基本初等函数讲义(全)

一、一次函数

二、二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．

③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．

（3）二次函数图象的性质

①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为

,2b

x a

=-顶点坐标是24(,

)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-

上递减，

在[,)2b

a

-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]

2b

a -∞-上递增，在[,)2

b a -+∞上递减，当2b

x a

=-时，2max 4()4ac b f x a -=．

三、幂函数

（1）幂函数的定义

一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象

过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．

四、指数函数

（1）根式的概念

如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．

（2）分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n

a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．

②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n

n a

a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．

（3）运算性质

①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ （4）指数函数

（1）对数的定义

①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做

底数，N 叫做真数．

②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式

log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．

（3）常用对数与自然对数

常用对数：lg N ，

即10log N ；自然对数：ln N ，即l o g e

N （其中 2.71828e =…）．

（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么

①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：

log log log a a a

M M N N

-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤

log log (0,)b n a a n

M M b n R b

=

≠∈ ⑥换底公式：

log log (0,1)log b a b N

N b b a

=

>≠且

设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式

子()x y ?=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ?=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ?=表示x 是y 的函数，函数()x y ?=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=． （7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出

1()x f y -=；

③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质

①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．

②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域． ③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．

④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．

例题

一、求二次函数的解析式

例1.抛物线244y x x =--的顶点坐标是（）

A ．（2，0）

B ．（2，-2）

C ．（2，-8）

D ．（-2，-8） 例2．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（）

A ．()2312y x =--

B ．()2312y x =-+ C. ()2312y x =+- D.()2312y x =-+-

--

例3.抛物线y=的顶点在第三象限，试确定m 的取值范围是（）

A ．m ＜－1或m ＞2

B ．m ＜0或m ＞－1

C ．－1＜m ＜0

D ．m ＜－1

例4.已知二次函数()f x 同时满足条件： （1）()()11f x f x +=-； （2）()f x 的最大值为15； （3）()0f x =的两根立方和等于17 求()f x 的解析式

二、二次函数在特定区间上的最值问题

例5. 当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．

例6．当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．

2

22x mx m -++

例7．当1t x t ≤≤+时，求函数215

22

y x x =--的最小值(其中t 为常数)．

三、幂函数

例8.下列函数在(),0-∞上为减函数的是（）

Ａ．1

3

y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -=

例9.下列幂函数中定义域为{}0x x >的是（）

Ａ．23y x = Ｂ．32

y x = Ｃ．23

y x -

= Ｄ．32

y x -

=

例10.讨论函数y ＝5

2x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．

例10．已知函数y ＝4

2

215x x －－．

（1）求函数的定义域、值域；

（2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．

四、指数函数的运算

例11.计算1

22

(2)-??-??的结果是（）

A

、1

2C

D 、—12

例12.

等于（） A 、 B 、C 、 D 、 例13.若53,83==b

a ，则

b a 233-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

五、指数函数的性质

例

14.{|2},{|x

M y y P y y ====，则M∩P （）

A.{|1}y y >

B. {|1}y y ≥

C. {|0}y y >

D. {|0}y y ≥ 例15.求下列函数的定义域与值域：

44

16a 8a 4a 2

a

（1）44

2

x y -=（2）||2()3

x y =

例16.函数()2301x y a a a -=+>≠且的图像必经过点 ()

A ．(0，1)

B ．(1，1)

C ．(2，3)

D ．(2，4)

例17求函数y=21

21

x x -+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.

五、对数函数的运算

例18.已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（）

A 、2a -

B 、52a -

C 、2

3(1)a a -+ D 、2

3a a -

例19.2log (2)log log a a a M N M N -=+，则

N

M

的值为（） A 、4

1

B 、4

C 、1

D 、4或1

例20.已知732log [log (log )]0x =，那么1

2

x -

等于（）

A 、1

3B 、例21.2log 13

a <，则a 的取值范围是（）

A 、()20,1,3??+∞ ???

B 、2,3??+∞ ???

C 、2,13?? ???

D 、220,,33????+∞ ? ?????

五、对数函数的性质

例22.下列函数中，在()0,2上为增函数的是（） A 、12

log (1)y x =+B

、2log y =C 、21log y x =D

、2log (45)y x x =-+

例23.函数2lg 11y x ??

=- ?+??

的图像关于（）

A 、x 轴对称

B 、y 轴对称

C 、原点对称

D 、直线y x =对称 例23.

