2017年全国I卷理科数学
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
=一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的。
1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则
A .{|0}A
B x x =< B .A B =R
C .{|1}A B x x =>
D .A B =? 【考点】:集合的简单运算,指数函数 【思路】:利用指数函数的性质可以将集合B 求解出来,之后利用集合的计算求解即可。 【解析】:由310x x <,解得{}0B x x =<,故而{}{}
0,1A B B x x A B A x x ?====<,选A 。 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是
A .
14
B .
π
8
C .12
D .
π4
【考点】:几何概型
【思路】:几何概型的面积问题,=
P 基本事件所包含的面积
总面积
。
【解析】:()21212=8
2r S P S r ππ
==
,故而选B 。 3.设有下面四个命题
1p :若复数z 满足1
z
∈R ,则z ∈R ;
2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =;
4p :若复数z ∈R ,则z ∈R .
其中的真命题为 A .13,p p
B .14,p p
C .23,p p
D .24,p p
【考点】:复数,简易逻辑 【思路】:将四个命题中的复数分别用基本形式假设即可。
【解析】1:p 设z a bi =+,则22
11a bi
z a bi a b -==∈++R ,得到0b =,所以z ∈R .故1P 正确; 2:p 若z =-21,满足2z ∈R ,而z i =,不满足2z ∈R ,故2p 不正确;
3:p 若1z 1=,2z 2=,则12z z 2=,满足12z z ∈R ,而它们实部不相等,不是共轭复数,故3p 不正确; 4:p 实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故4p 正确;
4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为 A .1 B .2 C .4 D .8
【考点】:等差数列,难度较小。 【思路】:将求和公式化简即可得到公差。 【解析】:()166********
a a S a a +==?+=,
451824a a a a +=+=,作差86824a a d d -==?=
故而选C 。
5.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是
A .[2,2]-
B .[1,1]-
C .[0,4]
D .[1,3] 【考点】:函数不等式,函数的单调性。 【思路】:奇函数左右两侧单调性相同,根据奇函数的性质求解()11f -=,利用单调性代入不等式即可。 【解析】:()()()()12112112113f x f f x f x x -≤-≤?≤-≤-?-≤-≤?≤≤故而选D 。 6.6
2
1(1)(1)x x
+
+展开式中2x 的系数为 A .15 B .20
C .30
D .35
【考点】:二项式定理。 【思路】:将()6
1x +的通项求解出来即可。
【解析】:16r r r T C x +=可得整体的通项6r r C x 、26r r C x -,26215r r r C x x =?=,2
26415r r r C x
x -=?=,故而可得2x 的系数为为30,故选C 。
7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为
A .10
B .12
C .14
D .16
【考点】:立体图形的三视图,立体图形的表面积。 【思路】:将三视图还原即可。
【解析】:将三视图还原可得右图图形,故而多面体有两个面是梯形,此时可得()1
2242122
S =?+?=,故而选B 。
8.右面程序框图是为了求出满足3n ?2n
>1000的最小偶数n ,那么在和
两个空白框中,可以分别填
入
A .A >1 000和n =n +1
B .A >1 000和n =n +2
C .A ≤1 000和n =n +1
D .A ≤1 000和n =n +2 【考点】:程序框图。 【思路】:此题的难点在于考察点的不同,考察判断框和循环系数。根据判断条件可得为当型结构,故而判断框中应该是A ≤1 000,又题目要求为最小偶数,故而循环系数当为n =n +2。 【解析】:选D 。 9.已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =sin (2x +
2π
3
),则下面结论正确的是
A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π
6
个单位长度,得到曲线C 2
B .把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度,得到曲线C 2
C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π
6
个单位长度,得到曲线C 2
D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的
12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度,得到曲线C 2
【考点】:三角函数的变换。 【思路】:熟悉两种常见的三角函数变换,先变周期和先变相位不一致。
常用公式:x x cos )2sin(
=-π,x x cos )2sin(=+π,x x sin )2cos(=-π,x x sin )2cos(=-π
C 2:y =sin (2x +2π3
))62cos()2322(cos π
ππ+=-+=x x
C 1:y =cos x ,)]12
(2cos[2cos π
+
=→=→x y x y
把C 1上各点的横坐标缩短到原来的
12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度,得到曲线C 2
【解析】:选D 。
(2017全国1)10.已知F 为抛物线C :y 2
=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C
交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为 A .16 B .14 C .12 D .10 【考点】:抛物线与直线的位置关系。 【思路】: 方法一:
由题意可得两条直线的斜率一定存在且不为0,分别假设为k 和
1
k
,故而可得()1:1l y k x =-,联立()()2222212404y k x k x k x k y x
?=-??-++=?=??,假设()()1122,,,A x y B x y ,故而根据韦达定理可得212222442k x x k k ++==+,此时122
44AB x x p k
=++=+,同理可得2
44DE k =+,故而2
24848816
AB DE k k +=++≥+=,当且仅当2224411k k k k
=?=?=±时取等号。 【解析】:选A 。
方法二:
设AB 倾斜角为θ.作1AK 垂直准线,2AK 垂直x 轴,
易知1
1cos 22?
??+=??
=??
???=--= ?????
AF GF AK AK AF P P GP P
θ(几何关系)
(抛物线特性),cos AF P AF θ?+=∴,
同理
1cos P AF θ=-,1cos P BF θ=+,∴22221cos sin P P
AB θθ
==-,
又DE 与AB 垂直,即DE 的倾斜角为π
2
θ+,
2222πcos sin 2P P
DE θθ==
??+ ???
