必修四平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(附答案)
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
[学习目标] 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．
知识点一 平面向量数量积的坐标表示
若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.
即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．
思考 已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 与b 的坐标表示a ·b ？上述结论是怎样推导的？
答案 推导：∵a ＝x 1i ＋y 1 j ，b ＝x 2i ＋y 2 j ，
∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1 j )·(x 2i ＋y 2 j )
＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1 j ·i ＋y 1y 2 j 2.
又∵i ·i ＝1，j ·j ＝1，i ·j ＝j ·i ＝0，
∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.
知识点二 平面向量的模 (1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.
(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.
思考 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为平面内任意两点，试推导平面内两点间的距离公式．
答案 推导：∵AB →＝OB →－OA →
＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)
＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，
∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.
知识点三 平面向量夹角的坐标表示
设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：
cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22
. 特别地，若a ⊥b ，则有x 1x 2＋y 1y 2＝0；
反之，若x 1x 2＋y 1y 2＝0，则a ⊥b .
思考 (1)已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(1，x )，a ⊥b 则x ＝________.
(2)若a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，则a 与b 的夹角为________．
(3)已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 的形状是________三角形．
答案 (1)2 (2)34
π (3)直角
题型一 平面向量数量积的坐标运算
例1 已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10.
(1)求a 的坐标；
(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .
解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，
∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．
(2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，
a·b ＝1×2＋2×4＝10，
∴a (b·c )＝0a ＝0，
(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10)．
跟踪训练1 已知a ＝(－3，－2)，b ＝(－4，k )，若(5a －b )·(b －3a )＝－55，试求b 的坐标． 解 ∵a ＝(－3，－2)，b ＝(－4，k )，
∴5a －b ＝(－11，－10－k )．
b －3a ＝(5，k ＋6)，
∴(5a －b )·(b －3a )＝(－11，－10－k )·(5，k ＋6)
＝－55－(k ＋10)(k ＋6)＝－55，
∴(k ＋10)(k ＋6)＝0，
∴k ＝－10或k ＝－6，
∴b ＝(－4，－10)或b ＝(－4，－6)．
题型二 平面向量的夹角问题
例2 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．
解 设a 与b 的夹角为θ，
则a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0，
所以a·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.
(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1，
所以a·b <0且a 与b 不反向．
由a·b <0得1＋2λ<0，故λ<－12
， 由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．
所以λ的取值范围为?
???－∞，－12. (3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1，
所以a·b >0且a ，b 不同向．
由a·b >0，得λ>－12
，由a 与b 同向得λ＝2. 所以λ的取值范围为???
?－12，2∪(2，＋∞)．
跟踪训练2 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围． 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，
∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.
∵a ，b 的夹角α为钝角．
∴??? λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，即?????
λ<1，λ2＋2λ＋1≠0. ∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．
题型三 平面向量数量积坐标形式的综合运用
例3 已知在△ABC 中，A (2，－1)、B (3,2)、C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与
点D 的坐标．
解 设D 点坐标为(x ，y )，
则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，
BD →＝(x －3，y －2)，
∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，
∴存在实数λ，使BD →＝λBC →，
即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．
∴?????
x －3＝－6λy －2＝－3λ.
∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.①
又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，
即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.
即2x ＋y －3＝0.②
由①②可得?????
x ＝1y ＝1， 即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2)．
∴|AD →|＝(－1)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1)．
跟踪训练3 在平面直角坐标系内，已知三点A (1,0)，B (0,1)，C (2,5)，求：
(1)AB →，AC →的坐标；
(2)|AB →－AC →|的值；
(3)cos ∠BAC 的值．
解 (1)AB →＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
AC →＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)．
(2)因为AB →－AC →＝(－1,1)－(1,5)＝(－2，－4)，
所以|AB →－AC →|＝(－2)2＋(－4)2＝2 5.
(3)因为AB →·AC →＝(－1,1)·(1,5)＝4，
AB →＝2，|AC →|＝26，
cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝42×26＝21313.
当心“角”下陷阱
例4 已知a ＝(1,3)，b ＝(2，λ)，设a 与b 的夹角为θ，要使θ为锐角，求λ的取值范围． 错解 因为θ为锐角，所以cos θ>0，由a ·b ＝|a ||b |cos θ知，只需a·b >0，即1×2＋3λ>0，即
λ>－23
. 错因分析 本题误以为两非零向量a 与b 的夹角为锐角等价于a·b >0，事实上，两向量的夹
角θ∈[0，π]，当θ＝0时，有cos θ＝1>0，对于非零向量a 与b 有a·b >0.两非零向量a 与b 的夹角为锐角的等价条件是a·b >0且a 不平行于b .
正解 由θ为锐角，得cos θ>0且θ≠0，由ab ＝|a |·|b |cos θ，而|a |、|b |恒大于0，所以a·b >0，
即1×2＋3λ>0，即λ>－23
；若a ∥b ，则1×λ－2×3＝0，即λ＝6，但若a ∥b ，则θ＝0或θ＝π，这与θ为锐角相矛盾，所以λ≠6.
综上，λ>－23
且λ≠6.
