2017-2018学年北师大版高中数学必修4全册学案

2017-2018学年高中数学北师大版

必修4全册同步学案

目录

第一章 1 周期现象-§2 角的概念的推广

第一章 3 弧度制

第一章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义-4.2 单位圆与周期性

第一章 4.1 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

第一章 4.4 单位圆的对称性与诱导公式（一）

第一章 4.4 单位圆的对称性与诱导公式（二）

第一章 5.1 正弦函数的图像

第一章 5.2 正弦函数的性质

第一章 6 余弦函数的图像与性质

第一章7 正切函数

第一章8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质（一）

第一章8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质（二）

第一章9 三角函数的简单应用

第一章章末复习课

第二章 1 从位移、速度、力到向量

第二章 2.1 向量的加法

第二章 2.2 向量的减法

第二章 3.1 数乘向量

第二章 3.2 平面向量基本定理

第二章 4.1 平面向量的坐标表示-4.2 平面向量线性运算的坐标表示第二章 4.3 向量平行的坐标表示

第二章 5 从力做的功到向量的数量积（一）

第二章 5 从力做的功到向量的数量积（二）

第二章 6 平面向量数量积的坐标表示

第二章向量应用举例

第二章章末复习课

第三章 1 同角三角函数的基本关系

第三章 2.1 两角差的余弦函数

第三章 2.2 两角和与差的正弦、余弦函数

第三章 2.3 两角和与差的正切函数

第三章 3 二倍角的三角函数（一）

第三章 3 二倍角的三角函数（二）

第三章疑难规律方法

第三章章末复习课

学习目标 1.了解现实生活中的周期现象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握终边相同的角的含义及其表示．

知识点一周期现象

思考“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．”这样的现象，具有怎样的属性？

梳理(1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．

(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会________出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．

知识点二角的相关概念

思考1将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？

思考2如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？

梳理(1)角的概念：角可以看成平面内____________绕着________从一个位臵________到另一个位臵所形成的图形．

(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：

形成的角

，

知识点三象限角

思考把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？

梳理在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．

象限角：________在第几象限就是第几象限角；

轴线角：________落在坐标轴上的角．

知识点四终边相同的角

思考1假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？

思考2如何表示与60°终边相同的角？

梳理终边相同角的表示

一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，

即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与________的整数倍的和．

类型一周期现象的应用

例1水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？

反思与感悟(1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的．

(2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决．跟踪训练1利用例1中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？

类型二 象限角的判定

例2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.

反思与感悟 判断象限角的步骤 (1)当0°≤α<360°时，直接写出结果．

(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．

跟踪训练2 (1)判断下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范围内终边相同的角． ①549°；②－60°；③－503°36′.

(2)若α是第二象限角，试确定2α、α

2是第几象限角．

类型三 终边相同的角

命题角度1 求与已知角终边相同的角

例3 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．

反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．

跟踪训练3 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．

命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合 例4 写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合．

反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．

跟踪训练4写出终边在直线y＝

3

3x上的角的集合．

1．下列是周期现象的为()

①闰年每四年一次；

②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；

③某超市每天的营业额；

④某地每年6月份的平均降雨量．

A．①②④B．②④

C．①②D．①②③

2．与－457°角终边相同的角的集合是()

A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}

B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}

C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}

D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}

3．2 017°是第________象限角．

4．一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此

振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间是________s.

5．已知，如图所示．

(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；

(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．

1．判断是否为周期现象，关键是看在相同的间隔内，图像是否重复出现．

2．由于角的概念推广了，那么终边相同的角有无数个，这无数个终边相同的角构成一个集合．与α角终边相同的角可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，要领会好k∈Z的含义．3．熟记终边在坐标轴上的各角的度数，才能正确快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的终边随整数k的改变而改变时，要对k分类讨论．