,而24y x =,即2P =. ∴22
112sin cos AB DE P θθ??+=+ ???2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=24
1sin 24
=
θ21616sin 2θ=≥, 当且仅当π
4
θ=取等号,即AB DE +最小值为16,故选A ;
另: 1cos sin 22=+θθ,16)cos 1
sin 1)(
cos (sin 42
22
2≥++θ
θθθ 222
221
1(11)22816sin cos sin cos AB DE P P P θθθθ+??+=+≥?== ?+??
,当且仅当π4θ=取等号,故选A ;
11.设xyz 为正数,且235x y z ==,则
A .2x <3y <5z
B .5z <2x <3y
C .3y <5z <2x
D .3y <2x <5z 【考点】:指对运算与不等式,计算量较大。 【解析】:令235x y z ==m =分别可求得
2
2
2log 1log
log 22m
m m x =
==,3
33
33log 1log log 33m
m
m y =
==,5
55
55log 1log log 55m
m
m z =
==
8)2(6=,36332,9)2(<=,32)2(10=,25)5(105=,255<,∴35325<<,
∴3y <2x <5z ,故而选D 。
(2017新课标)12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴
趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已
知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20
,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22
,依此类推。求满足如下条件的最小整数N :N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是
A .440
B .330
C .220
D .110 【考点】:行列式(杨辉三角)求和问题,计算量较大。 【思路】:将已知的数列列举成行列式的形式,
02 第一行,1个数,求和为121-
0212 第二行,2个数,求和为221- 021222 第三行,3个数,求和为321- 02122232 第四行,4个数,求和为421- 021******* 第五行,5个数,求和为521-
故而可得,第n 行,n 个数,求和为21n -,因此前n 行,一共有
()12
n n +个数,求和为122n n +--
根据上面的分析,我们可以类推得到, 设首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推.设第n 组的项数为n ,则n 组
的项数和为()12n n +,由题,100N >,令()
11002n n +>→14n ≥且*n ∈N ,即N 出现在第13组之后,第
n 组的和为122112n
n -=--,n 组总共的和为()
2122212
n n n n --=---,若要使前N 项和为2的整数幂,第
1+n 组前k 项和为21k
-
21k
-应与2n --互为相反数,即
()*21214
k n k n -=+∈N ,≥,()2log 3k n =+,295n k ==,,则()291295440
2N ?+=+=,故选A ;
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=1,则| a +2 b |=________ 【考点】:向量的模长。 【思路】:牢记求解模长问题利用平方的思路,直接将所求的内容进行平方即可。
【解析】:222
1
24444421122
a b a b a b +=++?=++???
=,故而模长为223a b +=。 14.设x ,y 满足约束条件21210x y x y x y +≤??
+≥-??-≤?
,则32z x y =-的最小值为 .
【考点】:简单的线性规划。 【思路】:根据约束条件,画出可行域即可。
【解析】:如图所示,可行域为阴影部分,令03
320:2
z x
y l y x =-=?=
为初始直线,当0l 向上平移时,32z x y =-逐渐变小,故而在点()1,1F -处取到最小值-5。
【法二】由线性规划知,32z x y =-在可行域的端点取到,即211
(1,1)211
x y x A x y y +==-????-?
?+=-=??,
325A z x y =-=-,10113(,)211
333x x y B x y y ?=?-=?????
?+=-??=??
,1323B z x y =-=, 21111
(,)0133x y x C x y y +=-=-????--?
?-==??,1323C z x y =-=-,{}min min ,,5A B C z z z z ==-;
15.已知双曲线C :22
221x y a b
-=(a >0,b >0)的右顶点为A ,以A 为圆心,b 为半
径做圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点。若∠MAN =60°,则C 的离心率为________。
【考点】:圆锥曲线离心率问题。 【思路】:利用角度计算可得答案。 【解析】:如图所示,过点A 作渐近线的垂线AB ,由6030M A N B A N ∠=??∠=?,
又
,AM b AB OA a OB =?==?=,故而
tan b
BOA a
∠==
,解得22133b e a =?==。 16.如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5 cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O 。D 、E 、F 为圆O
上的点,△DBC ,△ECA ,△FAB 分别是以BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后,分别以BC ,CA ,AB 为折痕折起△DBC ,△ECA ,△FAB ,使得D 、E 、F 重合,得到三棱锥。当△ABC 的边长变
化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3
)的最大值为_______。
【考点】:立体几何体积计算,函数与导数综合。
【解析一】:由题,连接OD ,交BC 与点G ,由题,OD BC ⊥
,OG BC =
,
即OG 的长度与BC 的长度或成正比,设OG x =
,则BC =,5DG x
=-
三棱锥的高h =
,21
32
ABC S x =?
=△,
则2
13ABC V S h =?=
△,令()452510f x x x =-,5(0,)2
x ∈,
()34
10050f x x x '=-,令()0f x '>,即4320x x -<,2x <,则()()280f x f =≤,
则V ,
∴
体积最大值为3.
【解析二】:根据题意可得△DBC ,△ECA ,△FAB 分别全等,故而可得三棱锥是正三棱锥,斜高即为三个
三角形的高,即为,高为OD (右图)。不妨设三角形ABC
的边长为(0a a <<
,此时在左图中,
,5,503333OG a DG R OG a =
=-=-->?<<,故而正三棱锥的高
'OD ==
根据体积公式可得2'13D ABC V -=
=假设(
)(
)45325'50233f a a a f a a a ??=-?=- ? ???
