概率论与数理统计(中山大学版)第七章答案

第七章 参数估计

1.解：

2012222223011

1(,)(3,),,9

327

..()(1)..()(1)2,..()(12)(,2)(2)(()(,2))

2

2{}{}0.01

2(0.001)(0.01)5n n n E D c f t i t t

c f t i n

n c f t it n

n n n nM

P M P nM

α

α

α

αξαβξαβξαβξ?βξ?βξηη?β

ηαχαχξηβ

χχβ

---Γ=Γ=====-=-=-∴Γ==Γ?>=>==== 总体的子样的记＝则的0.89

11

50.8950.890.565442109

M n

β?=?

=?

?=

2.解：

000

(),0,0,0(){}()1,0

()()y m

m

y m y y e y m y dy e dy P m F m e m y dy

e dy

E αβαββαβηαβξηξηξβ---∞∞-=>>≥<<===

=->???

?

震级的概率

即

3.解：

14

(,1),{0}0.7()20

(0,1)

(0)()()1()0.7

()0.30.2544.N a P a N P p a a a a a a

ξξξξξφφφ<=

=-∴<=-<-=-=-==?=- 用频率估计概率

4.解：求θ的极大似然估计量 (1) ||1

(;),||,0,2x f x e x x θθθθ--=>-∞<<-∞<<∞

1

||

1

1211(;)2

,,,||n

i i n

x i n i n

n i i f x e x x x x θθθθ=-

-==∑=

-∏

∑ 当取的中位数时，取到最小值。 (2)θ的似然发函数为

() 1

1

11

1

1

(;)()ln (;)(ln 1ln )

ln 0ln 1

ln n

n

i i n

i i n i n i i

i n

i

i L x x L x n x n n x x n

θθθθθθθθθθθ

ξ

ξ

-======??

=+-??-=+=∴=-∴==-

∏∑∑∑∑对数似然方程为

(3) θ的似然函数为

()()()

111

(;)(0)

,22n n n

n mle n L x x x E θθθθξθ

ξθξθ=≤<≤∴==

?=又是的矩法估计量(不同于极大似然估计量)。

(4) θ的似然函数为 1

11

2

1

1

(;)ln (;)(ln )

.n

i

i x n

n

i i n

i

i n

i

i mle L x e

x L x n x

n x

n θ

θθ

θθθθθθ

θθθ

ξ=-===∑=

??

=--??=-

+

==

?=∑∑∑对数似然方程为

5.解：

22

2

222

2

21S S p Np S Npq N p S S p N S ξξξξξξξξξξ?-=-

=??=??

????=??

?==?-??-=

??

??

=?-?

6.解：

ln (,),,

N a e E Ee ηηηξσξξ===

7.解：（1）

β的似然方程为

01

()

(;)n

i i t t n

L x e

β

ββ=--∑=

对数似然方程为

01

1

1

ln (;)(ln )1

n

i i n

i i n

i i L x n t n t n

t nt n

T t t nt

βββββββ

ββ

===??=-+??=

-+?=?=--∑∑∑

（2）0t 的似然方程为:

01

()

0001

00001

1

01(;)ln (;)(ln )0

,1,2,,min ()(min )

min n

i i i t t n n

i i i n

n

i i i t t i i i

i n

L x t e

L x t n t n t t t n t t i n

t t t t t t β

βββββ=--=>==≤≤∑=??=-+??=≠<=∴-≥-∴=∑∑∑ 对数似然方程为

8.解： （1）：

1111||(6,7),1n n i i i E E a ch Ex k k k σξ===-==

?=∑

(2):

1

22

11

12221111()11(2)22(1)n i i i n i i i i i E E k n E E E k k k n σξξξξξξσ-+=-++==--=-+=?=-∑∑ 9.解：

令

1

1

1

1

1

1

,1

11cov(,

)n n n n

i i i i i i i i i i n i

i n

i

n

n

i i i i i T T c ET c E c a a c n c c D ξξξξξξ

ξξρξ

=======?===?==∴==

=

=

=

∑∑∑∑∑∑∑∑

10.解： 123

1

2

3

2

,1910.38251004

11250.3472916144

1110.3889364Ea Ea Ea a Da Da Da a

===?但＝＋＋＝＝＋＋＝＝＋＋＝的方差最小。

11.解：

12

12

22221112212222211221212

2222212121122122

12212212122212

22

1212

()2cov()2(2)(22)222(2)

2D c c c c c c c c c c c c ρρσσσσσσσσρσσσσρσσρσσσσρσσσσσρσσσρσσσσρσσ?∴=++=++=+-+-+-?==-

+--=+-121212212

cov （a ,a ）＝cov （a ,a ）=a +c a a ,a 当.时，取最小值

12.解：

（1）

12,()a Ea E E E a a ξηξηξη=-=-=-=- （2）

22

121212()14,Da

D D D n n n n σσξηξη=-=+=+=

+

即 11

(,),z f x y x y n

x y ==++=在条件下的极值，

由Langrange 乘数法，令

2

214

(,,)(,)()()

104030x y L x y f x y x y n x y n x y

L x n L x y L x y n λλλλλλ=++-=+++-?=-

+=??

