第五章数理统计中的统计量及其分布

概率论与数理统计第4章作业题解

第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？ 解： 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的 最大编号，求E (X ). 解：X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35 == = =C X P ；3.010 3)4(35 2 3== = =C C X P ； 6.010 6)5(3 5 24=== =C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1) k k a P X k k a +===+ 其中0a >是个常 数，求()E X 解: 1 1 2 1 1 1 ()(1) (1) (1) k k k k k k a a a E X k k a a a -∞ ∞ +-=== = +++∑∑ ，下面求幂级数11 k k k x ∞ -=∑的和函数， 易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有 1 2 1 1 1()( ),1,1(1) k k k k x k x x x x x ∞ ∞ -==''=== <--∑ ∑

概率论与数理统计第4章作业题解25554

第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？ 解： 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的 最大编号，求E (X ). 解：X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35====C X P ；3.010 3 )4(3523====C C X P ； 6.010 6 )5(3524====C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1)k k a P X k k a +== =+L 其中0a >是个常 数，求()E X 解: 1121 1 1()(1)(1)(1)k k k k k k a a a E X k k a a a -∞∞ +-====+++∑∑g g ，下面求幂级数1 1k k kx ∞ -=∑的和函数，易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有 1 2 1 1 1 ()(),1,1(1)k k k k x kx x x x x ∞ ∞ -==''===<--∑∑

根据已知条件，0a >，因此011a a < <+，所以有 2 21 ()(1)(1)1a E X a a a a = =+-+g . 4.4 某人每次射击命中目标的概率为p , 现连续向目标射击, 直到第一次命中目标为止, 求射击次数的期望. 解：因为X 的可能取值为1,2,……。依题意，知X 的分布律为 1(),1,1,2,k P X k q p q p k -===-=L L 所以)1( )()()(1 1 1 1 '-='='== ∑∑∑∞ =∞=∞ =-q q p q p q p p kq X E k k k k k k p p p q p 1 1)1(12 2=?=-= 4.5 在射击比赛中, 每人射击4 次, 每次一发子弹. 规定4弹全未中得0分, 只中1弹得15 分, 中2弹得30 分, 中3弹得55分, 中4弹得100分. 某人每次射击的命中率为0.6, 此人期 望能得到多少分？ 解：设4次射击中命中目标的子弹数为X ，得分为Y ，则X ~B (4,0.6) 因为 0256.04.06.0)0(4 4=?==C X P 1536.04.06.0)1(311 4=?==C X P 3456.04.06.0)2(2224=?==C X P 3456.04.06.0)3(1334=?==C X P 1296.04.06.0)4(0444=?==C X P 所以Y 的分布律为 故期望得分为 1296.01003456.0553456.0301536.0150256.00)(?+?+?+?+?=Y E = 44.64 4.6 设随机变量 X 的概率分布为1 32 {(1)}(1,2,,),3 k k k k P X k +=-= =L 说明X 的期望不存在。

概率论与数理统计第四版课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL

天津理工大学概率论与数理统计第五章习题答案详解

第 5 章 大数定律与中心极限定理 一、 填空题： 1.设随机变量μξ=)(E ，方差2 σξ=)(D ，则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 9 1 . 2.设n ξξξ,,, 21是 n 个相互独立同分布的随机变量， ),,,(,)(,)(n i D E i i 218===ξμξ对于∑== n i i n 1ξξ，写出所满足的切彼雪夫不等式 2 28εεξεμξn D P =≤ ≥-)(}|{| ，并估计≥ <-}|{|4μξP n 21 1- . 3. 设随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有1i EX =, 1(1,2,,9)i DX i == , 令9 1 i i X X ==∑, 则对任意给定的0ε>, 由切比雪夫不等式 直接可得{} ≥<-ε9X P 2 9 1ε- . 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：()E X μ=与2()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有 22{||}P X σμεε-≥≤, 或者2 2{||}1.P X σμεε -<≥- 由于随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有 1,1(1,2,9),i i EX DX i === 所以 99 9111()()19,i i i i i E X E X E X μ===??===== ???∑∑∑ 99 9 2 111()()19.i i i i i D X D X D X σ===??===== ???∑∑∑ 4. 设随机变量X 满足：2 (),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 1 16 ≤ . 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足2 (),()E X D X μσ==, 则对任意 的0ε>, 有22{||}.P X σμεε-≥≤由此得 221 {||4}.(4)16 P X σμσσ-≥≤=