答案精析

问题导学

知识点一

思考周而复始，重复出现．

梳理(2)重复

知识点二

思考1有顺时针和逆时针两种旋转方向．

思考2不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．

梳理(1)一条射线端点旋转

(2)逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有作任何旋转

知识点三

思考终边可能落在坐标轴上或四个象限内．

梳理终边终边

知识点四

思考1它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相隔了2个周角的和及1个周角．

思考260°＋k·360°(k∈Z)．

梳理周角

题型探究

例1解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，

所以1小时内水车转12圈．

又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，

所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，

所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．

跟踪训练1解设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，

所以y＝x

5·160＝32x，为使水车盛800升的水，

则有32x≥800，所以x≥25，

即水车盛800升的水至少需要25分钟．

例2解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．

(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它

是第四象限角．

(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．

跟踪训练2 解 (1)①∵549°＝189°＋360°，∴549°角为第三象限的角，与189°角终边相同． ②∵－60°＝300°－360°，∴－60°角为第四象限的角，与300°角终边相同． ③∵－503°36′＝216°24′－2×360°，

∴－503°36′角为第三象限的角，与216°24′角终边相同． (2)由题意得90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，① 所以180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°(k ∈Z )．

故2α是第三或第四象限角或终边落在y 轴非正半轴上的角． 由①得45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )，

当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，

得45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )，故α

2

是第一象限角．

当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，得45°＋180°＋n ·360°<α

2<90°＋180°＋n ·360°(n ∈Z )，

即225°＋n ·360°<α

2<270°＋n ·360°(n ∈Z )，

故α

2

为第三象限角． 综上可知，α

2

为第一或第三象限角．

例3 解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k ·360°＋10 030°(k ∈Z )．

(1)由－360°＜k ·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k ·360°＜－10 030°，解得k ＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°. (2)由0°＜k ·360°＋10 030°＜360°， 得－10 030°＜k ·360°＜－9 670°， 解得k ＝－27，

故所求的最小正角为β＝310°. (3)由360°≤k ·360°＋10 030°＜720°， 得－9 670°≤k ·360°＜－9 310°， 解得k ＝－26，故所求的角为β＝670°.

跟踪训练3 解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β＜360°，

即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，

∴311

36≤k＜611

36(k∈Z)，故取k＝4,5,6.

当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；

当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；

当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.

例4解终边在y＝－3x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；

终边在y＝－3x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．

因此，终边在直线y＝－3x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，

即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．

故终边在直线y＝－3x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．

跟踪训练4解终边在y＝

3

3x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；

终边在y＝

3

3x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}．

因此，终边在直线y＝

3

3x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝

210°＋k·360°，k∈Z}，

即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．

故终边在直线y＝

3

3x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．

当堂训练

1．C 2.C 3.三 4.1.4

5．解(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．

终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．

(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．

学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．

知识点一角度制与弧度制

思考1在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？

思考2在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？

思考3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？

梳理(1)角度制和弧度制

(2)角的弧度数的计算

设r是圆的半径，l是圆心角α所对的弧长，则角α的弧度数的绝对值满足|α|＝l

r. 知识点二角度制与弧度制的换算

思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？

梳理(1)角度与弧度的互化

(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系

知识点三 扇形的弧长及面积公式

思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？ 梳理

类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π

5.

反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180°

π

即可． 跟踪训练1 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π

12化成度．

类型二 用弧度制表示终边相同的角

例2 已知角α＝2 010°.

(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．

反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．

跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α≤2π； (2)在[0°，720°]内找出与2π5角终边相同的角．

类型三 扇形的弧长及面积公式的应用

例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为3，则此扇形的面积为( ) A ．π B.5π4 C.3π3 D.23π9

(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为( ) A ．2 B.2sin 1 C ．2sin 1 D.4

sin 1

反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝1

2|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如

果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把度化为弧度，再计算． 跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．

1．下列说法中，错误的是( )

A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的1

2π

C ．1 rad 的角比1°的角要大

D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 2．时针经过一小时，转过了( )

A.π

6 rad B ．－π

6 rad

C.π

12

rad D ．－π

12

rad

3．若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限

D ．第一象限

4．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4

D ．2或4

5．已知⊙O 的一条弧AE 的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA 顺时针旋转到OE 所形成的角α的弧度数是________．

1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．

2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式． 易知：度数×π180 rad ＝弧度数，弧度数×180°π

＝度数．

3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度．

答案精析

问题导学 知识点一

思考1 周角的1

360

等于1度．

思考2 在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．

思考3 在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关． 梳理 (1)度 弧度 弧度 知识点二

思考 利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝180°π

进行弧度与角度的换算．

梳理 (1)2π 360° π 180° 0.017 4557．30° (2)45° 90° 135° 270° 0 π6 π3 2π3

5π

6 知识点三

思考 设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则S ＝1

2lr ，l ＝αr .

