数值分析-第五版-考试总结

第一章：数值分析与科学计算引论

截断误差：近似 解与精确解之间的误差。

近似值的误差：（.为准确值）：

e*-x*-x

近似值的误差限一： 1疋

近似值相对误差（较小时约等）

近似值相对误差限 ：

函数值的误差限 :

苗⑺“ Ifool 叱）

近似值；一士心:化叙…®）"八■有n 位有效数字:

第二章：插值法

P (对J =0.1/*%?] Oo + %呵+…+偽！曙=九 % +如股+…+ %!珥=Y1 % +舸斗1 +…+ %坊=儿 2•拉格朗日插值 (x- x k )6J n+1(x k ) .次插值基函数: (X- x

)-(x-x fc -i)(x-曲十 1)…a — X JJ ) (Xk - X 0)-(X k - X k

_i) (x k - x k¥1)-(x k - X…)

1•多项式插值

其中:

P(x) = a()+ OjX + …+ a n ^

I

>k — O.L —.n = _xl(r -n+l

引入记号:

^n+l(X)={X-Xo)(A?-粗)…(#- Xj

余项：

=f(x} - SG)=:;:;詁+W > 5 e 3：

3•牛顿插值多项式： ^nW = /（^0）+f 必珀（"叼）+・”

+/■［和巧严如（龙-坯”心-*_』

〔阶均差（把中间去掉，分别填在左边和右边） ：

店”“皿］丿杯Fmr gd

余项:

4•牛顿前插公式（令心'小，计算点值，不是多项式）：

PQ +t h ）=/o +帧 + 忖A 讥 + - + 心1）：：*%°

〔阶差分：

AVo = A n "7i -

余项：

严（和E 3J

5•泰勒插值多项式:

•阶重节点的均差:

6.埃尔米特三次插值：

p （x ） -f （^X Q ）十打和尤』仗—如+f 1叼公1也］（JC-衍）（

工一 Xi ） +人（尤-叼）（黑-衍）o — x 2）

其中，A 的标定为：

咋沪f （社）

7.分段线性插值:

第三章：函数逼近与快速傅里叶变换p n (x) = 7(X Q ) + f(x Q )(x -和)+ “•+警(U

血屯“匈

1.-:-属于’.维空间：

5(玄)=。评]

J=o

2•范数：

max |zj and max |/(x)|

||x||x =

Iklli = y IxJ and f |/(x)| dx

Iklb = and((严(町必卡

4•最佳逼近的分类（范数的不同、是否离散）

||/(x) -P(x)||n= min |[/(x) -P(x)|| ||f00 —严⑷监=mm llAx) -PaUI；

最小二乘拟合（离散点）

|『一卩||；=卿||广一尸||；

5•正交多项式递推关系：

41+1 （划二（戈一叫1）%（巧一傀叫T（刃^oW =0

_ （jQjpnW^w）_ （跖（班％an % _ （＜PnW^n（^））瓠一（＜jp n-i（x）.^-i （x））

6•勒让德多项式：

正交性：

3•带权内积和带权正交:

= I p(x) fWg{x)dx = 0

奇偶性:

Ki

fl

最优一致I-范数）逼近多项式

F亡a. ......

一-范数）逼近多项式最佳平方（

p fl (-^)=(-irp n w

递推关系：

(n+l)P n+1(x) = (2n + l)^P n (x) -nP n ^(x}

7 .切比雪夫多项式：

递推关系：

^*+1(^) =

2X T B (X ) — Tfl-iOO 正交性：

0 f

m# 门 n —d m- JI 工 0

n f m= n = 0

■' 1在I J "、I 上有〔个零点：

2k -1

x> = cos ------ n ,k = l t *^t 7i

7n

在 i ■■- M 上有 暑；i 个零点：(最优一致逼近)

b -a 2k+ 1 b-^a

x k = ——cos ——— 疋—

^ = 0.1/-^ 2 2(n+1) 2

首项

的系数： _

8•最佳平方逼近： ||/(x) - r(Jt)||| =出雲 Ilf 匕)-s(x)\\j =詰憾J p(x)[/(x) -S(x)]2

di 法方程：

n

工(必冋)丐=⑺必)

正交函数族的最佳平方逼近：

% 一(敕•吸)

