高中数学小课题

高中数学小课题

——高中数学中的恒成立问题

四川省宣汉县第二中学杜林

课题论点：恒成立数学问题是有一定的难度、综合性强的题型。下面从函数定义域不等式立体几何数列四大类中恒成立题型作具体剖析，以提高我们分析数学问题解决数学理论和实际应用题的能力；实际上有的恒成立是对所有实数成立，而有的针对一定义范围内都成立或者某种限制条件下都成立；解决恒成立题型能启发人们高瞻远瞩地看待问题。

数学课本中的公理定理推论公式等都可作为恒成立的结论：一次函数图象经过了一二三象限的则不会过第四象限，过了一二四象限的图象则不会过第三象限；二次函数图象开口向下时，则函数值在顶点处取最大值，开口向上时，在对称轴的右面呈递增的特性；奇函数都有f(0)=0成立（f(x)在x=0有定义）；│f(x)│≥0在定义域内恒成立；指数函数的值恒为正；周期函数从任一起点的一个周期内的图象截下沿X轴依次存放则成整个定义域内的图象；等比数列相邻相同项数的和与积都成等比数列；立体几何图形中的面积和体积不变问题等等。具体来说有下面的恒成立题型。

一、定义域中恒成立

案例1 如若函数f(x R,则a的取值范围是什么？(2007年高考)

解：∵f(x的定义域为x∈R，∴22

--≥1恒成立,即

2x ax a

x2-2ax-a≥0恒成立,∴△≤0即(2a)2-4×(-a) ≤0,解得-1≤a≤0.

案例2 已知：a > 1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈［a,2a］,都有y∈［a,a2］满足方程log a x+log a y=c,求a的取值的集合为什么？ (2008年高考)

解：∵log a x+log a y=c,∴y=

c

a

x

.

∵a > 1, ∴y=

c

a

x

在x∈［a,2a］上递减，

∴y max=

c

a

a

=a c-1,y min=

2

c

a

a

=1

2

a c-1,

∵log a 2+2≤c≤3时，而c值只有1个，

∴c=3,即log a 2=1,有a=2.

∴a的取值的集合为：{2}

注：对于定义域问题，要注重各个基本函数的定义域条件，实际上是比较基础的，主要是认出题目反映出来的是哪个基本函数。如果题目与其它知识交叉运用，则难度会增大；同时重视多个条件的限制。

二．不等式中恒成立

恒成立往往是在某个范围内成立，所以经常以不等式的形式出现。

案例3集合A={t|t2-4≤0}，对于满足集合A的所有实数t，则使不等式x2+tx-t>2x-1恒成立的x的取值范围为什么？（2010年模拟）解：∵A={t|t2-4≤0}，∴A=［-2,2］,

∵（x-1)t+x2-2x+1>0对t∈A恒成立，

∴f(t)=(x-1)t+x2-2x+1对t∈［-2,2］恒有f(t)>0，

∴

(2)0

,

(2)0

f

f

->

?

?

>

?

即

??

?

?

?

>

-

>

+

-

1

3

4

2

2

x

x x，解得31,

11

x x

x x

><

?

?

><-

?

或

或

∴x 的取值范围为：x > 3或x < -1

案例4 设f(x)=)1(2x

x + ,若x ≥2时，有不等式(x-1)f -1(x)>a(a-x )恒成立。求实数a 的取值范围。

解：∵f(x)=)1(

2x x + (x ≥2)反函数存在，

∴取y=)1(2x

x + (x ≥2),则有：y>1 ,x=11

-y ，∴f -1(x)= 11-x (x>1)。∵(x-1)f -1(x) > a(a-x )恒成立， ∴(x-1)11

-x > a(a-x ),化简得（a+1）x >a 2-1恒成立。

∵x ≥2 , 有a+1≠0（若a+1=0，则0×x >0不成立），

∴下面分a+1 > 0与 a+1 < 0讨论：

①当a+1>0时，不等式可化为：x >a-1对x ≥2恒成立， ∴?