1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( )
A.π6
B.π4
C.π3
D.π2
2．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )
A ．1 B. 2 C ．2 D ．4
3．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( )
A ．－4
B ．－3
C ．－2
D ．－1
4．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.
5．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．
(1)求a 与b 的夹角的余弦；
(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．
一、选择题
1．已知向量a ＝(－5,6)，b ＝(6,5)，则a 与b ( )
A ．垂直
B ．不垂直也不平行
C ．平行且同向
D ．平行且反向
2．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )
A ．－17 B.17 C ．－16 D.16
3．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．12
4．已知OA →＝(－2,1)，OB →＝(0,2)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( )
A ．(2,6)
B ．(－2，－6)
C ．(2,6)
D ．(－2,6)
5．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．25
6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.????79，73
B.????－73，－79
C.????73，79
D.????－79
，－73 二、填空题
7．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.
8．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________.
9．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为________．
10．设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是____________________．
三、解答题
11．在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值．
12．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
13．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．
当堂检测答案
1．答案 B
解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5.
∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22
. 又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，
∴a 与b 的夹角为π4
. 2．答案 C
解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n ＝±3. ∴|a |＝12＋n 2＝2.
3．答案 B
解析 因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，
由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
4．答案 8 2
解析 ∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，
∴a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，
∴c ＝a －6b ，
∴c 2＝a 2－12a ·b ＋36b 2＝20－12×6＋36×5＝128.
∴|c |＝8 2.
5．解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，
∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝255＝2525
. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，
又(a －λb )⊥(2a ＋b )，
∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，
∴λ＝529
. 课时精练答案
一、选择题
1．答案 A
解析 a·b ＝－5×6＋6×5＝0，
∴a ⊥b .
2．答案 A
解析 由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，
知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)．
又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，
∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17
. 3．答案 B
解析 a ＝(2,0)，|b |＝1，
∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.
∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3.
4．答案 D
解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，
BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)．
由AC →∥OB →，BC →⊥AB →，得
????? －2(x ＋2)＝0，2x ＋y －2＝0，解得?????
x ＝－2，y ＝6. ∴点C 的坐标为(－2,6)．
5．答案 C
解析 ∵|a ＋b |＝52，
∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2
＝5＋2×10＋b 2＝(52)2，
∴|b |＝5.
6．答案 D
解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①
又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②
解得①②得x ＝－79，y ＝－73
.
二、填空题
7．答案 1
解析 a －2b ＝(1，3)，
(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.
8．答案 (－4,8)
解析 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0，
则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，
∴b ＝－4a ＝(－4,8)．
9．答案 655
解析 设a 、b 的夹角为θ，
则cos θ＝2×(－4)＋3×7
22＋32(－4)2＋72＝55
， 故a 在b 方向上的投影为
|a |cos θ＝13×55＝655
. 或直接根据a·b |b |
计算a 在b 方向上的投影． 10．答案 x <85且x ≠－52
解析 ∵θ为钝角，∴cos θ＝a ·b |a ||b |
<0， 即a ·b ＝－8＋5x <0，∴x <85
. ∵a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52
， 当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12
b ， ∴a 与b 反向，即θ＝π.
故a 与b 的夹角为钝角时，
x <85且x ≠－52
. 三、解答题
11．解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，
∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．
若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23
； 若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，
∴k ＝113
； 若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0，
∴k ＝3±132. 故所求k 的值为－23或113或3±132
. 12．解 (1)∵a ⊥b ，
∴a ·b ＝0，即1×(2x ＋3)＋x ×(－x )＝0，
解得x ＝－1或x ＝3.
(2)∵a ∥b ，∴1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，
解得x ＝0或x ＝－2.
又|a －b |＝(a －b )2
＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，
∴|a －b |＝2或2 5.
13．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，
∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，
又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .
(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，
∴AB →＝DC →.
设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，
∴????? x ＋1＝1，y －4＝1， 得?????
x ＝0，y ＝5. ∴C 点坐标为(0,5)．
由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，
所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0，
|AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5.
设AC →与BD →夹角为θ，则
cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|
＝1620＝45>0， ∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45
.
