高三数学公开课教案数形结合_函数_人教版

高三数学公开课教案数形结合 函数

长沙县第三中学

教学目的：通过本节课的学习,使学生对如何寻找数学问题中内含的几何意义,充分利用几何图

形的性质,直观、简捷地帮助解决数学问题有一定的认识和体会,对数形结合解题的思想方法有一定的了解,并能用以帮助解题。 情感与技能目标：培养学生辩证的世界观和不屈不挠的探索精神。提高学生观察、分析问题能

力和实践动手能力。 教学重点：“数形结合”解题的思想方法在解决与函数有关问题中的应用。 教学难点：“数”与“形”的转化及变量与不变量之间的关系的探索。 教学手段：多媒体辅助教学

数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学研究的两个重要方面，在研究过程中，数形结合既是一个重要的数学思想又是一种常用的数学方法。“数”与“形”是一对矛盾，它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。在高中阶段较多的是“以形助数”。一般地说：“形”是具有形象，直观的特点，易于从整体上定性地分析问题，“由数想形”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨，准确的特点，能够严格论证和定量求解，“数形对照”可以弥补“形”难以精确的弊端。“数无形时少直观，形无数时难人微"，华罗庚的诗句精辟地指出了“数形结合"对数学研究和学习的重要性。

数形结合的思想简言之就是代数问题几何化,几何问题代数化,充分体现图形的直观性,代数推理的逻辑性.

一练习：

1.（04天津）定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x ∈[0,

2

π]时,f(x)=sinx ，则f(53π)的值为（ D ）

A. -

12 B . 12

C. -2

D . 2

解析：依据偶函数与周期函数的特征，可以画出y=f(x)的简图

∴f(53π)=f(23π

2.设函数f(x)= ，若f(x 0)>1，则x 0的取值范围是（ D ） A. (－1，1) B.（－1，＋∞）

C.（－∞，－2）∪（0，＋∞）

D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）

3.( 05上海理16) 设定义域为为R 的函数|lg |1||()0

x f x -?=?? 1

x ≠

，则关于x 的方程

f 2(x )+bf (x )+c = 0有7个不同的实数解的充要条件是 (A) b <0且c >0； (B) b >0且c <0；

(C) b <0且c =0； (D) b ≥0且c =0。

解析：f 2(x)+bf(x)+c = 0有7个不同的

实数解的充要条件是f 2

(x)+bf(x)+c = 0有一根为0故c=0且b<0

4.已知a ≥0,函数f(x)=(x 2-2ax)e x

在[-1,1]上是单调函数,则a 的取值范围是________.

解析 令0)2()22()(2=-+-='x

x e ax x e a x x f ,解得

x

?????>≤--0

,0,1212x x x x

易知11-

由图可知,当0≥a 时,函数x e ax x x f )2()(2-=在 ]1,1[-上是单调函数的充要条件是12≥x ,

即1112≥++-a a ?4

3

≥a .

二.例题解析

例题1. 求函数y= 的最大值和最小值。

解：函数 y= 可视为：点A(－2，0）与点P(sinx,cosx)的连线的斜率

则y 的最值即为k AP 的最值。而点P 为单位圆上的一个动点，则当直线

Ap 与单位圆相切时k AP 取得最值。

设直线AP 的方程为：y=k(x+2)，由圆心到直线的距离为1， 则有：

1

=

, 故y 小结：从数的形和构：

1212()

()

y y x x --入手，由数想形。建立坐标系，引入参数，化静为动，以动求

解。构造几何模型来求解。 例题2.(2003全国卷19) 已知c>0 设

P ：函数y = c x

在R 上单调递减 ； Q ：不等式x+∣x —2c ∣>1的解集为R. 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围。 解:

函数 y=c

在R 上单调递减 则：01 等价于∣x-2c∣>1-x 的解集为R ， 令 y=∣x-2c∣ …………① y=1-x …………②

表示对任意的x∈R，函数①的图像恒在函数②的上方，在如图所示的坐标系中，作出函数①和②的图像，

如果P 不正确，且Q 正确，则 c>1

21

2

12

知 2c>1,即 c>如果P 正确，且Q 不正确，则 0

则c ∈(0, 1

2

]∪[1,+∞) 小结:

例题3：已知关于x 的方程 x 2

＋(

12

－2m)x ＋m 2

－1=0(m 是与x 无关的实数)的两个实根在区间[0，2]内，求m 的取值范围。

解：令f(x)= x 2＋( －2m)x ＋m 2

－1，由f(x)=0的两根落在区间[0，2]内，

图 02≥=x x

11-<=x x

x

x

cos 2sin +x

x

cos 2sin +2

122

1m -22

1m -

x=－ ∈[0,2] (对称轴) x=－ ∈[0,2] (对称轴)