题型探究

例1 解 (1)20°＝

20π180＝π

9

. (2)－15°＝－15π180＝－π

12.

(3)7π12＝7

12×180°＝105°. (4)－11π5＝－11

5

×180°＝－396°.

跟踪训练1 解 (1)112°30′＝????2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π

12＝－????5π12×180π°＝－75°. 例2 解 (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6

＝5×2π＋7π

6，

又π<7π6<3π2

，

∴α与7π

6

终边相同，是第三象限的角．

(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π

6＋2k π(k ∈Z )，

又－5π≤γ＜0，

∴当k ＝－3时，γ＝－29π

6；

当k ＝－2时，γ＝－17π

6；

当k ＝－1时，γ＝－5π

6

.

跟踪训练2 解 (1)∵－1 480°＝－1 480×π180＝－74π

9，

而－74π9＝－10π＋16π

9，且0≤α≤2π，

∴α＝16π9

.

∴－1 480°＝16π

9＋2×(－5)π.

(2)∵2π5＝2π5×(180π

)°＝72°，

∴终边与2π

5角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，

当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°. ∴在[0°，720°]内与2π5角终边相同的角为72°，432°.

例3 (1)A (2)D

跟踪训练3 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4，∴l ＝4－2R ， 根据扇形面积公式S ＝1

2lR ，

得1＝1

2

(4－2R )·R ，

∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝2

1＝2，

即扇形的圆心角为2 rad. 当堂训练

1．D 2.B 3.D 4.C 5.－ 3

4．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义

4．2单位圆与周期性

学习目标 1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用.2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系.3.理解周期函数的定义．

知识点一任意角的正弦函数和余弦函数

使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x 轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.

思考1角α的正弦、余弦分别等于什么？

思考2对确定的锐角α，sin α，cos α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？

思考3若取|OP|＝1时，sin α，cos α的值怎样表示？

梳理(1)对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的____________定义为角α的正弦函数，记作________；点P的____________定义为角α的余弦函数，记作________．

(2)对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数．

知识点二正弦、余弦函数的定义域

思考对于任意角α，sin α，cos α都有意义吗？

梳理正弦函数、余弦函数的定义域

知识点三正弦、余弦函数值在各象限的符号

思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗？

梳理正弦、余弦函数在各象限的符号

知识点四周期函数

思考由sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？

梳理一般地，对于函数f(x)，如果存在____________，对定义域内的____________x值，都有____________，我们就把f(x)称为周期函数，____称为这个函数的周期．

特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)为正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中________的一个，称为____________，简称为周期．

类型一 正弦函数、余弦函数定义的应用

命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值 例1 已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝10

10

x ，求sin θ的值．

反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法

①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．

②在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝x

r .当已

知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．

(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．

跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．

命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值

例2 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3

cos α的值．

反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a ，b )，则对应角的三角函数值分别为sin α＝

b a 2＋b 2，cos α＝a

a 2＋

b 2

. 跟踪训练2 已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α的值．

类型二 正弦、余弦函数值符号的判断

例3 (1)若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( )

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

(2)判断下列各式的符号．

①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4.

反思与感悟准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决这类问题的关键．

跟踪训练3若三角形的两内角A，B，满足sin A cos B＜0，则此三角形必为()

A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．直角三角形

D．以上三种情况都有可能

类型三周期性

例4(1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数；

(2)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－1

f(x)

，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数．

反思与感悟(1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数T，对任意定义域内实数x，都有f(x＋T)＝f(x)．

(2)一般地，如果f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x)的周期为2a(a≠0)；如果f(x＋a)＝1

f(x)

，那么f(x)的周期也为2a(a≠0)．

跟踪训练4若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)(a<0)，f(2a)＝1，求f(14a)的值．

1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于()