最新25平面向量数量积的坐标表示汇总
25平面向量数量积的 坐标表示
平面向量数量积的坐标表示（1） 教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式。 ⑶能用所学知识解决有关综合问题。 教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与ｂ，作?Skip Record If...?＝a，?Skip Record If...?＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫a与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cosθ， （０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0。 C 3．向量的数量积的几何意义： 数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积。 4．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1）e?a = a?e =|a|cosθ；2）a⊥b?a?b = 0 3）当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = -|a||b|。 特别的a?a = |a|2或?Skip Record If...? 4）cosθ =?Skip Record If...?；5）|a?b| ≤ |a||b|
5． 平面向量数量积的运算律 交换律：a ? b = b ? a 数乘结合律：(?Skip Record If...?a )?b =?Skip Record If...?(a ?b ) = a ?(?Skip Record If...?b ) 分配律：(a + b )?c = a ?c + b ?c 二、讲解新课： ⒈平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，试用 ?Skip Record If...?和?Skip Record If...?的坐标表示?Skip Record If...?。 设?Skip Record If...?是?Skip Record If...?轴上的单位向量，?Skip Record If...?是?Skip Record If...?轴上的单位向量，那么 ?Skip Record If...?，?Skip Record If...? 所以?Skip Record If...??Skip Record If...? 又?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? 所以?Skip Record If...??Skip Record If...? 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 即?Skip Record If...??Skip Record If...? 2.平面内两点间的距离公式 （1）设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?或?Skip Record If...?。 （2）如果表示向量?Skip Record If...?的有向线段的起点和终点的坐标分别为?Skip Record If...?、?Skip Record If...?，那么?Skip Record If...?(平面内两点间的距离公式) 3.向量垂直的判定 1)
平面向量数量积的坐标表示模夹角
§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教材分析 本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段．它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一． 课时分配 本节内容用1课时的时间完成. 课题：§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教学目标 重点：平面向量数量积的坐标表示. 难点：向量数量积的坐标表示的应用. 知识点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 能力点：通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法. 教育点：经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神. 自主探究点：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 考试点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 易错易混点：若非零向量与的夹角为锐角（钝角），则0(<0)>?a b ，反之不成立. 拓展点：1221//0x y x y ?-=a b 与12120x x y y ⊥?+=a b ． 教具准备：多媒体和实物展台 课堂模式 一、引入新课 复习 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量与，作OA =a ，OB =b ，则(0π)AOB θθ∠=≤≤叫与的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量 cos θa b 叫与的数量积，记作?a b ，即有?a b =cos θa b ，(0π)θ≤≤．并规定0与任何向量的数量积为0． 平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变．向量的坐标表示，对向量的加、减、数乘运算带来了很大的方便．若已知向量与的坐标，则其数量积是唯一确定的，因此，如何用坐标表示向量的数量积就成为我们需要研究的课题． 【设计意图】回顾两个非零向量夹角的概念及平面向量数量积的意义，为探究数量积的坐标表示做好准备．创设情境激发学生的学习兴趣． 二、探究新知 1．探究一：已知两个非零向量 ()()1122,,,x y x y =a =b ,怎样用与的坐标表示数量积?a b 呢？ 因为()()1122x y x y ?++a b =i j i j 22 12122112x x x y x y y y =+?+?+i i j i j j 又1?=i i ，1?=j j ，0?=?=i j j i ，所以?a b 2121y y x x +=． 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．即?a b 2121y y x x +=． 【设计意图】问题引领，培养学生的探索研究能力 2.．探究二：探索发现向量的模的坐标表达式
利用坐标计算数量积
利用坐标计算数量积 各位评委老师，你们好 ! 我是8号考生，今天我说课的题目是《利用坐标计算数量积》，下面我将从教材分析、教法与学法分析、教学过程与教学评价四方面对本节课的设计与理解进行说明。 (第一部分) 教材分析 教材分析主要体现在以下三方面： 1、教材的地位与作用 本节课是湘教版《数学》必修第四章第5.3节的内容，它是在前面学习了两向量数量积计算的基础上学习的，同时为后面学习向量的综合应用奠定了知识基础，所以本节课在教材中起到承上启下的作用。 在高考中，向量知识是必考的内容，特别是数量积计算的应用，往往与三角形问题，圆锥曲线问题相结合，在大题中出现，因此利用坐标计算数量积作为研究向量的基础就显得十分重要。 2、教学目标 根据本节的内容特点、课标要求以及学生的实际水平，我将本节课的教学目标定位为： (1)知识目标：理解并掌握利用坐标计算数量积，求模，求夹角，并会利用两向 量垂直的条件求解 (2)能力目标：培养学生观察、分析、归纳、推理的自学能力， 为学生可持续发展打下基础。 (3)情感目标：通过以利用坐标计算数量积的学习， 激发学生的学习兴趣； 培养学生主动探索、勇于发现的求知精神； 养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 3、教学重点与难点 根据已确定的教学目标，我把本节课的教学重点定为: 教学重点：掌握利用坐标计算数量积，求模，求夹角，两向量垂直条件的应用；教学难点：利用坐标计算数量积，求模，求夹角公式的推导，两向量垂直条件的推导以及应用；
