5.1定积分的概念与性质-习题
1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴
b
a
xdx ?
（a b <）；
【解】第一步：分割
在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b a
x k n
-=，（1,2,,1k n =-L ），将区间[,]a b 分为n 个等长的小区间[(1),]b a b a
a k a k n n
--+-+，
（1,2,,k n =L ），每个小区间的长度均为k b a
n
-?=，
取每个小区间的右端点k b a
x a k n
-=+，
（1,2,,k n =L ）， 第二步：求和
对于函数()f x x =，构造和式
1
()n n k k k S f x ==??∑1
n k k k x ==??∑1
()n
k b a b a
a k n n
=--=+
?∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1
()n
k b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1)[]2
b a b a n n na n n ---=+? 1()[(1)]2b a b a a n -=-+
?-1
()()22b a b a b a a n --=-+-? 1
()()22b a b a b a n
+-=--?
第三步：取极限
令n →∞求极限
1
lim lim ()n
n k k n n k S f x →∞
→∞
==??∑1
lim()(
)22n b a b a b a n
→∞
+-=--? ()(0)22
b a b a b a +-=--?()2b a b a +=-22
2b a -=，
即得
b
a
xdx ?
22
2
b a -=。
⑵
1
x
e dx ?。
【解】第一步：分割
在区间[0,1]中插入1n -个等分点：k k x n
=，（1,2,,1k n =-L ），将区间[0,1]分为n 个等长的小区间1[,]k k
n n
-，
（1,2,,1k n =-L ），每个小区间的长度均为1k n ?=， 取每个小区间的右端点k k
x n
=，（1,2,,k n =L ），
第二步：求和
对于函数()x
f x e =，构造和式
1
()n
n k k k S f x ==??∑
1k
n
x k k e ==??∑1
1k n
n
k e n ==?∑11k
n n k e n ==∑
由于数列k n e ??
????
为等比数列，其首项为1
1n x e =，公比为1n q e =，可知其前n 项
和为
1111
[1()]1k n
n
n n n
k n
e e e e
=-=
-∑11(1)1n
n
e e e
-=
-，于是
1
()n
n k k k S f x ==??∑
1
1k
n n k e n ==∑111(1)1n
n e e n e -=?-1
1
1(1)1n n
e n
e e =-- 第三步：取极限
令n →∞求极限
1
lim lim ()n
n k k n n k S f x →∞
→∞
==??∑
1
11lim (1)1n n n
e
n e e →∞=--1 x n
=0(1)lim 1x x x xe e e →=-- 洛必达法则0(1)lim x x x x e xe e e →+--01=(1)lim 1
x x
e →+-- =(1)(1)1e e --=-，
即得
1
1x e dx e =-?
。
2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ⑴
1
21xdx =?；
【证明】定积分
1
2xdx ?的几何意义是由直线2y x =，1x =及x 轴围成的三角形的面积，
如图可见
即知，
1
2OAB xdx S ?=?
2AB OB ?=
21
12
?==。证毕。 ⑵
1
20
14
x dx π
-=
?
；
【证明】定积分
1
20
1x dx -?
的几何意义是由圆弧21y x =-与x 轴及y 轴所围成的四分之
一圆形的面积，
如图可见
1
2220
111()1444
x dx S OA π
ππ-===?=?
半圆。证毕。
⑶
sin 0xdx ππ-
=?；
【证明】定积分
sin xdx π
π-
?的几何意义是由正弦曲线sin y x =在[,]ππ-上的一段与x 轴所
围成的图形的面积，
如图可见
图形由两块全等图形组成，
1
2sin xdx S
S π
π-
=+?，
其中1S 位于x 轴下方，2S 位于x 轴上方，显见12S S =-， 从而
2
2sin 0xdx S
S π
π-
=-+=?，证毕。
⑷
22
2
cos 2cos xdx xdx π
π
π-=??
。
【证明】定积分
2
2
cos xdx π
π-
?
的几何意义是由余弦曲线cos y x =在[,]22
ππ
-
上的一段与x 轴所围成的图形的面积，如左图所示，为
22
cos xdx π
π-?1
2S
S =+,
而定积分
20
cos xdx π
?