9•最小二乘法：

m

ll<5H^ = s mm J^)[S(x f )-y t l 2

法方程：

1 &（氾% J c g

-1 VI —-0 J D

fl

工(徵华j)dj = (f咄

正交多项式的最小二乘拟合：

第四章数值积分与数值微分

1•求积公式具有^次代数精度

求积公式（多项式与函数值乘积的和），对于次数不超过

不成立

6n

\ f （均必二》山

Ja Sc=O

2•插值型求积公式

$ T* b t+

kWdx= y f = y Ag订

2k^Ja自

/?n（x）dr = J M + 1）,a卄i（約旳3.求积公式代数精度为〔时的余项

町T"（艸-£血餡沪而4•牛顿-柯特斯公式：将卜匚匸划分为〔等份构造出插值型求积公式n

人（切

" = 1

5•梯形公式：当n=1时，-

T=乎［加）+兀圳焉｛刀二-导（b-好f輛/2）= £ /訂=±*2）= ?

6•辛普森公式：当n=2时，7 ? 7

7•复合求积公式：一一 ' ' Z

复合梯形公式：

n-1

T

n =

5

/(a)+/(/>)凡(fl =- »r=l

复合辛普森公式:

［的多项式成立，

/?Lfl= f 1/⑴一=

J s

+4/

b — a b — a 』八、曲/）

亠贡（丁）竹帧

+

8•高斯求积公式（求待定参数 和）： （1）求高斯点（ ）：令---.

: 一 与任何次数不超过〔的多项式. 带权 正交，即则由［■，个方程求出高斯点：＜ O

（2）求待定参数•「匸:縄为〔小心：一》：：.丿汀匕J ,「 也为次数不超过1的多项式。

9•高斯-勒让德求积公式：取权函数为 心「'•的勒让德多项式「-一

的零点即为求积公式的高斯点。 2k+l

10.高斯-切比雪夫求积公式：取权函数为

「的切比雪夫多项式的零点 •二即为求积

公式的高斯点。 第五章解线性方程组的直接方法

1•矩阵的从属范数：

n

IMIloo =段蕊》|為j|G 亍元素绝^值之和中最大的｝

J=1

n

IHlk =搜嗥》如 例元素绝对值之和中最大的）

'r^1

2•条件数：

con4[A)2 = 第?当 A = A 7

!寸xond(A)2 = 第六章解线性方程组的迭代法

1•迭代法：

Ax = b

(M-If)x = b

r = M-1to+JP 1

b

加)=Bx^ + f

】im x-- 二#皿+4》f （如刀+2

*=0 門-二 工f 偸）+门町凤

（f ）

s ：

=i

2•迭代法收敛：… 存在。

3•迭代法收敛的充分必要条件： ,谱半径 i 点」」

, jlnlO

4•渐进收敛速度:亠，「二―二门乳：迭代次数估计：

-

5•雅可比迭代法： Ax = b

D-N

(D -N)x = b

x = D l NxiD-x b

卅十对=+ f

6•高斯-塞德尔迭代法：

Ax = b

A = (D-L)-U = M-U

(M -U)x = b

r = flf 1l/jr+M-1b

尹十 i) = G* + f

7•严格对角占优矩阵：此矩阵为非奇异矩阵，其雅可比迭代法与高斯 -塞德尔迭代法均收敛。 1如＞》|呦|

8•弱对角占优矩阵：若此矩阵也为 不可约矩阵，则其雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法均收敛。 laj >2^|0(；|

7=1

其中，可约矩阵：n 阶矩阵A 有如下型式，否则为不可约矩阵。

9•超松弛迭代法：为高斯-塞德尔迭代法的一种修正。

Ax = b

(M-N)x = b

瓦=M l N = {D- a)tr^(U + D) = (D -讥厂- a))D + a)U) f = M~1

b =

^D-1 — G) M = C-D - I)JV = (-P 4-I/-D)

a)iy1b 严｝= 5〉+ f

10.最速下降法：J是对称正定矩阵

Ax = b

令：

=才闵+吐卩街

使下式最小：

1 Rt「 ,

=甲（才代+ ap（^'）=炉（#"；） + a（Ajf f< - bp。） + ）则：

d

矿仏二一（如鮒卩閃）二（乂7■詢*打）

其中：

p⑻——习卩（址（初）——（肛⑻ —bj = f⑷

故而：

x（A'_1） = x'：KI +a 汀⑹

11.共轭梯度法：

（1）令O’-），计算_ 山‘：-b，取_：「=：汽

=*可討1卩'"’

