数学建模期末作业题
数学建模期末作业题
1、数学规划
设有甲、乙、丙三种物品，其重量、体积和价值见下表：甲乙丙重量(单位：kg)体积(单位：L)123213价值(单位：百元)357某人出行，选10件物品随行。受条件所限，随身物品总重量不得超过18kg，体积不得超过100L问三种物品分别选择几件，可使随身物品价值最大？
2、谣言的传播
设某城市共有n+1人，其中一人出于某种目的编造了一个谣言，于是就利用他认识的人开始传播这个谣言。该城市具有初中以上文化程度的人占总人数的比例为p，这些人只有a%相信这一谣言，而其他人约有b%会相信。又设相信此谣言的人每人在单位时间内传播的平均人数正比于当时未听说此谣言的人数，而不相信此谣言的人不传播谣言。试建立一个反应谣言传播情况的数学模型，并简单分析其规律。
假设1
第1个人还是会参加第2次的谣言传播。即第1个人和相信谣言的人会不断传播谣言假设2
相信此谣言的人每人在单位时间内传播的平均人数正比于当时尚未听说此谣言的人数这个比恒定不变假设3
传播的时候也会传给传播谣和听过谣言的人
设第i个单位时间开始时相信谣言总人数某yz(i)
没听过人数mt(i)
受传播人数中没听过的人数占总人数比例（共有n+1个人，出去自己就有n个人）
t(i)=mt(i)/n;
受传播人数如果k为定植cb(i)=k某mt(i)某某yz(i);
受传播人数中没听过谣言的人数(考虑到传播的时候也会传给传播谣和听过谣言的人)
ch_mt(i)=cb(i)某t(i);其中相信的有
cb_mt_某某(i)=ch_mt(i)某p某a/100+ch_mt(i)某(1-p)某b/100;其中不相信的有
cb_mt_b某某(i)=ch_mt(i)-cb_某某(i);
第i＋1时刻单位时间开始时相信谣言总人数
某yz(i+1)=某yz(i)+cb_mt_某某(i);没听过人数
mt(i+1)=mt(i)-ch_mt(i);
受传播人数中没听过的人数占总人数比例t(i+1)=mt(i+1)/n;
受传播人数如果k为定植cb(i+1)=k某mt(i+1)某某yz(i+1);
受传播人数中没听过谣言的人数(考虑到传播的时候也会传给传播谣和听过谣言的人)
ch_mt(i+1)=cb(i+1)某t(i+1);其中相信的有
cb_mt_某某(i+1)=ch_mt(i+1)某p某a/100+ch_mt(i+1)某(1-p)某
b/100;其中不相信的有
cb_mt_b某某(i+1)=ch_mt(i+1)-cb_某某(i+1);
可以看到各种数构成了一个循环，这样就可以无限迭代下去根据由1单位时刻相信谣言总人数某yz(1)=1没听过人数mt(1)=n
然后迭代下去。
如果假设1中第1个人不参与，只有其他相信的人参与。那循环应该从第三个开始（本来是第二），因为第2时刻相信谣言总人数不是下面的公式某yz(i+1)=某yz(i)+cb_mt_某某(i);而是
某yz(2)=cb_mt_某某(i);所以要从第三个循环开始
3、用实物交换模型中讨论的无差别曲线的概念，讨论以下雇员与雇主之间的协议关系：(1)以雇员一天的工作时间t和工资w分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图，解释曲线为什么是你画的那种形状。
(2)如果雇主付计时工资，对不同的工资率(单位时间的工资)画出计时工资线族，根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议。
(3)雇员与雇主已经达成了一个协议(工作时间t1和工资w1)，如果雇主想使雇员的工作时间增加到t2，他有两种办法：一是提高计时工资率，在协议线的另一点(t2,w2)达成新的协议；二是实行超时工资制，即对工时t1仍付原计时工资，对工时t2-t1付给更高的超时工资。试用作图分析哪种方法对雇主有利，指出这个结果的条件。
2020.8月福师离线 《数学建模》期末试卷A及答案
▆■■■■■■■■■■■■ 《数学建模》期末考试A卷 姓名： 专业： 学号： 学习中心： 一、判断题（每题3分，共15分） 1、模型具有可转移性。----------------------- （√） 2、一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型-----（√） 3、一个理想的数学模型需满足模型的适用性和模型的可靠性。 ---------------------------------------- （√） 4、力学中把质量、长度、时间的量纲作为基本量纲。----（√） 5、数学模型是原型的复制品。 ----------------- （×） 二、不定项选择题（每题3分，共15分） 1、下列说法正确的有AC 。 A、评价模型优劣的唯一标准是实践检验。 B、模型误差是可以避免的。 C、生态模型属于按模型的应用领域分的模型。 D、白箱模型意味着人们对原型的内在机理了解不清楚。 2、建模能力包括ABCD 。 A、理解实际问题的能力 B、抽象分析问题的能力 C、运用工具知识的能力 D、试验调试的能力 3、按照模型的应用领域分的模型有AE 。 A、传染病模型 B、代数模型 C、几何模型 D、微分模型 E、生态模型 4、对黑箱系统一般采用的建模方法是 C 。 A、机理分析法 B、几何法 C、系统辩识法 D、代数法 5、一个理想的数学模型需满足AB 。 A、模型的适用性 B、模型的可靠性 C、模型的复杂性 D、模型的美观性三、用框图说明数学建模的过程。（10分） 答：概括的说，数学模型就是一个迭代的过程，其一般建模 步骤用框架图表示如下： 四、建模题（每题15分，共60分） 1、四条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，4条腿能否同 时着地？ 解：4条腿能同时着地 （一）模型假设 对椅子和地面都要作一些必要的假设： 对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定 的。 