(第二部分) 教法与学法分析 1.教法分析 基于本节课的内容特点，我主要采用以下几种教学方法： 1）.直观演示法 2）.集体讨论法 3）.活动探究法 4）.讲练结合法 并充分利用现代技术教学手段，使学生主动参与数学实践活动，在教师的指导下发现问题、分析问题和解决问题。 2.学法分析 学生作为教学活动中的主体，在学习过程中学生的参与度和参与状态将会影响教学效果，因此在学法的选择上，我主要采用以下几种： 1）.自主探究法 2）.合作交流法 3）.观察发现法 4）.归纳总结法 (第三部分) 教学过程 本节课的教学过程由以下几个教学环节构成： 1、复习导入： 教师利用多媒体课件跟学生简单回顾向量的线性组合，向量的坐标表示的相关知识，为本节课的公式推导奠定了知识基础。 2、新课探究 教师利用多媒体课件将例3的题目展示出来，教师提出问题“利用已知条件，我们如何计算两向量的数量积，计算两向量的模，两向量垂直时坐标要满足什么条件？”让学生分组讨论，整理出本组同学所想到的思路。在整个讨论交流过程中，教师对正确的认识加以赞赏，对错误的见解加以分析，并对胆怯的学生加以鼓励。通过分组讨论，学生得出以下的方案，教师利用多媒体将方案展示出来。 2111e y e x u +=，2212e y e x v += 由前面的数量积计算公式() 212122122111)(y y x x e y e x e y e x v u ++?+=?＝ 2 121y x +=， 通过分组讨论，让学生体会到团结协助的精神，同时，也化解了本节课的教学难点。
6290平面向量的数量积的坐标表示
第十三教时 教材：平面向量的数量积的坐标表示 目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。 过程： 一、复习： 1．平面向量的坐标表示及加、减、实数与向量的乘积的坐标表示 2．平面向量数量积的运算 3．两平面向量垂直的充要条件 4．两向量共线的坐标表示： 二、 课题：平面两向量数量积的坐标表示 1．设a = (x 1, y 1)，b = (x 2, y 2)，x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ， 则：i ?i = 1，j ?j = 1，i ?j = j ?i = 0 2．推导坐标公式： ∵a = x 1i + y 1j , b = x 2i + y 2j ∴a ?b = (x 1i + y 1j )(x 2i + y 2j ) = x 1x 2i 2 + x 1y 1i ?j + x 2y 1i ?j + y 1y 2j 2 = x 1x 2 + y 1y 2 从而获得公式：a ?b = x 1x 2 + y 1y 2 例一、设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ?b 解：a ?b = 5×(-6) + (-7)×(-4) = -30 + 28 = -2 3．长度、角度、垂直的坐标表示 1?a = (x , y ) ? |a|2 = x 2 + y 2 ? |a | =22y x + 2?若A = (x 1, y 1)，B = (x 2, y 2)，则=221221)()(y y x x -+- 3? co s θ = | |||b a b a ??2 2 2 22 1 2 12121y x y x y y x x +++= 4?∵a ⊥b ? a ?b = 0 即x 1x 2 + y 1y 2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原则） 4．例二、已知A (1, 2)，B (2, 3)，C (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形。 证：∵=(2-1, 3-2) = (1, 1), = (-2-1, 5-2) = (-3, 3) ∴?=1×(-3) + 1×3 = 0 ∴⊥ ∴△ABC 是直角三角形 三、补充例题：处理《教学与测试》P153 第73课 例三、已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ?a = 9与x ?b = -4的向量x 。 解：设x = (t , s )， 由x ?a = 9 ? 3t - s = 9 t = 2 由x ?a = 9 ? 3t - s = 9 s = -3 ∴x = (2, -3) 例四、如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90?， 求点B 和向量AB 的坐标。 解：设B 点坐标(x , y )，则= (x , y )，= (x -5, y -2) ∵⊥ ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2 -5x - 2y = 0 又∵|| = || ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x + 4y = 29 由??? ?????????= =-==????=+=--+272323272941002522112 2 y x y x y x y x y x 或 ∴B 点坐标)23,27(-或)2 7 ,23(；=)27,23(--或)23,27(- 例五、在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值。 解：当A = 90?时，?= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =2 3 - 当B = 90?时，AB ?BC = 0，BC =AC -AB = (1-2, k -3) = (-1, k -3) ∴2×(-1) +3×(k -3) = 0 ∴k = 3 11 当C = 90?时，AC ?BC = 0，∴-1 + k (k -3) = 0 ∴k =2 13 3± 四、小结：两向量数量积的坐标表示 长度、夹角、垂直的坐标表示 五、作业： P121 练习及习题5.7 《教学与测试》P154 5、6、7、8，思考题 ? A O B
人教版高中数学必修四 平面向量数量积的坐标表示、模
一、选择题 1．(2012·辽宁高考)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．1 解析：由a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )可得a ·b ＝2－x ＝1，故x ＝1. 答案：D 2．已知点A (－1,0)、B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB ⊥a ，则实数k 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 解析：AB ＝(2,3)，a ＝(2k －1,2)，由AB ⊥a 得2×(2k －1)＋6＝0，解得k ＝－1. 答案：B 3．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( ) A ．(－3,0) B ．(2,0) C ．(3,0) D ．(4,0) 解析：设P (x,0)，则AP ＝(x －2，－2)， BP ＝(x －4，－1)， ∴AP · BP ＝(x －2)(x －4)＋2 ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1， 故当x ＝3时，AP ·BP 最小，此时P (3,0)． 答案：C 4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则AD · BD 等于( ) A ．6 B ．8 C ．－8 D ．－6 解析：如图，AD ＝BC ＝AC －AB ＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)， BD ＝AD －AB ＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)， 则AD · BD ＝(－1)×(－3)＋(－1)×(－5)＝8. 答案：B
