排列组合公式及恒等式推导、证明(word版)(新)

排列组合公式及恒等式推导、证明（word 版）

说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件，不管是word 还是pps 附带公式编辑经常是出错用不了。下载此word 版的，记得下载MathType 公式编辑器哦，否则乱码一堆。如果想偷懒可下截同名的截图版。另外，还有PPt 课件（包含了排列组合的精典解题方法和精典试题）供学友们下载。

一、排列数公式：

!(1)(2)(1)

()!m

n n A n n n n m n m

(1)(1)321n n A n n n

推导：把n 个不同的元素任选m 个排次序或n 个全排序，按计数原理分步进行：

第一步，排第一位： 有 n 种选法； 第二步，排第二位： 有（n-1） 种选法； 第三步，排第三位： 有（n-2） 种选法； ┋

第m 步，排第m 位： 有（n-m+1）种选法； ┋

最后一步，排最后一位：有 1 种选法。 根据分步乘法原理，得出上述公式。

二、组合数公式：

(1)(2)(1)

!

!

!()!m m n n

m m

A n n n n m n C

A m m n m

1n

n C

推导：把n 个不同的元素任选m 个不排序，按计数原理分步进行： 第一步，取第一个： 有 n 种取法； 第二步，取第二个： 有（n-1） 种取法； 第三步，取第三个： 有（n-2） 种取法； ┋

第m 步，取第m 个： 有（n-m+1）种取法； ┋

最后一步，取最后一个：有 1 种取法。

上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m 个，就有m!种排排法，选n 个就有n!种排法。故取m 个的取法应当除以m!,取n 个的取法应当除以n!。遂得出上述公式。

证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。 将部分排列问题m n A 分解为两个步骤：

第一步，就是从n 个球中抽m 个出来，先不排序，此即定义的组合数问题m n C ；

第二步，则是把这m 个被抽出来的球全部排序，即全排列m m A 。

根据乘法原理，m m m n n m A C A 即：

(1)(2)(1)!

!!()!m m n n

m m

A n n n n m n C

A m m n m

组合公式也适用于全组合的情况，即求 C(n, n)的问题。根据上述公式，

C(n, n) = n!/n!(n-n)! = n! / n!0! = 1。 这一结果是完全合理的，因为从n 个球中抽取所有n 个出来，当然只有1种方法。

三、重复组合数公式：

重复组合定义:从n 个不同的元素中每次取一个，放回后再取下一个，如此连续m 次所得的组合。

重复组合数公式：1m m n n m R C （m 可小于、大于、等于n,n ≥1） 推导：可以把该过程看作是一个“放球模型”：

n 个不同的元素看作是n 个格子，其间一共有（n-1）块相同的隔板，用m 个相同的小球代表取m 次；则原问题可以简化为将m 个不加区别的小球放进n 个格子里面，问有多少种放法；这相当 于m 个相同的小球和（n-1）块相同的隔板先进行全排列：一共有（m+n-1）！种排法，再由于m 个小球和（n-1）块隔板是分别不加以区分的，所以除以重复的情况：m ！*（n-1）！ 1(1)!

!(1)!

m n m m n C m n

1

(1)m

n

n m

A

右边=!

!(1)

(1)!

()!

m n

n n n

m

A n

m n m 左边=右边

1

m

m

n

n n A A n

m

证明：右边=(1)!

(1)!

()!

m n

n

n n A n

m

n m n m

左边=右边

1

1

m

m n n A nA

证明：右边=(1)!

!()!

()!

m

n

n n n

A n

m n m

②

③

左边=右边

11n n n

n n n nA A A

证明：右边=11

(1)!!(1)!!!n n n

n

n n A A n n n n n n n nA

右边=左边

1

1

m m

m

n n

n

A A mA

证明：右边=1

!

!(1)!!(1)!

()!

(1)!(1)!(1)!m n n n n m n m n n m

A n m n m n m n m

1!22!33!

!(1)!1n n n

证明：左边=(2-1)1！+（3-1）2！+（4-1）3!+…（n+1-1）n!

=2!-1!+3!-2!+4!-3!…(n+1)!-n! =(n+1)!-1！ =右边 六、组合恒等式的证明

首先明弄清组合的两个性质公式：

④

⑤

⑥

互补性质：取出有多少种，剩下就有多少种 m

n

m

n n C C 1

1m m m

n n n C C C

根据分类计数原理:要么含有新加元素要么不含新加元素

1

1

11m m

n

n

m n m C C n m

m

证明：

1

1

1(1)!!

()(1)!(1)!!()!

11!!

(1)!(1)!!()!m

m

n

n m

m

n

n m m n n C C n m

n m m n m m n m n m n m n n C C m

m m n m m n m

证明：右边=

1

(1)!!

!(1)!!()!

m m

n n n n

n n C

C n m

n m m n m m n m

证明： 右边=

(1)!

!

(1)!()!

!()!

m n

n n n C m m n m m n m

=左边

证明：根据组合性质，左边各式可写成：

1

n n C

n

m

1

1m n n C m

⑤

11

2

1

r

r r r r r

r r n

n C C

C

C

C

1

111

12

1112

321

134

3

1

11

1

11

1r r r r r r

r r r r r

r r

r r r r r r r r r r r

r

n n n r

r r

n n n C C C C C C C C C C C C C C C C C

左右两边相加即得：

1

12

1

r r r r r r r r n n C C C C C

证明：

用数学归纳法证明。

1）当n=1时，0111122C C 所以等式成立。 2）假设n=k 时，（k≥1，k∈N*）时等式成立。 即：0122k

k

k k k k C C C C

当n=k+1时，

01

2111

11

1

0011

21

1

11

012

01

21

()()()()()222k

k k k

k k k k

k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k

C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C

∴等式也成立

由1)、2)得，等式对n∈N*都成立。

⑥ 01

2

n n

n

n

n

C C

C

也可用二项式定理证明（略）

证明：用归纳法同上（略） 也可利用上述结论证明（略） 本课件尽量避开用二项式定理，但这比较简单，暂且用一下： 设

135

24n n n

n

n

n

a C C C

b C C C

由（1+1）n 可得：a+b=2n =2×2n-1 由（1-1）n 可得a-b=0 ∴a=b=2n-1 (不懂的去学学二项式定理)

证明： 由11m m

m n n C nC 可得:（还记得这个恒等式吗，不记得就回过头去看③的证明）

左边

012311111

101231111111

=n n n n n n()

n 2n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C

注：同时利用了⑥的结论。

⑦ 1350241

2

n n

n

n

n

n

n

C

C

C

C

C

C

⑧ 1

231

232

n n n

n

n

n

C C

C

nC

n

用二项式定理证明太麻烦了。能偷懒就不要太勤快了。 观察左边的每一项，发现均是分别从m 个不同素和n 个不同元素中取r 个元素的一个组合，其各项之和就是所有取法，即所有组合数。其所有组合数当然等于右边。

还是用偷懒法：根据第⑨的结论并结合组合的互补性质，若r=m=n 即得些结论。

⑨ 0110r r r r m n

m n

m n

n m

C C

C C

C C

C

r ≤min{m,

n}

⑩ 021222()()()n n n n n n

C C C C