,故而当a =
3
。
根据体积公式可得2
'
1
3
D ABC
V
-
==
设(
)(
)
453
25'502
33
f a a f a a
??
=-?=-
?
?
??
,故而当a=
3。
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考
生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(2017新课标)(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
2
3sin
a
A (1)求sin
B sin C;
(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.
【考点】:解三角形。
【思路】:根据三角形面积公式可以求得第一问,第二问直接利用余弦定理求解即可。
【解析】:(1)由题意可得
2
1
sin
23sin
ABC
a
S bc A
A
?
==,化简可得22
23sin
a bc A
=,根据正弦定理化简可得:22
2
2sin3sin sinCsin sin sinC
3
A B A B
=?=。
(2)由()
2
sin sinC
12
3cos cos sin sinC cos cos
123 cos cos
6
B
A A
B B B
C A
B C
π?
=
??
?=-+=-=?=?
?=
??
,因此可得3
B C
π
=-,将之代入
2
sin sinC
3
B=
中可得:2
1
sin sin cos sin0
322
C C C C C
π??
-=-=
?
??
,化简可
得t an,
66
C C B
ππ
=?==,利用正弦定理可
得
1
sin
sin2
a
b B
A
===,同理可
得c=
3+。
18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且90
BAP CDP
∠=∠=
.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,90
APD
∠=,求二面角A-PB-C的余弦值.
【考点】:立体几何,空间向量。
【思路】:(1)利用线面垂直的性质即可求得。(2)建立空间直角坐标系即可
【解析】:(1)证明:∵90BAP CDP ∠=∠=?,∴PA AB ⊥,PD CD ⊥, 又∵AB CD ∥,∴PD AB ⊥,又∵PD PA P =,PD 、PA ?平面PAD , ∴AB ⊥平面PAD ,又AB ?平面PAB ,∴平面PAB ⊥平面PAD . (2)取AD 中点O ,BC 中点E ,连接PO ,OE ,∵
AB CD ,
∴四边形ABCD 为平行四边形,∴
OE AB ,由(1)知,AB ⊥平面PAD ,∴OE ⊥平面PAD ,又PO 、AD ?平面PAD ,∴OE PO ⊥,OE AD ⊥,
又∵PA PD =,∴PO AD ⊥,∴PO 、OE 、AD 两两垂直, ∴以O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -, 设2PA =
,∴()00D ,
、)20B ,
、(00P
、()
20C ,,
∴(0PD =,
、(
22PB =
,,、()
00BC =-,,
设()n x y z =,,为平面PBC 的法向量,由00n PB n BC ??=???=?
?
,得20
0y +=-=??
,
令1y =,则z =,0x
=,可得平面PBC 的一个法向量(01n =,,
∵90APD ∠=?,∴PD PA ⊥,又知AB ⊥平面PAD ,PD ?平面PAD ,
∴PD AB ⊥,又P A A B A =,∴PD ⊥平面PAB ,即
PD 是平面PAB
的一个法向量,(0PD =,,,
∴cos 23
PD n PD n PD n
?=
=
=?,, 由图知二面角A PB C --为钝角,所以它的余弦值为 19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm ).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2
(,)N μσ.
(1)假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数,求(1)P X ≥及X 的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
为抽取的第i 个零件的尺寸,1,2,,16i =???.
用样本平均数x 作为μ的估计值?μ,用样本标准差s 作为σ的估计值?σ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除????(3,3)μσμσ-+之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
附:若随机变量Z 服从正态分布2
(,)N μσ,则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=,
160.997 40.959 2=0.09≈.
【考点】:统计与概率。 【思路】:(1)这是典型的二项分布,利用正态分布的性质计算即可。(2)考察正态分布,代入运算即可。 【解析】:
(1)()()1611010.997410.95920.0408P X P X ≥=-==-=-=
由题意可得,X 满足二项分布()~16,0.0016X B ,因此可得()16,0.0016160.00160.0256EX ==?= (2)○1由(1)可得()10.04085%P X ≥=<,属于小概率事件,故而如果出现(3,3)μσμσ-+的零件,需要进行检查。
○
2由题意可得9.97,0.21239.334,310.606μσμσμσ==?-=+=,故而在()9.334,10.606范围外存在9.22这一个数据,因此需要进行检查。此时:9.97169.22
10.0215
x μ?-==
=,
0.09σ=≈。
方法二:
∑=≈?+?=16
1
222134.159197.916212.016i i x ,剔除9.22,剩下数据原样本方差为
008.0)22.101522.9134.1591(15
1
22≈?
--0.09≈.
(2017全国卷1)20.(12分)
已知椭圆C :22
22=1x y a b
+(a >b >0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3
(–1,2),P 4
(1,2)中恰有
三点在椭圆C 上.
(1)求C 的方程;
(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点。若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1,证明:l 过定点. 【考点】:圆锥曲线。 【思路】:(1)根据椭圆的对称性可以排除P 1(1,1)。(2)联立方程即可,此时有两种方法联立,第一种,假设直线AB 的方程,第二种假设直线P 2A 和P 2B 。 【解析】:
(1)根据椭圆对称性可得,P 1(1,1)P 4(
1)不可能同时在椭圆上,P 3(–
1,P 4(1
)一定同时在椭圆上,因此可得椭圆经过P 2(0,1),P 3(–
1,P 4(
1),代入椭圆方程可得:
2131,124
b a a =+=?=,故而可得椭圆的标准方程为:2
214x y +=。
【解析】(1)由于3P ,4P 两点关于y 轴对称,故由题设知C 经过3P ,4P 两点.
