浙江大学《微积分》课程期末考试试卷课程内容精选

浙江大学2004-2005学年秋冬季学期《微积分》课程期末考试试卷

一?填空题

1.2

1

lim()x

x x e x →-= .

2.设()f x 可导,2

(cos )

f x y x =则

d d y

x

= . 3.ln (0)x

y x x

=

>的值域范围为 .

4.

3121

x x -+=?

5.

设,arcsin x y t

??=?

=??则22d d y x = . 6.当0x →时,20cos d 2

x t

x e t t x --?与B

Ax 等价无穷小,则常数A = ,B = .

二?计算题 1.求

221

d .22x x x x +++?

2.已知(0),(),f a f b π==且()f x ''连续,求[]0

()()sin d f x f x x x

π

''+?.

3.

求

2

+∞?

.

4.求曲线sin (0)y x x π=≤≤与x 轴围成的平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周所得的旋转体体积

x V 和y V .

5.在曲线段 2

(08)y x x =≤≤上, 求一点2

(,)P a a 使得过P 点的切线与直线0,8y x ==所围成的三角形的面积最大.

三?求幂级数20

21!n n n x n ∞

=+∑

的收敛区间以及在收敛区间上的和函数,并求级数0212!n

n n n ∞

=+∑的和. 四?证明若2

,e a b e <<<则22

2

4

ln ln ()b a b a e ->

-? 五?已知sin 0()0

x e x x F x x

a x ?≠?

=??=?

为连续函数.(1)求常数a ; (2)证明()F x 的导函数连续.

浙江大学2004-2005学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案

一?填空题

1.2

11

2

ln()

lim()lim x x

x x x x e x e x e

→→--=10

02ln()

1lim lim 2

2()x x x x e x e x x e x x e

e e →→---===.

2. 22

(cos )d (cos )[2(cos )(cos )sin ln ]d f x y f x x f x f x x x x x

'=-?. 3. (1

,]e

-∞ . 4.

3121

x x -?

.

1

1

1

x x x --=+?

?

1

2x x =?, 令sin x t =

2

2

2222001312sin cos td 2sin (1-sin t)d 2()224228

t x t x ππ

πππ

===?-??=??.

5.

由x =

d d x t =, arcsin y t =

,d d y t =d 1

d y x t =-

, 2

223

1d d y

t t x

t

==--. 6. 由洛必达法则2

0100cos d cos 12lim lim x t

x B B x x x e t t x e x x

Ax ABx

-→→----=?, 2323

310[1()][1()]12!3!2!lim B x x x x x o x o x x

ABx

-→++++-+--=, 其中:2323

31(),cos 1()2!3!2!

x

x x x e x o x x o x =++

++=-+

33101

()

3lim 1B x x o x ABx -→-+==, 得13,13B AB -=??

?=-??

,即1,412A B =-=. 二?计算题 1.

22221221

d d d 22221(1)x x x x x x x x x x ++=-++++++???

=2

ln(22)arctan(1)x x x C ++-++.

2.

[]00

()()sin d ()sin d ()sin d f x f x x x f x x x f x x x ππ

π

''''+=+???

()sin d sin d ()f x x x x f x ππ

'=+??

00

()sin d sin ()()cos d f x x x xf x f x x x π

π

π

''=+-?

?

00

()sin d cos ()()sin d f x x x xf x f x x x π

π

π

=--??=a b +.

3.

2

2

1

x +∞+∞=-?

?

21

arcsin

x +∞

=-=6

π . 4. 2

2

sin d 2

x V x x πππ

==

?

,

200

2sin d 2cos 2cos d 2y V x x x x x x x π

π

π

ππππ==-+=??.

5. 解:(1)过点2(,)P a a 的切线方程为 2

2()y a a x a -=-, 令0y =,得2

2()a a x a -=-,得2

a x =

, 令8x =,得22

2(8)16y a a a a a =+-=-,

令221()(8)(16)(8)222a a S a a a a =

--=-, 213()(8)2(8)()(8)(8)22222

a a a a

S a a '=-+--=-- ,

令()0S a '=,得16

3

a =,16a =(舍).

