函数零点存在性定理
?函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点， 例如，函数f(x) =x2 -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点． (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点. ?函数零点个数的判断方法: (1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点 ②函数的零点是实数而不是数轴上的点． (2)代数法：求方程f(x）=0的实数根． 例题1： 若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，下列结论： （1）函数f（x）在区间（0，1）内有零点； （2）函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点； （3）函数f（x）在区间[2，16）内无零点； （4）函数f（x）在区间（0，16）上单调递增或递减． 其中正确的有______（写出所有正确结论的序号）． 答案 由题意可确定f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，故在区间[2，16）内无零点．（3）正确， （1）不能确定， （2）中零点可能为1， （4）中单调性也不能确定． 故答案为：（3） 例题2： 已知函数有零点，则实数的取值范围是（） 答案： 例题3： 例题4： 函数f（x）=3ax-2a+1在[-1，1]上存在一个零点，则实数a的取值范围是（） A. a≥ 1/5; B. a ≤ -1 ; C. -1 ≤ a ≤ 1/5 ; D. a ≥ 1/5 或 a ≤ -1 答案：由题意可得f（-1）×f（1）≤0，解得 ∴（5a-1）（a+1）≥0 ∴a≥1/5 或a≤-1 故选D ． 例题5： 若函数f(x)=x2+log2|x|-4的零点m∈(a，a+1)，a∈Z，则所有满足条件的a的和为（）。答案：-1 例题6： 已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下的x与f(x)的对应值表： 那么，函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有 [] A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 答案：C 导函数零点问题 一．方法综述 导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究()f x 的单调性，往往需要解方程()0f x '＝.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题. 二．解题策略 类型一 察“言”观“色”，“猜”出零点 【例1】【2020·福建南平期末】已知函数()() 2 1e x f x x ax =++. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若函数()() 2 1e 1x g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围. 【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e x f x a x x =++'+，再对参数a 分类讨论可得； （2）依题意可得()()2 1e x g x m x =+'-，当0m …函数在定义域上单调递增，不满足条件； 当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m '=-，()00g =.再对1m =，1m >， 01m <<三种情况讨论可得. 【解析】（1）因为()() 2 1x f x x ax e =++，所以()()221e x f x x a x a ??=+++??'+， 即()()()11e x f x a x x =++'+. 由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-. ①当0a =时，()()2 1e 0x f x x =+'…，当且仅当1x =-时，等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时，()11a -+<-， 由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-； 所以()f x 在()() ,1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()() 1,1a -+-为减函数. ?函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) 函数零点存在性定理基础题 1．函数()25x f x =-存在零点的区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．（3，4） D ．（4，5） 【答案】B ． 【解析】 函数单调递增，并且()()()23130f f ?=-?<，所以在区间()3,2上存在一个零点． 2．若函数在区间内存在一个零点，则实数的取值范围是（ ） A ．1a > B ．1a <- C ．1a <-或1a > D ．11a -<< 【答案】C ． 【解析】 由零点存在性定理得：(1)(1)0,(1)(1)0,f f a a -<-+<因此1a <-或1a >．选C ． 3．函数f （x ）＝ln x － 2x 的零点所在的大致区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．（1e ，1）和（3，4） D ．（e ，＋∞） 【答案】B ． 【解析】 ∵f （1）＝－2<0，f （2）＝ln2－1<0，又∵f （x ）在（0，＋∞）上是单调增函数， ∴在（1，2）内f （x ）无零点．