因此对这个问题我们假设: (1)地面为连续曲面 (2)长方形桌的四条腿长度相同 (3)相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 (4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 （二）模型建立 现在，我们来证明:如果上述假设条件成立，那么答案是肯 定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌 的四条腿分别在A、B、C、D处，A、B、C、D的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x轴上的线ab,则ab也与A、B，C、D 平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线ab与x轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不 确定的。为消除这一不确定性，令f(θ) 为A、B离地距离之和， g(θ)为C、D离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设(1)， f(θ), g(θ)均为0的连续函数叹由假设(3),三条腿总能同时着地， 故f(θ) g(θ)=0必成立()。 f(θ), g(θ)均为0的连续函数。又由假设(3),三条腿总能同时 着地，故f(θ) g(θ)=0必成立()。 不妨设f(θ)=0, g(θ)>0 (若g(0)也为0,则初始时刻已四条腿 着地，不必再旋转)，于是问题归结为:已知f(0), g(θ)均为θ的连 续函数，f(0)=0, g(0)> 0且对任意θ有f(θ) g(θ)=0,求证存在某一 0。，使f(θ) g(θ)=0。 （三）模型求解 证明:当日=π时，AB与CD互换位置，故f(π)>0, g(π)= 0 o 作h(θ)= f(θ)-g(θ)，显然，h(θ)也是θ的连续函数，h(θ)= f(θ)- g(θ)<0而h(π)= f(π)- 8(r)> 0，由连续函数的取零值定理，存在θ， 0<θ<π，使得h(θ)=0，即h(θ)= g(θ)。又由于f(θ) g(θ)=0,故 必有f(θ)= g(θ)=0,证毕。
数学建模期末作业
数学建模期末作业
一.问题的提出 某公共汽车站每隔30分钟到达一辆汽车，但可能有[0,3]分钟误差，此误差大小与前一辆汽车的运行无关。汽车最多容纳50名旅客，到达该汽车站时车内旅客人数服从[20,50]的均匀分布，到站下车的旅客人数服从[3,7]的均匀分布，每名旅客下车的时间服从[1,7]秒的均匀分布。旅客按照每30分钟到达12个人的泊松分布到达汽车站，单队排列等车，先到先上，如果某位旅客未能上车，他不再等候。旅客上车时间服从[4,12]秒的均匀分布。上下车的规则是：先下后上，逐个上车，逐个下车。 假设每天共发车25辆，现在要求模拟30天汽车的运行情况，了解平均一天中在站内等候汽车的总人数、能上车及不能上车的人数、旅客排队时间分布情况、不能上车人数的分布情况。 二．问题的分析 本问题涉及到两种数据：一是汽车运行状况，包括汽车到站、旅客下车、上车及汽车离站；二是旅客活动情况，包括到站、排队、上车及未能上车而离站。 这里我们用下次事件法推进模拟时间，具体做法是:首先确定汽车到站时间，然后再按旅客到站的分布情况计算出上一辆汽车至现在所到的旅客数，根据上下车旅客数确定该汽车离站的时间。由于上下车时间以秒计算，因此，模拟过程中的时间均以秒为单位。另外，旅客到站的分布可以转换成为间隔时间以150秒的指数分布。 这里假定汽车到站后，在旅客上下车期间未有旅客到达，于是，要在该汽车离站后才开始统计等待下一辆汽车的旅客数。 三．问题的假设： 1）候车队伍有良好的秩序；即要保证乘客先来后到的原则； 2）忽略其他情况对公交车的影响，即不计公交车启动，加速，制动时间的情况； 3）公交公司只对公交车进行调度，但是在允许的范围内不限制乘客上车，
数学建模期末考试A试的题目与答案
数学建模期末考试A试 的题目与答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带 一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起； 羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记 u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。 或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。 （12分） 1、二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间 关系的模型： （1） 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6分 （2） 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模 型。6分 解：设体重w （千克）与举重成绩y （千克） （1） 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以 yIS 设h 为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S h 2 再体重正比于身高的三次方，则w h 3
2020年数学建模作业题