1333

()(8)(8)1622222

a a S a a ''=----=- ,

16316

()1680323

S ''=?-=-<,

所以,当16

3

a =时,三角形面积最大.

三?因为 2220102121

()!(1)!!

n n n n n n n x x x n n n ∞

∞∞

===+=+-∑∑∑ 2

220

()2!n x n x x e n ∞

==+∑

222

222(21)x x x x e e e x =+=+,

所以

22200

2121

2(221)5!!n n n n n n e e n n ∞

∞==++==?+=∑∑. 四? 设 2

()ln ,()f x x g x x ==,在[,]a b 上由柯西定理,

有

222ln ln ln 2,b a e a b e b a ξ

ξξ

-=<<<<- .

再令2

ln 1ln (),()0()x x

x x e x x x ??-'==<<,故()x ?单调下降,

得222(),()x e x e e ?>

<<,有2ln 2e ξξ>,得22

2

4ln ln ()b a b a e ->-. 五? (1)因为 0sin lim

1x x e x

x

→=, 所以1a =. (2)0sin 1(0)lim x x e x

x F x

→-'=

20sin lim x x e x x x

→-= 00sin cos 12cos lim lim 122

x x x x x e x e x e x x →→+-===, 所以,

2

(sin cos )sin ,0;()1,0.x x x x e x e x e x

x F x x x ?+-≠?

'=??=?

而 2

0sin cos sin lim

x x x x xe x xe x e x x →+-02cos lim 12x x xe x

x →==,

所以 ()F x '在(,)-∞+∞上是连续的.

浙江大学2005-2006学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷

一、 计算题

1.已知抛物线2

y ax bx c =++过点(1,2),且在该点的曲率圆方程为22151()(),222

x y -+-=

则a = ,b = ,c = 2.设12

()sin d x

f x t t =

?

,则(1)

10

()d f x x =?

;(2) 1

()

lim

1

x f x x →=- 3.

若01

,2

x →=则a = 4.当x = 时,函数2x

y x =?取得极小值.

5.曲线arctan y x =在横坐标为1的点处的切线方程为 *

6.已知

01

(cos sin ),(0,2),2

n n n x

a a nx

b nx x ππ∞

=-=++∈∑则5b = (此题不作要求)

二?求极限

1.0sin tan lim tan (1)ln(1)

x x x x x e x →--- 2. 21

sin 0lim(cos )x

x x → 三?求导数

1.设函数()x x y =由sin 0y x x -+=所确定,求22d d ,d d x x

y y

2.

设sin arctan ,ln(x t t y t =-???=+?? 求22d d ,d d y y x x 3.

设()arccot x

y x e =-求()y x '.

四?求积分 1.

21d (1)(1)x x x ++? .

2.x .

3.

1321

(x x x -+?

. 4.20

sin 2d 1cos x

x

x x

π

+?.

五?设曲线21:1(01),C y x x =-≤≤x 轴和y 轴所围区域被曲线2

2:(0)C y ax a =>分为面积相等的两

部分,试求常数a .

六?将函数12()arctan 12x f x x -=+展开成x 的幂级数,并求级数0(1)21

n

n n ∞

=-+∑的和.

七?设()f x 在(,)a +∞内可导,且lim (),x f x a →∞

'=证明:()

lim

x f x a x

→∞

=.

浙江大学2005-2006学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案

一?计算题

1. 由2

y ax bx c =++,有2,2y ax b y a '''=+=,

得112,2,2x x a b c y a b y a =='''++==+= 由曲率圆方程2

2

151()(),2

2

2

x y -+-=

两边求导,152()2()022

x y y '-+-=,得1,21x y y =='=,

5

222()02

x y y y y ''''++-=,得1,24x y y ==''=

根据2

y ax bx c =++与曲率圆22151()(),222

x y -+-=在点(1,2)有相同的,,y y y ''';

得到 24,

21,2a a b a b c =??

+=??++=?

, 所以有2,3,3a b c ==-=.

