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北师大版数学九年级上册第四章 《图形的相似》重点题型归纳

阶段强化专题训练 专题一：平行线分线段成比例常见应用技巧 类型一 证比例式 技巧1 中间比代换法证比例式 1.如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB. (1)求证： BC DE AB AD =； (2)若AD:DB=3:5，求CF:CB 的值 . 技巧2 等积代换法证比例式 2.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，E 是△ABC 内一点，DE ∥BC ，过D 作AC 的平行线交CE 的延长线于F ，CF 与AB 交于P.求证： PB PA PF PE = . 技巧3 等比代换法证比例式 3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，求证： AD AF AB AD = . 类型2 证线段相等 技巧 4 等比过渡证线段相等(等比例过渡法) 4.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B ＞∠A ，点D 为边AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点 E ，C F ∥BA 交DE 的延长线于点F. (1)求证：DE=EF ；(2)连结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ，求证：∠B=∠A+∠DGC ． 类型3 证比例和为1 技巧5 同分母的中间比代换法 5.如图，已 知AC ∥FE ∥BD.求证： 1=+BC BE AD AE

专题二：证明相似三角形的方法 名师点金 要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点： (1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例； (2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例； (3)除此之外，也可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性 ．．．”. 方法1 利用边或角的关系判定两直角三角形相似 1.下面关于直角三角形相似叙述错误的是( ) A.有一锐角对应相等的两个直角三角形相似 B.两直角边对应成比例的两个直角三角形相似 C.有一条直角边相等的两个直角三角形相似 D.两个等腰直角三角形相似 2.如图，BC⊥AD，垂足为C，AD=6.4，CD=1.6，BC=9.3，CE= 3.1.求证：△ABC∽△ DEC. 方法2 利用角判定两三角形相似 3.如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE 交于点 E. (1)求证：△ABD∽△CED； (2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长． 方法3 利用边角判定两三角形相似 4.如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上． 求证：△ABD∽△ CAE. 方法4 利用三边判定两三角形相似 5.如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF∽△ ABC.

相似图形知识点与题型分析

相似图形的知识与题型 知识点1：比例线段的相关概念 1.比例线段： 对于四条线段a b c d 、、、，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a c b d =（或:=a b c d :）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 注意：⑴ 在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位． ⑵ 当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式． ⑶ 比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项， 那么应得比例式为：a d c b =． 2.比例中项：如果c b b a =（或a c b =2），则b 叫做a 、c 的比例中项。 知识点2：比例的性质 基本性质：(1)bc ad d c b a =?=::； (2)b a c b c c a ?=?=2::． 反比性质（把比的前项、后项交换）： c d a b d c b a =?=． 合比性质：d d c b b a d c b a ±=±?=．发生同样和差变化比例仍成立。 等比性质：若 )0(≠+???+++=???===n f d b n m f e d c b a ，则b a n f d b m e c a =+???++++???+++. 注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． 说明：①比例的基本性质是比例变形的重要依据． ②比例的基本性质的互逆关系的变形，可引用比值k 的方法， 设d c b a = ＝k ，那么a ＝kb ，c ＝k d ，ad ＝kb ×d ＝b ×kd ＝bc 知识点3：比例线段的有关定理 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他

公务员考试图形推理题(绝对全_带答案)

公务员考试图形推理题 1. 第一题: d 分析2个方框=1个圆圈,所以每个图形里都是4个圆圈,故选d 这个题好像和开心辞典里的题型类似. 第二题: c 第1个是从右侧斜射,左侧出现阴影 第2个是从左侧斜射第3个是从背面右侧斜射 第4个是从背面左侧斜所以第5个应该是重复第1个图形的规律,故选c 2. C 将前后2个图形重合，相同色的第3项无色，不同色的第3象黑色！ 3、

D 一根线45 度角逆时针运动，另一根线90 度角顺时针运动 4、 线条数量第一组线条是332 所以第二组也是332 选C 5、大日号好 A道B幽C远D哉 按笔画顺序选答案啊,第一个字3划,第二个字4划,第三个字5划,第四个字6划,所以第五个字应该是7划,=>答案选C 理由：左图都是缺一根线。右图都是缺两根线。 6、 答案为B，分为四层，最上层向右移动，第二层向左移动

