人教中考数学易错题专题训练-旋转练习题附答案
一、旋转 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.请认真阅读下面的数学小探究系列,完成所提出的问题:
()1探究1:如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90ACB ∠=,BC a =,将边AB 绕点B
顺时针旋转90得到线段BD ,连接.CD 求证:BCD 的面积为2
1.(2
a 提示:过点D 作BC 边上的高DE ,可证ABC ≌
)BDE
()2探究2:如图2,在一般的Rt
ABC 中,90ACB ∠=,BC a =,将边AB 绕点B 顺
时针旋转90得到线段BD ,连接.CD 请用含a 的式子表示BCD 的面积,并说明理由.
()3探究3:如图3,在等腰三角形ABC 中,AB AC =,BC a =,将边AB 绕点B 顺时针
旋转90得到线段BD ,连接.CD 试探究用含a 的式子表示BCD 的面积,要有探究过程.
【答案】(1)详见解析;(2)BCD 的面积为
2
12
a ,理由详见解析;(3)BCD 的面积为
2
14a . 【解析】 【分析】
()1如图1,过点D 作BC 的垂线,与BC 的延长线交于点E ,由垂直的性质就可以得出
ABC ≌
BDE ,就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论;
()2如图2,过点D 作BC 的垂线,与BC 的延长线交于点E ,由垂直的性质就可以得出
ABC ≌
BDE ,就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论;
()3如图3,过点A 作AF BC ⊥与F ,过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ,由等腰三角形
的性质可以得出1
BF BC 2
=
,由条件可以得出AFB ≌BED 就可以得出BF DE =,由
三角形的面积公式就可以得出结论. 【详解】
()1如图1,过点D 作DE CB ⊥交CB 的延长线于E ,
BED ACB 90∠∠∴==,
由旋转知,AB AD =,ABD 90∠=,
ABC DBE 90∠∠∴+=,
A ABC 90∠∠+=, A DBE ∠∠∴=, 在ABC 和BDE 中, AC
B BED A DBE AB BD ∠=∠??
∠=∠??=?
, ABC ∴≌
()BDE AAS
BC DE a ∴==,
BCD 1
S
BC DE 2=?,
2BCD 1
S a 2
∴=;
()2BCD 的面积为21a 2
,
理由:如图2,过点D 作BC 的垂线,与BC 的延长线交于点E ,
BED ACB 90∠∠∴==,
线段AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BE ,
AB BD ∴=,ABD 90∠=,
ABC DBE 90∠∠∴+=,
A ABC 90∠∠+=, A DBE ∠∠∴=, 在ABC 和BDE 中,
ACB BED A DBE AB BD ∠=∠??
∠=∠??=?
, ABC ∴≌
()BDE AAS ,
BC DE a ∴==,
BCD 1
S
BC DE 2=?,
2BCD 1
S a 2
∴=;
()3如图3,过点A 作AF BC ⊥与F ,过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ,
AFB E 90∠∠∴==,11BF BC a 22
=
=, FAB ABF 90∠∠∴+=,
ABD 90∠=,
ABF DBE 90∠∠∴+=,
FAB EBD ∠∠∴=,
线段BD 是由线段AB 旋转得到的,
AB BD ∴=,
在AFB 和BED 中, AFB E FAB EBD AB BD ∠=∠??
∠=∠??=?
, AFB ∴≌
()BED AAS ,
1BF DE a 2
∴==, 2BCD
1111
S
BC DE a a a 2224
=
?=??=, BCD ∴的面积为21
a 4
.
【点睛】
本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等,综合性较强,有一定的难度,正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运
用相关的性质与定理是解题的关键.
2.如图1,菱形ABCD ,AB 4=,ADC 120∠=,连接对角线AC 、BD 交于点O ,
()1如图2,将
AOD 沿DB 平移,使点D 与点O 重合,求平移后的A'BO 与菱形ABCD
重合部分的面积.
()2如图3,将
A'BO 绕点O 逆时针旋转交AB 于点E',交BC 于点F ,
①求证:BE'BF 2+=;
②求出四边形OE'BF 的面积.