又∵f （3）＝ln3－ 23 >0，∴f （2）·f （3）<0． ∴f （x ）在（2，3）内有一个零点．故选B ． 4．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有部分对应值表如下： 那么函数()f x 一定存在零点的区间是 （ ） A ．()1-∞, B ．()12, C ．()23, D ．()3+∞, ()1f x ax =+(1,1)-a 【答案】C ． 【解析】 根据函数的对应值表可得(1) 6.10,(2) 2.90,(3) 3.50f f f =>=>=-<，根据函数的零点存在性定理，一定存在零点的区间是()2,3．故选C ． 5．函数f （x ）=log 3x －8+2x 的零点一定位于区间（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．（3，4） D ．（5，6） 【答案】C ． 【解析】 函数f （x ）=log 3x -8+2x 为增函数， ∵f （3）=log 33-8+2×3=-1＜0，f （4）=log 34-8+2×4=log 34＞1＞0， ∴函数在（3，4）内存在零点．故选C ． 6．方程log 3x +x =3的解所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，+∞） 【答案】C ． 【解析】 可构造函数f （x ）=log 3x +x -3，方程log 3x +x =3的解所在的区间是函数f （x ）=log 3x +x -3零点所在的区间，又函数f （x ）=log 3x +x -3在定义域上单调递增，结合零点存在性定理对四个选项中的区间进行验证即可． 由于f （0）不存在，f （1）=-2，f （2）=log 32-1＜0，f （3）=1＞0， 故零点存在于区间（2，3），方程log 3x +x =3的解所在的区间是（2，3） 故选C ． 函数零点存在性定理标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N] 函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) 课题：判断函数零点的存在性 ---------根的存在性定理 学习目标： （一）知识与技能： 2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法． （二）过程与方法： 自主发现、探究实践，理解函数零点存在的条件． （三）情感、态度、价值观： 1.在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值 2.数行结合思想在探索数学问题的重要性. 2.了解方程求解方法的简单发展史.. 重点难点： 重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件． 难点：探究发现函数零点的存在性. 课题引入：在人类用智慧架设的无数从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今 天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月. 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题。如约公元50年—100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法… 问题·探究 （一）回顾旧知，“温故知新”。 1、函数的零点：对于函数)(x f ，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做)(x f 的零点（zero point ）. 2、等价关系： 方程0)(=x f 有实数根 ?函数)(x f y =的图像与x 轴有交点?函 数)(x f y =有零点. 巩固练习：求下列方程的根． （1）0652 =+-x x （2） )1lg()(-=x x f （3）062ln =-+x x （二）提出问题，“星河探秘”。（零点存在性） 问题1：函数y ＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？ 怎样的条件下，函数y ＝f(x)一定有零点？ （1）观察二次函数32)(2 --=x x x f 的图象，分析其图像在零点两侧如何分布？ ○ 1 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______, )2(-f ·)1(f _____0（＜或＞） ． ○2 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞）． （2）观察下面函数)(x f y =的图象，分析其图像在零点两侧如何分布？ ○1 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）． ○2 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）． ○3 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）． （4）观察上面（3）的函数图象： 若函数在某区间内存在零点，则函数在该区间上的图象是 ____ （间断／连续）；含零点的某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量，它们各自所对应的函数值的符号是____（相同／互异） （三）讨论探索，发现“新大陆”。 根的存在性定理：如果函数)(x f y =在区间][b a ,上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 0)()( ? ? 函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) 根的存在性定理：如果)(x f 在闭区间[a,b]上连续 0)(,,0)()(=∈<ξξf b a b f a f ）使得（则存在。 