考研数学：用定积分定义计算极限的方法和技巧

考研数学：用定积分定义计算极限的方法和技巧

求极限是考研数学中的一个重要考点，每年都考，因此，各位考生应该学会如何熟练地求极限。求极限的方法很多，包括：利用四则运算、两个准则、两个重要公式、变量代换、等价代换、恒等变形（指数化，有理化，三角变换等）、洛必达法则、泰勒公式、导数定义、定积分定义、中值定理和无穷级数。为了帮助各位考生掌握好求极限的各种方法，文都考研辅导老师会向大家逐步地介绍这些方法，今天将向大家介绍如何用定积分定义求极限的方法，供各位考生参考。

用定积分定义求极限的基本思路：

根据定积分的定义：若()f x 在[,]a b 上可积，则0

1

lim

()()n

b

i

i

a

k f x f x dx λξ→=?=∑?

，其中

1max{}i i n x λ≤≤=?，若取(),i i b a b a k

x a n n

ξ--?=

=+

，则得1

()lim []()n

b a n k b a k b a

f a f x dx n n

→∞

=--+=∑

?，特别是，当0,1a b ==时，

101

1lim ()=()n n k k

f f x dx n n →∞=∑?。如果所求极限可以转化为这些和式的极限形式，则可以运用定积分定义计算极限。 适用情形：

利用定积分定义计算极限，主要用于n 项和式（或可以化为n 项和式）的极限计算，n 项和式中的每项须具有同样的表示形式（是某个函数()f x 的函数值），如果是分式，则分子的次数须相同，分母的次数须相同，且分母的次数须比分子的次数高1次。 一般求解步骤：

1）先对和式进行恒等变形化简，使之符合11()n k k f n n =∑或1

()[]n

k b a k b a

f a n n =--+∑的表示

形式；

2）利用定积分的性质计算出积分值；

3）由定积分值得出原和式的值（有时结合使用夹逼准则）。

典型例题：

例1.

求2

lim

+

n

n →∞

+

解：2lim

+n I

n →∞

=+1

1

1lim n

n i n →∞=

=?

，

令tan x t =，则24440

00

sec sec ln sec tan ln(1sec t

I dt tdt t t

t

ππ

π

=

==+=+?

?

例2.求1lim

()(1)

n

n k k

n k n k →∞

=+++∑ 解：先进行恒等变形化简，然后用定积分定义计算极限，具体过程如下：

11()()(1)1n

n

k k k k k

n k n k n k n k ===-=++++++∑∑ 112233

()()()()122334

1

n n

n n n n n n n n n n -+-+-++-=+++++++++1121n

k n n k

n =-++∑，

1112122n n n

=→++，

110011

1111lim lim ln(1)ln 211n

n n n k k dx x k n k n x n

→∞→∞===?==+=+++∑∑?，所以，原式=1

ln 22- 例3. 求2sin

sin

sin

lim (

+++

)1

112

n n n n n n n n n π

ππ→∞+++ 解：此题须结合夹逼准则求极限：

112sin

sin

sin

11sin +++sin 1

1112

n

n i i n i i n n n n n n n n n n n π

π

π

ππ==≤≤++++∑∑，101

1112

lim sin lim sin sin 11n n n n

i i i n i xdx n n n n n ππππ→∞→∞===?==++∑∑?，由夹逼准则得，所求极限为2π 例4. 求lim

n n

→∞

解：此题表达式是乘积的形式，通过指数化方法可以化为n 项和的形式：

1

10

11lim

ln

ln 12

lim lim()n

n i i

xdx

n n n

n n n

I e e n n n

n

→∞=→∞→∞∑

?==???==，1

11

1

ln lim ln lim[(ln )]lim [ln 1+]=1xdx xdx x x dx ε

ε

ε

εεεεεε+++→→→==-=---?

??，故1

I e -= 上面就是考研数学中如何用定积分定义求极限这类问题的解题方法，供考生们参考借鉴。在以后的时间里，文都考研辅导老师还会陆续向考生们介绍其它求极限的方法，希望各位考生留意查看。最后预祝各位学子在2015考研中取得佳绩。