【答案】() 13?2①证明见解析3【解析】 【分析】
(1)先判断出△ABD 是等边三角形,进而判断出△EOB 是等边三角形,即可得出结论; (2)先判断出 ≌△OBF ,再利用等式的性质即可得出结论; (3)借助①的结论即可得出结论. 【详解】
()
1四边形为菱形,ADC 120∠=,
ADO 60∠∴=,
ABD ∴为等边三角形,
DAO 30∠∴=,ABO 60∠=,
∵AD//A′O , ∴∠A′OB=60°,
EOB ∴为等边三角形,边长OB 2=,
∴重合部分的面积:3434
?=
()2①在图3中,取AB 中点E ,
由()1知,∠EOB=60°,∠E′OF=60°,
∴∠EOE′=∠BOF,
又∵EO=BO,∴∠OEE′=∠OBF=60°,
∴△OEE′≌△OBF,
∴EE′=BF,
∴BE′+BF=BE′+EE′=BE=2;
②由①知,在旋转过程中始终有△OEE′≌△OBF,∴S△OEE′=S△OBF,
∴S
四边形OE′BF =
OEB
S3
=.
【点睛】
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,综合性较强,熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.
3.在正方形ABCD中,连接BD.
(1)如图1,AE⊥BD于E.直接写出∠BAE的度数.
(2)如图1,在(1)的条件下,将△AEB以A旋转中心,沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′,AB′与BD交于M,AE′的延长线与BD交于N.
①依题意补全图1;
②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系,并证明.
(3)如图2,E、F是边BC、CD上的点,△CEF周长是正方形ABCD周长的一半,AE、AF 分别与BD交于M、N,写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路.(不必写出完整推理过程)
【答案】(1)45°;(2)①补图见解析;②B M、DN和MN之间的数量关系是
BM2+MD2=MN2,证明见解析;(3)答案见解析.
【解析】
(1)利用等腰直角三角形的性质即可;
(2)依题意画出如图1所示的图形,根据性质和正方形的性质,判断线段的关系,再利用勾股定理得到FB2+BM2=FM2,再判断出FM=MN即可;
(3)利用△CEF周长是正方形ABCD周长的一半,判断出EF=EG,再利用(2)证明即可.解:(1)∵BD是正方形ABCD的对角线,∴∠ABD=∠ADB=45°,
∵AE⊥BD,∴∠ABE=∠BAE=45°,
(2)①依题意补全图形,如图1所示,
②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2=MN2,
将△AND绕点D顺时针旋转90°,得到△AFB,
∴∠ADB=∠FBA,∠BAF=∠DAN,DN=BF,AF=AN,
∵在正方形ABCD中,AE⊥BD,∴∠ADB=∠ABD=45°,
∴∠FBM=∠FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°,
在Rt△BFM中,根据勾股定理得,FB2+BM2=FM2,
∵旋转△ANE得到AB1E1,∴∠E1AB1=45°,∴∠BAB1+∠DAN=90°﹣45°=45°,
∵∠BAF=DAN,∴∠BAB1+∠BAF=45°,∴∠FAM=45°,∴∠FAM=∠E1AB1,
∵AM=AM,AF=AN,∴△AFM≌△ANM,∴FM=MN,
∵FB2+BM2=FM2,∴DN2+BM2=MN2,
(3)如图2,
将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,∴DF=GB,
∵正方形ABCD的周长为4AB,△CEF周长为EF+EC+CF,
∵△CEF周长是正方形ABCD周长的一半,∴4AB=2(EF+EC+CF),∴2AB=EF+EC+CF
∵EC=AB﹣BE,CF=AB﹣DF,∴2AB=EF+AB﹣BE+AB﹣DF,∴EF=DF+BE,
∵DF=GB,∴EF=GB+BE=GE,由旋转得到AD=AG=AB,
∵AM=AM,∴△AEG≌△AEF,∠EAG=∠EAF=45°,和(2)的②一样,得到
DN2+BM2=MN2.