?

=-+=?=

???

=+-=??

故

12[],[]33n n n n n ==-时，可使 a 的方差达到最小. 13.解： 221212(),()E a a D ξηξησσ-=--=+ ，由P48的推论知，

ξηξη-=-为12a a -的最小线性无偏估计。

14.解：

*3

*3

32

*0

3

3

*2

2

*22

302

**2*222{}()333(),4

4

.3

4163163915444333161.1515n

n

n

n n

n n n n n n x x p x F x x dx

x

f x E x

E x dx D E E θ

ξθξθθξθθθξθξθθξξξθθθ<===

=

=

=∴??== ???

??????

=- ? ? ???????=-=?

?为的无偏估计

()()()()()*1

3*

313

2

3

2

**

11302

2**22211302**2*222

111*2*2

1*(){}1(1)13()()3(),4.4

3()841616583

4445541

34315

54

3n n x x p x x f x x E dx x E E x dx D E E D D ξθθθξθθθθθθξξθθθξξθθξξξθθθξθξθξ-<=--=-

-=-==∴-===∴=-=-=??=<= ???∴??又为的无偏估计较为有效.

15.解： 221

2

1

1

2

2

11221212222222

112211221122

22222221222122

222222121111121111221,22[]()1[]2(2)22(1)212321

112,33E E D D E c c c c c c D c c c D c D c c c c c c c c c c c c c c c c c θ

θθθσθσθθθθθθθθσσσσσθθθ=====+=+=?+=++=+=++=+-=+-+=-+=+=+1又＝＋＝又当c 时 21122,[]3D c c θθθ+取最小值.

16.证:

0012,,T U T T ?∈ 分别是12(),()g g θθ的最优无偏估计量，10200ETT ET T ∴==。

又因为11221122()()()E bT b T b g b g θθ+=+,22

11221122()D bT b T b DT b DT +=+<∞ 112011221102201121122()0

()()bT b T U

ET bT b T EbTT Eb T T bT b T b g b g θθ∴+∈+=+=∴++且是的最优无偏估计量。 17．解：

（1）2222

11221222

12

22112222

12

22

222

111222

2

22

112212(1)(1)(1),(1)(1)(1),(1)(1)(1)(1)n S n S n n n S n S F S n S n S F n n S χχσσσσσσσσ---------- 12且独立，由分布的定义，有F ＝＝（n -1,n -1）

则由

222112122212

222

111222

22212

11/2122/212222111222

22212

1{}{}

{}(1,1),(1,1),

1S

P k F K P k K S S S p k S k S k F n n k F n n S S k S k S αασασσσσασ--=<<=<<=<<=--=---通常取即的置信区间为(,).

(2).

1212((0,1)

N a a N a a ξηξη--?--± 的置信区间为

[

18. 解：

2222121212122

,(2)

1[(T t n n a a t n n ασσσσα==+-?---±+- 但未知，则

的置信区间为

19.解:

15

15

22

21

18.70.58,24.7136

1515i

i n i i x

S x ξξ======-=∑∑,

a 的置信水平为10.95α-=的区间估计为

/2/2

[((

[0.58

[-28.6499,29.8099]

t n t n

αα

ξξ

--+-

=-+

=

2

σ的置信水平为10.95

α

-=的区间估计为

22

22

/21/2

,

(1)(1)

15*24.713615*24.7136

,

26.1189 5.6287

[14.1929,65.8596]

n n

nS nS

n n

αα

χχ

-

??

??

--

??

??

=??

??

=。

20.解: n=10,0.1

α=

222

11

/20.05

/2/2

22

/20.05

11

2,() 5.778 2.4037.

1

10.900.1,(101)(9) 1.833

[ ((

=[2-1.833

(1)(

n n

i i

i i

a S S

n n

t t

a t n t n

n

α

αα

α

ξξσξξ

α

ξξ

χχ

==

====-==?=

-

=-==

--+-

-=

∑∑

－＝

的区间估计

22

1/20.95

22

2

22

/21/2

9)16.919

(1)(9) 3.325.

(1)(1)9*5.7789*5.778

,[,]

(1)(1)16.919 3.325 [3.0735,15.6391]

n

n s n s

n n

α

αα

χχ

σ

χχ

-

-

=

-==

??

--

=

??

--

??

=

的区间估计