又由22221113
4a b a b +>+知,C 不经过点P 1,所以点P 2在C 上.
因此2
221
1,131,4b a
b ?=????+=??解得2
24,1.a b ?=??=??
故C 的方程为2
214
x y +=.
(2)设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1,k 2,
如果l 与x 轴垂直,设l :x =t ,由题设知0t ≠,且||2t <,
可得A ,B 的坐标分别为(t
,(
t ,)
.
则121k k +=
-=-,得2t =,不符合题设. 从而可设l :y kx m =+(1m ≠).将y kx m =+代入2
214
x y +=得
222(41)8440k x kmx m +++-=.
由题设可知22=16(41)0k m ?-+>.
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2841
km
k -+,x 1x 2=224441m k -+.
而121212
11y y k k x x --+=+
121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()
kx x m x x x x +-+=. 由题设121k k +=-,故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.
即222448(21)(1)04141m km k m k k --+?+-?=++.解得1
2
m k +=-
. 当且仅当1m >-时,0?>,于是l :12m y x m +=-+,即1
1(2)2
m y x ++=--,
所以l 过定点(2,1-).
(2)由题意可得直线P 2A 与直线P 2B 的斜率一定存在,不妨设直线P 2A 为:1y kx =+,P 2B 为:
()11y k x =-+.联立()22
22
1418014
y kx k x kx x y =+???++=?+=??,假设()11,A x y ,()22,B x y 此时可得: ()()()()2
222
2281141814,,,4141411411k k k k A B k k k k ??+-+??-- ? ? ?++++++????
,此时可求得直线的斜率为: ()
()()()2
22
2
21
21
22
141144141181841
411AB k k k k y y k k x x k k k -+--+++-=
=+---+++,化简可得()
2
1
12AB k k =-
+,此时满足12
k ≠-
。 ○
1当1
2k =-时,AB 两点重合,不合题意。 ○2当12k ≠-时,直线方程为:()2222
18144141
12k k y x k k k -?
?=-++ ?++??+,即1)2()21(12--+-=x k y ,因此直线恒过定点()2,1-。
(2017新课标1理)21.(12分)已知函数x e a ae
x f x x
--+=)2()(2
(1)讨论()f x 的单调性;
(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围. 【考点】:导数综合问题。 【思路】:(1)直接进行求导,分类讨论(2)函数有两个零点,故而函数不单调;根据函数单调性判断函数图像即可。 【解析】: 【解析】(1)由于x e a e
x f x x
--+=)2(2)(2,故)12)(1(1)2(2)(2+-=--+='x x x x e ae e a ae x f ,
①当0a ≤时,e 10x a -<,2e 10x +>.从而()0f x '<恒成立.()f x 在R 上单调递减; ②当0a >时,令()0f x '=,从而e 10x
综上,当0a ≤时,(f x 当0a >时,()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减,在(ln ,)a -+∞上单调递增 (2)由(1)知,
当0a ≤时,()f x 在R 上单调减,故()f x 在R 上至多一个零点,不满足条件.
当0a >时,()min 1ln 1ln f f a a a =-=-+.令()1
1ln g a a a
=-+.
令()()11ln 0g a a a a =-+>,则()211
'0g a a a
=+>.从而()g a 在()0+∞,
上单调增,而()10g =. 故当01a <<时,()0g a <.当1a =时()0g a =.当1a >时()0g a >,
若1a >,则()min 1
1ln 0f a g a a =-+=>,故()0f x >恒成立,从而()f x 无零点,不满足条件.
若1a =,则min 1
1ln 0f a a
=-+=,故()0f x =仅有一个实根ln 0x a =-=,不满足条件.
若01a <<,则min 11ln 0f a a =-+<,注意到ln 0a ->.()22
110e e e a a f -=++->.
或者:0222)2()2(2
24>+->+-+=----e e a ae f
故()f x 在()1ln a --,
上有一个实根,而又31ln 1ln ln a a a ??
->=- ???
.且33ln 1ln 133ln(1)e e 2ln 1a a f a a a a ????
-- ? ?
??????????-=?+--- ? ? ?
???????()3333132ln 11ln 10a a a a a a ????????
=-?-+---=---> ? ? ? ?????????. 故()f x 在3ln ln 1a a ??
??-- ? ????
?,上有一个实根. 又()f x 在()ln a -∞-,
上单调减,在()ln a -+∞,单调增,故()f x 在R 上至多两个实根. 又()f x 在()1ln a --,及3ln ln 1a a ??
??-- ? ?????
,上均至少有一个实数根,故()f x 在R 上恰有两个实根.综上,01a <<.
【法二】令()0f x =,则22x x x
e x a e e
+=+.再令0x
t e =>,则22ln t t a t t +=+, 而()f x 有两个零点,则22ln t t a t t +=+有两解,即直线y a =与曲线22ln t t
y t t
+=+有两个交点;
令()22ln (0)t t g t t t t +=>+,则()()()()()222
2211ln 2ln t t t t t g t t t t t +--+'==++, 令()1ln h t t t =--,则()1
10h t t
'=--<,注意到()10h =,
所以()g t 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减,即()()max 11g t g ==;
而0lim (),lim ()0t t g t g t →→+∞
→-∞→,所以当()0,1t ∈时,()(),1g t ∈-∞;当()0,1t ∈时,()()0,1g t ∈,所以,当2
2ln t t
a t t
+=
+有两解时,a 的取值范围为()0,1. (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22 在直角坐标系xoy 中,曲线C 的参数方程为3cos
,sin ,x y θθ=??=?(θ为参数),直线l 的参数方程为
4,
1,x a t t y t =+??