“点睛”此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质、旋转的性质,三角形的全等,判
断出(△AFN≌△ANM,得到FM=MM),是解题的关键.
4.正方形ABCD的边长为1,对角线AC与BD相交于点O,点E是AB边上的一个动点(点E不与点A、B重合),CE与BD相交于点F,设线段BE的长度为x.
(1)如图1,当AD=2OF时,求出x的值;
(2)如图2,把线段CE绕点E顺时针旋转90°,使点C落在点P处,连接AP,设△APE 的面积为S,试求S与x的函数关系式并求出S的最大值.
【答案】(1)x=﹣1;
(2)S=﹣(x﹣)2+(0<x<1),
当x=时,S的值最大,最大值为,.
【解析】
试题分析:(1)过O作OM∥AB交CE于点M,如图1,由平行线等分线段定理得到
CM=ME,根据三角形的中位线定理得到AE=2OM=2OF,得到OM=OF,于是得到BF=BE=x,
求得OF=OM=解方程,即可得到结果;
(2)过P作PG⊥AB交AB的延长线于G,如图2,根据已知条件得到∠ECB=∠PEG,根据
全等三角形的性质得到EB=PG=x,由三角形的面积公式得到S=(1﹣x)?x,根据二次函数的性质即可得到结论.
试题解析:(1)过O作OM∥AB交CE于点M,如图1,
∵OA=OC,
∴CM=ME,
∴AE=2OM=2OF,
∴OM=OF,
∴,
∴BF=BE=x,
∴OF=OM=,
∵AB=1,
∴OB=,
∴,
∴x=﹣1;
(2)过P作PG⊥AB交AB的延长线于G,如图2,
∵∠CEP=∠EBC=90°,
∴∠ECB=∠PEG,
∵PE=EC,∠EGP=∠CBE=90°,
在△EPG与△CEB中,
,
∴△EPG≌△CEB,
∴EB=PG=x,
∴AE=1﹣x,
∴S=(1﹣x)?x=﹣x2+x=﹣(x﹣)2+,(0<x<1),∵﹣<0,
∴当x=时,S的值最大,最大值为,.
考点:四边形综合题
5.在△ABC中,AB=AC,将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD,旋转角为,且,连接AD、BD.
(1)如图1,当∠BAC=100°,时,∠CBD 的大小为_________;
(2)如图2,当∠BAC=100°,时,求∠CBD的大小;
(3)已知∠BAC的大小为m(),若∠CBD 的大小与(2)中的结果相同,请直接写出的大小.
【答案】(1)30°;(2)30°;(3)α=120°-m°,α=60°或α=240-m°.
【解析】
试题分析:(1)由∠BAC=100°,AB=AC,可以确定∠ABC=∠ACB=40°,旋转角为α,α=60°时△ACD是等边三角形,且AC=AD=AB=CD,知道∠BAD的度数,进而求得∠CBD的大小.(2)由∠BAC=100°,AB=AC,可以确定∠ABC=∠ACB=40°,连结DF、BF.AF=FC=AC,
∠FAC=∠AFC=60°,∠ACD=20°,由∠DCB=20°案.依次证明△DCB≌△FCB,
△DAB≌△DAF.利用角度相等可以得到答案.
(3)结合(1)(2)的解题过程可以发现规律,求得答案.
试题解析:(1)30°;(2)30°;
(2)如图作等边△AFC,连结DF、BF.
∴AF=FC=AC,∠FAC=∠AFC=60°.
∵∠BAC=100°,AB=AC,∴∠ABC=∠BCA=40°.
∵∠ACD=20°,∴∠DCB=20°.
∴∠DCB=∠FCB=20°.①
∵AC=CD,AC=FC,∴DC=FC.②
∵BC=BC,③
∴由①②③,得△DCB≌△FCB,
∴DB=BF,∠DBC=∠FBC.
∵∠BAC=100°,∠FAC=60°,∴∠BAF=40°.