的几何意义是由余弦曲线cos y x =在[0,]2
π
上的一段与x 轴
所围成的图形的面积，如右图所示，为
20
cos xdx π
?
2S =,
由于曲线cos y x =关于y 轴对称，可知12S S =，亦即1222S S S +=，
即知
220
2cos 2cos xdx xdx π
π
π-=??
。证毕。
3．已知1
01
ln 21dx x =+?，试用矩形法公式（）
，求出ln 2的近似值（取10n =，计算时取4位小数）。
【解】矩形法公式（）为
011()()b
n a
b a
f x dx y y y n
--≈
+++?
L ，其中()i i y f x =（0,1,,1i n =-L ），而i x （1,,1i n =-L ）为区间[,]a b 的1n -个等分点。
于是，在区间[0,1]插入1n -个等分点i i
x n =，（1,,1i n =-L ）， 对于1()1f x x =+，求出1()1i i f x x =+1
1i n
=
+n n i =+，（0,1,,1i n =-L ）， 于是，当10n =时，
1
01ln 21dx x =+?
110101010101010101010()1010111213141516171819
≈+++++++++ 111111111110111213141516171819
=+++++++++ 0.10.090910.083330.076920.071430.06667≈+++++
0.062500.058820.055560.05263++++
0.718770.7188=≈。
4．证明定积分性质： ⑴
()()b
b
a
a
kf x dx k f x dx =?
?；
【证明】在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k x ，（1,2,,1k n =-L ），每个小区间的长度
均为k ?，
对于函数()()F x kf x =，有：
()b
a
kf x dx ?
()b
a
F x dx =? ---- ()()F x kf x =
1lim ()n
k k n k F x →∞
==??∑ ---- 定积分()b
a
F x dx ?的定义
1
lim ()n
k k n k kf x →∞
==??∑ ---- ()()F x kf x =
1lim ()n
k k n k k f x →∞
==??∑ ---- 加法结合律()k a b ka kb +=+
1
lim ()n
k k n k k f x →∞==??∑ ---- 极限运算法则lim ()lim ()cf x c f x =
()b
a
k f x dx =? ---- 定积分()b
a
f x dx ?的定义
⑵
1b b
a
a
dx dx b a ?==-??
。
【证明】在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b a
x a k n
-=+，（1,2,,1k n =-L ），每个小区间的长度均为k b a
n
-?=
， 对于函数()1f x =，构造和式
1
()n
k k k f x =??∑
11n k k ==??∑1
n
k b a n =-=∑11n k b a n =-=∑b a
n n -=?b a =-， 即由定积分定义得
1b
a
dx ??1
lim 1n
k
n k →∞==??
∑lim()n b a →∞
=-b a =-。
再由上⑴的结论()()b
b
a
a
kf x dx k f x dx =?
?，即得11b
b
b
a
a
a
dx dx dx ?=?=???。
综上得：
1b
b a
a
dx dx b a ?==-?
?，证毕。
5．估计下列积分的值： ⑴
2
21
(2)x dx -?
；
【解】函数2
()2f x x =-在区间[1,2]上，有'()20f x x =-<恒成立，
知2
()2f x x =-在区间[1,2]上单调减少，
于是有(2)()(1)f f x f ≤≤，亦即2
221x -≤-≤， 从而得 2
21
2(21)(2)1(21)x dx --≤
-≤-?
，亦即2
21
2(2)1x dx -≤-≤?。
⑵
524
4
(1sin )x dx ππ
+?；
【解】函数2
()1sin f x x =+1cos 212x -=+
31
cos 222
x =-， 由544x ππ≤≤得5222x ππ≤≤，而知1cos21x -≤≤， 从而111cos 2222x ≥-≥-，即知313131
2cos 21222222
x =+≥-≥-=，
亦即2
11sin 2x ≤+≤，
从而得 5244
551()(1sin )2()4444x dx π
πππππ
-≤+≤-?，
亦即524
4
(1sin )2x dx ππ
ππ≤
+≤?。
⑶
arctan xdx ；
【解】函数()arctan f x x x =
在区间上，有2
'()arctan 01x f x x x =+>+恒成立， 知()arctan f x x x =
在区间上单调增加， 于是有
()f f x f ≤≤， 亦即
arctan x x ≤≤ 整理得
arctan x x ≤≤
从而得
arctan x xdx ≤≤，
亦即
2arctan 9
3
xdx π
π≤≤
。 ⑷
2
2
x
x
e dx -?