1->B［解析］已知四个图形全部为中心对称图形，选项中只有B符合，A、D是轴对称图形，C 不是对称图形。 2-> B［解析］每个图形中的特殊元素的笔画数按1，3，5，7，9排列。 3-->. A［解析］斜线阴影每次逆时针移动到下一格，竖线阴影每次顺时针移动到下一格，且阴影倾斜方向保持不变。 4--> C［解析］每个条形物按其编号从1依次分别向右移动1，2，3，4，5格，全部移动一次完毕后，再从所在位置出发按上一步骤移动，最后形成C形状。 注：轴对称如果沿某一条直线对折,对折的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形叫做轴对称图形 中心对称把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 左图第一个与右图第一个在形状上有相似，同理左二与右二有相似，左三与右三也应该是这个规律的。

第六章《图形的相似》经典题型单元测试题(含答案)

第六章《图形的相似》经典题型单元测试题 一．选择题（每小题3分，共10小题） 1.下列说法中不正确的是（ ） A. 相似多边形对应边的比等于相似比 B. 相似多边形对应角平线的比等于相似比 C. 相似多边形周长的比等于相似比 D. 相似多边形面积的比等于相似比 2.△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，∠A=30°，△ABC ∽△A ′B ′C ′，则∠C ′=（ ） A. 30° B. 60° C. 50° D. 75° 3.如图，DE 是△ABC 的中位线，M 是DE 的中点，CM 的延长线交AB 于点N ，则NM ： MC 等于（ ） A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：5 4.如图，线段AB 与CD 交于点O ，下列条件中能判定AC ∥BD 的是（ ） A. OC=1，OD=2，OA=3，OB=4 B. OA=1，AC=2，AB=3，BD=4 C. OC=1，OA=2，CD=3，OB=4 D. OC=1，OA=2，AB=3，CD=4． 5.如图，△ABC 中，AD 是中线，BC =4，∠B =∠DAC ，则线段AC 的 长为( ) A. 2 B. 22 C. 3 D. 23 6.如图，AB ∥CD ，点E AB 上，点F 在CD 上，AC 、BD 、EF 相交于点O ，则图中相似三 角形共有（ ）

A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 7.如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列哪些条件，①∠AED=∠B，② AE DE AB BC =，③ AD AE AC AB =，使△ADE与△ACB一定相似（） A. ①② B. ② C. ①③ D. ①②③ 8.如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝1：2，CF＝6，那么BF等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9.如图，某小区有一块平行四边形状（即图中平行四边形ABCD）土地，土地中有一条平行四边形小路（即平行四边形AECF），其余部分被直线l分割成面积分别为S1，S2，S3，S4四个区域，小区物业准备在这四个区域中种上不同的四种花卉，已知l∥AD，交AB于点M，1 AM AB k =，则2 3 S S =（） A. 2 21 2 k k k + + B. 21 21 k k - - C. 2 21 1 k k - - D. 1 1 k-10.如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M 不与B，C重合），CN⊥DM，与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列四个结论：①△CNB≌△DMC；②OM=ON；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2，其中正确结论的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（每小题3分，共6小题）