∵∠ACD=20°,AC=CD,∴∠CAD=80°.∴∠DAF=20°.
∴∠BAD=∠FAD=20°.④
∵AB=AC,AC=AF,∴AB=AF.⑤
∵AD=AD,⑥
∴由④⑤⑥,得△DAB≌△DAF.∴FD=BD.∴FD=BD=FB.∴∠DBF=60°.∴∠CBD=30°.
(3)α=120°-m°,α=60°或α=240-m°.
考点:1.全等三角形的判定和性质;2.等边三角形的判定和性质.
6.在△AOB中,C,D分别是OA,OB边上的点,将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′.(1)如图1,若∠AOB=90°,OA=OB,C,D分别为OA,OB的中点,证明:①AC′=BD′;
②AC′⊥BD′;
(2)如图2,若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ,CD∥AB,AC′与BD′交于点E,猜想
∠AEB=θ是否成立?请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;
(2)成立,理由见解析
【解析】
试题分析:(1)①由旋转的性质得出OC=OC′,OD=OD′,∠AOC′=∠BOD′,证出
OC′=OD′,由SAS证明△AOC′≌△BOD′,得出对应边相等即可;
②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′,又由对顶角相等和三角形内角和定理得出
∠BEA=90°,即可得出结论;
(2)由旋转的性质得出OC=OC′,OD=OD′,∠AOC′=∠BOD′,由平行线得出比例式
,得出,证明△AOC′∽△BOD′,得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相
等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ.
试题解析:(1)证明:①∵△OCD旋转到△OC′D′,
∴OC=OC′,OD=OD′,∠AOC′=∠BOD′,
∵OA=OB,C、D为OA、OB的中点,
∴OC=OD,
∴OC′=OD′,
在△AOC′和△BOD′中,,
∴△AOC′≌△BOD′(SAS),
∴AC′=BD′;
②延长AC′交BD′于E,交BO于F,如图1所示:
∵△AOC′≌△BOD′,
∴∠OAC′=∠OBD′,
又∠AFO=∠BFE,∠OAC′+∠AFO=90°,
∴∠OBD′+∠BFE=90°,
∴∠BEA=90°,
∴AC′⊥BD′;
(2)解:∠AEB=θ成立,理由如下:如图2所示:
∵△OCD旋转到△OC′D′,
∴OC=OC′,OD=OD′,∠AOC′=∠BOD′,
∵CD∥AB,
∴,
∴,
∴,
又∠AOC′=∠BOD′,
∴△AOC′∽△BOD′,
∴∠OAC′=∠OBD′,
又∠AFO=∠BFE,
∴∠AEB=∠AOB=θ.
考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;旋转的性质.
7.在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O;在Rt△PMN中,∠MPN90°.(1)如图1,若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB,分别交AD、AB于点E、F,请直接写出PE与PF的数量关系;
(2)将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α(0°<α<45°).
①如图2,在旋转过程中(1)中的结论依然成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
②如图2,在旋转过程中,当∠DOM15°时,连接EF,若正方形的边长为2,请直接写出线段EF的长;
③如图3,旋转后,若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动(不与点O、B重合),当BD3BP时,猜想此时PE与PF的数量关系,并给出证明;当BD m·BP时,请直接写出PE与PF的数量关系.
【答案】(1)PE=PF;(2)①成立,理由参见解析;②;③PE=2PF,理由参见解析;PE=(m-1)·PF.
【解析】
试题分析:(1)可利用角平分线性质定理得到PE=PF;(2)①成立,可用角边角定理判定△AOF≌△DOE,从而得到PE=PF;②要想求出EF的长,关键要求出OE的长,由
∠DOM15°可得∠AEO=45+15=60o,作OH⊥AD于H,若正方形的边长为2,则OH=1,
可算出EH==,∴OE=,∵△EOF是等腰直角三角形,∴EF即可求出;③构建相似三角形,过P点作PH⊥AB,PK⊥AD ,垂足为H、K,则四边形AHPK为矩形,△PHB和△PKD都是等腰直角三角形,是相似的,∵BD3BP,∴可算出HP:PK的值,然后通过
△FHP∽△PKE得到PE与PF的关系.由前面的思路可得出当BD=m·BP时,BD:PD=(m-1):1,∴PE:PF=(m-1):1,从而确定PE与PF的数量关系.