数学模型课程期末大作业题 要求: 1）选题方式：共49题，每个同学做一题，你要做的题目编号是你的学号mod49所得的值+1。(例如：你的学号为189084157，则你要做的题为mod(189084157,49)+1=18)。 2）该类题目基本为优划问题，要求提交一篇完整格式的建模论文，文字使用小四号宋体，公式用word的公式编辑器编写，正文中不得出现程序以及程序冗长的输出结果，程序以附录形式附在论文的后面，若为规划求解必须用lingo 编程，其它计算可用Matlab或Mathmatica编写，不得以其它语言编程，否则按不及格论处。 3）论文以电子文档提交，同时要交一份文章和程序电子文档，由班长统一收上来，我要验证程序。 1、生产安排问题 某厂拥有4台磨床，2台立式钻床，3台卧式钻床，一台镗床和一台刨床，用以生产7种产品，记作p1至p7。工厂收益规定作产品售价减去原材料费用之余。每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）列于下表（表1）： 表 到6月底每种产品有存货50件。 工厂每周工作6天，每天2班，每班8小时。
不需要考虑排队等待加工的问题。 在工厂计划问题中，各台机床的停工维修不是规定了月份，而是选择最合适的月份维修。除了磨床外，每月机床在这6个月中的一个月中必须停工维修；6个月中4台磨床只有2台需要维修。扩展工厂计划模型，以使可作上述灵活安排维修时间的决策。停工时间的这种灵活性价值若何？ 注意，可假设每月仅有24个工作日。 2、电梯问题 某办公大楼有十一层高，办公室都安排在7，8，9，10，11层上．假设办公人员都乘电梯上楼，每层有60人办公．现有三台电梯A、B、C可利用，每层楼之间电梯的运行时间是3秒，最底层(一层)停留时间是20秒，其他各层若停留，则停留时间为10秒．每台电梯的最大的容量是10人，在上班前电梯只在7，8，9，10，11层停靠．为简单起见，假设早晨8∶00以前办公人员已陆续到达一层，能保证每部电梯在底层的等待时间内(20秒)能达到电梯的最大容量，电梯在各层的相应的停留时间内办公人员能完成出入电梯．当无人使用电梯时，电梯应在底层待命．请问： 把这些人都送到相应的办公楼层，要用多少时间？ 怎样调度电梯能使得办公人员到达相应楼层所需总的时间尽可能的少？ 请给出一种具体实用的电梯运行方案． 3、食品加工问题 一项食品加工工业，为将几种粗油精炼，然后加以混合成为成品油。原料油有两大类，共5种：植物油2种，分别记为V1和V2；非植物油3种，记为O1、O2和O3。各种原料油均从市场采购。现在（一月份）和未来半年中，市场价格（元/ 植物油和非植物油要在不同的生产线精炼。每个月最多可精练植物油200吨，非植物油250吨。精练过程中没有重量损失。精练费用可以忽略。 每种原料油最多可存储1000吨备用。存贮费为每吨每月50元。成品油和经过精练的原料油不能贮存。
数学建模期末大作业-2013年
数学建模期末大作业-2013年 期末大作业题目 一、小行星的轨道问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立了以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文观测单位。在5个不同的时间对 （1） 建立小行星运行的轨道方程并画出其图形； （2）求出近日点和远日点及轨道的中心（是太阳吗？）；（3）计算轨道的周长。 二、发电机使用计划 为了满足每日电力需求（单位：兆瓦），可以选用四种不同类型的发电机。每日电力需求如下所示： 一最小输出功率。所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。这些数据均列于下表中。 电机不需要付出任何代价。我们的问题是： （1）在每个时段应分别使用哪些发电机才能够使每天的总成本最小？（2）如果增加表3中的关闭成本，那么在每个时段
应分别使用哪些发电机才能够使每天的总成本最小？ （3）如果增加表4中的关闭成本，那么在每个时段应分别使用哪些发电机才能够使每天的总成本最小？ 三、合理计税问题 所以此人一年上税为：245×12+__=__元 在实际的执行过程中，每月的岗位津贴和年末一次性奖金实际上是放在一起结算给个人的，而具体每月发放多少岗位津贴和年末一次性发放多少奖金可以由职工本人在年初根据自己的需要进行选择。显然，不同的选择发放方式所缴纳的税是不同的，这就产生一个合理计税的问题。假定该事业单位一年中的津贴与奖金之和的上限是__元，试解决下面这个问题： 四、光伏电池的选购问题 早在1839年，法国科学家贝克雷尔（Becqurel）就发现，光照能使半导体材料的不同部位之间产生电位差。这种现象后来被称为“光生伏特效应”，简称“光伏效应”。1954年，美国科学家恰宾和皮尔松在美国贝尔实验室首次制成了实用的单晶硅太阳电池，诞生了将太阳光能转换为电能的实用光伏发电技术。据预测，太阳能光伏发电在未来会占据世界能源消费的重要席位，不但要替代部分常规能源，而且将成为世界能源供应的主体。 现有一家公司欲在面积为30平方米的一片向阳的屋顶安装光伏电池以解决部分电力紧张的问题。请你利用附件提供的数据通过建立数学模型解决下面三个问题：
数学建模期末大作业
数学建模期末大作业论文 题目：A题美好的一天 组长：何曦（2014112739） 组员：李颖（2014112747）张楚良（2014112740） 班级：交通工程三班 指导老师：陈崇双
美好的一天 摘要 关键字：Dijkstra算法多目标规划有向赋权图 MATLAB SPSS
1 问题的重述 Hello！大家好，我是没头脑,住在西南宇宙大学巨偏远的新校区（节点22）。明天我一个外地同学来找我玩，TA叫不高兴，是个镁铝\帅锅，期待ing。我想陪TA在城里转转，当然是去些不怎么花钱的地方啦~~。目前想到的有林湾步行街(节点76)、郫郫公园（节点91），大川博物院（节点72）。交通嘛，只坐公交车好了,反正公交比较发达，你能想出来的路线都有车啊。另外，进城顺便办两件事，去老校区财务处一趟（节点50），还要去新东方（节点34）找我们宿舍老三，他抽奖中了两张电影票，我要霸占过来明晚吃了饭跟TA一起看。电影院嘛，TASHIWODE电影院（节点54）不错，比较便宜哈。我攒了很久的钱，订了明晚开心面馆（节点63）的烛光晚餐，额哈哈，为了TA，破费一下也是可以的哈。哦，对了，老三说了，他明天一整天都上课，只有中午休息的时候能接见我给我票。 我主要是想请教一下各位大神： 1）明天我应该怎么安排路线才能够让花在坐车上的时间最少？ 