第五章 统计量及其分布

第五章 统计量及其分布 § 5.1 总体与样本 内容概要 1 总体 在一个统计问题中,研究对象的全体称为总体,构成总体的每个成员称为个体若关心的是总体中每个个体的一个数量指标,则该总体称为一维分布。若关心的是总体中的每个个体的两个数量指标,则该总体称为二维总体,二维总体就是一个二维分布,余此类推。 2 有限总体与无限总体 若总体中的个数是有限的,此总体称为有限总体。 若总体中的个数是无限的,此总体称为无限总体。 实际中总体的个体数大多是有限的。当个体数充分大时,将有限总体看作无限总体是一种合理的抽象。 3 样本 从总体中随机抽取的部分个体组成的集合称为样本,样本的个体称为样本,样本个数称为样本容量或样本量。 样本常用n 个指标值1x ,2x , ,n x 表示.它可看作n 维随机变量,又可看作其观察值,这由上下文加以区别。 4 分组样本 只知样本观测值所在区间,而不知具体值的样本称为分组样本。 缺点：与完全样本相比损失部分信息。 优点：在样本量较大时,用分组样本即简明扼要,又能帮助人们更好的认识总体。 5 简单随机样本 若样本 1x ,2x , ,n x 是n 个相互独立的具有同一分布（总体分布）的随机变量,册称该样本为简单随机样本,仍简称样本。 若总体的分布函数为F(x),则其样本的（联合）分布函数为 ()∏=n i i x F 1； 若总体的密度函数为P(x),则其样本的（联合）密度函数为 ∏=n i x p 1 )(； 若总体的分布列为{p(x i )},则其样本的（联合）分布列为 ∏=n i x p 1 )(；

习题与解答5.1 1. 某地电视台想了解某电视栏目（如：每晚九点至九点半的体育节目）在该 地区的收视率情况,于是委托一家市场咨询公司进行一次电话访查。 （1）该项研究的总体是什么？ （2）该项研究的样本是什么？ 解：(1)该项研究的总体是该地区全体电视观众； (2)该项研究的样本上一该地区被电话访查的电视观众。 2. 为了了解统计学专业本科毕业生的就业情况,我们调查了某地区30名2000年毕业生的统计学专业本科生实习期满的月薪情况。 （1）什么是总体？ （2）什么是样本？ （3）本量是多少？ 解：(1) 总体是该地区2000年毕业的统计学专业本科生实习期满后的月薪； (2) 样本是被调查的30名2000年毕业的统计学专业本科生实习期满后的月薪； (3) 样本量为30。 3．设某厂大量生产某种产品,其不合格品率p 未知,每m 件产品包装为一盒。为了检查产品的质量,任意抽取n 盒,查其中的不合格品数,试说明什么是总体,什么是样本,并指出样本的分布。 解：总体为该厂生产的每盒产品中的不合格品数；样本是任意抽取的n 盒中每盒产品的不合格数； 样本中每盒产品中的不合格品数为1x ,…,n x ,因i x ~b(m,p),i =1,2,…,n,所以样本（x 1,x 2,…,x n ）的分布为 ().,)1(1111n t nm t n i i x m x n i i x x t p p x m p p x m i i ++=-? ?? ? ?????? ??=-???? ??---=∏∏ 其中 4．假设一位运动员在完全相同的条件下重复进行n 次打靶,试给出总体样本的统计描述。 解: 若以P 记运动员打靶命中的概率,并以“1”记打靶命中,记“0”记打靶未命中,则总体为运动员打靶命中与否,该总体可由一个二点分布表示： 样本为由n 个0或组成的集合,若记i x 为第i 次打靶命中情况,则i x ~b(1,p),i=1,2,…,样本