高中数学必修四之知识讲解_平面向量的数量积_基础
平面向量的数量积 【学习目标】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算； 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 【要点梳理】 要点一： 平面向量的数量积 1. 平面向量数量积(内积)的定义 已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量cos a b θ叫a 与b 的数量积，记作a b ?，即有 ()cos 0a b a b θθπ?=≤≤.并规定0与任何向量的数量积为0. 2.一向量在另一向量方向上的投影：cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 要点诠释： 1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成a b ?；今后要学到两个向量的外积a b ?，而a b ?是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. (3)在实数中，若0a ≠，且0a b ?=，则0b =；但是在数量积中，若0a ≠，且0a b ?=，不能推出 0b =.因为其中cos θ有可能为0. 2. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ=0?时投影为b ；当θ=180?时投影为b -. 要点二：平面向量数量积的几何意义 数量积a b ?表示a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影cos b θ的乘积，这是a b ?的几何意义．图（1）（2）（3）所示分别是两向量,a b 夹角为锐角、钝角、直角时向量b 在向量a 方向上的投影的情形，其中 1||cos OB b θ=，它的意义是，向量b 在向量a 方向上的投影是向量1OB 的数量，即11|| a OB OB a =? ． 事实上，当θ为锐角时，由于cos 0θ>，所以10OB >；当θ为钝角时，由于cos 0θ<，所以10OB <； 当090θ=时，由于cos 0θ=，所以10OB =，此时O 与1B 重合；当0 0θ=时，由于cos 1θ=，所以
必修四4.平面向量的数量积(教案)
2、4 平面向量得数量积 教案Ａ 第１课时 教学目标 一、知识与技能 1．掌握平面向量得数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积得重要性质及运算律; ３.了解用平面向量得数量积可以处理有关长度、角度与垂直得问题; 二、过程与方法 本节学习得关键就是启发学生理解平面向量数量积得定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积得运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积得认识. 三、情感、态度与价值观 通过问题得解决,培养学生观察问题、分析问题与解决问题得实际操作能力；培养学生得交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路与探索问题得能力. 教学重点、难点 教学重点:平面向量数量积得定义． 教学难点：平面向量数量积得定义及运算律得理解与平面向量数量积得应用、 教学关键:平面向量数量积得定义得理解. 教学方法 本节学习得关键就是启发学生理解平面向量数量积得定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积得运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积得认识. 学习方法 通过类比物理中功得定义,来推导数量积得运算． 教学准备 教师准备: 多媒体、尺规、 学生准备：练习本、尺规、 教学过程 一、创设情境,导入新课 在物理课中,我们学过功得概念,即如果一个物体在力Ｆ得作用下产生位移s,那么力F所做得功W可由下式计算: W=｜F | | ｓ｜cosθ, 其中θ就是Ｆ与s得夹角.我们知道力与位移都就是向量,而功就是一个标量（数量). 故从力所做得功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积得概念. 二、主题探究,合作交流 提出问题 ①a·b得运算结果就是向量还就是数量?它得名称就是什么? ②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应得运算律,数量积就是一种向量得
苏教版数学高一《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》精品教案
§2.4平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ?b ，即有a ?b = |a ||b |cos θ， （０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义： 数量积a ?b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 4．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1? e ?a = a ?e =|a |cos θ； 2? a ⊥b ? a ?b = 0 3? 当a 与b 同向时，a ?b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ?b = -|a ||b |. 特别的a ?a = |a |2或 a a a ?=|| 4? cos θ = | |||b a b a ? ；5?|a ? b | ≤ |a ||b | 5．平面向量数量积的运算律 交换律：a ? b = b ? a 数乘结合律：(λa )?b =λ(a ?b ) = a ?(λb ) 分配律：(a + b )?c = a ?c + b ?c 二、讲解新课： ⒈ 平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ?. C
苏教版数学高一必修四 作业 2.4平面向量数量积的坐标表示(第二课时)
一、填空题 1．已知a ＝(2,3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1,2)，则a ·(b ＋c )＝________. 解析：∵b ＝(－2,4)，c ＝(－1,2)， ∴b ＋c ＝(－2,4)＋(－1,2)＝(－3,6)． 又∵a ＝(2,3)， ∴a ·(b ＋c )＝(2,3)·(－3,6)＝2×(－3)＋3×6 ＝－6＋18＝12. 答案：12 2．已知a ＝(2,4)，b ＝(1,3)，则|3a －2b |＝________. 解析：a ＝(2,4)，b ＝(1,3)， 则3a －2b ＝(6,12)－(2,6)＝(4,6)． ∴|3a －2b |＝ 42＋62＝52＝213. 答案：213 3．已知a ＝ (1，－1)，b ＝(－2,1)，如果(λa ＋b )⊥(a －λb )，则实数λ＝________. 解析：λa ＋b ＝(λ－2,1－λ)，a －λb ＝(1＋2λ，－1－λ)， 由(λa ＋b )⊥(a －λb )， 得(λ－2)(1＋2λ)＋(1－λ)(－1－λ)＝0， ∴λ＝1±52 . 答案：1±52 4．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于________． 解析：由a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)得2a ＋b ＝(3,3)， a － b ＝(0,3)，设2a ＋b 与a －b 的夹角为θ， 则cos θ＝(2a ＋b )·(a －b )|2a ＋b |·|a －b |＝932·3＝22. ∵0≤θ≤π，∴θ＝π4 .
