物理竞赛复赛模拟卷与答案

物理竞赛复赛模拟卷

1.试证明：物体的相对论能量E 与相对论动量P 的量值之间有如下关系：

2

2

22E

c p E +=

2. 在用质子)(11P 轰击固定锂)(73Li 靶的核反应中，（1）计算放出α粒子的反应能。（2）

如果质子能量为1兆电子伏特，问在垂直质子束的方向观测到α粒子的能量有多大？有关原

子核的质量如下：H

11

，1.007825；He

4

2

，4.002603；Li 7

3

，7.015999.

3. 一个处于基态的氢原子与另一个静止的基态氢原子碰撞。问可能发生非弹性碰撞的

最小速度为多少？如果速度较大而产生光反射，且在原速度方向和反方向可以观察到光。问这种光的频率与简正频率相差多少？氢原子的质量为1.67×10-27kg ，电离能

J eV E 181018.26.13-?==。

4. 如图11-136所示，光滑无底圆筒重W ，放两个重量均为G 的光滑球，圆筒半径为R ，球半径为r ，且r

1

p 图

51-21

图11-136

5. 两个完全相同的木板，长均为L ，重力均为G ，彼此以光滑铰链A 相连，并通过光滑铰链与竖直墙相连，如图（甲）所示。为使两木板达水平状态保持平衡，问应在何处施加外力？所施加的最小外力为多大？

6. 如图11-505所示，屋架由同在竖直面的多根无重杆绞接而成，各绞接点依次为1、

2……9，其中绞接点8、2、5、7、9位于同一水平直线上，且9可以无摩擦地水平滑动。各绞接点间沿水平方向上的间距和沿竖直方向上的间距如图所示，绞接点3承受有竖直向下的压力P/2，点1承受有竖直向下的压力P ，求绞接点3和4间杆的力。

7. 一平直的传送带以速度v=2m/s 匀速运行，传送带把A 点处的零件运送到B 点处，A 、B 两点之间相距L=10m ，从A 点把零件轻轻地放到传送带上，经过时间t=6s ，能送到B 点，如果提高传送带的运动速率，零件能较快地传送到B 点，要让零件用最短的时间从A 点传送到B 点处，说明并计算传送带的运动速率至少应多大？如要把求得的速率再提高一倍，则零

件传送时间为多少（2

/10s m g ）？

8. 一物体以某一初速度v 0开始做匀减速直线运动直至停止，其总位移为s ，当其位移为

2/3s 时，所用时间为t 1；当其速度为1/3v 0时，所用时间为t 2，则t 1、t 2有什么样的关系？

图11-505

v

1

2v

3

1 图12-31

1

F （乙）

（丙）

9．一根长为1m具有小截面的玻璃管，两端开口，一半埋在水中。在上端被覆盖后，把

玻璃管提升起来并取出水面。问玻璃管留下的水柱高度为多少。

10．静止的原子核衰变成质量为m1,m2,m3的三个裂片，它们的质量损为Δm。若三裂片中每两片之间速度方向的夹角都是120°，求每个裂片能量。

11.玻璃圆柱形容器的壁有一定的厚度，装一种在紫外线照射下会发出绿色荧光的液体，即液体中的每一点都可以成为绿色光源。已知玻璃对绿光的折射率为n1，液体对绿光的折射率为n2。当容器壁的、外半径之比r:R为多少时，在容器侧面能看到容器壁厚为零？

12.（1）用折射率为2的透明物质做成半径、外半径分别为a、b的空心球，b远大于a，表面涂上能完全吸光的物质。问当一束平行光射向此球时被吸收掉的光束横截面积为多大？（注意：被吸收掉的光束的横截面积，指的是原来光束的横截面积，不考虑透明物质的吸收和外表面的反射。）图33-114所示是经过球心的截面图。

（2）如果外半径b趋于a时，第（1）问中的答案还能成立？为什么？

13.真空中有一个半径为R的均匀透明球，今有两束相距为2d(d≤R)对称地（即两光束与球的一条直径平行并且分别与其等距离）射到球上，试就球的折射率n的取值围进行讨论（1）n取何值时两束光一定在球相交？