2）考虑到可能堵车啊，TA比较没耐心啊，因为TA叫不高兴嘛。尤其是堵车啊，等车啊，这种事，万一影响了气氛就悲剧了。我感觉路口越密的地方越容易堵，如果考虑这个，又应该怎么安排路线呢？ 3）我们城比较挫啊，连地图也没有，Z老师搞地图测绘的，他有地图，跟他要他不给，只给了我一个破表格（见附件，一个文件有两页啊），说“你自己画吧”。帮我画一张地图吧，最好能标明我们要去的那几个地方和比较省时的路线啊，拜托了~ 2 问题的分析 2.1 对问题一的分析 问题一要求安排路线使得坐车花费的时间最少。 对于问题一，假设公交车的速度维持不变，要使花费的时间最少，则将问题转化为对最短路径的求解。求解最短路径使用Dijkstra算法很容易进行求解，在运用MATLAB编程，得到最优的一条路径，则这条路径所对应的时间即为最少用时。 2.2 对问题二的分析 问题二要求在考虑堵车的情况下，路口越密越容易发生拥堵，安排路线是乘车时间最短。 对于问题二，在问题的基础上增加了附加因素，即公交车的速度会因道路的密集程度而发生改变，从而问题一建立的基本Dijkstra算法对于问题二就不再适用了，因此对问题一的基本Dijkstra算法进行改进，并结合蚁群算法的机理与特点，运用MATLAB求解出最短路径，保证了花费时间的最少性。 2.3 对问题三的分析 问题三要求根据提供的附件，画出一张地图，标明要去的那几个地方和比较省时的路线。 对于问题三，在问题一和问题二的基础上，根据求解的结果，运用SPSS软件画出地图。
数学建模期末试题及答案
数学建模期末试题及答案 1. 题目描述 这是一份数学建模期末试题，包含多个问题，旨在考察学生对数学建模的理解和应用能力。以下是试题的具体描述及答案解析。 2. 问题一 某城市的交通流量与时间呈周期性变化，根据历史数据，可以得到一个交通流量函数，如下所示： \[f(t) = 100 + 50\sin(\frac{2\pi}{24}t)\] 其中，t表示时间（小时），f(t)表示交通流量。请回答以下问题： a) 请解释一下该函数的含义。 b) 根据该函数，该城市的最大交通流量是多少？ c) 在哪个时间段，该城市的交通流量较低？ 【解析】 a) 该函数表示交通流量f(t)随时间t的变化规律。通过观察函数，可以发现交通流量与时间的关系是周期性变化，每24小时一个周期。函数中的sin函数表示交通流量在周期内的变化，振幅为50，即交通流量的最大值与最小值之差为50。基准流量为100，表示在交通最不繁忙的时刻，流量为100辆。 b) 最大交通流量为基准流量100辆与振幅50辆之和，即150辆。
c) 交通流量较低的时间段为振幅为负值的时刻，即最小值出现的时 间段。 3. 问题二 某学校的图书馆借书规则如下： - 学生每次最多可以借5本书，每本书的借阅期限为30天。 - 学生可以在借阅期限结束后进行续借，每次续借可以延长借阅期 限30天。 请回答以下问题： a) 一个学生在10天内连续借了3次书，分别是2本、3本和4本， 请写出该学生在每次借书后的总借书数。 b) 如果一个学生借了5本书，每本都是在借阅期限后进行续借，借 了10年，最后一次续借后，该学生一共续借了几次书？ 【解析】 a) 总的借书数为每次借书的累加和。学生第一次借2本，总共借书 数为2本；第二次借3本，总共借书数为2 + 3 = 5本；第三次借4本，总共借书数为5 + 4 = 9本。 b) 学生每本书借阅期限为30天，10年为3650天，每次借书续借可 以延长借阅期限30天。因此，学生续借次数为10年÷30天= 121次。 4. 问题三
数学建模作业及答案
数学建模作业 姓名：叶勃 学号： 班级：024121
一：层次分析法 1、 分别用和法、根法、特征根法编程求判断矩阵 1261/2141/61/41A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 11/2433 217551/4 1/711/21/31/31/52111/31/5 3 1 1A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎣ ⎦ 的特征根和特征向量 （1）冪法求该矩阵的特征根和特征向量 程序为： #include X[i]=0; for(j=0;j 《数学建模》期末考试A卷 姓名： 专业： 学号： 学习中心： 一、判断题（每题3分，共15分） 1、模型具有可转移性。------------------------------（对） 2、一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型。----（对） 3、一个理想的数学模型需满足模型的适用性和模型的可靠性。 -------------------------------------------（对） 4、力学中把质量、长度、时间的量纲作为基本量纲。------（对） 5、数学模型是原型的复制品。 ----------------- （错） 二、不定项选择题（每题3分，共15分） 1、下列说法正确的有AC 。 A、评价模型优劣的唯一标准是实践检验。 B、模型误差是可以避免的。 C、生态模型属于按模型的应用领域分的模型。 D、白箱模型意味着人们对原型的内在机理了解不清楚。 2、建模能力包括ABCD 。 A、理解实际问题的能力 B、抽象分析问题的能力 C、运用工具知识的能力 D、试验调试的能力 3、按照模型的应用领域分的模型有AE 。 A、传染病模型 B、代数模型 C、几何模型 D、微分模型 E、生态模型 4、对黑箱系统一般采用的建模方法是 C 。 A、机理分析法 B、几何法 C、系统辩识法 D、代数法 5、一个理想的数学模型需满足AB 。 A、模型的适用性 B、模型的可靠性 C、模型的复杂性 D、模型的美观性 三、用框图说明数学建模的过程。（10分） 答：概括的说，数学模型就是一个迭代的过程，其一般建模步骤用框架图表示如下： 四、建模题（每题15分，共60分） 1、四条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，4条腿能否同时着地？ 