=-?
(为参数). (1)若1-=a ,求C 与l 的交点坐标;
(2)若C 上的点到l
a . 【考点】:参数方程。
【思路】:(1)将参数方程化为直角方程后,直接联立方程求解即可(2)将参数方程直接代入距离公式即可。 【解析】:
(1)1a =-时,直线l 的方程为430x y +-=.曲线C 的标准方程是2
219
x y +=,
联立方程22
43019x y x y +-=???+=??,解得:30x y =??=?或21252425x y ?=-
????=
??
,则C 与l 交点坐标是()30,和21242525??- ???, (2)直线l 一般式方程是440x y a +--=.设曲线C 上点()3cos sin p θθ,. 则P 到l
距离
d =
=
,其中3tan
4
?=
. 依题意得:max d =16a =-或8a =. 23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知函数f (x )=–x 2
+ax +4,g (x )=│x +1│+│x –1│. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集;
(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[–1,1],求a 的取值范围. 【考点】:不等式选讲。 【思路】:(1)将函数化简作图即可(2)将参数方程直接代入距离公式即可。 【解析】:
【解析】(1)当1a =时,()2
4f x x x =-++,是开口向下,对称轴12
x =的二次函
数.()211121121
x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?
,,≤x ≤,,当(1,)x ∈+∞时,令242x x x -
++=,解得x =,
()g x 在()1+∞,上单调递增,()f x 在()1+∞,上单调递减,∴此时()()f x
g x ≥解集为1? ??
. 当[]11x ∈-,
时,()2g x =,()()12f x f -=≥. 当()1x ∈-∞-,时,()g x 单调递减,()f x 单调递增,且()()112g f -=-=.
综上所述,()()f
x g x ≥解集1?-???
.
(2)依题意得:242x ax -++≥在[]11-,
恒成立.即220x ax --≤在[]11-,恒成立.则只须()()2
2
1120
1120a a ?-?-??----??≤≤,解出:11a -≤≤.故a 取值范围是[]11-,.
2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =U D .A B =?I 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A .14 B .π8 C . 12 D . π4 3.设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =;
2017年高考全国卷一文科数学试题及答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷一文科数学 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A ={}|2x x <,B ={}|320x x ->,则 A .A I B =3|2x x ? ??? ? B .A I B =? C .A U B 3|2x x ? ?=?? ? D .A U B=R 2.为评估一种农作物的种植效果,选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量(单位:kg )分别为x 1,x 2,…,x n ,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A .x 1,x 2,…,x n 的平均数 B .x 1,x 2,…,x n 的标准差 C .x 1,x 2,…,x n 的最大值 D .x 1,x 2,…,x n 的中位数 3.下列各式的运算结果为纯虚数的是 A .i(1+i)2 B .i 2(1-i) C .(1+i)2 D .i(1+i) 4.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A .14 B .π8 C .12 D .π 4 5.已知F 是双曲线C :x 2 -2 3 y =1的右焦点,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直,点A 的坐标是 (1,3).则△APF 的面积为 A .13 B .1 2 C .2 3 D .3 2 6.如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是
2017年全国1卷理科数学试题(解析版)
17年全国I 卷 理数 一、选择题: 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =U D .A B =?I 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A . 1 4 B . π8 C .12 D . π 4 3.设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =; 4p :若复数z ∈R ,则z ∈R . 其中的真命题为 A .13,p p B .14,p p C .23,p p D .24,p p 4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为 A .1 B .2 C .4 D .8 5.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A .[2,2]- B .[1,1]- C .[0,4] D .[1,3] 6.6 2 1(1)(1)x x + +展开式中2x 的系数为 A .15 B .20 C .30 D .35 7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为
2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷2
2017年普通高等学校招生全国统一考试 课标II 理科数学 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整,笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 31i i +=+( ) A .12i + B .12i - C .2i + D .2i - 【答案】D 2.设集合{}1,2,4A =,{} 2 40x x x m B =-+=.若{}1A B =,则B =( ) A .{}1,3- B .{}1,0 C .{}1,3 D .{}1,5 【答案】C 【解析】由{}1A B =得1B ∈,所以3m =,{}1,3B =,故选 C 。 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( ) A .1盏 B .3盏 C .5盏 D .9盏 【答案】B 【解析】塔的顶层共有灯x 盏,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由()712381 12 x -=-可得3x =,故选B 。
2017年全国卷3文科数学试题及参考答案
绝密★启封并使用完毕前 试题类型:新课标Ⅲ 2017年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,共24题,共150分,共4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的、填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域。 2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写,字体工整,笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破,不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。 第I 卷 一、单选题 (本大题共12小题,每小题5分,共60分。) 1. 已知集合{}{}1,2,3,4,2,4,6,8A B ==,则A B 中的元素的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 复平面表示复数()2z i i =-+的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是( ) A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 4.已知4 sin cos 3 αα-= ,则sin 2α=( ) A. 79- B. 29- C. 29 D. 79 5. 设,x y 满足约束条件3260 00x y x y +-≤?? ≥??≥? 则z x y =-的取值围是( ) A. []3,0- B. []3,2- C. []0,2 D. []0,3 6. 函数()1sin cos 536f x x x ππ??? ?=++- ? ???? ?的最大值为( ) A. 65 B. 1 C. 35 D. 15 7. 函数2 sin 1x y x x =++ 的部分图像大致为( )