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初三数学图形的相似题型总结 【回顾知识点】 1、 比例的性质：基本性质、合比性质、分比性质、等比性质 2、 黄金分割点； 3、平行线分线段成比例 3、 相似三角形的性质与判定； 4、图形的位似 【例题讲解】 题型一：比例性质的考查 例1、（1）已知线段a 、b ，且3 2 =b a ，则下列说法错误的是（ ） A ．a=2cm ，b=3cm B ．a=2k ，b=3k （k ≠0） C ．3a=2b D ．a=b 3 2 2、如果23=b a ，那么b a a +等于( )A ．3：2 B ．2：3 C ．3：5 D ．5：3 （3）若k b a c a c b c b a =+=+=+，则k 的值为（ ） A ．2 B ．-1 C ．2或-1 D ．不存在 题型二：黄金分割的考查 例2、已知点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC=1cm ，则线段AB 的长为__________. 题型三：平行线分线段成比例的考查 例3、（1）如图，在△ABC 中，DE ‖BC ， 1 2 AD DB =，DE=4，则BC 的长是（ ） A 、8 B 、10 C 、11 D 、12 （2）如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ：DB=3：5，那么CF ：CB 等于（ ） A ．5：8 B ．3：8 C ．3：5 D ．2：5 例3（2）图 例4（1）图 例4（2）图 题型四：相似三角形性质的考查 例4、（1）如图，在等边三角形ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、AC 、AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于（ ） A 、1:3 B 、2：3 C 、3:2 D 、3:3 （2）如图，DE 是△ABC 的中位线，M 是DE 的中点，若△ABC 的面积为48cm 2，则△DMN 的面积为_______ cm 2. （3）如图，已知△ADE ∽△ABC ，AD=6cm ，DB=3cm ，BC=9.9cm ，∠A=70度，∠B=50度，1）求∠ADE 的大小；2）求∠AED 的大小；3）求DE 的长。

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初三数学图形的相似题型总结 【教学目标】 比例基本性质；平行线分线段成比例；相似三角形的性质与判定；图形的位似 【回顾知识点】 1、比例的性质：基本性质、合比性质、分比性质、等比性质 2、黄金分割点 3、平行线分线段成比例 4、相似三角形的性质与判定 5、图形的位似 6、特殊锐角的三角函数值 7、解直角三角形 8、解直角三角形的应用 【例题讲解】 题型一：比例性质的考查 A．a=2cm，b=3cm B．a=2k，b=3k（k≠0） 2 C．3a=2b D．a=b 3 A．2B．-1C．2或-1D．不存在题型二：黄金分割的考查 例2、已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC=1cm，则线段AB的长为 _________________.

题型三：平行线分线段成比例的考查 例3、（1）如图，在△ABC 中，DE ‖BC ，，DE=4，则BC 的长是（ ）12AD DB A 、8 B 、10 C 、11 D 、12（2）如图，已知在△ABC 中，点D 、 E 、 F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点， DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ：DB=3：5，那么CF ：CB 等于（ ） A ．5：8 B ．3：8 C ．3：5 D ．2：5 例3（2）图 例4（1）图 例4（2）图 题型四：相似三角形性质的考查例4、（1）如图，在等边三角形ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、AC 、AB 上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于（ ） A 、1:3 B 、2：3 C D 23 （2）如图，DE 是△ABC 的中位线，M 是DE 的中点，若△ABC 的面积为48cm 2，则△DMN 的面积为_______ cm 2. （3）如图，已知△ADE ∽△ABC ，AD=6cm ，DB=3cm ，BC=9.9cm ，∠A=70度，∠B=50度，1）求∠ADE 的大小；2）求∠AED 的大小；3）求DE 的长。

图形的相似题型练习

初三数学图形的相似题型总结 【例题讲解】 题型一：比例性质的考查 a 2 例1、（ 1 ）已知线段a、b，且上一，则下列说法错误的是（） b 3 B. a=2k , b=3k ( k 工0) 2 C. 3a=2b D. a=—b 3 题型二：黄金分割的考查 例2、已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC=1cm，则线段AB的长为 题型三：平行线分线段成比例的考查 // AB，且AD : DB=3 : 5，那么CF : CB 等于( ) D. 2: 5 B C A. a=2cm, b=3cm （2 ）如果 a b 3 —? 2 那么 a a b 等于( ) A. 3: 2 B. 2 :3 C. 3: 5 (3 )若- b b c c a k , 则k的值为（） c a b D. 5: 3 D.不存在 例3、（1 ）如图，在△ ABC 中，DE || BC , AD DB -,DE=4，则BC的长是（ 2 B、10 C、11 D、12 （2）如图，已知在厶ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点, DE // BC , EF A. 2 B. -1 C. 2 或-1