解：4条腿能同时着地 （一）模型假设 对椅子和地面都要作一些必要的假设： 对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设: (1)地面为连续曲面 (2)长方形桌的四条腿长度相同 (3)相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 (4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 （二）模型建立 现在，我们来证明:如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D 处，A、B、C、D的初始位置在与x轴平行，再假设有一条在x轴上的线ab,则ab也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线ab与x轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除 这一不确定性，令f(θ) 为A、B离地距离之和，g(θ)为C、D离地距离之和， 数学建模期末考核题 考题一 1、在一段时间内,某中商品(de)价格x元和需求量Y件之间(de)一组数据为： 求出Y对X(de)回归直线方程,并说明拟合效果(de)好坏. （请使用Matlab求解,并附上代码及图形） 2据观察,个子高(de)人一般腿都长,今从16名成年女子测得数据如下表,希望从中得到身高x与腿长y之间(de)回归关系.（请使用Matlab求解,并附上代码及图形） 身高x与腿长y观测数据 3、某人每天由饮食获取10467焦热量,其中5038焦用于新陈代谢,此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗,其余热量则转化为脂肪,已知以脂肪形式贮存(de)热量利用率为100%,每公斤脂肪含热量41868焦,问此人(de)体重如何随时间而变化 4、在一个巴基斯坦洞穴里,发现了具有古代尼安德特人特征(de)人骨碎片, 科学家们把它们带到实验室,作碳14年代测定.分析表明C14与C12(de)比例仅仅是活组织内(de)％,此人生活在多少年前 （宇宙射线在大气中能够产生放射性碳—14,并能与氧结合成二氧化碳形后进入所有活组织,先为植物吸收,后为动物纳入.只要植物或动物生存着,它们就会持续不断地吸收碳—14,在机体内保持一定(de)水平,这意味着在活体中,C14(de)数量与稳定(de)C12(de)数量成定比.生物体死亡后,交换过程就停止了,放射性碳便以每年八千分之一(de)速度减少.并逐渐消失.对于任何含碳物质,只要测定剩下(de)放射性碳—14(de)含量,就可推断其年代. ） 5、 你已经去过几家主要(de)摩托车商店,基本确定将从三种车型中选购一种.你选择(de)标准主要有：价格、耗油量大小、舒适程度和外表美观情况.经反复思考比较,构造了它们之间(de)成对比较矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1315181315171551318731A 三种车型（记为a ,b ,c ）关于价格、耗油量、舒适程度及你对它们表观喜欢程度(de)成对比较矩阵为 （价格） （耗油量） c b a c b a c b a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡121312121321 c b a ⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡17127152111 题目1 人口增长的模型 假定人口的增长服从这样的规律：时刻t 的人口为x (t), t 到t+t ?时间内人口的增量与)(t x x m -成正比（其中m x 为最大容量）。试建立模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较。 题目2 新产品销售问题模型 一种新产品刚面世，厂家和商家总是采取各种措施促进销售，比如：不惜血本大做广告等等。他们都希望对这种新产品的推销速度做到心中有数，厂家用于组织生产，商家便于安排进货。 怎样建立一个数学模型描述新产品（保健酒、新上市的饮料等）推销速度，并由此分析出一些有用的结果以指导生产，并根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。 题目3 商品包装的数学模型 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如高露洁牙膏50g 装的每支1.5元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量价格比是 1.2 ：1。试用合适方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C 与商品重量w 的关系。价格由生产成本、包装成本、和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积成正比，还有与w 无关的因素。 （2）给出单位重量价格c 与w 的关系，画出他们的简图，说明w 越大c 越小，但是随着w 的增加c 减小的程度变小，解释实际意义是什么。 题目4 生产销售存储模型 建立不允许缺货的生产销售存储模型，设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k r >。在每个生产周期T 内，开始的一段时间（00t T <<）内一边生产一 边销售，后来的一段时间（0T t T <<）只销售不生产，画出贮存量()q t 的图形。设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期。讨论k r <和k r ≈的情况。 