概率论与数理统计第四版-课后习题答案_盛骤__浙江大学

完全版 概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学) 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ??? ????=n n n n o S 1001, ，n 表小班人数 （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n ，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生。 表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。 表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C

（3）A ，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C （4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC （5）A ，B ，C 都不发生， 表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ?? （6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：C A C B B A ++。 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生。 相当于：C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB +BC +AC 6.[三] 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B ) (*) （1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6， （2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4 1 )()()(=== ==BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )+ P (ABC )= 8 508143=+-

数理统计答案第四章汪荣鑫

P168 2解：假设0 1234:H μμμμ=== 112 34:H μμμμ不全为零 1234454562024.52r n n n n n X ======= 经计算可得下列反差分析表： 查表得0.05(3,16) 3.24F = 0.0517.8837 0.4745(3,16)37.6887 F F = =< 故接受0H 即可认为四个干电池寿命无显着差异 3 解：假设0 123:H μμμ== 1123:H μμμ不全相等 12336140.9278r n n n X ===== 经计算可得下列方差分析表： 0.050.05(2,15) 3.68 4.373 3.68(2,15) F F F ==>= ∴拒绝0H 故可认为该地区三所小学五年级男生平均身高有显着差异。

4 解： 假设01234:H μμμμ=== 11234:H μμμμ不全相等 123445100.535r n n n n X ====== 0.05(3,16) 3.24F = 0.05(3,16) 3.24F F >= ∴拒绝0H 故可认为这几支伏特计之间有显着差异。 5 解：假设012345:H μμμμμ==== 112345:H μμμμμ不全相等 60 1234553 89.6r n n n n n X ======= 0.050.05(4,10) 3.4815.18(4,10)F F F ==>

∴拒绝0H 故可认为温度对得率有显着影响 2 151515 11(,( ))X X N n n μμσ--+ 由T 检验法知： ()T t n r = - 给定的置信概率为10.95α-= 0.025{()}0.95P T t n r <-= 故15μμ-的置信概率为的置信区间为 150.025150.025((,()E E X X t n r X X t n r ----+- 2.236E S = == 0.025(10) 2.2281t = 由上面的数据代入计算可得： 150.025150.0259084 2.2281 2.236 1.932210.0678E E X X t X X t --=--?=-+= 故15μμ-的置信区间为（ , ） 2 343434 11(,( ))X X N n n μμσ--+ 由T 检验法知： ()X X T t n r = - 34μμ-的置信区间为： 340.025340.025((,()E E X X t n r X X t n r ----+-

概率论与数理统计浙大第四版习题答案全

概率论与数理统计习题答案 完全版 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ? ??????=n n n n o S 1001 , ，n 表小班人数 （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n ，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生。 表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。 表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C

（4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC （5）A ，B ，C 都不发生， 表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ?? （6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：C A C B B A ++。 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生。 相当于：C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB +BC +AC 6.[三] 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B ) (*) （1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6， （2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4 1 )()()(=== ==BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )+ P (ABC )= 8 508143=+- 8.[五] 在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26

数理统计第五章

第五章 1.通过原点的一元回归的线性模型为i i i Y x βε=+，1,2,,i n =??? 其中各i ε相互独立，并且都服从正态分布()2 0,N σ 。试由n 组观测值(),i i x y ，1,2,,i n =???，用最小二乘法估计 β，并用矩法估计2 σ。 解： 对一元回归的线性模型为i i i Y x βε=+ i n = ??? 离差平方和为 ()2 1 n i i i Q y x β== -∑ 对Q 求β的偏导数，并令其为0，即 ()1 0n i i i i y x x β=-=∑ 变换得 2 1 1 1 1n n i i i i i x y x n n β=== ∑∑ 解此方程得 2 xy x β∧ = 因为 22D E σεε== i i i y x εβ=- 所以 2 2 1 1n i i i y x n σβ∧∧ =??= - ??? ∑ () () () 22212 2 22 2 2 2 222 1222 n i i i i i y x y x n y xy x xy xy x y x x ββββ∧∧=∧ ∧??= -+ ???=-+=-+ ∑ () 2 2 2 xy y x =- 其中 1 1 n i i i xy x y n == ∑ 2 2 1 1 n i i x x n == ∑ 2 2 1 1 n i i y y n == ∑