p(W-0 =r(*+i)+P t pW

（3）若■'-一或亠…，计算停止。

第七章非线性方程与方程组的数值解法1•二分法：1）计算」在有根区

间的端值

,

/（—）

2计算区间中点值2

=0 /（—V ⑷ co

3判断 -或者 -

2•不动点迭代法：

rw=o

x —卩（划=f（x）+ % g =血罐）

3•不动点迭代法收敛：

4.在「関上存在不动点•：（压缩映射）

a <单（艾）< b

1*（©-狗）1

L<1

5.不动点迭代法收敛性：满足上条，则不动点迭代法收敛，误差为：

L k

必一⑺茎！77"?加一却I

6.局部收敛：存在•.的某个邻域内的

任意的-，迭代法产生的序列收敛到■

7.不动点迭代法局部收敛：其中「为「的不动点，• •在「邻域连续。

|卩（巧| <1

乜營t f H Q

8.P阶收敛：当卜―；:!；时，迭代误差* _汪_ J满足'

9.牛顿（】重根）法：

fg fZ

如％伽2…両

10.简化的牛顿法：

fg

11.牛顿下山法:

,k = 0,1?-

从一开始试算，之后逐次减半，直到满足下降条件: I i.mii 为止。

12.弦截法:

fg

fg一

第八章矩阵特征值计算

1•格什戈林圆盘：以 ：为圆心，以〔为半径的所有圆盘

n

冷二》1%山=园忆—如

2.-:的每个特征值必属于某个圆盘之中:

|X- a t A < H

3.-:有I 个圆盘组成一个连通的并集 -，与和余下―孑个圆盘是分离的，则「内恰包含…的1个特征 值。 4•幕法：

设.；的特征值满足条件：

任取非零向量

:,构造向量序列， 〔一丄「一 一： ■.

假设： v 0 = + a 2x 2 + ■■■ + 昕心「说 丰 0

则：

1=2

5•收敛速度:

r = fc 6•幕法改进:

Uo = Vo * 0

%

v fr = AUff-^Ujt = —= maxfVjj}

lim u k 二 Xj

t —**so

7•加速方法（原点平移法）：构造矩阵三，应用幕法使在计算其主特征值的过程中得到加速。

B^A-pI

2賠H 刽

8•若“《 --,称矩阵「讣 '-为初等反射矩阵，可得：丄"- f “ —寂

P * = Oi^i +住丛沁+…+站X 珈=入:

10.

设】」为两个不等的.维向量， 绍.;：二 f ,

令 .,则"£一】，则可推导出: Hx = (1 —2ww T )x = y

11. 豪斯霍尔德约化定理：

戕 lb = llrlh

Hx^y

a = SEnCxi)||x||a

」°丘，当

t 对角元素为正分解唯一。 13•豪斯霍尔德约化矩阵为上海森伯格矩阵：

V^U^AU^U^ = H

14•获方法：1)计算上海森伯格矩阵的全部特征值; 第九章常微分方程初值问题数值解法

1•一阶常微分初值问题：

y = f(x.y), x e [x 0Jb], y(x Q ) =y 0

2•利普西茨条件：满足此条件，上述问题存在唯一的连续可微解。 If

一 乃1 J 》。

3•欧拉方法：

严' _ J = fgyQ

• y™+i = y n + 吋仏丁』

*n+l~

4•后退的欧拉法： ■ HU

卡

H = I — 2WW T =1-2 ―-p- =/ 一

12.吉文斯变换: cos 日=—k sin 6 =

cos 0 丿 12.矩阵的QR 分解：1)设H 非奇异，则存在正交矩阵

F,使工：，其中M 为上三角矩阵。 2)设

.；非奇异，则存在正交矩阵

r 与上三角矩阵 2)计算对称三对角矩阵的全部特征值。

丁亠= f (窃+讹卄I)’ y«+i = y n+ hf 匕卄i M J+J X H +1—石

5•梯形方法:

y ff+i = y n+尹（和曲 +

6.改进欧拉公式：

"=血+ 儿）儿二"十hf （斗I”）儿*i 二;（儿+yj