2017年高考理科数学试题及答案-全国卷3
2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国3卷) 理科数学 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。 1.已知集合22 {(,)1}A x y x y =+=,{(,)}B x y y x ==,则A B I 中元素的个数为 A .3 B .2 C .1 D .0 2.设复数z 满足(1)2i z i +=,则||z = A . 12 B . 22 C .2 D .2 3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图. 根据该折线图,下列结论错误的是 A .月接待游客量逐月增加 B .年接待游客量逐年增加 C .各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D .各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 4.5 ()(2)x y x y +-的展开式中3 3 x y 的系数为() A .-80 B .-40 C .40 D .80 5.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为5 y =,且与椭圆221123x y + =有公共焦点.则C 的方程为() A .22 1810 x y -= B .22145x y -= C .22154x y -= D .22 143 x y -= 6.设函数()cos()3 f x x π =+ ,则下列结论错误的是()
A .()f x 的一个周期为2π- B .()y f x =的图像关于直线83 x π =对称 C .()f x π+的一个零点为6 x π = D .()f x 在( ,)2 π π单调递减 7.执行右图的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小 值为 A .5 B .4 C .3 D .2 8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则 该圆柱的体积为() A .π B . 34 π C . 2 π D . 4 π 9.等差数列{}n a 的首项为1,公差不为0.若236,,a a a 成等比数列,则{}n a 前6项的和为 A .-24 B .-3 C .3 D .8 10.已知椭圆22 22:1x y C a b +=(0a b >>)的左、右顶点分别为12,A A ,且以线段12A A 为直径的圆与直线 20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为() A . 6 B . 3 C . 2 D .13 11.已知函数2 1 1()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点,则a =() A .12 - B . 13 C . 12 D .1 12.在矩形ABCD 中,1,2AB AD ==,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若 AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ,则λμ+的最大值为 A .3 B .22 C .5 D .2 二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分) 13.若,x y 满足约束条件0,20,0x y x y y -≥?? +-≤??≥? 则34z x y =-的最小值为________. 14.设等比数列{}n a 满足12131,3a a a a +=--=-,则4a =________.
2017年全国高考文科数学试题及答案-全国卷1
2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷1) 数学(文史类) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A ={}|2x x <,B ={}|320x x ->,则 A .A B =3|2x x ????? B .A B =? C .A B 3|2x x ? ?=??? D .A B=R 2.为评估一种农作物的种植效果,选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量(单位:kg )分别为x 1,x 2,…,x n ,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A .x 1,x 2,…,x n 的平均数 B .x 1,x 2,…,x n 的标准差 C .x 1,x 2,…,x n 的最大值 D .x 1,x 2,…,x n 的中位数 3.下列各式的运算结果为纯虚数的是 A .i(1+i)2 B .i 2(1-i) C .(1+i)2 D .i(1+i) 4.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A .14 B .π8 C .12 D .π 4 5.已知F 是双曲线C :x 2-23 y =1的右焦点,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直,点A 的坐标是(1,3).则△APF 的面积为 A .13 B .1 2 C .2 3 D .3 2 6.如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是 7.设x ,y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤?? -≥??≥? 则z =x +y 的最大值为 A .0 B .1 C .2 D .3 8..函数sin21cos x y x = -的部分图像大致为 9.已知函数()ln ln(2)f x x x =+-,则 A .()f x 在(0,2)单调递增 B .()f x 在(0,2)单调递减 C .y =()f x 的图像关于直线x =1对称 D .y =()f x 的图像关于点(1,0)对称 10.如图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ,那么在和两个空白框 中,可以分别填入 A .A >1000和n =n +1 B .A >1000和n =n +2
2017年数学全国卷3
2017年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ) 文科数学 1.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A?B中元素的个数为 A.1B.2C.3D.4 2.复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图. 根据该折线图,下列结论错误的是 A.月接待游客逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 4.已知 4 sin cos 3 αα -=,则sin2α= A. 7 9 -B. 2 9 -C. 2 9 D. 7 9 5.设x,y满足约束条件 3260 x y x y +-≤ ? ? ≥ ? ?≥ ? ,则z=x-y的取值范围是 A.[–3,0]B.[–3,2]C.[0,2] D.[0,3] 6.函数f(x)=1 5 sin(x+ 3 π )+cos(x? 6 π )的最大值为 A.6 5 B.1C. 3 5 D. 1 5
7.函数y =1+x +2 sin x x 的部分图像大致为 A . B . C . D . 8.执行下面的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为 A .5 B .4 C .3 D .2 9.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 A .π B .3π4 C .π2 D .π4 10.在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱CD 的中点,则 A .11A E DC ⊥ B .1A E BD ⊥ C .11A E BC ⊥ D .1A E AC ⊥ 11.已知椭圆C :22 221x y a b +=,(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为 A .63 B .33 C .23 D .1 3