例3 (2 )图 例4 (1 )图 例4 (2)图 欢迎下载 2 题型四：相似三角形性质的考查 例4、(1 )如图，在等边三角形 ABC 中，D E 、F 分别是边 BC AG AB 上的点, DEI AC, EF 丄AB, FD! BC,则厶DEF 的面积与厶 ABC 的面积之比等于( A 1:3 B ： 2 ) ： 3 (2)如图，DE 是厶ABC 的中位线, M 是DE 的中点，若厶ABC 的面积为48cm 2,则厶DMN 的面积为 ______ cm (3)如图，已知△ ADE ABC , AD=6cm , DB=3cm , BC=9.9cm ，/ A=70 度，/ B=50 度，1)求/ ADE 的大小；2)求/ AED 的大小；3)求DE 的长。 题型五：相似三角形判定的考查 例5、(1)如图，点D 在厶ABC 的边AC 上, ABC 相似，添加一个条件，不正确的是( A 、/ ABD= / C B 、/ ADB= / AB C C 、 D 、 要判定△ (2)如图，M 是Rt △ ABC 的斜边BC 上异于B 、 BD CD C 的一定点，过 AB AC M 点作直线截△ ABC , 使截得的三角形与△ ABC 相似，这样的直线共有 条。 (3)如图，点C 为线段AB 上任意一点(不与 A 、B 重合)，分别以 AC 、

相似图形知识点与题型分析教学提纲

相似图形知识点与题 型分析

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 相似图形的知识与题型 知识点1：比例线段的相关概念 1.比例线段： 对于四条线段a b c d 、、、，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c b d =（或:=a b c d :）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 注意：⑴ 在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位． ⑵ 当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例 式． ⑶ 比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项， 那么应得比例式为：a d c b =． 2.比例中项：如果 c b b a =（或a c b =2），则b 叫做a 、c 的比例中项。 知识点2：比例的性质 基本性质：(1)bc ad d c b a =?=::； (2)b a c b c c a ?=?=2::． 反比性质（把比的前项、后项交换）：c d a b d c b a =?=． 合比性质： d d c b b a d c b a ±=±?=．发生同样和差变化比例仍成立。

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 等比性质：若)0(≠+???+++=???===n f d b n m f e d c b a ，则 b a n f d b m e c a =+???++++???+++. 注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=， b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． 说明：①比例的基本性质是比例变形的重要依据． ②比例的基本性质的互逆关系的变形，可引用比值k 的方法， 设d c b a = ＝k ，那么a ＝kb ， c ＝k d ，ad ＝kb ×d ＝b ×kd ＝bc 知识点3：比例线段的有关定理 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边（即三角形中位线定理的逆定理）。 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰（即梯形中位线定理的逆定理）。 平行线等分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论： (1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例。

相似图形知识点典型例题

相似图形知识点典型例 题 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

第四章 相似图形 一、知识要点 1、成比例线段：若线段a ,b ,c ,d 满足 d c b a =，则a ,b ,c ,d 称为成比例线段. 2、比例的性质：（1） d c b a = ab c d =(互逆的时候是否需要条件？) （2）d c b a = d d c b b a ±=± （3）n m d c b a === b a n d b m c a =++++++ （0≠+++n d b ） 3、黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC AB AC =，那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比. AC ：AB =1:618.01:2 15≈- 4、相似多边形：如果两个多边形的角对应相等，边对应成比例，那么这个多边形叫做相似多边形．对应边的比叫做相似比. 5、相似三角形的判定：（1）两个角对应相等的两个三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； （3）三边对应成比例的两个三角形相似. 6、相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例； （2）相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比； （3）相似三角形的周长比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 7、位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. 8、位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.