试题解析:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠OAF=∠OAE=45o,又∵PM⊥AD、
PN⊥AB,∴PE=PF;(2)①成立,PE仍等于PF,∵四边形ABCD是正方形,
∴∠OAF=∠ODE=45o,OA=OD,又∵∠AOF和∠DOE都是∠AOE的余角,
∴∠AOF=∠DOE,∴△AOF≌△DOE(ASA),∴OE=OF,即PE=PF;②作OH⊥AD于H,由∠DOM15°可得∠AEO=45+15=60o,∠HOE=30°,若正方形的边长为2,则OH=1,在
Rt△HEO中,可算出EH==,∴OE=,∵△EOF是等腰直角三角形,
∴EF=OE=×=;③构建相似三角形,过P点作PH⊥AB,PK⊥AD ,垂足为H、K,则四边形AHPK为矩形,∵∠PHB=∠PKD=90°∠PBH=∠PDK=45°,
∴△PHB∽△PKD,∴,∵BD=3BP,∴=,
∵∠HPF+∠FPK=90°∠KPE+∠FPK=90°,∴∠HPF=∠KPE,又∵∠PHF=∠PKE=90°,
∴△PHF∽△PKE,∴=,即PE="2PF" ;当BD=m·BP时,BD:PD=(m-1):1,△PHF∽△PKE,PE:PF=BD:PD=(m-1):1,∴PE=(m-1)·PF.
考点:1.正方形性质;2.三角形相似的判定;3.旋转性质;4.探索线段的数量关系规律.
8.如图1,O为直线AB上一点,OC为射线,∠AOC=40°,将一个三角板的直角顶点放在点O处,一边OD在射线OA上,另一边OE与OC都在直线AB的上方.
(1)将三角板绕点O顺时针旋转,若OD恰好平分∠AOC(如图2),试说明OE平分
∠BOC;
(2)将三角板绕点O在直线AB上方顺时针旋转,当OD落在∠BOC内部,且∠COD=
1
∠BOE时,求∠AOE的度数:
3
(3)将图1中的三角板和射线OC同时绕点O,分别以每秒6°和每秒2°的速度顺时针旋转一周,求第几秒时,OD恰好与OC在同一条直线上?
【答案】(1)证明见解析;(2)142.5°;(3)第10秒或第55秒时.
【解析】
【分析】
(1)由角平分线的性质及同角的余角相等,可得答案;
(2)设∠COD=α,则∠BOE=3α,由题意得关于α的方程,求解即可;
(3)分两种情况考虑:当OD与OC重合时;当OD与OC的反向延长线重合时.
【详解】
解:(1)∵OD恰好平分∠AOC
∴∠AOD=∠COD
∵∠DOE=90°
∴∠AOD+∠BOE=90°,∠COD+∠COE=90°
∴∠BOE=∠COE
∴OE平分∠BOC.
(2)设∠COD=α,则∠BOE=3α,当OD在∠BOC的内部时,
∠AOD=∠AOC+∠COD=40°+α
∵∠AOD+∠BOE=180°﹣90°=90°
∴40°+α+3α=90°
∴α=12.5°
∴∠AOE=180°﹣3α=142.5°
∴∠AOE的度数为142.5°.
(3)设第t秒时,OD与OC恰好在同一条直线上,则∠AOD=6t,∠AOC=2t+40°;
当OD与OC重合时,6t﹣2t=40°
∴t=10(秒);
当OD与OC的反向延长线重合时,6t﹣2t=180°+40°
∴t=55(秒)
∴第10秒或第55秒时,OD恰好与OC在同一条直线上.
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质、余角的性质,角度的计算,进行分类讨论不漏解是关键.