2. (1)

111

20

()d (sin d )d x

f x x t t x =?

??

=1

11

2

20

sin d sin d x

x

t t x x x +?

?

122

01=

sin d 2

x x ? =1

2011cos (1cos1)22x -=- .

(2)1

211sin d ()

lim

lim 11x

x x t t

f x x x →→=--?21sin lim sin11

x x →-==-.

3. 因为,当0x →

时2112x

,

所以200112lim ,2

a x x x x →→==得 2a = . 4. ()2x y x x =?,()22ln 2x x

y x x '=+,

令()0,22ln 20x

x

y x x '=+=,解得 1

ln 2

x -=

, 由于2

()2ln 22ln 22ln 22ln 2(2ln 2)x

x

x

x

y x x x ''=++=+, 当1ln 2x =-

时,1()0ln 2

y -''>,所以当1ln 2x -=时,()2x

y x x =?取到极小值.

5. 因为, 21

111arctan ,,,arctan1124x x y x y y y x π

==''==

===+, 所以,切线方程为 1(1)24

y x π=-+. 6. 51

5b =.

二?求极限

1. 0sin tan lim tan (1)ln(1)x x x x x e x →---=30sin (cos 1)

cos lim x x

x x x

→--,注:当0x →时1,ln(1)x e x x x --- ,

20cos 11

lim

2

x x x →-==-. 2. 因为 ,21

sin 0

lim(cos )

x

x x →=2cos 11

cos 1sin 0

lim[1(cos 1)]

x x x

x x -?

-→+- ,

而 20cos 11lim sin 2x x x →-=-,1

cos 1

lim[1(cos 1)

]x x x e -→+-=, 所以 2

1

1

sin

2

lim(cos )x

x x e

-

→=.

三?求导数

1. 对方程sin 0y x x -+=两边关于y 求导数,注意到()x x y =,有 d d 1cos 0d d x x x y y

-

+=,得 d d x y =1

1cos x -,

222d 1d(

)d()

(cos )d d 1-cos d d d (1-cos )y x

x x

y

x y

y y x '--===3

sin (1cos )

x x -=-. 2. 2

d 1

sin arctan ,

cos d 1x x t t t t t

=-=-+

, ln(y t =

,

d d y t =

2

d d d d d (1)cos 1d y

y t x x t t t

==+-

, 2

2

2

d d (1)cos 1y

x

t t =??+-??

.

3.

111()arccot arccot [ln ln(1)]arccot ln(1)222

x

x x x x x

y x e e e e e x e =-=--+=-++, 2211

()122(1)12(1)

x x x x x x x

e e e y x e e e e '=--+=--++++. 四? 1.

21d (1)(1)x x x ++?=22111

()d 2111x x x x x -++++?

2111

ln 1ln(1)arctan 242

x x x C =+-+++. 2. (令15

x t =

)

x =145315d t t t t +?=11215d 1t t t +? =9

7

5

3

215()d 1

t

t t t t t t t -+-+-

+? =1086422

11111115[ln(1)]1086422

t t t t t t C -+-+-++

=28242231551515153155151515

ln(1)282422

x x x x x x C -

+-+-++.

3.

1321

(x x x -+

?

1

1

x

x -=?2220

2sin cos d t t t π

=? 注:令sin x t =

2220

2sin (1sin )d t t t π

=-?

1312()224228

πππ=?

-??=. 4. 20sin 2d 1cos x x x x π+?=220dcos 1cos x x x

π-+?=2

0dln(1cos )x x π-+? 2200

ln(1cos )ln(1cos )d x x x x π

π

=-+++?

=22

(cos )ln 2(1)2d 1n n

n x x n ππ+∞=-+

-??+∑?

1201

(1)ln 2cos d n n

n x x n ππ-∞

=-=-+∑? 1

2201

(1)ln 22cos d n n n x x n π

π-∞

=-=-+?∑?

=11

(1)(21)!!ln 22(2)!!2n n n n n ππ-∞

=---+???∑.

五?由 2

21,y x y ax

?=-??=??

得交点0x =, 3112

12002(1)d ()33x S S x x x +=-=-=?