证明 利用构造法的思想，将)(x f 的零点范围逐步缩小。先将[a,b]二等分为],2[],2, [b b a b a a ++，如果0)2 (=+b a f 。则定理获证。如果0)2(≠+b a f ，则f(a)和f(b)中必然有一个与)2 (b a f +异号，记这个小区间为[11,b a ],它满足2-0)()(1111a b a b b f a f -=<且区间的长度。又将[11,b a ]二等分，考虑中点的函数值，要么为零，要么不为零。如果中点的函数值为零，则定理获证。如果中点的函数值不为零，那么必然可以选出一个小区间，使得f(x)在这个区间的端点值异号，记这个小区间为 ],[22b a ，它满足[a,b]?[11,b a ]],[22b a ?，0)()(2222 22<-=-a f b f a b a b 且。采用这样的方法一直进行下去，或者到有限步时，某个区间的中点的函数值为零，这样定理的结论成立。或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列{],[n n b a }，它满足:① [a,b]?[11,b a ]?????],[22b a ；②n n n a b a b 2-=-；③0)()( 函数零点存在性定理文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688] 函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)．f(b) 若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，下列结论： （1）函数f（x）在区间（0，1）内有零点； （2）函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点； （3）函数f（x）在区间[2，16）内无零点； （4）函数f（x）在区间（0，16）上单调递增或递减． 其中正确的有 ______（写出所有正确结论的序号）． 答案 由题意可确定f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，故在区间[2，16）内无零点． （3）正确， （1）不能确定， （2）中零点可能为1， （4）中单调性也不能确定． 故答案为：（3） 例题2： 已知函数有零点，则实数的取值范围是（） 答案： 例题3： 例题4： 函数f（x）=3ax-2a+1在[-1，1]上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A. a ≥ 1/5; B. a ≤ -1 ; C. -1 ≤ a ≤ 1/5 ; D. a ≥ 1/5 或 a ≤ -1答案：由题意可得f（-1）×f（1）≤0，解得 ∴（5a-1）（a+1）≥0 ∴a≥ 1/5 或a≤-1 故选D ． 教案 课题：零点存在定理 授课人： 一、内容及内容解析： 本章位于全书的第3章，零点主要是解决方程求解的问题，应用函数思想的方法，把方程与函数相结合，它在较难方程的求根方面有巨大的贡献，而零点存在定理能确定零点的存在范围，从而近似的确定零点的值，也即方程的近似根. 各个内容之间的联系： 方程的根?零点?零点存在定理 ? 二分法 二、三维目标： 知识与技能:会使用零点存在定理解决问题，准确确定根的范围，并且使用二分法找到相应方程的近似解. 过程与方法:通过分析零点附近的值的关系，得到0)()( 零点存在性定理 如果函数y = f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0那么，函数y = f (x )在区间[a ，b ]内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c ) = 0这个c 也就是方程f (x ) = 0的根 定理的理解 （1）函数在区间[a ，b ]上的图象连续不断，又它在区间[a ，b ]端点的函数值异号，则函数在[a ，b ]上一定存在零点 （2）函数值在区间[a ，b ]上连续且存在零点，则它在区间[a ，b ]端点的函数值可能异号也可能同号 （3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数 例：函数y = f (x ) = x 2 – ax + 2在(0，3)内，①有2个零点. ②有1个零点，分别求a 的取值范围. 解析：①f (x )在(0，1)内有2个零点，则其图象如下 则(0)0(3)00032 f f a b a >??>????≥??<-??>? 葛沽一中整体建构教学模式导学案 高一 年级 数学 学科 主备人： 备课或教研组长审核签字 使用人签字 使用时间 第 11 周 第 5 课 课题： 零点存在定理的应用 教学过程 一、例题精析 应用迁移 拓展提升 1．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是（ ） (A)（-2，-1） (B)（-1,0） (C)（0,1） (D)（1,2） 2．(2014·天津模拟)方程log 4x-=0的根所在区间为( ) A. B. C.(3,4) D.(4,5) 3．（2014·北京模拟）已知方程lgx=2-x 的解为x 0,则下列说法正确的是( ) ∈(0,1) ∈(1,2) ∈(2,3) ∈[0,1] 小结： 5.(2014·济南模拟)函数f(x)＝ 的零点个数为( ) 6.函数的零点个数是_________________ 小结： 提示：建议：注意：要求： 二．拓展练习 7.已知函数f(x)= 在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞) 8.函数f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的大致区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4) 9.