题目5 广告竞争销售模型 甲乙两公司通过广告竞争销售产品的数量，广告费分别是x 和y 设甲乙公司商品的销售在两公司总销售量中占的份额，是他们的广告费在总广告费中所占份额的函数()x f x y +和()y f x y +，又设公司的收入与销售量成正比，从收入中扣除广告费后即为公司的利润.是构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大. （1）令x t x y =+，则()(1)1f t f t +-=.画出()f t 的示意图. （2）写出甲公司利润的表达式()p x .对于一定的y ，使()p x 最大的x 的最优值应满足什么关系. 题目6 淋雨模型 要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立模型讨论是否跑得越快淋雨越少. 将人体简化成一个长方体，高 1.5a m =（颈部以下），宽0.5b m =，厚0.2c m =.设跑步距离1000d m =，跑步最大速度5/m v m s =，雨速4/u m s =，降雨量为2/w cm h =，记跑步速度为v .按以下步骤进行讨论： （1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大的速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量. （2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v 之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少.计算0,30 θθ== 数学建模（数学模型）期末考试卷及答案详解 第一部分 基本理论和应用 1、计算题(满分10分) 设电路供电网内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7，假设各灯的开关是相互独立的，利用中心极限定理计算同时开着的灯数在6900与7100之间的概率. 2、计算题（满分10分） 设某种电子元件的使用寿命服从正态分布) ,(2σμN ，现随机抽取了10个元件进行检测， 得到样本均值(h)1500=x ，样本标准差(h)14=S . 求总体均值μ的置信概率为99％的置信区间 3、计算题（满分10分） 从正态总体)6 ,4.3(~2N X 中抽取容量为n 的样本，如果要求样本均值位于区间 (1.4，5.4) 内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？ 4、计算题（满分10分） 设总体X 的概率密度为： ?? ?<<+=其他，, 0, 10,)1();(x x x f θθθ )1(->θ n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量. 5．（15分）设总体X 服从区间[0，θ]上的均匀分布，θ＞0未知，12,, ,n X X X 是来自X 的样本,（1）求θ的矩估计和极大似然估计；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（3）试问（2）中的两个无偏估计量哪一个更有效？ 6. （15分）设),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是取自总体的简单随机样本，X 为样本均值，2 n S 为样本二阶中心矩，2 S 为样本方差，问下列统计量：（1） 2 2σn nS ，（2） 1 /--n S X n μ， （3）2 1 2 )(σμ∑=-n i i X 各服从什么分布？ 7. （10分）一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 8. （10分）设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 数学建模期末作业题 1、数学规划 设有甲、乙、丙三种物品，其重量、体积和价值见下表：甲乙丙重量(单位：kg)体积(单位：L)123213价值(单位：百元)357某人出行，选10件物品随行。受条件所限，随身物品总重量不得超过18kg，体积不得超过100L问三种物品分别选择几件，可使随身物品价值最大？ 2、谣言的传播 设某城市共有n+1人，其中一人出于某种目的编造了一个谣言，于是就利用他认识的人开始传播这个谣言。该城市具有初中以上文化程度的人占总人数的比例为p，这些人只有a%相信这一谣言，而其他人约有b%会相信。又设相信此谣言的人每人在单位时间内传播的平均人数正比于当时未听说此谣言的人数，而不相信此谣言的人不传播谣言。试建立一个反应谣言传播情况的数学模型，并简单分析其规律。 假设1 第1个人还是会参加第2次的谣言传播。即第1个人和相信谣言的人会不断传播谣言假设2 相信此谣言的人每人在单位时间内传播的平均人数正比于当时尚未听说此谣言的人数这个比恒定不变假设3 传播的时候也会传给传播谣和听过谣言的人 设第i个单位时间开始时相信谣言总人数某yz(i) 没听过人数mt(i) 受传播人数中没听过的人数占总人数比例（共有n+1个人，出去自己就有n个人） t(i)=mt(i)/n; 受传播人数如果k为定植cb(i)=k某mt(i)某某yz(i); 受传播人数中没听过谣言的人数(考虑到传播的时候也会传给传播谣和听过谣言的人) ch_mt(i)=cb(i)某t(i);其中相信的有 cb_mt_某某(i)=ch_mt(i)某p某a/100+ch_mt(i)某(1-p)某b/100;其中不相信的有 cb_mt_b某某(i)=ch_mt(i)-cb_某某(i); 第i＋1时刻单位时间开始时相信谣言总人数 某yz(i+1)=某yz(i)+cb_mt_某某(i);没听过人数 mt(i+1)=mt(i)-ch_mt(i); 受传播人数中没听过的人数占总人数比例t(i+1)=mt(i+1)/n; 