九年级数学图形的相似(带标准答案)

第3章图形的相似 【经典例题】 1.（2014湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，点A 的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（）．

A ．(2，0) B ．(23 ，2 3) C ．(2，2) D ．(2，2) 【解析】由已知得，E 点的坐标就是点A 坐标的2倍． 【答案】C 【点评】本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是同向位似． 2.(2014山东日照，8，3分)在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE ,则 FD BF 的值是（ ） A.21 B.31 C.41 D.5 1 解析：如图，由菱形ABCD 得AD ∥BE,，所以△BEF ∽△ADF, 又由EC =2BE ,得AD=BC=3BE ,故 FD BF =AD BE =3 1 . 解答：选B ． 点评：本题主要考查了棱形的性质、相似三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键. 3.（2014·湖南省张家界市·10题·3分）已知ABC △与DEF △相似且面积比为4∶25，则ABC △与DEF △的相似比为 ． 【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根. 【解答】ABC △与DEF △的相似比为 254=5 2. 【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方. 4.（2014山东省滨州，18，4分）如图，锐角三角形ABC 的边AB ，AC 上的高线CE 和BF 相交于点D ，请写出图中的两对相似三角形： （用相似符号连接）． 【解析】（１）由于∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，可得△BDE ∽△CDF 。由于∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，可得△ABF ∽△ACE 。 解：（1）在△BDE 和△CDF 中∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE ∽△CDF ． （2）在△ABF 和△ACE 中，∵∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF ∽△ACE ． A C D F E （第6题） y x A O C B D E F

九年级数学图形的相似(带答案)

第3章 图形的相似 【经典例题】 1.（2014湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为1∶2，点A 的坐标为(1，0)，则E 点的坐标为（ ）． A ．(2，0) B ．(23，2 3) C ．(2，2) D ．(2，2) 【解析】由已知得，E 点的坐标就是点A 坐标的2倍． 【答案】C 【点评】本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是同向位似． 2.(2014山东日照，8，3分)在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE ,则 FD BF 的值是（ ） A.21 B.31 C.4 1 D.51 解析：如图，由菱形ABCD 得AD ∥BE,，所以△BEF ∽△ADF, 又由EC =2BE ,得AD=BC=3BE ,故 FD BF =AD BE =3 1 . 解答：选B ． 点评：本题主要考查了棱形的性质、相似三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键. 3.（2014·湖南省张家界市·10题·3分）已知ABC △与DEF △相似且面积比为4∶25，则ABC △与DEF △的相似比为 ． 【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根. 【解答】ABC △与DEF △的相似比为 254=5 2. 【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方. 4.（2014山东省滨州，18，4分）如图，锐角三角形ABC 的边AB ，AC 上的高线CE 和BF 相交于点D ，请写出图中的两对相似三角形： （用相似符号连接）． 【解析】（１）由于∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，可得△BDE ∽△CDF 。由于∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，可得△ABF ∽△ACE 。 解：（1）在△BDE 和△CDF 中∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE ∽△CDF ． （2）在△ABF 和△ACE 中，∵∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF ∽△ACE ． 【答案】△BDE ∽△CDF ，△ABF ∽△ACE 【点评】本题考查相似三角形的判定方法．三角形相似的判定方法有，AA ，AAS 、ASA 、SAS 等． 5.(2014贵州黔西南州，17，3分)如图5，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AD=1，BC=3，△AOD 的面积为3，则△BOC 的面积为___________． A B C D F E （第6题） y x A O C B D E F

九年级相似三角形知识点总结及例题讲解

九年级相似三角形知识点总结及例题讲解 文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968）

相 似三角形基本知 识 知识点一：放缩与相似 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等， 对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是 a ： b ＝m ：n （或n m b a = ） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ： d ）中a 、d 叫做比例外项。

5、比例内项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a =（或 a:b ＝b:c 时，我们 把b 叫做a 和d 的比例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位） （2）比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a = ?= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 4.合比性质： d d c b b a d c b a ±=±?=（分子加（减）分母,分母不变） ． 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

九年级数学图形的相似和比例线段(学生版)知识点+典型例题

图形的相似和比例线段 【学习目标】 1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义； 3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力. 【要点梳理】 要点一、比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比 是a:b=m:n，或写成a m b n ． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d，则ad=bc； （2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项）． 要点二、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等； 要点三、相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 要点诠释： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 【典型例题】 类型一、比例线段 1. 下列四组线段中，成比例线段的有( ) A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cm C．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm 2. 求证：如果，那么.