, 0

0223100

12[(1)]d ()33x x a S x ax x x x +=--=-

=?由12S S =,

得212

323=?, 所以 3a =.

六?由12()arctan 12x f x x -=+, 22

21()2(1)4,142n n n

n f x x x x ∞

=-'==--<+∑, 21

(1)4()()d (0)2421n n x n n f x f x x f x n π

∞

+=-'=+=-+∑?

,

当1

2x =时,21

(1)41024212n n n n n π∞

+=-=-+∑, 得 0(1)21

4n n n π

∞

=-=+∑.

七?解法一:由洛必达法则, ()()

lim lim 1

x x f x f x a x →+∞

→+∞'==.

解法二:① 若0a =,由lim ()0x f x →+∞

'=,按定义知

0ε?>,10x ?>,当1x x >时,恒有()2

f x ε

'<

.

1(,)b x ?∈+∞,当x b >时,有()()()2

f x f b f x b x b ε

ξ'-=-<

-,

由于()()()()2

f x f b f x f b x b ε

-≤-<-,有()()2

f x f b x b ε

≤+

-,

再取2x b >,使得

2()2

f b x ε

<,当2x x >时, 有

2()()()()()()2222

x b

f b x b f b f x f x f b f b x x x x x x εεεεε---+=<+<+<+=, 所以,()

lim

0x f x x

→+∞

=. ② 若0a ≠,由lim ()x f x a →+∞

'=,则有 lim[()]0x f x ax →+∞

'-=, 设()()F x f x ax =-,有lim ()0x F x →+∞

'=,

由①知,()()lim

lim 0x x F x f x ax

x x

→+∞→+∞-==,得证.

浙江大学2006-2007学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷

一?求导数或微积分 (1)设sin 43(arctan 2)ln 2x

y x

x =++,求

d d y x

.

(2)设2

2

0d ,sin()d t t

s x e s y t s s -=

=-?

?,求t =

d d y x 及22d d y x .

(3)设()y y x =是由方程210x y

e x xy +---=确定的x 的可导函数,求0d x y =.

二?求积分

(4)求

60

x ?

.

(5)求2arctan d x

x

e x e ?. (6)求

1

+∞?

.

三?求极限 (7)求30

12cos lim

[()1]3

x x x x →+-. (8)设()f a ''存在,()0f a '≠,求11

lim[

]()()()()

x a

f a x a f x f a →-'--.

(9)设112

1)1))n

n n u n n n

??=+++???

?

（（（1,求lim n n u →∞. 四?选择题

(10)设2

620

arcsin d ,(1)d x

t t t e t αβ=

=-?

?,则0x →时 [ ]

(A)αβ与是同阶但不等价无穷小. (B)αβ与是等价无穷小. (C)αβ是的高价无穷小. (D)βα是的高价无穷小.

(11)设级数

1

n

n a

∞

=∑收敛,则下述结论不正确的是[ ]

(A)

11()n

n n a

a ∞

+=+∑必收敛. (B)22

11()n n n a a ∞

+=-∑必收敛.

(C)

2211

()n

n n a

a ∞

+=+∑必收敛. (D)2211

()n n n a a ∞

+=-∑必收敛.

(12)设1

,0,

()()()d ,0,

x x e x f x F x f t t x x -?≤==?>??,则()0F x x =在处[ ]

(A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续

(C)连续但不可导 (D)可导

(13)设()y f x =为连续函数,除点x a =外,()f x 二阶可导,()y f x ''=的图形如图, 则() [ ]y f x =

(A)有一个拐点,一个极小值点,一个极大值点. (B)有二个拐点,一个极小值点,一个极大值点. (C)有一个拐点,一个极小值点,二个极大值点. (D)有一个拐点,二个极小值点,一个极大值点.

五?(14)设曲线2

y ax =(0,x ≥常数0)a >与曲线2

1y x =-交于点A ,过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2

y ax =围成一平面形D .