。
【解】注意到
2
2
2
2
2
2
()x
x
x
x
x
x
e dx e dx e dx ---=-=-?
??，
函数2()x x
f x e -=-在区间[0,2]上，有21'()2()2
x x
f x x e -=--，得唯一驻点12x =，
无不可导点，
对比0
(0)1f e =-=-，111
4241()12
f e e --=-=->-，422
(2)f e e -=-=-，
知在区间[0,2]上有212
4
x x
e e e -
--≤-≤-，
于是有 212
2
4
(20)()(20)x x
e e
dx e ----≤-≤--?
，
亦即 210
2
4
2
22x x
e e
dx e -
--≤
≤-?
。
6．设()f x 及()g x 在闭区间[,]a b 上连续，证明： ⑴若在[,]a b 上，()0f x ≥，且
()0b
a
f x dx =?
，则在[,]a b 上()0f x ≡；
【证明】反证法：设有[,][,]c d a b ?，使()0f x ≡不成立，
则由题设在[,]a b 上，()0f x ≥，不妨设[,]x c d ∈时()0f x >， 于是，由于()f x 在[,][,]c d a b ?上连续，知()f x 在[,]c d 上可积， 即由曲边梯形面积定义知，
()0d
c
f x dx >?
，
但由于在[,]a b 上，()0f x ≥，即知在[,]a c 和[,]d b 上，有()0f x ≥， 于是由定积分性质知，有()0c
a
f x dx ≥?
，()0b
d
f x dx ≥?，
从而由已知()0b
a
f x dx =?
亦即()()()0c
d
b
a
c
d
f x dx f x dx f x dx ++=???，
得到
()[()()]0d
c
b
c
a
d
f x dx f x dx f x dx =-+≤?
??，
这与上面的
()0d
c
f x dx >?
相矛盾，从而假设不成立，
即使命题得证成立。
⑵若在[,]a b 上，()0f x ≥，且()0f x ≡，则
()0b
a
f x dx >?
；
【证明】由定积分性质，若在[,]a b 上，()0f x ≥，则
()0b
a
f x dx ≥?
，
因此，下面只须由()0f x ≡证明()0b
a
f x dx ≠?
，
应用反证法，设
()=0b
a
f x dx ?
，
则由⑴的已证命题，由在[,]a b 上，()0f x ≥，且
()=0b
a
f x dx ?
，则在[,]a b 上
()0f x ≡，
这与已知()0f x ≡相矛盾，可知假设
()=0b
a
f x dx ?
不成立，从而命题得证。
⑶若在[,]a b 上，()()f x g x ≤，且
()()b
b a
a
f x dx
g x dx =?
?，则在[,]a b 上()()f x g x ≡。
【证明】设()()()F x g x f x =-，即由题设()()f x g x ≤得()0F x ≥，
于是，待证命题转换成为： 在[,]a b 上，()0F x ≥，且
()=0b
a
f x dx ?
，则在[,]a b 上()0F x ≡，
而这是已证命题⑴，从而命题得证成立。
7．根据定积分的性质及上题的结论比较下列各组积分的大小： ⑴
1
20
x dx ?
，1
30
x dx ?；
【解】当01x <<时，对不等式1x <两端同乘20x >，得32x x <，亦即23
x x >，
即由定积分的性质（推论）得
1
1
2
30
x dx x dx >?
?。
⑵
1
xdx ?
，1
ln(1)x dx +?；
【解】令()ln(1)f x x x =-+，即有1'()11f x x =-
+1x x
=+， 易见当01x <<时，成立'()0f x >，
知函数()ln(1)f x x x =-+在[0,1]上单调增加， 又因(0)0ln(10)0f =-+=，
知当01x <<时，有()ln(1)0f x x x =-+>， 亦即当01x <<时，成立ln(1)x x >+，
即由定积分的性质（推论）得
1
1
ln(1)xdx x dx >+?
?。
⑶
1
x e dx ?