9.如图1,直线DE上有一点O,过点O在直线DE上方作射线OC,∠COE=140°,将一直角三角板AOB的直角顶点放在点O处,一条直角边OA在射线OD上,另一边OB在直线DE上方,将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周,设旋转时间为t秒.
(1)当直角三角板旋转到如图2的位置时,OA恰好平分∠COD,求此时∠BOC的度数;(2)若射线OC的位置保持不变,在旋转过程中,是否存在某个时刻,使得射线OA、OC、OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线?若存在,请求出t的取值,若不存在,请说明理由;
(3)若在三角板开始转动的同时,射线OC也绕O点以每秒15°的速度逆时针旋转一周,从旋转开始多长时间,射线OC平分∠BOD.直接写出t的值.(本题中的角均为大于0°且小于180°的角)
【答案】(1)∠BOC=70°;(2)存在,t=2,t=8或32;(3)1
2
或
37
2
.
【解析】
【分析】
(1)由图可知∠BOC=∠AOB﹣∠AOC,∠AOC可利用角平分线及平角的定义求出.
(2)分OA平分∠COD,OC平分∠AOD,OD平分∠AOC三种情况分别进行讨论,建立关于t的方程,解方程即可.
(3)分别用含t的代数式表示出∠COD和∠BOD,再根据OC平分∠BOD建立方程解方程即可,注意分情况讨论.
【详解】
(1)解:∵∠COE=140°,
∴∠COD=180°﹣∠COE=40°,
又∵OA平分∠COD,
∴∠AOC=1
2
∠COD=20°,
∵∠AOB=90°,
∴∠BOC=90°﹣∠AOC=70°;
(2)存在
①当OA平分∠COD时,∠AOD=∠AOC,即10°t=20°,解得:t=2;
②当OC平分∠AOD时,∠AOC=∠DOC,即10°t﹣40°=40°,解得:t=8;
③当OD平分∠AOC时,∠AOD=∠COD,即360°﹣10°t=40°,解得:t=32;
综上所述:t=2,t=8或32;
(3)1
2
或
37
2
,理由如下:
设运动时间为t,则有
①当90+10t=2(40+15t)时,t=1 2
②当270﹣10t=2(320﹣15t)时,t=37 2
所以t 的值为12或372
. 【点睛】
本题主要考查角平分线的定义以及图形的旋转,根据题意,找到两个角之间的等量关系建立方程并分情况讨论是解题的关键.
10.如图,已知Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,D 是线段AB 上的一点(不与A 、B 重合).过点B 作BE ⊥CD ,垂足为E .将线段CE 绕点C 顺时针旋转90?,得到线段CF ,连结EF .设∠BCE 度数为α. (1)①补全图形;
②试用含α的代数式表示∠CDA . (2)若
3
2
EF AB =
,求α的大小. (3)直接写出线段AB 、BE 、CF 之间的数量关系.
【答案】(1)①答案见解析;②45α?+;(2)30α=?;(3)
22222AB CF BE =+.
【解析】
试题分析:(1)①按要求作图即可;
②由∠ACB=90°,AC=BC ,得∠ABC=45°,故可得出结论; (2)易证FCE ?∽ ACB ?,得3
CF AC =
;连结FA ,得△AFC 是直角三角形,求出∠ACF=30°,从而得出结论; (3)222A 22B CF BE =+. 试题解析:(1)①补全图形.
②∵∠ACB=90°,AC=BC , ∴∠ABC=45°
∵∠BCE=
α ∴∠CDA=45α?+
(2)在FCE ?和ACB ?中,45CFE CAB ∠=∠=? ,90FCE ACB ∠=∠=?
∴ FCE ?∽ ACB ? ∴
CF EF AC AB =
3
EF AB =
∴ 32
CF AC = 连结FA .
90,90FCA ACE ECB ACE ∠=?-∠∠=?-∠
∴ FCA ECB ∠=∠=α
在Rt CFA ?中,90CFA ∠=?,3
cos FCA ∠=
∴ 30FCA ∠=?即30α=?.
(3)22222AB CF BE =+