(完整版)平面向量数量积运算专题(附答案解析)

平面向量数量积运算

题型一 平面向量数量积的基本运算

例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，

DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →

＝1，则λ的值为________.

(2)已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么PA →·PB →

的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋ 2 C.－4＋2 2

D.－3＋2 2

变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →

＝________.

题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角

例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝22

3|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹

角为( )

A.π4

B.π2

C.3π4

D.π

(2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π

3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余

弦值等于( )

A.126

B.－126

C.112

D.－1

12

变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →

＝12

(AB →＋AC →)，则AB

→

与AC →

的夹角为________.

题型三 利用数量积求向量的模

例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5

D.6

(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →

|的最小值为________.

变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝1

2.若平面向量b 满足b ·e 1

＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.

高考题型精练

1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →

等于( ) A.－32a 2

B.－34a 2

C.34

a 2

D.32

a 2

2.(2014·浙江)记max{x ，y }＝??? x ，x ≥y ，y ，x

??

y ，x ≥y ，

x ，x

( )

A.min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}

B.min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}

C.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2

D.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2

3.(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →

|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8

D.9

4.如图，在等腰直角△ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →

＝p ，则p ·(b －a )等于( )

A.－12

B.12

C.－32

D.32 5.在平面上，AB 1→

⊥AB 2→

，|OB 1→

|＝|OB 2→

|＝1，AP →

＝AB 1→

＋AB 2→

.若|OP →

|<12

，则|OA →

|的取值范围

是( ) A.(0，

52

] B.(

52，72

] C.(5

2，2]

D.(7

2

，2]

6.如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →

等于( )

A.2

B.3

C.4

D.6

7.(2014·安徽)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π

6

D.0 8.(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →

的值是________.

9.设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝3

2

，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________. 10.如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →

|＝________.

11.已知向量a ＝(sin x ，3

4)，b ＝(cos x ，－1).当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；

12.在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足AD→＝5

11

DB→.

(1)求|AB→－AC→|；

(2)存在实数t≥1，使得向量x＝AB→＋tAC→，y＝tAB→＋AC→，令k＝x·y，求k的最小值.

平面向量数量积运算

题型一平面向量数量积的基本运算

例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若AE→·AF→＝1，则λ的值为________.

(2)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么PA→·PB→的最小值为( )

A.－4＋ 2

B.－3＋ 2

C.－4＋2 2

D.－3＋2 2

答案(1)2 (2)D

解析(1)如图，

AE →

·AF →

＝(AB →

＋BE →

)·(AD →

＋DF →

)＝(AB →

＋13BC →)·(AD →＋1λDC →)＝AB →·AD →＋1λAB →·DC →＋

1

3BC →

·AD →

＋13λ

BC →

·DC →

＝2×2×cos 120°＋1λ×2×2＋13×2×2＋13λ×2×2×cos 120°＝－2＋4λ＋43－23λ＝103λ－2

3，

又∵AE →·AF →

＝1， ∴103λ－2

3

＝1，∴λ＝2. (2)方法一 设|PA →|＝|PB →

|＝x ，∠APB ＝θ，

则tan θ2＝1x

，

从而cos θ＝1－tan

2

θ

21＋tan

2

θ2

＝x 2－1

x 2＋1.

PA →·PB →＝|PA →|·|PB →

|·cos θ ＝x 2

·x 2－1x 2＋1＝x 4－x 2

x 2＋1

＝

x 2＋1

2

－3x 2＋1＋2

x 2＋1

＝x 2＋1＋

2

x 2＋1

－3≥22－3， 当且仅当x 2＋1＝2，

即x 2＝2－1时取等号，故PA →·PB →

的最小值为22－3. 方法二 设∠APB ＝θ，0<θ<π， 则|PA →|＝|PB →

|＝1tan θ2

.

PA →·PB →＝|PA →||PB →

|cos θ

＝(1tan θ2

)2

cos θ

＝cos 2

θ

2sin 2

θ2

·(1－2sin 2θ2)

＝

1－sin 2

θ

21－2sin

2

θ

2

sin

2

θ2

.

令x ＝sin 2θ

2，0

·PB →

＝

1－x

1－2x

x

＝2x ＋1

x

－3≥22－3，

当且仅当2x ＝1x ，即x ＝2

2

时取等号.

故PA →·PB →

的最小值为22－3.

方法三 以O 为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy ， 则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1， 设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，P (x 0,0)，

则PA →·PB →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝x 21－2x 1x 0＋x 20－y 21. 由OA ⊥PA ?OA →·PA →

＝(x 1，y 1)·(x 1－x 0，y 1)＝0

?x 21－x 1x 0＋y 2

1＝0， 又x 21＋y 21＝1，

所以x 1x 0＝1.

