高中数学必修4-必修4第三章教材分析

必修4第三章教材分析

(一)编写特色

1．用向量证明和角公式，引导学生用向量研究和差化积公式。

2．建立和角公式与旋转变换之间的联系。

3．融入算法，引导学生找出求正弦函数值的算法。

4．引导学生独立的由和角公式推导出倍角公式与和差化积、积化和差公式。

5．和角公式在三角恒等变换及三角计算中的应用。

(二)内容结构

1．内容编排

本章的主要内容是和角公式、倍角公式和半角公式、三角函数的积化和差公式与和差化积公式，为了引起学生学习本章的兴趣，同时为了加强三角变换的实际应用，本章的开篇从一个实际问题出发，通过数学化，得到一个必须通过三角变换才能解决的数学问题，从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。全章共分三大节。

第一大节，首先利用向量的方法证明了两角差的余弦公式，接着导出两角和的余弦公式，再利用诱导公式推出两角和、差的正弦公式，又利用同角三角函数关系式推出两角和、差的正切公式；

第二大节，推导出倍角公式和半角公式。

第三大节，推导出积化和差与和差化积公式，并通过例题讲

解以上各公式的应用。

2，地位与作用

变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一。代数变换是学生熟悉的，与代数变换一样，三角变换也是只变其形不变其质，它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系。在本册第一章，学生接触了同角三角函数式的变换。在本章，学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换，通过本章学习，学生的推理能力和运算能力将得到进一步提高。

三角恒等变换在数学及应用科学中应用广泛，同时有利于发展学生的推理能力和计算能力，本章将通过三角恒等变形揭示一些问题的数学本质。

3．重点与难点

本章的重点是掌握和角公式的推导过程；难点是理解和角公式的几何意义。

4．本章知识结构

（三）课时分配

本章教学时间约8课时，具体分配如下：

3．1 和角公式

3．1．1 两角和与差的余弦2课时

3．1．2 两角和与差的正弦1课时

3．1．3 两角和与差的正切1课时3．2 倍角公式和半角公式

3．2．1 倍角公式1课时

3．2．2 半角的正弦、余弦和正切1课时3．3 三角函数的积化和差与和差化积1课时本章小结1课时

课题3．1．1两角和与差的余弦（一）

（一）教学目标：

知识目标：理解并掌握两角和、差的余弦公式及其推导过程，理解公式的使用条件；会用公式求值

能力目标：培养学生观察分析、类比、联想能力；推理能力及交流探讨能力。情感目标：通过问题的引入及对问题的探讨解决激发学生学习数学的兴趣，通过公式的推导培养数学思想方法和良好的思维品质。

（二）教学重点和难点：

本节课的重点是掌握公式结构，会用公式求值；难点是两角差的余弦公式的推导（三）教学方法：

教师通过问题的创设启发学生探讨解决问题的途径和方法；教师启发式的讲授以及师生、生生间的探讨为一体的教学方式

备注：

三角恒等变换在数学及应用科学中应用广泛，同时有利于发展学生的推理能力和计算能力，课本的题目应适当拓展。

课题 3.1.1两角和与差的余弦（2）

（一）教学目标

1、知识目标：会用公式求值和证明。

2、能力目标：培养学生分析问题解决问题的能力，推理，联想能力。

3、情感目标：发展学生的正向，逆向思维能力，前后知识灌溉和呼应的能力，培养良好、严谨的数学思维品质。

（二）教学重点，难点

重点是运用公式求值，证明，并建立与原有知识（诱导公式），方法（旋转变换）的联系。难点是公式的变形和逆向应用。

（三）教学方法

教师按照例题设计的思路适度引导学生自发地思考问题，通过提问，讨论等形式来促使学生

自己思考，自发学习，获得解决问题的途径，同时构建基于旧有知识的更新结构体系。同时，通过切身的尝试和参与来实现思维能力的提升，以达到对这一公式熟练掌握和灵活运用的目的。

（四）教学过程

备注：

（1）在教学安排上，注意了知识之间的前后联系和互相灌溉作用，可以布置较为开放性的题目，使学生自己建立科学又符合自身认知规律的知识体系网；

（2）在题目的设计上，如果能加入向量工具的思想应该更能强化学生对于知识模块间联系的理解。在这个问题上似乎还需要更深入的探索。

课题 3.1.2 两角和与差的正弦

的位置，求点p’

（略）

°改为θ，

op

一个角为θ，则

Cosθ、Sinθ即可

备注：

⑴注重教学过程，注重探索，应贯穿于每一节课的始终。

⑵充分挖掘知识之间、例题之间、例题与练习之间的内在联系，创设问题情景，激发学生的学习兴趣。

⑶通过不断地提出问题、解决问题，逐步培养学生的分析问题解决问题的能力。

课题3．1．3两角和与差的正切

（一）教学目标

1．知识目标：掌握公式及其推导过程，理解公式成立的条件；会用公式求值。

2．能力目标：培养学生的观察、分析、类比、联想能力；间接推理能力（即不能直接套公式，需要变化条件，寻找依据，才能推出结论）；自学能力。

3．情感目标：发展学生的正向、逆向思维和发散思维能力，构建良好的数学思维品质（二）教学重点、难点

重点是公式的结构特点及其推导方法、成立条件，运用公式求值

难点是公式的逆向和变形运用。

（三）教学方法

教师按照课本的知识结构先设计若干问题（即“知识台阶”），课前印发给学生，引导他们阅读课本。课堂上在教师三导（引导、指导、辅导）下，以学生为主体，对所设问题进行读、议、练、讲，其间教师通过提问、参与讨论，巡视学生练习及板演、观察学生情绪等渠道，及时搜集反馈信息，及时作出评价，再发指令，使教学过程处于动态平衡之中。

（四）教学过程

课题 3.2.1倍角公式

一教学目标

1.知识目标

公式的推导，明确α的取值范围；

掌握T

C

Sα

α2

α

2

2

能运用二倍角公式求三角函数值

2.能力目标

通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力

通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力3.情感目标

通过公式的推导，了解半角公式间以及它们与和角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点

二教学重点、难点

重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式Cα2的两种变形；难点是倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系、诱导公式、和角公式的综合应用。

三、教学方法

本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动，通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式，对于倍角公式的应用采取讲、练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对公式的记忆。

四、教学过程

课题 3.2.2 半角的正弦余弦和正切

（－）教学目标

1 知识目标：会推导半角的正弦，余弦和正切并会用半角公式进行证明，求值和化简

2 能力目标：会灵活运用公式进行推导变形

3 情感目标灵活运用公式化繁为简

（二）教学重点，难点

重点半角公式的推导方法和结构特征及应用公式求值，化简，证明

难点是用公式求值

（三）教学方法

引导学生复习二倍角公式，按课本知识结构设置提问引导学生动手推导出半角公式，课堂上在老师引导下，以学生为主体，分析公式的结构特征，会根据公式特点得出公式的应用，用公式来进行化简证明和求值，老师为学生创设问题情景，鼓励学生积极探究。