2017年高考数学全国卷1理科数学试题全部解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国I 卷) 理科数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合{}{} 131x A x x B x =<=<, ,则() A .{}0=A B x x D .A B =? 【答案】A 【解析】{}1A x x =<,{}{}310x B x x x =<=< ∴{}0A B x x =<,{}1A B x x =<, 选A 2. 如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白 色部分位于正方形的中心成中心对称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是() A .14 B .π8 C . 12 D . π4 【答案】B 【解析】设正方形边长为2,则圆半径为1 则正方形的面积为224?=,圆的面积为2π1π?=,图中黑色部分的概率为π2 则此点取自黑色部分的概率为π π248 = 故选B
3. 设有下面四个命题() 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12z z ,满足12z z ∈R ,则12z z =; 4p :若复数z ∈R ,则z ∈R . A .13p p , B .14p p , C .23p p , D .24p p , 【答案】B 【解析】1:p 设z a bi =+,则 2211a bi z a bi a b -==∈++R ,得到0b =,所以z ∈R .故1P 正确; 2:p 若z =-21,满足2z ∈R ,而z i =,不满足2z ∈R ,故2p 不正确; 3:p 若1z 1=,2z 2=,则12z z 2=,满足12z z ∈R ,而它们实部不相等,不是共轭复 数,故3p 不正确; 4:p 实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故4p 正确; 4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若4562448a a S +==,,则{}n a 的公差为() A .1 B .2 C .4 D .8 【答案】C 【解析】45113424a a a d a d +=+++= 6165 6482S a d ?=+ = 联立求得11272461548a d a d +=???+=??① ② 3?-①②得()211524-=d 624d = 4d =∴ 选C 5. 函数()f x 在()-∞+∞,单调递减,且为奇函数.若()11f =-,则满足()121f x --≤≤的 x 的取值范围是() A .[]22-, B .[]11-, C .[]04, D .[]13, 【答案】D 【解析】因为()f x 为奇函数,所以()()111f f -=-=, 于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤| 又()f x 在()-∞+∞,单调递减 121x ∴--≤≤ 3x ∴1≤≤ 故选D
2017年全国卷2文科数学试题及参考答案
绝密★启封并使用完毕前 试题类型:新课标II 2017年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 第I 卷 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.设集合{}{}123234A B ==,,, ,,, 则A B = A . {}123,4,, B . {}123,, C . {}234,, D . {}134,, 【答案】A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =,故选A . 2.()()12i i ++= A .1i - B . 1+3i C . 3+i D .3+3i 【答案】B 【解析】由题意()()1213i i i ++=+ 3.函数()sin 23f x x π? ?=+ ?? ?的最小正周期为 A .4π B .2π C . π D . 2 π 【答案】C 【解析】由题意22 T π π= =,故选C . 4.设非零向量a ,b 满足a b a b +=-则 A .a b ⊥ B . a b = C . //a b D . a b > 【答案】A 【解析】由||||a b a b +=-平方得2222()2()()2()a ab b a ab b ++=-+,即0a b =,则a b ⊥,
故选A . 5.若1a >,则双曲线2 221x y a -=的离心率的取值范围是 A . ∞) B . ) C . (1 D . 12(,) 【答案】C 【解析】由题意的222 2222 11 1 1, 1,112,1c a e a e a a a a +===+>∴<+ <∴< 6.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为 A .90π B .63π C .42π D .36π 【答案】B 【解析】由题意,该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱,故其体积为221 3634632 V πππ= ???+??=,故选B . 7.设x 、y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤?? -+≥??+≥? ,则2z x y =+的最小值是 A . -15 B .-9 C . 1 D 9 【答案】A 绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数的几何意义可得函数在点()6,3B -- 处取得最小值12315z =--=- .故选A .
2017年高考全国卷I-数学试题及答案
2017年高考全国卷I-数学试题及答案
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生 号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相 应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角 “条形码粘贴处”。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案 信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷 上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔 作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上;如需改动,先划掉原来 的答案,然后再写上新答案;不准使用铅 笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后, 将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |3 1 x <},则 A .{|0} A B x x =U D .A B =? I 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A .14 B .π 8 C .12 D .π 4 3.设有下面四个命题 1 p :若复数z 满足1z ∈R ,则z ∈R ; 2 p :若复数z
2017年全国统一高考数学试卷
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|x <1},B={x|3x <1},则( ) A .A ∩B={x|x <0} B .A ∪B=R C .A ∪B={x|x >1} D .A ∩B=? 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( ) A . B . C . D . 3.设有下面四个命题 p 1:若复数z 满足∈R ,则z ∈R ; p 2:若复数z 满足z 2∈R ,则z ∈R ; p 3:若复数z 1,z 2满足z 1z 2∈R ,则z 1= ; p 4:若复数z ∈R ,则∈R .其中的真命题为( ) A .p 1,p 3 B .p 1,p 4 C .p 2,p 3 D .p 2,p 4 4.S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为( ) A .1 B .2 C .4 D .8 5.函数f (x )在(﹣∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f (1)=﹣1,则满足﹣1≤f (x ﹣2)≤1的x 的取值范围是( ) A .[﹣2,2] B .[﹣1,1] C .[0,4] D .[1,3] 6.(1+ )(1+x )6展开式中x 2的系数为( ) A .15 B .20 C .30 D .35 7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( ) A .10 B .12 C .14 D .16
2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷1(最新整理)