(I) 求D 绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积()V a ;(II)求a 的值使()V a 为最大. 六?(15)将函数21

()arctan ln(1)2

f x x x x =-

+在0x =处展开成泰勒级数(即麦克劳林级数)并指明成立范围.

七?(16)设0,x >证明2

()(4)(2)20x x

f x x e x e =---+<.

浙江大学2006-2007学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案

一?求导数或微分 (1)

sin 4sin 412

2

d 1

4cos 4ln sin 46(arctan 2)d 14x x y x x x x x x x x

-=?+?++. (2) 由 20

d t s x

e s -=

?

,得2

d d t x

e t -=,

由20

sin()d t y t s s =

-?

,令t s u -=,得

220

sin d sin d t t

y u u u u =-=??,得2d sin d y t t =,

所以

222d d sin ,d d t t y y

e t e x x π

==,

22

2

22

22222(sin )d 2sin 2cos d t t t t

t t e t y te t te t x e e

--'+== 2

2222(sin cos )t te t t =+

, 22d d t y x π=.

(3) 由 210x y

e

x xy +---=及0x =,得0y =,

对方程 210x y

e x xy +---= 两边取微分有

(d d )2d (d d )0x y e x y x x y y x ++--+=,

将0x =,0y =代入,得 0d d x y x ==.

二?求积分 (4)解

66

x x =??

6

x =? (令33sin x t -=)

22

27(1sin )cos cos d t t t t π

π

-

=+?

220127

54cos d 54222

t t π

ππ==??=?.

(5)解 令x

e t =,

2arctan d x x e x e ?=3

arctan d t t t ?2

11

arctan d 2t t =-? 2221arctan 1

[d ]2(1)

t t t t t =--+? 2221arctan 11[d d ]21t t t t t t

=--++?? 2

1arctan 1[arctan ]2t t C t t

=-+++ 21arctan [arctan ]2x x x

x

e e e C e

-=-+++. (6)解

t =

, 1

+∞?

=202d 1t t +∞+?02arcta n t π+∞

==. 三?求极限 (7) 解 30

12cos lim

[()1]3

x

x x x →+- 2cos ln()3301lim [1]x x x e x +→=- 注2cos ln()3

2cos [1ln(),(0)]3

x

x x e x x ++-→ 2012cos lim

ln()3

x x

x →+= 201cos 1lim ln(1)3x x x →-=+ 注[cos 1cos 1

ln(1),(0)3

3

x x x --+→] 201cos 11lim ()36x x x →-==. (8) 解 11

lim[

]()()()()x a

f a x a f x f a →-'--

()()()()

lim

()()(()())

x a

f x f a f a x a f a x a f x f a →'---='--

=()()

lim

()(()())()()()

x a

f x f a f a f x f a f a f x x a →''-'''-+-

2()()

()lim ()(()())2(())()()

x a f x f a f a x a f a f x f a f a f a f x x a

→''-''-=='-'''+-.

(9)解 由 1

12[1)1))]n

n n u n n n

=+++（

（（1, 取11ln ln(1)n n i i u n n ==+∑, 则 111

0001

1lim ln lim ln(1)ln(1)d ln(1)d 2ln 211n n n n i i x u x x x x x n n x →∞→∞==+=+=+-=-+∑??, 所以 2ln 21

4

lim n n u e

e

-→∞

=

=

. 四?(10)解:因为2

620

000

arcsin d lim lim (1)d x x x t

t t e t

αβ→→=-?? 注:由洛必达法则 2

22

2

3

3

1arcsin 3lim 1

x x x x x e -

→?=- 注:221,(0)x e x x -→ 22

3

2023

1arcsin 1

lim

33

x x x x x →==?, 所以,αβ与是同阶但不等价无穷小,则选 A.

(11)解:(A) 因为

111

1

1

()n

n n n n n n a

a a a ∞

∞∞

++===+=+∑∑∑

11

2

1

2n n n n n n a a a a ∞∞∞

====+=+∑∑∑,

而

1

n

n a

∞

=∑收敛,所以

11

()n

n n a

a ∞

+=+∑必收敛,

(B)因为

2222222222

21122311211()n n n n n n n a

a a a a a a a a a a ∞

++++=-=-+-++-+-=∑,

所以

2

211

()n n n a

a ∞

+=-∑必收敛.