2.在考察硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同温度观察它在100m l 的水中溶解的硝酸钠的重量，获得观察结果如下： 从经验和理论知i Y 和i x 之间有下述关系式i i i Y x αβε=++，1,2,,9i =??? 其中各i ε相互独立，并且都服从正态分布()2 0,N σ。试用最小二乘法估计参数,αβ ，并 用矩法估计2σ。 解： 将 26x = 90.14y = 2736.511xy = 2 451.11x m = 2 342.665 y m = 代入得 22 2 2 2 2 2736.51126 90.14 0.8706 451.11 90.140.870626 67.5088 342.665 0.8706 451.11 0.7487 x y x xy x y m y x m m βαβσ β∧ ∧ ∧ ∧ ∧--?= = ==-=- ?==-=-?= 3.为了得到一元线性回归分析的简化计算法，作变换101 ,,1,2,,, i i i i x c y c u v i n d d --= = =???且010,0d d ≠≠。若原经验回归直线方程为y x αβ∧ ∧ ∧ =+变换后经验回归直线方程为 ' ' v u αβ∧ ∧∧=+试证' ' ' 000011 1 ,d d d c c d d ββααβ∧ ∧∧ ∧∧= =+- ，并且 2 2 ''2 01 1 n n i i i i i i y x d v u αβαβ∧∧ ∧∧==?? ? ?--=-- ? ?? ??? ∑∑ 证明： ' 002 2 1 1 d d uv u v d d u u β∧-= - ()() () 01 2 1 1 n i i i n i i u u v v d d u u ==--= -∑∑

第五章统计量及其分布

第五章统计量及其分布 一、教材说明 本章内容包括：总体与样本，样本数据的整理与显示，统计量及其分布，三大抽样分布.本章的基本概念和重要结论是学习数理统计的基础. 1、教学目的与教学要求 1）掌握数理统计的总体、样本、样本经验分布函数、统计量及常用统计量等基本概念. 2）掌握三大分布的定义，并能熟练应用来求随机变量的分布. 3）牢记Fisher定理的内容及其三大推论. 4）使学生了解数理统计研究问题的方法与概率论研究问题方法的不同. 5）了解如何对样本数据进行整理与现实. 2、本章重点与难点 本章重点是数理统计的基本概念、三大分布的定义、Fisher定理及其推论.难点是Fisher 定理结合三大分布来求随机变量的分布. 二、教学内容 本章共分总体与样本、样本数据的整理与显示、统计量及其分布、三大抽样分布等4节来讲述本章的基本内容. §5.1总体与样本 教学目的：要求学生理解数理统计的两个基本概念:总体和样本，以及与这两个基本概念相关的统计基本思想和样本分布. 教学重点:掌握数理统计的基本概念和基本思想. 教学难点：掌握数理统计的基本概念和基本思想. 5.1.1总体与样本 在一个统计问题中，把研究对象的全体称为总体，构成总体的每个成员称为个体.对于实际问题，总体中的个体是一些实在的人或物.比如，我们要研究某大学的学生身高情况，则该大学的全体学生构成问题的总体，而每一个学生即是一个个体.事实上，每一个学生有许多特征：性别、年龄、身高、体重等等，而在该问题中，我们关心的只是该校学生的身高如何，对其他的特征暂不考虑.这样，每个学生（个体）所具有的数量指标——身高就是个体，而所有身高全体看成总体.这样，抛开实际背景，总体就是一堆数，这堆数中有大有小，有的出现机会多，有的出现机会小，因此用一个概率分布去描述和归纳总体是合适的，从这个意义上说： 总体就是一个分布，而其数量指标就是服从这个分布的随机变量. 例5.1.1 考察某厂的产品质量，将其产品分为合格品和不合格品，并以0记合格品，以1记不格品，若以p表示不合格品率，则各总体可用一个二点分布表示： 不同的p反映了总体间的差异. 在有些问题中，我们对每一研究对象可能要观测两个或更多个指标，此时可用多维随机