??<->+2101a a 有：-1< a <2+1 ②当a+1<0时，不等式可化为：x

∴a <-1 ,有a-1 < -2.而x →+∞，∴x < a-1不成立，即a ∈φ 综上①②得：-1

说明：对于不等式恒成立的题型，往往化为形如a>f(x)或a ≥f(x)在x 的某个范围都成立，只需在这个x 范围内取f(x)的最大值即可；若为a

或者a ≤f(x),则取f(x)的最小值就是。而前面例1为什么会有(2)0,(2)0

f f ->??>?这是由于t ∈［-2,2］，需要函数f(t)既在增函数又在减函数时的两头都要成立，所以有两个不等式。在以后的高考中不等式恒成立的题型将会展现。

案例5 在实数集R 上定义运算*: x *y =x ·(1-y )，若(x -a )*(x +a )<1

对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是什么？ （2010年模拟） 解：∵x * y = x ·(1-y) ，(x-a)*(x+a) < 1,

∴(x-a)(1-x-a ) < 1对x ∈R 都成立,x 2 – x - a 2 + a + 1 >0对x ∈R 恒成立，

∴Δ < 0，即（-1）2-4（-a 2+a+1）<0，

∴4a 2 - 4a - 3 < 0,解得：-12< a <32

注：这是一道新定义关系的恒成立题型，是关于二次不等式恒大于或小于零的题，都与Δ恒为负或恒为正相关，当然与抛物线的开口方向有关，难度较小；但与新定义关系联合时难度加大，这也是创新性社会下高考数学的一个方向，在平时的教学中要多设计多交流。

三．立体几何中恒成立

高中数学中立体几何内容涉及到线与线、线与面、面与面的位置关系，主要是垂直和平行关系的应用。其中不泛有趣味的几何问题，如：如图示，正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、N 分别是棱C 1C 、C 1D 1、D 1D 、DC 、BC

的的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件 时，就有MN ∥平面B 1BDD 1

解：连结F H 、HN ，则FH ∥DD

1，HN ∥BD ，

∴F H ∥平面B 1BDD 1，HN ∥平面B 1BDD 1，∴平面

FHN ∥平面B 1BDD 1，∴当M 在线段FH 上时，

MN ?平面FHN ，∴MN ∥平面B 1BDD 1.即点M 在线段FH

上时，就有MN ∥平面B 1BDD 1

案例6 已知：ΔBCD 中，∠BCD=900, BC=CD=1, AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝600，点E 、F 分别在线段AC 、AD 上运动，且

AD

AF AC AE =＝λ(0<λ<1)

求证：在0<λ<1上，对λ取任何值都有：平面BEF ⊥平面ABC

证明：∵AB ⊥平面BCD ，而CD ? 面BCD ， ∴

AB ⊥CD ，∵∠BCD=900, 即BC ⊥CD ，而AB ∩BC=B ， ∴

CD ⊥平面ABC ……①

∵AD

AF AC AE =＝λ(0<λ<1) ∴ EF ∥CD ……②

由①②得：EF ⊥平面ABC ，而EF ? 面BEF

∴0<λ<1对λ取任何值都有：平面BEF ⊥平面ABC 。

说明：对于线与面的平行，主要是直线与平面无公共点，其中一个判定方法是：如果一条直线在某个平面内，并且这个平面与另外的平面平行，当然有这条直线与另外这个平面无公共点即平行，第一例就是应用此判定方法。第二例用到直线与平面垂直，那么过这条直线的所有平面都与这个平面垂直。实际上，这儿过直线CD 或EF 的任一平面都与平面ABC 垂直。

四．数列中的恒成立

等差数列和等比数列中的规律不少，其中等比数列的规律更现奇妙。 案例7 等比数列｛a n ｝中，判定｛a n ｝中相邻的连续k 项之和所构成的新数列是什么数列？那么相邻的连续k 项之积所构成的新数列是什么数列呢？

解：取等比数列｛a n ｝中前n 项的和为Sn

1．相邻的连续k 项之和所构成的新数列为：S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,S 4k -S 3k ,……

（1）等比数列公比q ≠±1时，新数列｛T n ｝为： q a q k --1)

1(1 , q a q q k k --1)

1(1

,