相似图形知识点典型例题

第四章 相似图形 一、知识要点 1、成比例线段：若线段a ,b ,c ,d 满足 d c b a =，则a ,b ,c ,d 称为成比例线段. 2、比例的性质：（1） d c b a =c d =(互逆的时候是否需要条件？) （2） d c b a =d d c ±= （3） n m d c b a === b a =（0≠+++n d b ） 3、黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC AB AC =，那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比. AC ：AB =1:618.01:2 15≈- 4、相似多边形：如果两个多边形的角对应相等，边对应成比例，那么这个多边形叫做相似多边形．对应边的比叫做相似比. 5、相似三角形的判定：（1）两个角对应相等的两个三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； （3）三边对应成比例的两个三角形相似. 6、相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例； （2）相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比； （3）相似三角形的周长比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 7、位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. 8、位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 二、典型例题： 例1 如果31==d c b a ，求b b a +，b b a -，d b c a ++，d b c a 22--.

九年级数学图形的相似带答案

九年级数学图形的相似 带答案 Revised as of 23 November 2020

第3章图形的相似 【经典例题】 1.（2014湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（）．

A ．(2，0) B ．(23，2 3 ) C ．(2，2) D ．(2，2) 【解析】由已知得，E 点的坐标就是点A 坐标的2倍． 【答案】C 【点评】本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是同向位似． 2.(2014山东日照，8，3分)在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE ,则FD BF 的值是（ ） A. 21 B.31 C.4 1 D.51 解析：如图，由菱形ABCD 得AD ∥BE,，所以△BEF ∽△ADF, 又由EC =2BE ,得AD=BC=3BE ,故 FD BF =AD BE =3 1 . 解答：选B ． 点评：本题主要考查了棱形的性质、相似三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键. 3.（2014·湖南省张家界市·10题·3分）已知ABC △与DEF △相似且面积比为4∶25，则ABC △与 DEF △的相似比为 ． 【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根. 【解答】ABC △与DEF △的相似比为 254=5 2. 【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方. A B C D F E （第6题）

4.（2014山东省滨州，18，4分）如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线CE和BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形：（用相似符号连接）． 【解析】（１）由于∠BDE=∠CDF∠BED=∠CFD=90°，可得△BDE∽△CDF。由于∠A=∠A，∠AFB=∠AEC=90°，可得△ABF∽△ACE。 解：（1）在△BDE和△CDF中∠BDE=∠CDF∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE∽△CDF． （2）在△ABF和△ACE中，∵∠A=∠A，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF∽△ACE． 【答案】△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE 【点评】本题考查相似三角形的判定方法．三角形相似的判定方法有，AA，AAS、ASA、SAS等． 5.(2014贵州黔西南州，17，3分)如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若AD=1，BC=3，△AOD的面积为3，则△BOC的面积为___________． 【解析】由题意知AD∥BC，所以∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，所以△OAD∽△OCB．又AD=1，BC=3，所以△OAD与△OCB的相似比为1:3，面积之比为1:9，而△AOD的面积为3，所以△BOC的面积为27．【答案】27． 【点评】理解相似三角形的相似比与周长比、面积比之间的关系，是解决本题的关键． 6.（2014贵州遵义，7,3分）如图，在△ABC中，EF∥BC，=，S 四边形BCFE=8，则S△ABC =（） A．9B ．10C ． 12D．13 解 析： 求出的值，推出△AEF∽△ABC，得出=，把S四边形BCFE=8代入求出即可．

相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)

相似三角形 一、知识概述 1.平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。 2.平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 3.相似三角形的定义 对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形． 4.相似三角形的基本性质 ①相似三角形的对应边成比例、对应角相等． ②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 ③相似三角形的周长比等于相似比 ④面积比等于相似比的平方 温馨提示： ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC 的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 5. 相似三角形的判定定理 ①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似； ②三边对应成比例的两个三角形相似； ③两角对应相等的两个三角形相似； ④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 温馨提示： （1）判定三角形相似的几条思路： ①条件中若有平行，可采用判定定理1； ②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角)，可再找一对角相等或找夹边对应成比例； ③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必