函数)

()lg f x x =是（奇、偶）函数。

课下作业

1.已知二次函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( )

2.对抛物线y=－3与y=－＋4的说法不正确的是（）

A ．抛物线的形状相同

B ．抛物线的顶点相同

C ．抛物线对称轴相同

D ．抛物线的开口方向相反

3. 二次函数y=图像的顶点在（）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

4. 如图所示，满足a ＞0,b ＜0的函数y=

的图像是（） 22(2)x -2

2(2)x -2

21x x --+2ax bx +

C

5．如果抛物线y=的顶点在x 轴上，那么c 的值为（）

A ．0

B ．6

C ．3

D ．9

6.一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )

7.在下列图象中，二次函数y=ax2＋bx ＋c 与函数y=(a b

)x 的图象可能是 （）

8．若函数f (x )＝(a －1)x 2＋(a 2－1)x ＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f (x )是( )

A ．减函数

B ．增函数

C ．常函数

D ．可能是减函数，也可能是常函数

9．已知函数y ＝x2－2x ＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )

A ．[1，＋∞)

B ．[0,2]

C ．[1,2]

D ．(－∞，2] 10、使x2＞x3成立的x 的取值范围是（ ）

A 、x ＜1且x≠0

B 、0＜x ＜

1

2

6x x c +

+

C 、x ＞1

D 、x ＜1

11、若四个幂函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d

x 在同一坐标系中的图象如右图，

则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ） A 、d ＞c ＞b ＞a B 、a ＞b ＞c ＞d C 、d ＞c ＞a ＞b D 、a ＞b ＞d ＞c

12．若幂函数

()1

m f x x -=在(0，+∞)上是减函数，则 ( )

A ．m >1

B ．m <1

C ．m =l

D ．不能确定

13．若点()

,A a b 在幂函数()

n y x n Q =∈的图象上，那么下列结论中不能成立的

是

A ．00

a b >??

>? B ．

00

a b >??

00

a b

a b

>?

14．若函数f (x )＝log 12

(x 2－6x ＋5)在(a ，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是( )

A ．(－∞，1]

B ．(3，＋∞)

C ．(－∞，3)

D ．[5，＋∞)

15、设集合

2

{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则S T 是（） A 、? B 、T C 、S D 、有限集 16、函数22log (1)

y x x =+≥的值域为（）

A 、

()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞

17、设 1.5

0.9

0.48

12314,8

,2y y y -??

=== ?

??

，则（）

A 、

312

y y y >> B 、

213

y y y >> C 、

132

y y y >> D 、

123

y y y >>

18、在

(2)log (5)

a b a -=-中，实数a 的取值范围是（）

A 、

52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 19、计算lg52lg2)lg5()lg2(2

2?++等于（）

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3 20、已知3log 2a =，那么

33log 82log 6

-用a 表示是（）

A 、52a -

B 、2a -

C 、23(1)a a -+

D 、

231a a --

21、已知幂函数f(x)过点（2），则f(4)的值为（）

A 、1

2

B 、 1

C 、2

D 、8

二、填空题

1.抛物线y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________.

2.函数2

3-=x y 的定义域为___________.

3.设

()()1

2m f x m x +=-，如果()f x 是正比例函数，则m=____ ,如果()f x 是反比例

函数，则m=______,如果f(x)是幂函数，则m=____． 4.若14

(1)x -

-有意义，则x ∈___________．

5.当35x y <=___________．

6.若2

5525x x y

?=，则y 的最小值为___________．

7、若2log 2,log 3,m n a a m n a +===。 8、函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是。

9、2lg 25lg 2lg50(lg 2)++=

。 10.不等式16

2

2<-+x x 的解集是__________________________.

11.不等式28

2133x x --??

< ?

??

的解集是__________________________.

12.若103,104x y ==，则

10x y -=__________________________. 13、已知函数3x

log x (x 0)1

f (x),f[f ()]2(x 0)9>?=?≤?

，则，的值为 14、函数2)23x (lg )x (f +-=恒过定点

三、简答题

1.求下列各式中的x 的值

1)1x (ln )1(<-0231)2(x

1<-?

?

?

??-

2、已知幂函数f （x ）＝2

3221++-p p x （p ∈Z ）在（0，＋∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p 的值，并写出相应的函数f （x ）、

3.已知函数2

2

2(3)lg 6

x f x x -=-，

(1)求()f x 的定义域； (2)判断()f x 的奇偶性。

4.设a R ∈，22

()()21

x

x

a a f x x R ?+-=∈+，试确定a 的值，使()f x 为奇函数。

5. 已知函数x 12

1f (x)log [()1]2

=-，

（1）求f(x)的定义域； （2）讨论函数f(x)的增减性。