答案：π4 5．已知a ＝????1，12，b ＝????0，－12，c ＝a ＋kb ，d ＝a －b ，c 与d 的夹角为π4 ，则k 等于________． 解析：由条件得c ＝(1，12－12k )，d ＝(1,1)，从而c ·d ＝1＋12－12k ＝2·1＋(12－12k )2·cos π4 ， 解得k ＝1. 答案：1 二、解答题 6．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)，m ＝a －λb ，n ＝2a ＋b ，按下列条件求实数λ的值： (1)m ⊥n ；(2)m ∥n ；(3)|m |＝5. 解：m ＝a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，n ＝2a ＋b ＝(7,8)， ∴(1)m ⊥n ?(4＋λ)×7＋(3－2λ)×8＝0?λ＝529 ； (2)m ∥n ?(4＋λ)×8－(3－2λ)×7＝0?λ＝－12 ； (3)|m |＝5? (4＋λ)2＋(3－2λ)2＝5?5λ2－4λ＝0 ?λ＝0或45 . 7．已知m ＝(1,1)，向量n 与m 的夹角为3π4 ，且m ·n ＝－1，求向量n . 解：设n ＝(x ，y )． 由m ·n ＝－1得x ＋y ＝－1. (1) 因为向量n 与m 的夹角为3π4 ， 有m ·n ＝|m ||n |cos 3π4 ＝－1， 所以|n |＝1，即x 2＋y 2＝1. (2) 由(1)(2)得x ＝－1，y ＝0，或x ＝0，y ＝－1， 所以n ＝(－1,0)，或n ＝(0，－1)． 8．已知点A (2,2)、B (4,1)，O 为坐标原点，P 为x 轴上一动点，当AP · BP 取最小值时，求向量PA 与PB 的夹角的余弦值． 解：设点P (x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)．
人教版高中数学版必修4试题 2-4-2平面向量数量积的坐标表示
课时作业23 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 时间：45分钟 分值：100分 一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．设a ＝(1，－2)，b ＝(3,1)，c ＝(－1,1)，则(a ＋b )·(a －c )等于( ) A ．11 B ．5 C ．－14 D ．10 解析：a ＋b ＝(4，－1)，a －c ＝(2，－3)． ∴(a ＋b )·(a －c )＝2×4＋(－1)·(－3)＝11. 答案：A 2．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：依题意得a ＋b ＝(3，k ＋2)，由a ＋b 与a 共线，得3×k －1×(k ＋2)＝0，解得k ＝1，所以a ·b ＝2＋2k ＝4. 答案：D 3．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB →|＝2|AP →|，则点P 的坐标为( ) A ．(3,1) B ．(1，－1) C ．(3,1)或(1，－1) D ．无数多个 解析：设P (x ，y )，由|AB →|＝2|AP →|得AB →＝2AP →，或AB →＝－2AP →， AB →＝(2,2)，AP →＝(x －2，y )，
即(2,2)＝2(x －2，y )，x ＝3，y ＝1，P (3,1)； (2,2)＝－2(x －2，y )，x ＝1，y ＝－1，P (1，－1)． 故P (3,1)或(1，－1)． 答案：C 4．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8 D ．8 2 解析：易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋(－8)2＝8 2. 答案：D 5．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665 解析：设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以?? ? 8＋x ＝3 6＋y ＝18， 解得?? ? x ＝－5y ＝12 ，故b ＝(－5,12)，所以cos a ，b ＝a ·b |a ||b |＝16 65 .故选C. 答案：C 6．以原点O 及点A (5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB ，使A ＝90°，则AB →的坐标为( )
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 【学习目标】 1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点) 2.会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题．(难点) 3.分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点) 4.能用向量方法证明两角差的余弦公式．(重点) 【核心素养】 1.通过平面向量数量积的坐标表示，培养数学运算和数据分析的核心素养. 2.借助向量的坐标运算求向量的夹角、长度以及论证垂直问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 【自主学习】 一、设计问题，创设情境 问题1：在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3,2)，b＝(2,1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a·b为多少？ 二、学生探索、尝试解决 问题2; 若a=(x, y),则|a|2=x2+y2,或|a|=√x2+y2， 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2) ,那你能用坐标表示出|a|吗？ 问题3; 设a=(x1,y1)，b=(x2, y2)，若a⊥b,你能得到什么？ 问题4; 设a,b都是非零向量，a=(x1,y1)，b=(x2, y2)，θ是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示你能得到什么
三、运用规律，解决问题 例1.若点 A(1, 2) , B(2, 3) , C(-2, 5)，则△ABC是什么形状？证明你的猜想。例2 设a=(3, -1) ,b=(1, -2) ,.求a·b及a,b的夹角θ 例3用向量方法证明两角差的余弦公式 cos(α?β)=cosαcosβ+sinαsinβ