，1
(1)x dx +?；
【解】令()(1)x
f x e x =-+，即有'()1x
f x e =-，
由于x
y e =是增函数，由0x >得0
1x e e >=， 亦即当01x <<时，'()10x
f x e =->，
从而知函数()(1)x
f x e x =-+在[0,1]上单调增加， 而0
(0)(01)0f e =-+=，
可知()(1)0x f x e x =-+>在[0,1]上恒成立， 亦即当01x <<时，(1)x
e x >+， 即由定积分的性质（推论）得
1
1
(1)x e dx x dx >+?
?。
⑷
2
sin xdx π-?，20
sin xdx π
?
。
【解】由于
00
2
2
sin (sin )()x u xdx u du ππ-=---??20
sin udu π
=-?
20
sin xdx π
=-?，
而当 02
x π
<<
时，sin 0x >，使得
20
sin 0xdx π
>?
，
对比即得
20
2
sin sin xdx xdx π
π-
。
定积分典型例题20例答案(供参考)
定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．
第五章_第一节_不定积分的概念、性质.
经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题 经济数学——积分 二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节 五、
定理原函数存在定理： 如果函数八X)在区间内连续, 那么在区 间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分 关于原函数的说明: (1) (2) 证 说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学一微积分
经济数学——微积分 不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2 被积函数 『积分号 积分变量 寒积表达式 F(x)
定积分典型例题56177
定积分典型例题 例1 求332 1lim )n n n →∞+． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各 项．于是将所求极限转化为求定积分．即 3321lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=03 4 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ? 等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π． 例18 计算 2 1 ||x dx -? ． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1 ||x dx -? ＝02 1 ()x dx xdx --+?? ＝220210[][]22x x --+＝5 2 ． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算 2 20 max{,}x x dx ? ． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212 ()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717 max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且1 ()3()f x x f t dt =+? ，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分 ()b a f x dx ? 是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而 1 ()f t dt ? 是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且1 1 (3)()x a dx f t dt a +==??． 所以
定积分的概念和性质公式
1. 曲边梯形的面积 设在区间上，则由直线、、及曲线 所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成 n 个小区间 ，小区间的长度 在每个小区间上任取一点作乘积， 求和取极限：则面积取极限
其中，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在内插入若干分点将其分成 n 个小区间，小区间长度，。任取， 做 求和取极限：则路程取极限 定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 将分成 n 个小区间，其长度为，在每个小区间 上任取一点，作乘积，并求和， 记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的点
怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数在区间上的定积分，记作，即 ，（*） 其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限， 叫积分上限，叫积分区间。叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间 可积，（1）在区间上连续，则在可积。（2）在区间 上有界且只有有限个间断点，则在上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以 3.规定 时 , 在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积；
在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）； 例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值 （1）（三角形面积）（2）（半圆面积）
设可积 性质1 性质2 性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有 性质4 性质5 如果在区间上，，则 推论 性质6 （定积分的估值）设 M 及 m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则 性质7 （定积分中值定理） 如果函数在区间上连续，则在上至少有一点， 使成立
定积分的概念和性质公式
1.曲边梯形的面积 设在区间*I上：；--L ,则由直线工’=■<、応匚、V 1及曲线■V °/W所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间-八「中任意插入若干个分点将宀…-分成n个小区间 兀5 5 <…，小区间的长度&广呜一為」（T三12… 在每个小区间- ：-一I〕上任取一点-■■作乘积 求和取极限：则面积取极限
J=1 其中；'1 ； J L厂V '…，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度| I「是上*的连续函数，且1■求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在「〔[内插入若干分点■- _ "将其分成 n 个小区间「—，小区间长度■- _■'.-1, ■1丄。任取? _ _ 做 求和取极限：则路程一取极限 将分成n个小区间-，其长度为2 - —，在每个小区间 上任取一点「:，作乘积■- ' ■'，并求和 r ， 记1■r 1，如果不论对怎样分法，也不论小区间[:■ 上的 点「怎样取法，只要当「「I;时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数-—I在区间上的定积分，记作J '，即 定义设函数」?、在L?二上有界，在-亠二中任意插入若干个分点
其中叫被积函数，一’，八叫被积表达式，'‘叫积分变量，二叫积分下限, 「叫积分上限，-’」叫积分区间。■叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称-’’」在区间-仁丄可积，下面两类函数在区间 上…-可积，（1）」在区间-LL■- - 上连续，则■' J'-在可积。（2）-’八在区间-‘丄-上有界且只有有限个间断点，则在--"-■ 上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所 3.