绝密★启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷 5 页,23 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题 卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答 案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答 在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案; 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A ={x | x < 1},B = {x | 3x< 1} ,则 A.A B ={x | x < 0} C.A B ={x | x >1}B.A B =R D.A B =? 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切 圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 1 A.B . 4 8 1 C.D. 2 4 3.设有下面四个命题 p :若复数z 满足1 ∈R ,则z ∈R ;p :若复数z 满足z2∈R ,则z ∈R ; 1 z 2 p 3 :若复数z1 , z2 满足z1 z2 ∈R ,则z1 =z2 ; 其中的真命题为 p4:若复数z ∈R ,则z ∈R . A.p1 , p3 B.p1 , p4 C.p2 , p3 D.p2 , p4
2017年全国高考2卷理科数学试题及答案
“ 5、设 x, y 满足约束条件 ?2 x - 3 y + 3 ≥ 0 ,则 z = 2 x + y 的最小值为 ( ) ? y + 3 ≥ 0 2 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项 是符合题目要求的 1. 3 + i 1 + i = ( ) A 、1 + 2i B 、1 - 2i C 、 2 + i D 、 2 - i 2、设集合 A = {1,2,4}, B = {x | x 2 - 4 x + m = 0} ,若 A B = {1} ,则 B = ( ) A 、{1,-3} B 、{1,0} C 、{1,3} D 、{1,5} 3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题: 远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百 八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是 上一层灯数的 2 倍,则塔的顶层共有灯 ( ) A 、1 盏 B 、3 盏 C 、5 盏 D 、9 盏 4、如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面 将一圆柱截取一部分所得,则该几何体的体积为 ( ) A 、90 π B 、63 π C 、42 π D 、36 π ?2 x + 3 y - 3 ≤ 0 ? ? A 、 - 15 B 、 - 9 C 、1 D 、 9 6、安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,则不同的安排方式 共有 ( ) A 、12 种 B 、18 种 C 、24 种 D 、36 种 7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说:你们四人中有 位优秀, 2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩。看后甲对大家说: 我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则 ( ) A 、乙可以知道四人的成绩 B 、丁可以知道四人的成绩 C 、乙、丁可以知道对方的成绩 D 、乙、丁可以知道自己的成绩
2017年全国高考理科数学(全国一卷)试题及答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 满分150分。考试用时120分钟。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<,,则 A . B . C . D . 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的 概率是 A . 1 4 B . 8 π C .12 D . 4 π 3.设有下面四个命题 :若复数满足,则; :若复数满足,则; :若复数满足,则; :若复数,则. 其中的真命题为 A . B . C . D . 4.记为等差数列的前项和.若,,则的公差为 A .1 B .2 C .4 D .8 5.函数在单调递减,且为奇函数.若,则满足的的取值范围是 A . B . C . D . 6.展开式中的系数为 A .15 B .20 C .30 D .35 7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的 面积之和为 A .10 B .12 C .14 D .16 {|0}A B x x =U A B =?I 1p z 1 z ∈R z ∈R 2p z 2z ∈R z ∈R 3p 12,z z 12z z ∈R 12z z =4p z ∈R z ∈R 13,p p 14,p p 23,p p 24,p p n S {}n a n 4524a a +=648S ={}n a ()f x (,)-∞+∞(11)f =-21()1x f --≤≤x [2,2]-[1,1]-[0,4][1,3]621 (1)(1)x x + +2x
17年数学全国三卷及答案
理科数学 2017年高三2017年全国丙卷理科数学 理科数学 题型单选题填空题简答题总分 得分 单选题(本大题共12小题,每小题____分,共 ____分。) 1.已知集合A=,B=,则A B中元素的个数为( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2.设复数z满足(1+i)z=2i,则∣z∣=( ) A. B. C. D. 2 3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是( ) A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 4.的展开式中的系数为( ) A. B. C. 40 D. 80 5.已知双曲线C: (a>0,b>0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点,则C的方程为( ) A. B. C.
D. 6.设函数,则下列结论错误的是( ) A. 的一个周期为 B. 的图像关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在(,)单调递减 7.执行下面的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( ) A.
C. D. 9.等差数列的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则前6项的和为( ) A. B. C. 3 D. 8 10.已知椭圆C:的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A 1A2为直径的圆与直线相切,则C的离心率为( ) A. B. C. D. 11.已知函数有唯一零点,则a=( ) A.
2017年高考理科数学全国卷1-答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题 1.【答案】A 【解析】本题考查集合的运算及简单不等式的求解.由31x <,得0x <,所以{}|0B x x =<,故{| 0}A B x x =
【解析】本题考查等差数列基本量的计算与性质的综合应用.等差数列{}n a 中, 166()482 a a n S += =,则162516a a a a +==+,又4524a a +=,所以42224168a a d -==-=,得4d =,故选C . 5.【答案】D 【解析】本题考查利用函数的性质求解不等式.已知函数()f x 在(,)-∞+∞上为单调递减函数,且为奇函数,则(1)(1)1f f -=-=,所以原不等式可化为(1)(x 2)(1)f f f ≤-=≤-,则 121x -≤-≤,即13x ≤≤,故选D . 6.【答案】C 【解析】本题考查二项式定理中项的系数问题.对于621 (1)(1)x x + +,若要得到2x 项,可以在21(1)x +中选取1,此时6(1)x +中要选取含2x 的项,则系数为26C ;当在21(1)x +中选取21x 时, 6(1)x +中要选取含4x 的项,即系数为46C ,所以,展开式中2x 项的系数为246630C C +=,故选 C . 7.【答案】B 【解析】本题考查立体几何中的三视图问题.由多面体的三视图还原直观图如图.该几何体 由上方的三棱锥A BCE -和下方的三棱柱11BCE B C A -构成,其中面11CC A A 和面11BB A A