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题 . 知识点 平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ. 则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 . (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2. 若表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则a ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|a |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)a ⊥b ?x 1x 2＋y 1y 2＝0. (3)cos θ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22 . 思考 若两个非零向量的夹角满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？ 答案 不一定，当cos θ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°. 1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0.( × ) 2.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角.( × ) 提示 当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0°，不是锐角. 3.两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，满足x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a 与b 的夹角为0°.( × ) 4.若向量a ＝(1,0)，b ＝???? 12，12，则|a |＝|b |.( × ) 提示 |a |＝1，|b |＝ ????122＋????122＝22 ，显然|a |≠|b |. 一、数量积的坐标运算 例1 已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，－1)，则(a ＋2b )·(a －3b )等于( ) A.10 B.－10 C.3 D.－3 答案 B 解析 a ＋2b ＝(4，－3)，a －3b ＝(－1,2)，所以(a ＋2b )·(a －3b )＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
必修四 平面向量的数量积教案
平面向量的数量积 教案A 第1课时 教学目标 一、知识与技能 1．掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 二、过程与方法 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识． 三、情感、态度与价值观 通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力． 教学重点、难点 教学重点：平面向量数量积的定义． 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用. 教学关键：平面向量数量积的定义的理解． 教学方法 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识． 学习方法 通过类比物理中功的定义，来推导数量积的运算． 教学准备 教师准备:多媒体、尺规. 学生准备:练习本、尺规. 教学过程 一、创设情境，导入新课 在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W 可由下式计算： W=|F||s|cosθ， 其中θ是F与s的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量（数量）． 故从力所做的功出发，我们就顺其自然地引入向量数量积的概念． 二、主题探究，合作交流 提出问题 ①a·b的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么？ ②由所学知识可以知道，任何一种运算都有其相应的运算律，数量积是一种向量的乘法运算，它是否满足实数的乘法运算律？ 师生活动:已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即 a·b=|a||b|cosθ（0≤θ≤π）． 其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影．在教师与学生一起探究的活动中，应特别点拨引导学生注意:
必修4《平面向量的数量积》专项练习题及参考答案
必修4《平面向量的数量积》 一、填空题 1．已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x ＝ 1 . 解：由|a ·b |＝|a ||b |知，a ∥b . 故sin2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x ，而x ∈(0，π)，故sin x ＝cos x ， 即x ＝π 4，故tan x ＝1. 2．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为120°，若向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝4e 1，则a ·b ＝ 0 . 解：a ·b ＝(e 1＋2e 2)·4e 1＝4e 1?e 2＋8 e 1?e 2＝4×1×1＋8×1×1×cos120°＝4＋8×(－12 )＝0. 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB ·AC 等于16 . 解：法一：因为cos A ＝AC AB ，故AB ·AC ＝|AB ||AC |cos A ＝|AC |2＝16. 法二：AB 在AC 上的投影为|AB |cos A ＝|AC |，故AB ·AC ＝|AC ||AB |cos A ＝|AC |2＝16. 4．在锐角△ABC 中，AB ＝a ，CA ＝b ，S △ABC ＝1，且|a |＝2，|b |＝2，则a·b 等于 -2. 解：S △ABC ＝12|AB ||AC |sin A ＝12×2×2sin A ＝1，∴ sin A ＝22，∵ A 为锐角，∴ A ＝π 4 . ∴ a·b ＝AB ·CA ＝|a ||b |cos(π－A )＝2×2cos 3π 4＝－2. 5．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0 < α < β < π，若|2a ＋b |＝|a －2b |，则β－α＝ π2. 解：由|2a ＋b |＝|a －2b |得3|a |2－3|b |2＋8a·b ＝0，而|a |＝|b |＝1，故a·b ＝0，∴ cos αcos β＋sin αsin β＝0， 即cos(α－β)＝0，由于0 < α < β < π，故－π < α－β < 0，∴ α－β＝－π2，即β－α＝π 2 . 6．若△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且(AB ＋AC )·BC ＝0，则△ABC 的是等边三角形． 解：由题意可知，在△ABC 中，BC 边上的中线又是BC 边上的高，因此△ABC 是等腰三角形，而三 个内角A ，B ，C 成等差数列，故角B 为60°，所以△ABC 一定是等边三角形． 7．力F 的大小为50 N ，与水平方向的夹角为30°(斜向上)，使物体沿水平方向运动了20 m ，则力F 所做的功为 5003J ． 解：设木块的位移为s ，则F·s ＝|F |·|s |cos30°＝50×20× 3 2 ＝5003(J)． 8．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )， 则向量MN 的模为82． 解：∵ a //b ，∴ x ＝4，∴ b ＝(4，－2)，∴ a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )．∵ (a ＋b )⊥(b －c )， ∴ (a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3×(－2－y )＝0，∴ y ＝－4，∴ M (4，－4)，N (－4,4)．故向量MN ＝ (－8,8)，|MN |＝8 2. 9．给出以下四个命题： ①对任意两个向量a ，b 都有|a·b |＝|a ||b |； ②若a ，b 是两个不共线的向量，且AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A 、B 、C 共线