(完整版)定积分典型例题精讲
定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．
高等数学(上册)教案22定积分的概念与性质
高等数学(上册)教案22定积分的概念与性 质 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第5章 定积分及其应用 定积分的概念与性质 【教学目的】： 1. 理解曲边梯形的面积求法的思维方法； 2. 理解定积分的概念及其性质； 3. 掌握定积分的几何意义 ； 【教学重点】： 1. 定积分的概念及其性质； 【教学难点】： 1. 曲边梯形面积求法的思维方法； 【教学时数】：2学时 【教学过程】： 案例研究 引例5.1.1 曲边梯形的面积问题 所谓曲边梯形是指由连续曲线)(x f y =(设0)(≥x f )，直线a x =，b x =和 0=y (即x 轴)所围成的此类型的平面图形（如图5-1所示）．下面来求该曲边 梯形的面积． 分析 由于“矩形面积=底?高”，而曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间 [,]a b 上是变动的，故它的面积不能按矩形面积公式计算. 另一方面，由于曲线()y f x =在[,]a b 上是连续变化的，所以当点x 在区间 [,]a b 上某处变化很小时，相应的()f x 也就变化不大.于是，考虑用一组平行于 y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，当分割得较细，每个小曲边图5-1 图5-2
梯形很窄时，其高()f x 的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个 与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边 梯形的面积，进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积 （如图5-2所示）.显然，分割越细，近似程度越高，当无限细分时，所有小矩 形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值. 根据以上分析，可按以下四步计算曲边梯形的面积A . （1）分割 在闭区间],[b a 上任意插入1n -个分点， 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=， 将闭区间[,]a b 分成n 个小区间 ],[,],,[,],[],,[112110n n i i x x x x x x x x -- ， 它们的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-， 过每一个分点作平行于y 轴的直线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形； （2）取近似 在每个小区间1[,]i i x x -(1,2,...,)i n =上任取一点 1()i i i i x x ξξ-≤≤，以小区间1i i i x x x -?=-为底，()i f ξ为高作小矩形，用小矩形的 面积()i i f x ξ?近似代替相应的小曲边梯形的面积A ?，即 ()(1,2,...,)i i A f x i n ξ?=?=， （3）求和 把这样得到的n 个小矩形的面积加起来，得和式∑=?n i i i x f 1)(ξ， 将其作为曲边梯形面积的近似值，即 11()n n i i i i i A A f x ξ===?≈?∑∑； （4）取极限 当分点个数n 无限增加，且小区间长度的最大值λ （max{}i x λ=?）趋于零时，上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值， 即 01lim ()n i i i A f x λξ→==?∑. 5.1.1 定积分的定义 定义1 设函数()y f x =在闭区间[,]a b 上有界，在闭区间[,]a b 中任意插 入1n -个分点 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=， 将区间[,]a b 分成n 个小区间 011211[,],[,],...,[,],...,[,]i i n n x x x x x x x x --， 各小区间的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-， 在每个小区间上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ?的 乘积),,2,1()(n i x f i i =?ξ，并作和∑=?n i i i x f 1)(ξ，记 }max {i x ?=λ， ),,2,1(n i =， 当n 无限增大且0→λ时，若上述和式的极限存在，则称函数()y f x =在区
定积分典型例题20例答案
定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，
定积分应用方法总结(经典题型归纳).docx
精品文档 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使 用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物 理问题等． 1. 定积分的运算性质 (1) b b kf (x)dx k f (x)dx(k 为常数 ). a a (2) b b f 1 ( x)dx b 2 ( x)dx. [ f 1 ( x) f 2 ( x)]dx f a a a b c b 其中 a 1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴ b a xdx ? （a b <）； 【解】第一步：分割 在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b a x k n -=，（1,2,,1k n =-），将区间[,]a b 分为n 个等长的小区间[(1),]b a b a a k a k n n --+-+， （1,2,,k n =），每个小区间的长度均为k b a n -?=， 取每个小区间的右端点k b a x a k n -=+， （1,2,,k n =）， 第二步：求和 对于函数()f x x =，构造和式 1 ()n n k k k S f x ==??∑1 n k k k x ==??∑1 ()n k b a b a a k n n =--=+ ?∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1 ()n k b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1) []2 b a b a n n na n n ---=+? ^ 1()[(1)]2b a b a a n -=-+ ?-1 ()()22b a b a b a a n --=-+-? 1 ()()22b a b a b a n +-=--? 第三步：取极限 令n →∞求极限 1 lim lim ()n n k k n n k S f x →∞ →∞ ==??∑1 lim()( )22n b a b a b a n →∞ +-=--? ()(0)22 b a b a b a +-=--?()2b a b a +=-222b a -=， 即得 b a xdx ? 22 2 b a -=。 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质 1212(1)()()(). (2)[()()]()(). (3)()()()(). b b a a b b b a a a b c b a a c kf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+????????为常数其中a 第一节 定积分的概念与性质 一、选择题 1. A ； 2. C . 二、填空题 1. （1）1; （2）0; （3）4 π. 2. （1）1 2 x dx ? > 1 30 x dx ? ， （2）2 1ln xdx ? > () 2 2 1ln x dx ?， （3） 20 xdx π ? < 20 sin xdx π ? ， （4）4 3 ln xdx ? < () 4 2 3ln x dx ?. 三、 解 由于()3f x x =在[]0,1上连续，故积分2 21 x dx -? 是存在的，且它与分法无关，同 时也与点的取法无关. 将区间[]0,1n 等分，得1 i x n = ，取() 1,2,, i i i n n ξ== 作和 ()2 3 2 1 1 13 344 0001114 n n n n i i i i i n n i S x i n n n n ξ---===+??==== ???∑∑∑ 于是 1 lim 4n n S →∞= 即 13 014 x dx =?. 四、 细棒的质量()0 l x dx ρ?. 五、 1 13 x e dx -+? 311 x e dx +-=-?. 设()()1 1,0x x f x e f x e ++'==>，所以()f x 在[]1,3-内单调增加， 从而 ()()()13f f x f -≤≤，即1 41x e e +≤≤. 于是 3 141 44x e dx e +-≤≤? 从而 1 4 13 44x e e dx -+-≤ ≤-? . 六、 设()()2 21,41f x x x f x x '=-+=-，令()0,f x '=得驻点1 4 x = . ()17101,,1482f f f ???? === ? ????? .所以 min ()f x =1, max ()f x =78. 1≤≤ 由定积分性质，得 1 2012≤≤ ?. 定积分典型例题 例1求332 1lim )n n n →∞+． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?= ，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 332 1lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=3 4 =?． 例20 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法 2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值． 定积分的概念与性质 第五章定积分 第一节定积分的概念与性质 教学目的：理解定积分的定义，掌握定积分的性质，特别是中值定理. 教学重点：连续变量的累积，熟练运用性质. 教学难点：连续变量的累积，中值定理. 教学内容： 一、定积分的定义 １．曲边梯形的面积 设?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上非负，连续，由直线?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?及曲线?Skip Record If...? 所围成的图形，称为曲边梯形． 求面积： 在区间?Skip Record If...?中任意插入若干个分点 ?Skip Record If...?， 把?Skip Record If...?分成?Skip Record If...?个小区间[?Skip Record If...?],[?Skip Record If...?], … [?Skip Record If...?]，它们的长度依次为： ?Skip Record If...? 经过每一个分点作平行于?Skip Record If...?轴的直线段，把曲边梯形分成?Skip Record If...?个窄曲边梯形，在每个小区间[?Skip Record If...?]上任取一点?Skip Record If...?，以[?Skip Record If...?]为底，?Skip Record If...?为高的窄边矩形近似替代第?Skip Record If...?个窄边梯形?Skip Record If...?，把这样得到的 定积分典型例题 例1 求332 1lim )n n n →∞+． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 332 1lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=34 =?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π ． 例18 计算2 1||x dx -?． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1||x dx -?＝0 2 10 ()x dx xdx --+??＝220210[][]22 x x --+＝5 2． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算2 20 max{,}x x dx ?． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212 ()01x x f x x x ?<≤=? ≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=??? 