0)B B ρθρ>.

由题设知||2,4cos B OA a ρ==， 于是OAB ?面积

2≤+

当12

a π=-

时，S 取得最大值2+

所以OAB ?面积的最大值为2 23.解：

（1）5

5

6

5

5

6

()()a b a b a ab a b b ++=+++ （2）因为3

3

2

2

3

()33a b a a b ab b +=+++

所以3()8a b +≤，因此2a b +≤.