受传播人数如果k为定植cb(i+1)=k某mt(i+1)某某yz(i+1); 受传播人数中没听过谣言的人数(考虑到传播的时候也会传给传播谣和听过谣言的人) ch_mt(i+1)=cb(i+1)某t(i+1);其中相信的有 cb_mt_某某(i+1)=ch_mt(i+1)某p某a/100+ch_mt(i+1)某(1-p)某 b/100;其中不相信的有 绍兴文理学院2014-2015学年第一学期 信计专业 13级《数学模型与数学软件》考核命题卷(含答题卷)(编号1) 闭卷） 一、综合题（15分） 为了研究同类车的刹车距离d （司机想刹车到车停下来所行驶的距离）与刹车时的车速v 之间存在什么样的函数关系，通过多组同条件实验测得一组数据如下表：（车速与距离都是多次实验的平均车速和平均距离） 车速 (km/h) 29.3 44.0 58.7 62.2 73.3 88.0 102.7 110.2 117.3 刹车距离（m ） 39.0 76.6 126.2 135.8 187.8 261.4 347.1 388.9 444.8 1．（6分）请简述数学建模一般步骤的基本方法。 2．（2分）为了研究刹车距离与车速的关系，需要做哪些资料数据的搜集？ 3．（7分）请给出合理的假设，建立合适的模型，来研究)(v f d 。（注：模型不需要求解） 二、综合题（16分） 在研究存储模型中，设某产品日需求量为常数r ，每次生产为瞬间完成，每次生产的准备费为1c ，并与生产量无关, 每单位时间每件产品贮存费为2c 。现需要制定最优的生产计划（即最佳的生产周期T 和每周期生产量Q 的确定）。 1．（6分）请简述数学建模的基本方法。 2．（10分）请在合适的假设下，建立不允许缺货的最优生产计划模型。 三、综合题（18分） 研究奶制品深加工问题中，有80 桶牛奶,共680小时的可利用工作时间，至多能加工80公斤A1产品，其他对于下列关系： 1．（12化。 （注：不要求求解结果） 2．（6分）以此题为例，简述线性规划三个特征。 四、综合题（16分） 研究治愈即免疫的传染病模型，设每个病人每天有效接触为a ，日治愈率为b ，初始状态下病人数和健康人数占总人数的比值分别为00,s i 1（6分）做合适的假设，并建立传染病的SIR 模型； 2（10分）写出利用ODE45函数求解此模型的MATLAB 程序代码。 获利44元/千克 获利32元/千克 数学建模作业题 习题1第4题. 根据表1.14的数据，完成下列数据拟合问题： (1) 如果用指数增长模型0()0()e r t t x t x -=模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MATLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算指数增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 和r ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 和r . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. (2) 通过变量替换，可以将属于非线性模型的指数增长模型转化成线性模型，并用MATLAB 函数polyfit 进行计算，请说明转化成线性模型的详细过程，然后写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示拟合效果图. (3) 请分析指数增长模型非线性拟合和线性化拟合的结果有何区别？原因是什么？ (4) 如果用阻滞增长模型00 () 00()()e r t t Nx x t x N x --=+-模拟美国人口从1790年至2000年的 变化过程，请用MATLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算阻滞增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r 和N ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 、r 和N ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 、r 和N . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. 习题2第1题. 继续考虑第2.2节“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？ 习题2第2题. 一盘录像带，从头转到尾，时间用了184分钟，录像机计数器读数从0000变到6061. 表2.5是观测得到的计数器读数，图2.7是录像机计数器工作原理示意图. 请问当计数器读数为4580时，剩下的一段录像带还能否录下一小时的节目？ 数学建模期末作业 按数学建模竞赛格式书写一篇论文——抄袭者两份同时记0分。 1、某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻探费用为最小。若10个井位的代号为1A 、……10A ，相应的钻探费用为1C 、……10C ，并且井位选择要满足下列限制条件： （1）1A 、5A 、6A 只能选其中之一； （2）选2A 或3A 就不能选4A ，反之亦然； （3）在7A 、8A 、9A 、10A 中最多只能选两个。 试建立其数学模型，并给出一组[1C 、……10C ]值，用软件求解，建立你的钻井方案。 2、下面是中国人口增长情况数据： 试建立一个数学模型预测2012年中国的人口数。如果你的模型与实际不符，应怎样修正？ 《数学建模》(选修)期中测验 1、有三台打印机同时工作，一分钟共打印1580行字，如果第一台打印机工作2分钟，第二台打印机工作3分钟，共打印2740行字，如果第一台打印机工作1分钟，第二台打印机工作2分钟，第三台打印机工作3分钟，共可打印3280行字．