从而PA →·PB →＝x 21－2x 1x 0＋x 20－y 21

＝x 21－2＋x 20－(1－x 21) ＝2x 21＋x 20－3≥22－3.

故PA →·PB →

的最小值为22－3.

点评 (1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”.

(2)向量的数量积运算需要注意的问题：a·b ＝0时得不到a ＝0或b ＝0，根据平面向量数量积的性质有|a |2＝a 2，但|a·b |≤|a |·|b |.

变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →

＝________. 答案 9

解析 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →

＝|OA →

|2＋0＝32＝9.

题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角

例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝22

3|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹

角为( )

A.π4

B.π2

C.3π4

D.π

(2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π

3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余

弦值等于( ) A.126 B.－126

C.112

D.－112

答案 (1)A (2)B

解析 (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2

－a·b －2b 2

＝0.又∵|a |＝22

3

|b |，

设〈a ，b 〉＝θ，

即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0， ∴83|b |2－223

|b |2·cos θ－2|b |2＝0. ∴cos θ＝

22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π

4

. (2)记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ， 又(2a －b )2

＝4×22

＋32

－4×2×3×cos π

3

＝13，

(a ＋2b )2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π

3＝52，

(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝8－18＋9＝－1，

故cos θ＝2a －b ·a ＋2b |2a －b |·|a ＋2b |＝－1

26

，

即2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－1

26

.

点评 求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律，(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.

变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →

＝12

(AB →＋AC →)，则AB

→

与AC →

的夹角为________. 答案 90°

解析 ∵AO →

＝12

(AB →＋AC →

)，

∴点O 是△ABC 中边BC 的中点，

∴BC 为直径，根据圆的几何性质得AB →与AC →

的夹角为90°. 题型三 利用数量积求向量的模

例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5

D.6

(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →

|的最小值为________. 答案 (1)A (2)5

解析 (1)因为平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°， 所以|2a ＋b |＝

2a

2

＋b 2＋2×|2a |×|b |cos 120°

＝

22

×12

＋22

＋2×2×1×2×? ??

??

－12＝2.

(2)方法一 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .

∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，PA→＝(2，－x)，PB→＝(1，a－x)，

∴PA→＋3PB→＝(5,3a－4x)，

|PA→＋3PB→|2＝25＋(3a－4x)2≥25，

∴|PA→＋3PB→|的最小值为5.

方法二设DP→＝xDC→(0

∴PC→＝(1－x)DC→，

PA→＝DA→－DP→＝DA→－xDC→，

PB→＝PC→＋CB→＝(1－x)DC→＋1

2

DA→，

∴PA→＋3PB→＝5

2

DA→＋(3－4x)DC→，

|PA→＋3PB→|2＝25

4

DA→2＋2×

5

2

×(3－4x)DA→·DC→＋(3－4x)2·DC→2＝25＋(3－4x)2DC→2≥25，

∴|PA→＋3PB→|的最小值为5.

点评(1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a＝(x，y)，求向量a的模只需利用公式|a|＝x2＋y2即可求解.(2)向量不放在坐标系中研究，

求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a 的模进行如下转化：|a |＝a 2.

变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝1

2.若平面向量b 满足b ·e 1

＝b ·e 2＝1，则|b |＝________. 答案

23

3

解析 因为|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝1

2.所以e 1与e 2的夹角为60°.又因为b ·e 1＝b ·e 2＝1，所

以b ·e 1－b ·e 2＝0，即b ·(e 1－e 2)＝0，所以b ⊥(e 1－e 2).所以b 与e 1的夹角为30°，所以b ·e 1＝|b |·|e 1|cos 30°＝1. 所以|b |＝233

.

高考题型精练

1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →

等于( ) A.－32a 2

B.－34a 2

C.34a 2

D.32

a 2 答案 D

解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.

BD 2

＝BC 2

＋CD 2

－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2

＋a 2

－2a ·a ×? ??

??

－12＝3a 2，

∴BD ＝3a .

∴BD →·CD →＝|BD →||CD →

|cos 30°＝3a 2×32＝32

a 2.