数理统计第四章作业答案

习题4作业答案4.2 解： 提出假设：

4.6 解：本题为双因素无重复实验方差分析提出如下假设：

查F 表得：F0.05（2，6）= 5.14， F0.05（3，6）=4.76 因此，FA> F0.05（2，6）, FB> F0.05（3，6） 所以拒绝原假设H01，H02，认为使用不同的促进剂和不同分量的氧化锌，对定强有显著影响。 补充：具体计算过程仅供参考 4.9 为考虑合成纤维中对纤维弹性有影响的二个因素：收缩率A 和总拉伸倍数B 。现就A 和B 各取4种水平做实验，在每一组合水平下各作2次试验，试验结 和总拉伸倍数分别对纤维弹性有无显著影响？并问二者对纤维弹性有无显著交互作用（α=0.05）？ 解：提出如下假设 H 01：收缩率对纤维弹性无显著影响； H 02：总拉伸倍数对纤维弹性无显著影响； H 03：收缩率和总拉伸倍数对纤维弹性无显著交互作用； 其中，由S ij?=∑x ijk l k=1，i =1,2,3,4，j =1,2,3,4，分别有 S 11?=∑x 11k 2k=1=144，S 21?=∑x 21k 2k=1=148，

S 12?=∑x 12k 2k=1=145，S 22?=∑x 22k 2k=1=150， S 13?=∑x 13k 2k=1=148，S 23?=∑x 23k 2k=1=155， S 14?=∑x 14k 2k=1=152，S 24?=∑x 24k 2k=1=148， S 31?=∑x 31k 2k=1=149，S 41?=∑x 41k 2k=1=148， S 32?=∑x 32k 2k=1=156，S 42?=∑x 42k 2k=1=145， S 33?=∑x 33k 2k=1=149，S 43?=∑x 43k 2k=1=141， S 34?=∑x 34k 2k=1=147，S 44?=∑x 44k 2k=1=138， 每行的和为 S 1??=∑∑x 1jk 2k=14j=1=589，S 2??=∑∑x 2jk 2 k=14j=1=601， S 3??=∑∑x 3jk 2k=14j=1=601，S 4??=∑∑x 4jk 2k=14j=1=572， 每列的和为 S ?1?=∑∑x i1k 2k=14i=1=589，S ?2?=∑∑x i2k 2 k=14i=1=596， S ?3?=∑∑x i3k 2k=14i=1=593，S ?4?=∑∑x i4k 2 k=14i=1=585， 则所有数据总和为S =∑∑∑x ijk 2k=14j=14i=1=2363， 数据平方总和为SS =∑∑∑x ijk 22k=14j=14i=1=174673， 故Q A =1 sl ∑S i??2r i=1?1 rsl S 2=1 4×2∑S i??24i=1?1 4×4×2S 2=70.59， Q B =1 rl ∑S ?j?2s j=1?1 rsl S 2=1 4×2∑S ?j?24j=1?1 4×4×2S 2=8.59， Q E =SS ?1 l ∑∑S ij?2s j=1r i=1=SS ?1 2∑∑S ij?24j=14i=1=21.5， Q T =SS ?1rsl S 2=174673?1 4×4×2×23632=180.22， Q I =Q T ?Q A ?Q B ?Q E =79.54， 对给定的水平α=0.05，查表得F 0.05(3,16)=3.24，F 0.05(9,16)=2.54，因为F A =17.56>3.24，F B =2.13<3.24，F I =6.60>2.54，故接受H 02，拒绝H 01和H 03，即认为总拉伸倍数对纤维弹性无显著影响，收缩率对纤维弹性有显著影响，且收缩率和总拉伸倍数对纤维弹性有显著交互作用。 4.11 九二零是一种植物生长调节剂，某微生物厂生产的九二零存在着产品效价低，成本高等问题，为解决这一问题，用正交安排试验，选取的因素及水平如下表： L 8(27)的第1,2,4,7列上，所得试验结果（效价：万单位）依次为： 2.05, 2.24, 2.44, 1.10, 1.50, 1.35, 1.26, 2.00.