（2）n取何值时两束光一定在球外相交？

（3）如果n、d、R均已给定，如何判断此时两束光的交点是在球还是在球外。

14．一点电荷+q和半径为a的接地导体的球心相距为h，求空间的电势分布。

15．电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面的半径为R，CD为通过半球顶点C与球心O 的轴线，如图41-91。P、Q为CD轴线上在O点两侧，离O点距离相等的两点，已知P点的电势为U p，试求Q点的电势U Q。

1.试证明：物体的相对论能量E与相对论动量P的量值之间有如下关系：

2

2

2

2E

c

p

E+

=

证明：

()()2

2

2

2

2

2c

m

mc

c

p

Eυ

-

=

-

()()2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

υ

υ

υ-

-

=

-

=c

c

c

m

c

c

m

()2

2

2

2

4

2

0υ

υ

-

-

=c

c

c

m

2

4

2

E

c

m=

=

∴20

2

2

2E

c

p

E+

=

读者可试为之，从

2

2E

E-

入手证明它等于

2

2c

p。

2. 在用质子

)

(1

1

P

轰击固定锂

)

(7

3

Li

靶的核反应中，（1）计算放出α粒子的反应能。（2）如果质子能量为1兆电子伏特，问在垂直质子束的方向观测到α粒子的能量有多大？有关原子核的质量如下：

H

1

1，1.007825；

He

4

2，4.002603；

Li

7

3，

7.015999.

解：（1）核反应方程如下：

He

He

P

Li4

2

4

2

1

1

7

3

+

→

+

静质量0

M

1

M

3

M

2

M

动能0

E

1

E

3

E

2

E

由总质量和总能量守恒：

2

3

3

2

2

2

2

1

1

2

0c

E

M

c

E

M

c

E

M

c

E

M+

+

+

=

+

+

+

由反应能Q的定义得：

)

(

)

(

1

3

2

E

E

E

E

Q+

-

+

=

2

3

2

1

)]

(

)

[(c

M

M

M

M+

-

+

=

5.

931

]

002603

.4

2

)

007825

.1

015999

.7

[(?

?

-

-

=

35

.

17

=（兆电子伏特）

[其中：

2

8

27

2)

/

10

997925

.2(

)

10

66

.1(

1秒

米

千克?

?

?

=

?-

c

u

1

p 图51-21

6

105.931?=兆电子伏特 =931.5兆电子伏特]

（2）设锂靶是静止的，根据动量守恒，可知，反应所产生的两个相同的α粒子（He 4

2

核），

应沿入射质子的方向对称分开，如图51-21所示。

由动量守恒定律有

321p p p +=

矢量321,,p p p 合成的三角形，两底角皆为θ，又因32

M M =，因而有

3

2E E =

已知反应能Q=17.35兆电子伏特，且

132E E E Q -+=其中11=E 兆电子伏特，可得

)

(21

132E Q E E +==

)135.17(21

+?=

=9.175（兆电子伏特）

即反应所生成的α粒子其能量为9.175兆电子伏特。 α粒子飞出方向与入射质子的方向之间的夹角为θ，因此 θcos 22122

2123p p P P P -+=

由于ME P 22

=，得：

θcos 22121221133E E M M E M E M E M -+=

代入反应能Q 的定义式：

132E E E Q -+=

θcos 211321211

31232M E E M M E M M E M M -????

??--???? ??+=

将上式中质量数改为质量比得

θcos 21132121131232A E E A A E A A E A A Q -????

??--???? ??+=

其中

11=A ，432==A A ，代入上式：

θ

cos 43

22112E E E E Q --=

所以

2

11

243

2cos E E E Q E --=

θ

0825.0175.911

43

35.17175.92=??--?=

所以

6185'=

θ 由此可知，在垂直于质子束的方向上观察到He 4

2

的能量近似就是9.175兆电子伏特。

3. 一个处于基态的氢原子与另一个静止的基态氢原子碰撞。问可能发生非弹性碰撞的

最小速度为多少？如果速度较大而产生光反射，且在原速度方向和反方向可以观察到光。问这种光的频率与简正频率相差多少？氢原子的质量为1.67×10-27kg ，电离能

J eV E 181018.26.13-?==。

解：处于基态的氢原子能量为

1112?-=E E ，第二激发能量为.1222?-=E E 被氢原子吸收

的最小能量子为

[]

J E E E E E 18341211121016.122-?==-=-=? 我们必须求出在碰撞中能量损失为以上数值的最小速度。如果碰撞是完全非弹性的，则

碰撞中能量损失最大，碰撞后的速度将是.