则有 f(－ ) ＜0 （顶点） △＞0 （判别式） f(0)≥0 （端点） f(0)≥0 （端点） f(2)≥0 （端点） f(2)≥0 （端点）

0≤－ +2m ≤4 即为 －( －m)2＋m 2－1＜0

m 2

－1≥0

4＋( －2m)2＋m 2

－1≥0 解之得：{m|1≤m ＜ }

小结： “以形辅数”，化难为易。转化为熟悉的几何模型来求解

思考题:(06上海春21)设函数f(x)=|x 2

-4x-5| （1）在区间[-2,6]上画出函数f(x)的图像; （2）集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2]∪[6,+∞).试判断集合A 和B 之间的关系,并给出证明; （3）当k>2时,求证在区间[-1,5]上,y=kx+3k 的图像位于函数f(x)图像的上方. 21.解:(1)

(2)方程f(x)=5的解分别是和f(x)在（-∞，1]和[-1，2]和[5，+∞）上单调递增，因此A=(-∪∞). 由于∴B ?A

(3)[解法一]当x ∈[-1,5]时,f(x)=-x 2

+4x+5

g(x)=k(x+3)-( -x 2

+4x+5)

=x 2

+(k-4)x+(3k-5)

=(x-42k -) 2 220364

k k -+- , ∵k>2, ∴

42k

-<1 ,又-1≤x ≤5, ①当-1≤42

k

-<1, 即2

取x=42k -, g(x)min =220364

k k -+-=2

1[(10)64]4k ---

∵16≤(k-10)2

<64 , ∴ (k-10)2

-64<0 , 则g(x)min >0

2221m -?????????????????????? ????????????

?21

4121?????

?

?????817

②当

42

k

-<-1，既k>6时，取x= -1，g(x)min =2k>0 由①②可知，当k>2时，g(x)>0，x ∈[-1，5]

因此，在[-1，5]上，y=kx+3k 的图像位于函数f(x)图像的上方.

[解法二] 当x ∈[-1,5]时,f(x)=-x 2

+4x+5

2

(3)45

y k x y x x =+??=-++?由 ，得x 2

+(k-4)x+(3k-5)=0， 令△= (k-4)2

-4(3k-5)=0，解得 k=2或k=18,

在区间[-1，5]上，当k=2时，y=2(x+3)的图像与函数f(x)的图像只交于一点(1,8); 当k=18时，y=18(x+3)的图像与函数f(x)的图像没有交点。

如图可知，由于直线y=k(x+3)过点(-3,0)，当k>2时，直线y=k(x+3)是由直线y=2(x+3)绕点(-3,0)逆时针方向旋转得到，因此在区间[-1，5]上，y=k(x+3)的图像位于函数f(x)图像的上方。 小 结

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形的转化，可以培养思维的灵活性、形象性。通过数形结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。

一．数形结合的信息转化的三个途径：

（1）建立坐标系，引入参数，化静为动，以动求解； （2）转化为熟悉的几何模型来求解； （3）构造几何模型来求解。 二．常用的数学模型：

（1）一元二次函数的图像； （2）一元一次函数的图形； （3）定比分点公式； （4）斜率公式； （5）两点间的距离公式； （6）点到直线的距离公式

课后练习

1．（05福建理5） 函数f (x )a x b

的图象如图，其中 a 、b 为常数，则下列结论正确的是 ( B ) A a >1，b <0； B 00； D a >1，b >0

本题考查指数形函数的性质，分类讨论，的思想和解 决问题的能力，考查数形结合的思想，也可由图用特 值法求解。 2．（05广东9）在同一平面直角坐标系中，函数

)(x f y =和 )(x g y =的图象关于直线x y =对称. 现将)(x g y =的图象沿x 轴向左平移2个

单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函

数)(x f 的表达式为（ A ）

A ．???

??≤<+≤≤-+=20,220

1,22)(x x x x x f

B ．???

??≤<-≤≤--=20,22

1,22)(x x x x x f

C ．???

??≤<+≤≤-=42,1221,22)(x x x x x f

D ．???

??≤<-≤≤-=42,32

2

1,62)(x x x x x f

本题主要考查分段函数的图像、图像平移、反函数、采用排除法，关键是取恰当的点，本题

取端点。

3．（05重庆3. 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 ( D ) A

(,2)； B (2,)； C

(,2)(2,)； D (

2,2)。

解析:

4.(05浙江理8)已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( A )

(A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1

本题考查含参二次函数的最值、二倍角公式、换元法、转化的思想、数形结合的思想，运算能力。

5．方程sinx = 2

x

的解的个数为 （ C ）

A ．1 B. 2 C. 3 D. 4

6.若函数f(x)=ax 2

＋bx ＋c , (a ≠0),若 f(x)=0的两根分别在区间（1，2）和（2，3）内，则以下不等式中正确的是（ B ）

A. f(1)f(2)>0

B. f(1)f(2)<0

C. f(1)f(3)<0

D. f(2)f(3)>0 7. 已知)(x f 是实数集R 上的奇函数,且在区间),0(+∞上是单调递增函数,若0)2

1(=f ,且

ABC ?的内角A 满足0)(cos

(A)),32(

ππ (B))2,3(ππ (C))32,2(ππ (D)),32()2,3(

π

ππ 解析 由于函数)(x f 是一个抽象函数,因此可根据函数有关性质由题

意构造出符合条件的一个特殊函数图象,如图5所示,由图象及三角形 内角范围可知:21cos 0<

1

cos

1-<<-A ,故选D. 8.(05北京理13）对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论： ① f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)； ② f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2)；

③

1212

()()

f x f x x x -->0； ④ 1212()()()22x x f x f x f ++<. 当f (x )=l gx 时，上述结论中正确结论的序号是 ②③ .