设函数1 ()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = A 在区间1 (,1),(1,)e e 内均有零点。 B 在区间1 (,1),(1,)e e 内均无零点。 C 在区间1 (,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。 D 在区间1 (,1)e 内无零点，在区间(1,)e 内有零点。 10. 函数3()=2+2x f x x －在区间(0,1)内的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 11. 函数f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内零点的个数为( ) B.1 12.函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 13.已知函数f(x)=x+2x ,g(x)=x+lnx 的零点分别为x 1,x 2,则x 1,x 2的大小关系是( ) max min max 专题五 零点存在定理中取点问题 如果函数 y = f ( x ) 在区间[a , b ] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f (a ) f (b ) < 0 ，那么，函数 y = f ( x ) 在区间(a , b ) 内有零点，即存在c ∈(a , b ) ，使得 f (c ) = 0 ，这个c 也就是方程 f ( x ) = 0 的根. 在实际应用中，如何取 a , b ，是解决问题的难点. 类型一 利用方程的根或部分代数式的根取点 x 典例 1 已知函数 f ( x ) = e - ax +1. （1） 当 a = 1 时，求 y = f ( x ) 在 x ∈[-1,1] 上的值域； （2） 试求 f ( x ) 的零点个数，并证明你的结论. 【答案】（1） [2 - e ,1]（2）当a ≤ 0 时， f ( x ) 只有一个零点；当 a > 0 时， f ( x ) 有两个零点． 【解析】 （1）当 a = 1 时， f ( x ) = x e x - ax +1，则 f '( x ) = 1- x -1 = g ( x ) ， e x 而 g '( x ) = x - 2 < 0 在[-1,1]上恒成立，所以 g ( x ) = e x f '( x ) 在[-1,1]上递减， f '( x ) = f '(-1) = 2e -1 > 0 ， f '( x ) = f '(1) = -1 < 0 ， 所以 f '( x ) 在[-1,1]上存在唯一的 x 0 = 0 ，使得 f '(0) = 0 ，而且 当 x ∈(-1, 0) 时， f '( x ) > 0 ， f ( x ) 递增；当 x ∈(0,1) 时 f '( x ) < 0 ， f ( x ) 递减； 所以，当 x = 0 时， f ( x ) 取极大值，也是最大值，即 f ( x ) = f (0) = 1， x 2014年高中数学零点存在性定理教学设计新人教版必修1 一、内容及其解析 （一）内容：零点存在性定理． （二）解析：本节课是关于函数零点的一节概念及探究课，是高中新课改人教A版教材第三章的第一节课的第二小节，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其它知识的联系的角度来引入较为适宜。 函数f(x)的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f（x）=0的实数根，从函数的图象表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标。函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形、函数与方程有机的联系在一起。 函数零点的存在性判定定理，其目的就是通过找函数的零点来研究方程的根，进一步突出函数思想的应用，也为二分法求方程的近似解作好知识上和思想上的准备。定理不需证明，关键在于让学生通过感知体验并加以确认，由些需要结合具体的实例，加强对定理进行全面的认识，比如对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则。从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形。 函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”。用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。 二、目标及其解析 （一）教学目标 （1）知识与技能：结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.理解并会用零点存在性定理。 （2）过程与方法：培养学生观察、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程思想。渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。 （3）情感态度与价值观：在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。 （二）解析 1．对于常见函数的图象学生要有印象，要能用描点法画出一些复杂函数的图象，同时，研究函数的单调性、奇偶性等性质，来判断方程的根的存在与否和个数； 2．函数的零点、方程的根、函数图象与X轴交点的横坐标具备等价关系，这种等价关系实质上是数学本质一致，只是各自有不同的描述对象而已，从而向学生渗透转化的数学思想； 3．本节课对函数零点存在性（即方程的根的存在性）的探究是借助实际问题抽象出来的，由此推广到一次函数、二次函数这两类特殊的函数，进一步推广到一般的情形，要注意推广的可行性、借助于函数图象的直观性，只要求学生理解其合理性并能对具体的函数进行简单应用。教学中，教师可以引导学生借助函数图象分析其逆定理的正确与否，由此达到充分理解此定理的目的。 