例20 设()f x 是连续函数，且10 ()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分()b a f x dx ?是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而10 ()f t dt ?是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且11 (3)()x a dx f t dt a +==??． 定积分典型例题20例答案 定积分典型例题20例答案 例1 求 2 1lim n n →∞ L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为 1i x n ?=，然后把2 111 n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞ +L =3 4 = ? ． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知， ?等 于上半圆周2 2 (1)1x y -+= (0y ≥) 与 x 轴所围成的图形的面积．故0 ? =2 π． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令 1x -=sin t （22 t ππ -≤≤），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ? =2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=? ，则()f x '=___；（2）若 0()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]() v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=4 2 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0 ()()x f x x f t dt =? ，则可得 () f x '=0 ()() x f t dt xf x +? ． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=? ，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=?两边关于x 求导得 32(1)31 f x x -?=， 故3 2 1 (1)3f x x -= ，令3 126x -=得3x =，所以1 (26)27f =． 例 5 函数1 ()(3(0)x F x dt x =>?的单调递减开区间为 _________． 解 ()3F x '=，令()0F x '< 3 >，解之得109 x <<，即1(0,)9 为所求． 例6 求0 ()(1)arctan x f x t tdt =-?的极值点． 解 由题意先求驻点．于是()f x '=(1)arctan x x -．令 f ' 故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点． 例7 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中 2 arcsin 0 ()x t g x e dt -=?，[1,1]x ∈-， 定积分典型例题 例１求、 分析将这类问题转化为定积分主要就是确定被积函数与积分上下限。若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间等分写出积分与,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限、 解将区间等分,则每个小区间长为,然后把得一个因子乘入与式中各项.于就是将所求极限转化为求定积分。即 ==. 例2＝_＿＿__＿__＿. 解法1由定积分得几何意义知,等于上半圆周 () 与轴所围成得图形得面积。故=. 解法2本题也可直接用换元法求解.令=(),则 ==== 例3 比较,,、 分析对于定积分得大小比较,可以先算出定积分得值再比较大小,而在无法求出积分值时则只能利用定积分得性质通过比较被积函数之间得大小来确定积分值得大小、解法1在上,有、而令,则、当时,,在上单调递增,从而,可知在上,有.又 ,从而有. 解法2在上,有.由泰勒中值定理得。注意到.因此 。 例4 估计定积分得值、 分析要估计定积分得值, 关键在于确定被积函数在积分区间上得最大值与最小值。 解设, 因为, 令,求得驻点, 而 , , , 故 , 从而 , 所以 、 例5设,在上连续,且,.求. 解由于在上连续,则在上有最大值与最小值。由知,。又,则 。 由于,故 =. 例6求,为自然数. 分析这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难,解决此类问题得常用方法就是利用积分中值定理与夹逼准则. 解法１利用积分中值定理 设,显然在上连续, 由积分中值定理得 ,, 当时,,而,故 。 解法2利用积分不等式 因为 , 而,所以 、 例7求、 解法1由积分中值定理可知 ＝,、 又 且, 故 、 解法2因为,故有 、 于就是可得 、 又由于 、 因此 ＝. 例8设函数在上连续,在内可导,且.证明在内存在一点,使. 分析由条件与结论容易想到应用罗尔定理,只需再找出条件即可. 证明由题设在上连续,由积分中值定理,可得 , 其中.于就是由罗尔定理,存在,使得.证毕、 例9(1)若,则=＿＿_;(２)若,求=_＿_. 分析这就是求变限函数导数得问题,利用下面得公式即可 。 解(1)=; (２) 由于在被积函数中不就是积分变量,故可提到积分号外即,则可得 ＝。 例１0 设连续,且,则＝_____＿＿__、 解对等式两边关于求导得 , 故,令得,所以. 例11函数得单调递减开区间为_＿__＿__＿_、 解,令得,解之得,即为所求. 例1２求得极值点. 故为得极大值点,为极小值 定积分典型例题20例答案 例1 求332 1lim )n n n →∞+． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 332 1lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=3 4 =?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =22 tdt π π- ?=2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，5.1 定积分的概念与性质-习题
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