概率论与数理统计第五章习题解答.dot资料

第五章 假设检验与一元线性回归分析 习题详解 5.01 解：这是检验正态总体数学期望μ是否为32.0 提出假设：0.32:, 0.32:10≠=μμH H 由题设，样本容量6n =， 21.12=σ，1.121.10==σ，所以用U 检验 当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~61 .10 .320 N X n X U -= -= σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}|{|=≥λU P ,查表得96.1=λ 得到拒绝域: 96.1||≥u 计算得： 6.31)6.318.310.326.310.306.32(6 1=+++++?=x 89.061 .10 .326.310 0-=-= -= n x u σμ 因 0.89 1.96u =< 它没有落入拒绝域，于是不能拒绝H 0，而接受H 0，即可以认为 0.32=μ，所以可以认为这批机制砖的平均抗断强度μ显著为 32.0kg/cm 2。 5.02 解：这是检验正态总体数学期望μ是否大于10 提出假设：10:, 10:10>≤μμH H 即：10:, 10:10>=μμH H 由题设，样本容量5n =，221.0=σ，1.01.020==σ，

km x 万1.10=，所以用U 检验 当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~51 .010 N X n X U -= -= σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}{='≥λU P ,查表得64.1'=λ 得到拒绝域: 64.1≥u 计算得： 24.251 .010 1.100 =-= -= n x u σμ 因 2.24 1.64u => 它落入拒绝域，于是拒绝零假设 H 0，而接受备择假设H 1，即可认为10>μ 所以可以认为这批新摩托车的平均寿命μ有显者提高。 5.03 解：这是检验正态总体数学期望μ是否小于240 提出假设：240:,240:10<≥μμH H 即：240:, 240:10<=μμH H 由题设，样本容量6n =，6252=σ，256250==σ，220=x ，所以用U 检验 当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~625 240 N X n X U -= -= σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}{='-≤λU P ,查表得64.1'=λ 得到拒绝域: 64.1-≤u 计算得：959.1625 240 2200 -=-= -= n x u σμ 因 1.959 1.64u =-<-

次序统计量及其分布

§5.3次序统计量及其分布 次序统计量在近代统计推断中起着重要的作用，这是由于次序统计量有一些性质不依赖于母体的分布并且计算量很小，使用起来较方便。因此在质量管理、可靠性等方面得到广泛的应用，现在我们在本节中扼要地介绍有关次序统计量的内容。gjzsj 设1ξ，2ξ，…，n ξ是取自分布函数为F （x ）的母体ξ的一个子样，x 1，x 2，… ，x n 表示这子样的一组观测值。这些观测值，由小到大的排列用x )1(，x )2(，… ，x )(n 表示，即x )1(≤x )2(≤… ≤x )(n ，若其中有两个分量x 1与x 2相等，它们先后次序的安排是可以任意的。 定义5.3 第i 个次序统计量ξ)(i 是上述子样1ξ，2ξ，…，n ξ这样的一个的一个函数，不论子样1ξ，2ξ，…，n ξ取得怎样一组观测值x 1，x 2，… ，x n ，它总是取其中的x )(i 为观测值。 显然，对于容量为n 的子样可以得到n 个次序统计量ξ)1(≤ξ)2(≤… ≤ξ)(n ，其中ξ)1(称做最小次序统计量，ξ)(n 称做最大次序统计量。 如果1ξ，2ξ，…，n ξ是来自同一母体的n 个相互独立随机变量，那么次序统计量1ξ，2ξ，…，n ξ是否也相互独立呢？这可以从下述例子中看出（例略）。 定理5.5 设母体ξ有密度函数f (x)>0，a ≤x ≤b ,并且1ξ，2ξ，…，n ξ为取自这母体的一个子样，则第i 个次序统计量的密度函数为 g i (y)=?? ???≤≤-----其他,0),()](1][)([)!()!1(!1b y a y f y F y F i n i n i n i （5.24） 例5.3 设母体ξ有密度函数 ? ??<<=其他,010,2)(x x x f 并且ξ)1(<ξ)2(<ξ)3(<ξ)4(为从ξ取出的容量为4的子样的次序统计量。求ξ)3(的密度函数)(3x g 和分布函数)(3x G ，并且计算概率)2 1()3(>ξP 。