三、问题诊断分析 通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，掌握了函数图象的一般画法，及一定的看图识图能力,这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。对于函数零点的概念本质的理解，学生缺乏的是函数的观点，或是函数应用的意识，造成对函数与方程之间的联系缺乏了解。由此作为函数应用的第一课时，有必要点明函数的核心地位，即说明函数与其他知识的联系及其在生活中的应用，初 函数零点存在性定理: 一般地，如果函数y=f(x)在区间［a, b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) . f(b) 函数的存在性问题和零点问题 【知识梳理】 1．函数的零点： 使函数y ＝f (x )的值为0的实数x 称为函数y ＝f (x )的零点． (1)函数的零点?方程的根； (2)零点存在理论：在区间[a ，b ]上连续；f (a )·f (b )<0. 2．常见求解方法 (1)直接解方程，如一元二次方程； (2)用二分法求方程的近似解； (3)一元二次方程实根分布规律； (4)用数形结合法将方程的根转化为函数零点． 画出y ＝f (x )图象可用到以下方法： ①用图象变换法则画复杂函数图象； ②用求导得出较复杂函数的单调性，然后再画图象，如y ＝ln x x ； ③可以将原函数进行分离为两个较为简单的函数如方程e x ln x ＝1，转化为y ＝ln x ，y ＝? ?? ??1e x ； ④如果是带有参数的方程，可以进行参数分离变为m ＝g (x )，再画y ＝g (x )与y ＝m (常数函数)的图象． 【热点探究】 ? 探究点一 用零点存在定理判断函数零点 零点存在定理是间接判断方程的根或函数零点的间接方法．只能大致判断零点所在区间以及区间中零点的个数，不能够准确求解零点的值． 【例1】 已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 20112011，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…－x 20112011 ，设F (x )＝f (x ＋3)·g (x －3)，且函数F (x )的零点均在区间[a ，b ](a 零点存在的判定与证明 一、基础知识： 1、函数的零点：一般的，对于函数()y f x =，我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数()y f x =的零点。 2、零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点，即()0,x a b ?∈，使得()00f x = 注：零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续，如果()f x 是分段的，那么零点不一定存在 3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调 4、几个“不一定”与“一定”（假设()f x 在区间(),a b 连续） （1）若()()0f a f b ?<，则()f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析()f x 的性质与图像，如果()f x 单调，则“一定”只有一个零点 （2）若()()0f a f b ?>，则()f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果()f x 单调，那么“一定”没有零点 （3）如果()f x 在区间(),a b 中存在零点，则()()f a f b ?的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。如果()f x 单调，则()()f a f b ?一定小于0 5、零点与单调性配合可确定函数的符号：()f x 是一个在(),a b 单增连续 函数，0x x =是()f x 的零点，且()0,x a b ∈，则()0,x a x ∈时，()0f x <；() 0,x x b ∈时，()0f x > 6、判断函数单调性的方法： （1）可直接判断的几个结论： ① 若()(),f x g x 为增（减）函数，则()()f x g x +也为增（减）函数 ② 若()f x 为增函数，则()f x -为减函数；同样，若()f x 为减函数，则 ()f x -为增函数 ③ 若()(),f x g x 为增函数，且()(),0f x g x >，则()()f x g x ?为增函数 （2）复合函数单调性：判断()()y f g x =的单调性可分别判断()t g x =与()y f t =的单调性（注意要利用x 的范围求出t 的范围） ，若()t g x =，()y f t =均为增函数或均为减函数， 则()()y f g x =单调递增；若()t g x =，()y f t =一增一减，则()()y f g x =单调递减（此规律可简记为“同增异 减”） （3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像 7、证明零点存在的步骤： （1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数 （2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数()f x （3）分析函数()f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间 （4）利用零点存在性定理证明零点存在 例1：函数()23x f x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ） 导数专题系列 零点存在定理 主备人：杨海霞 【定理内容】 零点存在定理：_____________________ _____________________________________________________________________________________________________。 