高一必修4平面向量的数量积及平面向量的应用
平面向量的数量积及平面向量的应用 一、目标认知 学习目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算； 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题； 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 重点： 数量积的运算，以及运用数量积求模与夹角. 难点： 用向量的方法解决几何、物理等问题. 二、知识要点梳理 知识点一：平面向量的数量积 1.平面向量数量积(内积)的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有.并规定与任何向量的数量积为0. 2.一向量在另一向量方向上的投影：叫做向量在方向上的投影. 要点诠释： 1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的 数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×” 代替. (3)在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出
.因为其中有可能为0. 2.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0°时投影为；当=180°时投影为. 知识点二：向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量. 1. 2. 3.当与同向时，；当与反向时，. 特别的或 4. 5. 知识点三：向量数量积的运算律 1.交换律： 2.数乘结合律： 3.分配律： 要点诠释： 1.已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc a=c.但是； 2.在实数中，有(a×b)c=a(b×c)，但是 显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线. 知识点四：向量数量积的坐标表示 1.已知两个非零向量
平面向量的数量积与坐标运算
平面向量的数量积与坐标运算 一、单选题 1．[优质试题·泰安质检]已知向量()1,2=-a ，()1,3=b ，则2-=a b （ ） A ． B ．2 C ． D ．10 2．[优质试题·云天化中学]已知()1,2=a ，(),3m m =+b ，若⊥a b ，则 =（ ） A ． B ． C ． D ． 3．[优质试题·蚌埠质检]已知向量(),2t =a ，()1,1=-b ，若-=+a b a b ，则 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 4．[优质试题·黄山质检]两个非零向量a ，b 满足2+=-=a b a b a ，则向量b 与 -b a 夹角为（ ） A ．5π6 B ．π6 C ．2π3 D ．π3 5．[优质试题·乐山调研]已知向量a ，b 满足0?=a b ， 1=a ，3=b ，则-=a b （ ） A ． B ． C ． D ． 6．[优质试题·开封期中]若非零向量a ，b 满足||||+=-a b a b ，则（ ） A ．=a b B ．∥a b C ．=a b D ．⊥a b 7．[优质试题·新乡期中]设向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且()⊥+a a b ，则向量 a 在向量2+a b 方向上的 投影为（ ） A ． B ． C ． D 8．[优质试题·东北育才]已知平面上三点 ， ， ，满足8AB =，6AC =， 10BC =， 则AB BC BC AC CA AB ?+?+?=（ ） A ． B ． C ． D ．
9．[优质试题·株洲质检]在边长为 的菱形 中，60BAD ∠=?，E 为 的中点，则AE BD ?的值 为（ ） A ． B ． C ． D ． 10．[优质试题·马鞍山二中]如图，在平行四边形ABCD 中，AB =4，AD =2，∠BAD =60°，点E 在CD 上， 且点E 是三等分点，靠近点D ，BE 与AC 的交点为F ，则BF AB =?（ ） A ．44 5 - B ． 445 C ． D ．4 11．[优质试题·天津调研]如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径， 3AE EO =，则EC ED ?的值 是（ ） A ．4 5 - B ．1516 - C ．14 - D ．58 - 12．[优质试题·辽师附中]在锐角ABC △中，60B =?，2AB AC -=，则A B A C ?的取值范围为（ ） A ． ， B ．1 ,124 ??-??? ? C ． ， D ． ， 二、填空题 13．[优质试题·云天化中学]已知向量a ，b 满足()+5?=a a b 且2=a ，1=b ，则
(完整word版)必修四平面向量的数量积讲义
2.3 平面向量的数量积 一、平面向量数量积 1、定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量｜a ｜×｜b ｜×cos θ叫 做与的数量积(或内积)，记作·，即·＝｜｜×｜｜×cos θ。 注意：（1）两向量的数量积，其结果是个数量．．．．．．．．．．．．．．． ，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．．．．．．．．．．．；．（2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法不同，“·． ”不能省略，也不能也成“×”．．．．．．．．．．．．．． ；（3）在运用数量积公式时，一定要注意两个向量夹角的范围：．．．．．．．．．．．．0．0．≤．θ≤．180．．．0．。．（4）规定：．．．零向量与任．．．．． 一向量的数量积为．．．．．．．．0．，即．．0·b ＝．0．；（5）当向量a 与b 的夹角为900 时，叫a 与b 互相垂直，记作：a ⊥b ，此时：a ⊥b ?a ·b ＝0。 2、平面向量数量积的几何意义：（1）对于·＝｜｜×｜｜×cos θ，其 中｜｜×cos θ叫做在方向上的投影，当θ为锐角时，投影为正；当θ为钝角时，投影为负；当θ就直角时，投影为0； 当θ为0度时，投影是｜｜； 当θ为180度时，投影为－｜｜；（2）．在．方向上的投影．．．．．．与 ．在 ．方向上的投影就不同的．．．．．．．．．．；（3））在方向。 例1：已知｜｜＝2，｜｜＝5，当（1）与夹角为300 时；（2）当⊥时；（3）当当a ∥b 时；分别计算a 与b 的数量积。 【解析】：（1）53； （2）0； （3）±10 变式练习1：已知｜｜＝3，｜｜＝5，且与的夹角为450，则在方向上的投影 是（ ） A ： 2 2 3 B ：3 C ： 4 D ： 5 【解析】：A