新北师大版初三数学图形的相似题型总结说课材料

新北师大版初三数学图形的相似题型总结

初三数学图形的相似题型总结 【教学目标】 比例基本性质；平行线分线段成比例；相似三角形的性质与判定；图形的位似【回顾知识点】 1、比例的性质：基本性质、合比性质、分比性质、等比性质 2、黄金分割点 3、平行线分线段成比例 4、相似三角形的性质与判定 5、图形的位似 6、特殊锐角的三角函数值 7、解直角三角形 8、解直角三角形的应用 【例题讲解】 题型一：比例性质的考查 A．a=2cm，b=3cm B．a=2k，b=3k（k≠0） 2 C．3a=2b D．a=b 3 A．2 B．-1 C．2或-1 D．不存在题型二：黄金分割的考查

例2、已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC=1cm，则线段AB的长为_________________. 题型三：平行线分线段成比例的考查 例3、（1）如图，在△ABC中，DE‖BC， 1 2 AD DB ，DE=4，则BC的长是 （） A、8 B、10 C、11 D、12 （2）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（） A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5 例3（2）图例4（1）图例4（2）图 题型四：相似三角形性质的考查 例4、（1）如图，在等边三角形ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（） A、1:3 B、2：3 C、3:2 D、3:3

（2）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，若△ABC的面积为 48cm2，则△DMN的面积为_______ cm2. （3）如图，已知△ADE∽△ABC，AD=6cm，DB=3cm，BC=9.9cm，∠A=70度，∠B=50度，1）求∠ADE的大小；2）求∠AED的大小；3）求DE的长。 题型五：相似三角形判定的考查 例5、（1）如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与 △ABC相似，添加一个条件，不正确的是（） A、∠ABD=∠C B、∠ADB=∠ABC C、AB CB BD CD = D、 AD AB AB AC = （2）如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有__________条。 （3）如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以 AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．

图形的相似题型总结

1 / 4 初三数学图形的相似题型总结 【回顾知识点】 1、 比例的性质：基本性质、合比性质、分比性质、等比性质 2、 黄金分割点； 3、平行线分线段成比例 3、 相似三角形的性质与判定； 4、图形的位似 【例题讲解】 题型一：比例性质的考查 例1、（1）已知线段a 、b ，且3 2 =b a ，则下列说法错误的是（ ） A ．a=2cm ，b=3cm B ．a=2k ，b=3k （k ≠0） C ．3a=2b D ．a=b 3 2 2、如 果23=b a ，那么b a a +等于()A ．3：2B ．2：3C ．3：5D ．5：3 （3）若k b a c a c b c b a =+=+=+，则k 的值为（ ） A ．2 B ．-1 C ．2或-1 D ．不存在 题型二：黄金分割的考查 例2、已知点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC=1cm ，则线段AB 的长为__________. 题型三：平行线分线段成比例的考查 例3、（1）如图，在△ABC 中，DE ‖BC ， 1 2 AD DB =，DE=4，则BC 的长是（ ） A 、8 B 、10 C 、11 D 、12 （2）如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ：DB=3：5，那么CF ：CB 等于（ ） A ．5：8 B ．3：8 C ．3：5 D ．2：5 例3（2）图 例4（1）图 例4（2）图 题型四：相似三角形性质的考查 例4、（1）如图，在等边三角形ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、AC 、AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于（ ） A 、1:3 B 、2：3 C 、3:2D 、3:3 （2）如图，DE 是△ABC 的中位线，M 是DE 的中点，若△ABC 的面积为48cm 2，则△DMN 的面积为_______cm 2. （3）如图，已知△ADE ∽△ABC ，AD=6cm ，DB=3cm ，BC=9.9cm ，∠A=70度，∠B=50度，1）求∠ADE 的大小；2）求∠AED 的大小；3）求DE 的长。 题型五：相似三角形判定的考查