问：每台打印机每分钟可打印多少行字？ (1)建立方程组： (2)MATLAB 求解程序 (3)结果 2、432112.008.01.015.0max x x x x f +++= ⎪⎪⎩ ⎪ ⎪ ⎨⎧≥=---≥-+≤---0,,,100..43214321 4324321x x x x x x x x x x x x x x x t s (1)MA TLAB 程序或Lingo 程序或QSB 操作过程 (2)结果 3、解微分方程：⎩ ⎨⎧='==+'-''0)0(,1)0(442y y xe y y y x (1)MATLAB 程序： (2)结果： 1．〔10分〕表达数学建模根本步骤，并简要说明每一 步根本要求。 (1)模型准备：首先要了解问题实际背景，明确题目要求，收集各种必要信息。 (2)模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做出必要、合理假设，使问题主要特征凸现出来，忽略问题次要方面。 (3)模型构成：根据所做假设以及事物之间联系，构造各种量之间关系，把问题化为数学问题，注意要尽量采用简单数学工具。 4)模型求解：利用数学方法来求解上一步所得到数学问题，此时往往还要作出进一步简化或假设。 (5)模型分析：对所得到解答进展分析，特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定。 (6)模型检验：分析所得结果实际意义，与实际情况进展比拟，看是否符合实际，如果不够理想，应该修改、补充假设，或重新建模，不断完善。 (7)模型应用：所建立模型必须在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改良与完善。 2．〔10分〕试建立不允许缺货生产销售存贮模型。 设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k r <。 在每个生产周期T 内，开场一段时间〔00T t ≤≤〕 边生产边销售，后一段时间〔T t T ≤≤0〕只销售不 生产，存贮量)(t q 变化如下图。设每次生产开工 费为1c ，每件产品单位时间存贮费为2c ，以总费用最小为准那么确定最优周期T ，并讨论k r <<与k r ≈情况。 单位时间总费用 k T r k r c T c T c 2)()(21-+=，使)(T c 到达最小最优周期)(2T 21*r k r c k c -＝。当k r <<时，r c c 21*2T ＝，相当于不考虑生产情况；当k r ≈时，∞→*T ，因为产量被售量抵消，无法形成贮存量。 3．〔10分〕设)(t x 表示时刻t 人口，试解释阻滞增长〔Logistic 〕模型 中涉及所有变量、参数，并用尽可能简洁语言表述清楚该模型建模思想。 数学建模作业习题 1.4 在1.3节“椅子能在不平地面上放稳吗”的假设条件中，将四角连线呈正方形改为呈长方形，其余不变，构造模型求解。 解：在地面建立坐标系设椅子对角线ac 开始与之夹角为0度，用f （x ）表示ac 腿与地面的距离和，g （x ）表示bd 与之距离和，则可知f （x ），g （x ）是x 的连续函数，对任意的x 有f （x ）·g （x ）=0，起始时f （x ）=0，g （x ）﹥0.现将椅子旋转180度，a ，c 和b ，d 分别互掉位置，且f （x ）先增加后减小为0. g （x ）先减小为0后又变为g （x ）﹥0。 令h （x ）= f （x ）-g （x ），有以上条件可知在0与180度之间必有一个位置使得h （x 1）=0，而且f （x 1）·g （x 1）=0，所以可得f （x 1）=g （x 1）=0，可知其为长方形是亦可以放稳。 1.5 模仿1.4节商人过河问题中的状态转移模型，做下面问题：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，最多能载猫、鸡、米之一，而当人不在场时猫吃鱼、鸡吃米，试设计一个安全渡河方案，并使渡河次数尽量最少。 解：人、猫、鸡、米分别记做i=1,2,3,4，当i 在此岸时记x i =1，否则记x i =0，则此岸的状态可用s=（x 1，x 2，x 3，x 4，）表示。记s 的反状态为s '=（1-x 1，1-x 2，1-x 3，1-x 4），允许状态集合S={（1,1,1,1），（1,1,1,0），（1，1，0,1），（1,0,1,1,），（1,0,1,0）及它们的5个反状态}。 决策为乘船方案，记作d=（u 1，u 2，u 3，u 4），当i 在船上时记做u i =1，否则记做u i =0，允许决策集合为D={（1,1,0,0），（1,0,1,0），（1,0,0,1），（1,0,0,0）}。 记第k 次渡河前此案的状态为s k ，第k 次渡河的决策为d k ，则状态转移律为s k+1=s k +（-1）∧d ·d k ，设计安全过河方案归结为求决策序列d 1，d 2，···，d n ∈D ，是状态s k ∈S 按状态转移律有初始状态s 1=（1,1,1,1,），经n 步到达s n+1= 1.7 说明1.5节中Logistic 模型（9）可以表示为x(t ）) (01t t r m e x --+= ，其中0t 是 人口增长出现拐点的时刻，并说明0t 与r ，m x 的关系。 解：当0t t =时，2/m x x =，立即可得) (01)(t t r m e x t x --+=，且.ln 10 0x x x r t m -= 1.8 假定人口增长服从这样的规律：时刻t 的人口为x （t ），t 到t t ∆+时间内人口的增量与)(t x x m -成正比（其中m x 为最大容量）。是建立模型并求解。 解： r x x r dt dx m ),(-=为比例系数，0)0(x x =，所以解得 rt m m e x x x t x ---=)()(0。福建师范大学2020年秋作业《数学建模》期末考试A卷答案
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