9. 当不等式65122

≤++≤px x 中恰好有一个解时,实数p 的值是____.

提示 抛物线512++=px x y 和直线6=y 相切.方程

092=++px x 有相等的两实根,60632±=?=-=?p p . 10. 若不等式ax x x >-24的解集是]4,0(,求实数a 的取值范围解析 作函数214x x y -=

,ax y =2的图象(如图6).

由图6知,要使21y y >的解集是]4,0(,应有0

11.（2005年湖北卷）已知向量a = (x 2

, x + 1)，b = (1 – x , 图5

x

若函数f (x ) = a ·b 在区间(–1, 1)上是增函数，求t 的取值范围.

解：依定义f (x ) = x 2

(1 – x ) + t (x + 1) = –x 3

+ x 2

+ tx + t . = –3x 2

+ 2x + t .

若f (x )在(–1, 1)上是增函数，则在(–1, 1)上可设≥0. ∵的图象是开口向下的抛物线，

∴当且仅当)1(f '= t – 1≥0，且)1(-'f = t – 5≥0时，

在(–1, 1)上满足＞0，即f (x )在(–1, 1)上是增函数. 故t 的取值范围是t ≥5. 评析：本小题通过向量的运算给出函数表达式，主要考查平面向量数量积的计算方法，利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.

12．已知两点P （0，1）和Q （2，3），如果二次函数f(x)=x 2

＋ax ＋2的图象与线段PQ 有两个

不同的公共点，求实数a 的取值范围。

13．已知f （x ）=2x 2

-2ax+3在[-1，1]上的最小值是f （a ）． （Ⅰ）求f （a ）的表达式；

（Ⅱ）当a ∈[-2，0]时，求函数g （a ）=

的值域．

14.(05辽宁22)函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数

.)(m kx x g +=

（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ；

（Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；

（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[2

3

132

2

+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求

b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.

解：本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判

断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.

（Ⅰ）解：).()(000x f x x f m '-=

（Ⅱ）证明：令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则 因为)(x f '递减，所以)(x h '递增，因此，当0)(,0>'>x h x x 时； 当0)(,0<'

可知)(x h 的最小值为0，因此,0)(≥x h 即).()(x f x g ≥

（Ⅲ）解法一：10≤≤b ，0>a 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的

充要条件是 .)1(22

1

b a -≤

另一方面，由于322

3)(x x f =满足前述题设中关于函数)(x f y =的条件，利用（II ）的结果可知，

32

23x b ax =+的充要条件是：过点（0，b ）与曲线32

2

3x y =相切的直线的斜率大于a ， 该切线的方程为.)2(2

1b x b y +=-

)(log 2

1a f

于是3

22

3x b ax ≥+的充要条件是.)2(2

1b a ≥

综上，不等式32

2

2

3

1x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是

.)1(2)

2(2

12

1b a b -≤≤-

①

显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2(2

12

1b b -≤- ②

有解、解不等式②得.4

22422+≤≤-b ③

因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.

（Ⅲ）解法二：0,10>≤≤a b 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,12

2≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(22

1b a -≤

令32

23)(x b ax x -+=φ，于是32

2

3x b ax ≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .0)(≥x φ 由.0)(33

1--

==-='a x x

a x 得φ

当30-<a x 时，0)(>'x φ，所以，当3-=a x 时，)(x φ取最小值.

因此0)(≥x φ成立的充要条件是0)(3

≥-a φ，即.)

2(2

1

-

≥b a

综上，不等式32

2

231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的

充要条件是.)1(2)2(2

12

1b a b -≤≤-①

显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式2

12

1)1(2)2(b b -≤- ②

有解、解不等式②得.4

22422+≤≤-b

因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.

数 形 结 合（函数）

数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学研究的两个重要方面，在研究过程中，数形结合既是一个重要的数学思想又是一种常用的数学方法。“数”与“形”是一对矛盾，它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。在高中阶段较多的是“以形助数”。一般地说：“形”是具有形象，直观的特点，易于从整体上定性地分析问题，“由数想形”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨，准确的特点，能够严格论证和定量求解，“数形对照”可以弥补“形”难以精确的弊端。“数无形时少直观，形无数时难人微"，华罗庚的诗句精辟地