概率论与数理统计浙江大学第四版-课后习题答案(完全版)

概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学) 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ???????=n n n n o S 1001, ，n 表小班人数 （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n ，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生。

表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。 表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C （4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC （5）A ，B ，C 都不发生， 表示为：C B A 或S － (A+B+C)或 C B A ?? （6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：C A C B B A ++。 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生。 相当于：C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB +BC +AC 6.[三] 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？

数理统计第4章答案

数理统计第四章习题答案 1、 为了对一元方差分析表作简化计算，对测定值ij x 作变换()ij ij y b x c =-，其中b 、c 是 常数，且0b ≠。试用ij y 表示组内离差和组间离差，并用它们表示F 的值。 1 1 11112 21 1 22 2 1 1 11 ()() 1()() 1 1011 ()()111 ()() i i i i n n i ij ij i j j i i n n r r ij ij i j i j i i r r A i i i i i i r r i i i i i i y b x c bx bc b X c n n b y b x c x bc b X c n n X c y X c y b b b S n X X n c y c y b b n y y n y y b b b =========== -=-=-=-=-=-∴=+ =+ ≠=-=+ --=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 令2 21 () r A i i A i S n y y b S ='=-=∑ 2222 2 1111 22 22 1111 111 11 ()()11 ()()r r r r A A A A A A n n r r E ij i ij i i j i j n n r r ij i ij i i j i j S b S S b S r r S S b S x X c y c y b b y y y y b b ========''===--'∴==-=+--=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑ 令2211 ()r n r E ij i E i j S y y b S =='=-=∑∑

《概率论与数理统计》习题及答案第四章

《概率论与数理统计》习题及答案 第 四 章 1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以,X Y 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(,)X Y 的分布列.解(,)X Y 的分布列为 其中(1,1)(1)(1|1)0P X Y P X P Y X ======= 余者类推。 2．将一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)X Y 的分布列及边缘分布列。解一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故 1~(3, ).2X B 331 ()(),0,1,2,32 k P X k C k ===，于是(,)X Y 的分布列和边缘分布为 01013818i p ? 其中(0,1)(0)(1|0)0P X Y P X P Y X =======， 13 313(1,1)(1)(1|1)()128 P X Y P X P Y X C =======?=，

余者类推。 3．设(,)X Y 的概率密度为 又（1）{(,)|1,3}D x y x y =<<；（2）{(,)|3}D x y x y =+<。求{(,)}P X Y D ∈ 解（1）1 3 21 {(,)}(6)8P x y D x y dxdxy ∈ = --? =32 1 (6)8 x x y dxdy --- = )落在圆222 ()x y r r R +≤<内的概率. 解（1）222 23 20 1(R x y R C R dxdy C R C r drd ππθ+≤==-??? ? 33 3233R R C R C πππ??=-=??? ?， ∴3 3 C R π=. （2）设2 2 2 {(,)|}D x y x y r =+≤，所求概率为 322 3 23232133r r r Rr R R R πππ???? =-=-?????? ?? . 5．已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为 求X 和Y 的联合分布函数. 解1设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则 解2由联合密度可见，,X Y 独立，边缘密度分别为 边缘分布函数分别为(),()X Y F x F y ，则 设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则 6．设二维随机变量(,)X Y 在区域:0D x <<求边缘概率密度。 解(,)X Y 的概率密度为 关于X 和Y 的密度为