2υ初动能和末动能之差为

42)2(22

2

2

2υυ

υm m m =

- 这个值应等于最小的能量子

42

υ=

?m E

因此

s

m m E 41026.64?=?=υ 在非弹性碰撞后，两个原子的速度为

s m

41013.32

?=υ

本题第二间的解答与多普勒效应有联系。对于比光速小很多的速度，相对速度之比给出频率相对变化的极好近似。故有

20

4

8

4

10

09.210

09.2103:1026.6--?=?=??

两束光的频率按此比率稍小于或稍大于简正频率

4. 如图11-136所示，光滑无底圆筒重W ，放两个重量均

为G 的光滑球，圆筒半径为R ，球半径为r ，且r

分析：如果对两个小球和无底圆筒分别隔离分析受力再列方程组，较复杂，采取整体法

较好。

解：根据物体平衡条件，列出以下方程： 选择两个小球作为研究对象，则在竖直方向上有 N-2G=0 (1)

以整体为研究对象，若翻倒必以A 为轴逆时针方向旋转，在临界态下对A 的力矩和为零。此时，系统受力情况为：两物体的重力，桌面对球支持力N ，筒的重力W ，它们对A 的力矩不为零，桌面对筒的支持力过A 点，力矩为零，故有

()()022≥-----=WR r R G G r R N M r A (2) 将1式代入2式有

()WR r R G ≥-22

()r R R

W G -≥

2 若该圆筒倾倒必须有()r R R W G ->

2。

讨论：（1）从答案中可以看出，当G 大W 小，r 与R 很接近，就容易倾倒，这也符合重

心高、支面小稳度就小的结论。

（2）如果是一个有底圆筒，则在没有其他力推它的情况下，就绝不会倾倒。请同学们

想一想，这是为什么？

5. 两个完全相同的木板，长均为L ，重力均为G ，彼此以光滑铰链A 相连，并通过光滑

铰链与竖直墙相连，如图11-245（甲）所示。为使两木板达水平状态保持平衡，问应在何

处施加外力？所施加的最小外力为多大？

分析：要使两板均处于平衡状态，外力只能作用在板2上，作用点应位于铰链A 与板2的重心之间，以便使板1的右端受到向上的作用力，方可使板1也处于平衡状态。为使作用力最小，外力应与木板垂直。

解：如图11-245（乙）、（丙）所示。为使板1达水平平衡状态，其右端A 应受到向上的1F 作用，1F 的施力物体是板2左端。根据力矩平衡条件有

L

G L F 211?=

解之得

G

F 211= 隔离木板2，其左端受到'1F （与1F 为作用力的反作用力）及重力mg 作用，为使板2呈水平且平衡，外力F 的作用点应在'1F 和

G 的作用点之间。设F 作用点距A 为x ，选F 作用点B 为转轴，根据力矩平衡条件有

?

??

??-=x L G x F 211 将

G

F 211=代入上式得 ??? ??-=?x L

G x G 2121 解之得

L x 31

=

板2所受合力应为0，有

G G F F 23

1=

+=

点评：本题着重领会由结果或效果反推原因的思想方法，1F 和F 的方向及作用点均由此方法推出。本题两次使用隔离法。

6. 如图11-505所示，屋架由同在竖直面的多根无重杆绞接而成，各绞接点依次为1、

2……9，其中绞接点8、2、5、7、9位于同一水平直线上，且9可以无摩擦地水平滑动。各绞接点间沿水平方向上的间距和沿竖直方向上的间距如图所示，绞接点3承受有竖直向下的压力P/2，点1承受有竖直向下的压力P ，求绞接点3和

4间杆的力。

解： 由于点9可沿水平方向无摩擦滑动，故屋架在点9处所受外力只可能沿竖直方向，设为N 9。由于屋架所受外力N 9、P/2和P 均沿竖直方向，则屋架在点8所受的外力也只可能沿竖直方向，设其为N 9。

以整个屋架为对象，列各外力对支点8的力矩平衡方程，有

l

N l P

l P 4229?=?+?

所以

29P N =

N 9的方向竖直向上。又由整个屋架的受力平衡关系应有

1

F （乙）

（丙） 图11-245

图11-505

9

N 25

图11-506