应用：①确定零点的范围； ②零点所满足的方程，可用来简化求值。 .,01)(')(01)2()()1(2)(的最大值求时，为整数，且当，若的单调区间；求设函数新课标卷】【例k x x f k x x k a x f ax e x f x >++->=--=?) (2012 1 .2ln 2)(0)2()(')()1(ln )(2a a a x f a x f x f x a e x f I x +≥>-=??时，证明：当零点的个数；的导数讨论设函数文卷新课标】【例) (2015 2 最大值。 的恒成立，求对于任意，且若的切线方程；处 求函数的图像在点】已知函数【例k x x f x k Z k f x x x x f 2)()2()2())1(,1()1(.ln )(4><-∈+= . )('),,(:,),))((,()),(,()()2(1)(,)1(0 )(021*******成立使存在证明的斜率为记直线的图像上取定两点在函数的取值集合；求恒成立，若对一切，其中已知函数湖南卷】【例k x f x x x k AB x x x f x B x f x A x f a x f R x a ax e x f x =∈<≥∈>-=?) (2012 3 《函数的零点》教学设计 常州市第一中学孔祥武 一.设计思想与理念 本课的教学设计是按照“教师为主导，学生为主体，课本为主线．”的原则而设计的．教师在充分分析学生已有知识水平和思维能力的基础上，为学生创设探索的情境，通过问题串，指引探索的途径，通过环环相扣问题链激发学生的求知欲、探索欲，引导学生不断地提出新问题，解决新问题． 二．教材分析： 1.内容分析 f x的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函 函数() f x 的实数根；从函数的图像角度看,函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程()0 f x与x轴交点的横坐标.函数的零点从不同的角度,将函数与方程，数与形数的零点就是函数() 有机的联系在一起，体现的是函数知识的应用． 学习函数零点存在性定理可为二次函数实根分布打下基础，并为下一节内容《二分法求方程近似解》提供理论支持．在讲授本节内容时更多要渗透函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合的思想方法. 2.学情分析： 初学者大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法直接求方程的根．教学时可通过举例让学生知道，有许多方程都不能用公式法求解，只能把方程交给函数，转化为考察相应函数的零点问题，从动态的角度来研究，借助形的角度来研究数的问题．本人执教的班级是一中的教改班，学生层次较高，简单引用教材上的例题学生会觉得提不起兴趣，因此尝试在立足教材的基础上提出一些有挑战性的问题，调动学生的积极性，引导学生自主发现，自我建构知识． 3.教材处理 本节课从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，借助对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，并将这种关系推广到了一般情形．体会函数与方程之间的转化关系． §3.4函数的应用 3.4.1 函数与方程 第1课时函数的零点 课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理． 1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系 函数图象 判别式Δ>0Δ＝0Δ<0 与x轴交 点个数 方程的根无解 2. 一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的______． 3．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的______． 4．方程f(x)＝0有实数根 ?函数y＝f(x)的图象与x轴有______ ?函数y＝f(x)有______． 函数零点的存在性的判断方法 若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点． 一、填空题 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是________． 2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法不正确的是________．(填序号) ①若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0； ②若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0； ③若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0； ④若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0. 3．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．4．已知函数y＝f(x)是偶函数，其部分图象如图所示，则这个函数的零点至少有________个．导数与函数零点问题解题方法归纳
函数零点存在性定理
函数零点存在性定理基础题
函数零点存在性定理
张荣军判断零点的存在性定理
函数零点存在性定理.
根的存在性证明(零点定理)
函数零点存在性定理图文稿
零点存在定理的教案
高中数学必修一 零点存在性定理及典例
零点存在定理的应用
专题05 零点存在定理中取点问题
高中数学 零点存在性定理教学设计 新人教版必修1
函数零点存在性定理
函数的存在性问题和零点问题
零点存在的判定与证明
零点存在定理
函数的零点教案详细孔祥武
高中必修1第四单元函数零点的存在性定理习题和答案