(C)因为

221234522111

1

()n

n n n n n n a

a a a a a a a a a ∞

∞

++==+=+++++++

=-∑∑

所以

2211

()n

n n a

a ∞

+=+∑必收敛,

(D)

22123452211

2

()(1)n n n n n n n n a

a a a a a a a a ∞

∞

++==-=-+-++-+

=-∑∑未必收敛,

例如 1

(1)n n n ∞

=-∑收敛, 但221(1)n

n n n a n ∞∞

==-=∑∑发散,

则结论不正确的是D,本题选D

(12)解:由1

,0,

()()()d ,0,

x x e x f x F x f t t x x -?≤==?>??,

则 11

1

21,0,()11,02

x t x x t e dt e e x F x e dt e x x ----?=-≤?=??=-+>???,

即 11

2,0,

()11,02

x e e x F x e x x --?-≤?

=?-+>??, 因为 1

2

10

1lim ()lim(1)12

x x F x e x e ++

--→→=-+=-, 11

lim ()lim()1x x x F x e e e --

--→→=-=- 所以 ()F x 在0x =处连续.

因为 2

012(0)lim 0x x F x

++?→?'==?, 01

(0)lim 1x

x e F x

-?-?→-'==?,

(0)(0)F F +-''≠

所以,()F x 在0x =不可导,所以选C. (13)如图,在点(,0)b 处,

左边0y ''>,右边0y ''<,而点(,0)b 处0y ''=,所以点(,0)b 为曲线的拐点; 同理,在点(0,)d 处,

左边0y ''<,右边0y ''>,而点(0,)d 处0y ''=,所以点(0,)d 为曲线的拐点; 在点(,0)c 处,

左边0

y'<,右边0

y'>,而点(

,0)

c处0

y'=,所以点x c

=为函数的极小值点;

在点(,0)

a处,

左边0

y'>,右边0

y'<,而点(,0)

a处0

y'=,所以点x a

=为函数的极大值点, 所以,曲线有二个拐点,一个极小值点,一个极大值点. 选(B)

五?解:由

2

2

,

1

y ax

y x

?=

?

?

=-

??

求得交点()

1

1

a

A

a

a+

+

(如图),

直线OA的方程

1

y x

a

=

+

.

(I) 旋转体体积()

V a

2

224

1

()d

1

a

a

x a x x

a

π+

=-

+

=

2

5/2

2

15(1)

a

a

π

?

+

,

(II)

53

2

22

5

5

2(1)(1)

d()22

d15(1)

a a a a

V a

a a

π+-+

=?

+

2

7/2

(4)

15(1)

a a

a

π-

=

+

.

在0

a>处有唯一驻点4

a=,

当04

a

<<时

d()

d

V a

a

>,

当4

a>时,

d()

d

V a

a

<,

故4

a=为唯一极大值点,为最大值点.

六?(15)解:由21

()arctan ln(1)2f x x x x =-

+ 2

1

()arctan ,(),1f x x f x x

'''==+展开之, 20

()(1),(1,1)n n n f x x x ∞

=''=-∈-∑,两边积分,得

2121

00(1)(1)()(0),(1,1)2121

n n n n n n f x f x x x n n ∞

∞++==--''=+=∈-++∑∑,

再次两边积分,得220(1)()(0)(21)(22)

n

n n f x f x n n ∞

+=-=+++∑

220(1),(1,1)(21)(22)

n

n n x x n n ∞

+=-=∈-++∑. 右边级数在1x =±处收敛,左边函数在1x =±处连续,所以成立范围可扩大到闭区间[1,1]-. 七?(16)证法1:由2

()(4)(2)2x x

f x x e x e =---+

2(0)0,()(1)(1),2x

x x

f f x e x e '==---(0)0f '=

22

21()()44

x x x x x f x e xe xe e ''=-=-.