2.(2014·浙江)记max{x ，y }＝??? x ，x ≥y ，y ，x

y ，x ≥y ，

x ，x

设a ，b 为平面向量，则

( )

A.min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}

B.min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}

C.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2

D.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2 答案 D

解析 由于|a ＋b |，|a －b |与|a |，|b |的大小关系与夹角大小有关，故A ，B 错.当a ，b 夹角为锐角时，|a ＋b |>|a －b |，此时，|a ＋b |2>|a |2＋|b |2；当a ，b 夹角为钝角时，|a ＋b |<|a －b |，此时，|a －b |2>|a |2＋|b |2；当a ⊥b 时，|a ＋b |2＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2，故选D. 3.(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →

|的最大值为( ) A.6

B.7

C.8

D.9

答案 B

解析 ∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，

∴AC 为圆直径，故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →

＝(x －2，y )，

∴PA →＋PB →＋PC →＝(x －6，y ).故|PA →＋PB →＋PC →

|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.

4.如图，在等腰直角△ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →

＝p ，则p ·(b －a )等于( )

A.－12

B.12

C.－32

D.32

答案 A

解析 以OA ，OB 所在直线分别作为x 轴，y 轴，

O 为坐标原点建立平面直角坐标系，

则A (1,0)，B (0,1)，C (34，1

4)，

直线l 的方程为y －14＝x －3

4，

即x －y －1

2

＝0.

设P (x ，x －12)，则p ＝(x ，x －1

2)，

而b －a ＝(－1,1)，

所以p ·(b －a )＝－x ＋(x －12)＝－1

2

.

5.在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →

|的取值范围

是( ) A.(0，5

2

]

B.(52，72

]

C.(5

2

，2] D.(

7

2

，2] 答案 D

解析 由题意，知B 1，B 2在以O 为圆心的单位圆上，点P 在以O 为圆心，1

2为半径的圆的内

部.

又AB 1→⊥AB 2→，AP →＝AB 1→＋AB 2→， 所以点A 在以B 1B 2为直径的圆上， 当P 与O 点重合时，|OA →

|取得最大值2， 当P 在半径为12的圆周上时，|OA →

|取得最小值72，

故选D.

6.如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →

等于( )

A.2

B.3

C.4

D.6

答案 C

解析 在△ABC 中，因为∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，所以AB ＝42，且B ＝A ＝45°.因为

BM →＝3MA →，所以BM →

＝34

BA →.所以CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋BM →·CB →＝CB →

2＋34

BA →·CB

→

＝16＋3

4

×42×4cos 135°＝4.

7.(2014·安徽)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π

6 D.0 答案 B

解析 设a 与b 的夹角为θ，由于x i ，y i (i ＝1,2,3,4)均由2个a 和2个b 排列而成，记S ＝ i ＝1

4

(x i ·y i )，

则S 有以下三种情况：

①S ＝2a 2＋2b 2；②S ＝4a ·b ；③S ＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.

∵|b |＝2|a |，∴①中S ＝10|a |2，②中S ＝8|a |2cos θ，③中S ＝5|a |2＋4|a |2cos θ. 易知②最小，即8|a |2cos θ＝4|a |2，∴cos θ＝12，可求θ＝π

3

，故选B.

8.(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →

＝2，则AB →·AD →

的值是________.

答案 22

解析 由CP →

＝3PD →

，得DP →

＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14

AB

→

－AB →

＝AD →

－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－

3

16AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →

＝22.

9.设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝

3

2

，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________. 答案

π2

解析 由e 1·e 2＝

32，可得cos 〈e 1，e 2〉＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝32

， 故〈e 1，e 2〉＝π6，〈e 2，－e 1〉＝π－〈e 2，e 1〉＝5π

6

.

f (e 1，e 2)＝e 1cos π6

－e 2sin π6

＝

32e 1－12

e 2，

f (e 2，－e 1)＝e 2cos

5π6－(－e 1)sin 5π6＝12e 1－3

2

e 2.

f (e 1，e 2)·f (e 2，－e 1)＝(32e 1－12e 2)·(12e 1－32e 2)＝3

2－e 1·e 2＝0，

所以f (e 1，e 2)⊥f (e 2，－e 1).

故向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为π

2

.

10.如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →

|＝________.

答案

132

解析 因为〈AB →，AC →〉＝60°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 60°＝1×3×12＝32，又AO →

＝

12(AB →＋AC →)，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2)，即AO →2＝1

4(1＋3＋9)＝134，所以|OA →

|＝132

.

11.已知向量a ＝(sin x ，3

4)，b ＝(cos x ，－1).

(1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；

(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，

b ＝2，sin B ＝

63，求f (x )＋4cos(2A ＋π6)(x ∈[0，π

3

])的取值范围. 解 (1)因为a ∥b ，所以3

4cos x ＋sin x ＝0.

所以tan x ＝－3

4

.

故cos 2

x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x

sin 2x ＋cos 2x