而当0x >时2

1

14

x e >>

,所以当0x >时()0f x ''<, 于是知,当0x >时,()0f x '<,从而知,当0x >时,()0f x <. 证法2:由证法一,有 2211

()(0)(0)()()022

f x f f x f x f x ξξ''''''=++

=< 证法3:由2()(1)(1)2

x

x

x f x e x e '=---

()1()2

x x x

x e x ξ='??=--??

()02x

e ξξ=-<,所以()0

f x <.

注:设()(1)x

g x x e =-,在[,]2

x x 上的拉格郎日中值定理,有

()2(1)(1)1(),222

x

x x x x x x e x e x e x x ξξ='??---=--<

浙江大学2007-2008学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷

一?(每小题6分) (1)设4cos 1tan 5ln 2

x x y x e x π=

++,求d d y x .

(2)设由参数式22ln(1)

x t t

y t t ?=+?=-+?,确定了y 为x 的函数()y y x =,求曲线()y y x =的凹?凸区间及拐点坐

标(区间用x 表示,点用(,)x y 表示).

(3)求2

1

0sin lim(

)x x x x

→ (4)

求lim (2)]x x →+∞

+

二?(每小题6分) (5)求

21

d (1)x x x +?.

(6)求arcsin d x

x

e x e ?. (7)求

2

30

d x x

e x +∞-?

.

三?(第(8)-(11)小题每小题8分,第(12)小题6分) (8)(8分) 设()y y x =是由3

2

210y xy x x ++-+=及(1)0y =所确定,求1

3

1

()d lim

(1)

x x y t t

x →-?.

(9)(8分)设2

()231

x f x x x =

-+,试将()f x 展开成x 的幂级数,并求()

(0)(1)n f n ≥.

(10)(8分) 设常数0a >,讨论曲线y ax =与2ln y x =在第一象限中公共点的个数.

(11)(8分) 设0a <,曲线2

y ax bx =+当01x ≤≤时0y ≥.又已知该抛物线与x 轴及直线1x =所围成的图形的面积1

3

D =

,试确定常数a 与b 使该图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积V 最小. (12)(6分) 设()f x 在区间(0,1)内可导,且()f x M '≤(M 为常数)

证明:① 级数

1

1

11((

)())22n n n f f ∞

+=-∑绝对收敛; ② 1

lim (

)2

n n f →∞

存在.

四?选择题(四选一,每小题4分)

(13)设()()(),()()()f x u x v x g x u x v x =+=-,并设0

lim ()x u x →与0

lim ()x v x →均不存在,则下列结论正确的

是 [ ]

(A)若0

lim ()x f x →不存在,则0

lim ()x g x →必存在.

(B)若0

lim ()x f x →不存在,则0

lim ()x g x →必不存在.

(C)若0

lim ()x f x →存在,则0

lim ()x g x →必不存在.

(D)若0

lim ()x f x →存在,则0

lim ()x g x →必存在.

(14)曲线1

ln(1)(1)

x y e x x =

++-的渐近线的条数 [ ]

(A)4条 (B)3条. (C)2条. (D)1条.

(15)设2122()lim 1

n n n x x x

f x x -→∞++=+,则()f x 的不连续点的个数为 [ ] (A)0个 (B)1个. (C)2个. (D)多于2个.

(16)设()f x [,]a b 上可导,且()0,()0,f a f b ''><下述结论不正确的是[ ] (A)至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f a >; (B)至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f b >; (C)至少存在一点0(,)x a b ∈使0()0f x '=; (D)至少存在一点0(,)x a b ∈使01

()(()())2

f x f a f b =+. (17)设0(1,2,

)n a n >=,下列结论正确的是[ ]

(A)若存在0N >,当n N >时均有1

1n n a a +<,则1n n a ∞

=∑必收敛. (B)若存在0N >,当n N >时均有1

1n n a a +>,则1

n n a ∞=∑必发散. (C)若

1

n n a ∞

=∑收敛.则必存在0N >,当n N >时必有

1

1n n

a a +<, (D)若

1

n n a ∞

=∑发散.则必存在0N >,当n N >时必有

1

1n n

a a +>.