求极限的13种方法

求极限的13种方法（简叙）

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极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限

利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。 例1、求极限

)1...()1)(1(22

lim n

a a

a n +++∞

→ ，其中1

分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。

解 因为)1...(

)1)(1(22

n

a a a +++ =)1...()1)(1)(1(1122n

a a a a a +++-- =)1...()1)(1(11222n

a a a a ++-- =)1(111

2+--n a a

当

∞→n 时，

,

21∞→+n 而

1

从而

,01

2→+n a

)1...()1)(1(22

lim n

a a a n +++∞

→=

a

-11 二、利用变量代换求极限

利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量，提高运算效率。常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。

例2、求极限1

1lim 1

--→n

m

x x x ，其中m,n 为正整数。

分析 这是含根式的（0

0）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限。 解 令11,1

→→=t x x t mn

时，则当

原式=m

n

t t t t t t t t t t t t m m n n m m n n t m n t =++++++=+++-+++-=----------→→1...1...)1...)(1()1...)(1(lim 11lim 2121212111 三、利用对数转换求极限

利用对数转换求极限主要是通过公式,ln v u v e u ⋅=进行恒等变形，特别的情形，在（∞1）型未定式时可直接运用v u v e u ⋅-=)1( 例3、求极限o

x →lim x

x 2csc )

(cos

解 原式=o

x →lim 2

1sin sin 21

lim csc )1(cos 2202

-

--==→e

e e x

x x

x x

四、利用夹逼准则求极限

利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。 例4、求极限∞

→n lim n n

n !

分析 当我们无法或不易把无穷多个因子的积变为有限时，可考虑使用夹逼准则。 解 因为n n n n n n n n

n o n

1121!≤⋅-⋅⋅=≤

， 且不等式两端当趋于无穷时都以0为极限，所以∞

→n lim n n

n !

=0 五、利用单调有界准则求极限

利用单调有界准则求极限主要应用于给定初始项与递推公式

)(1n n x f x =+的数列极限。在确定∞

→n lim n x 存在的前提下，可由方程A=f(A)

解出A ，则∞→n lim n

x =A 。 例5、设)3(41,0,031

1n

n n x a

x x x a +=>>+，（n=1,2,…）,求极限∞→n lim n x 。

分析 由于题中并未给出表达式，也无法求出，故考虑利用单调有界准则。

解 由)3(41,0,0311n

n n x a

x x x a +=>>+易知n x >0。

根据算术平均数与几何平均数的关系，有

44331)(41a x a

x x x x a x x x x n

n n n n n n n n =≥+++=

+ 所以，数列n x 有下界4a ，即对一切n >1,有n x ≥4

a

又 1)3(41)3(4141=+≤+=+a

a

x a x x n n n 所以,1n n x x ≤+即数列单调减少。由单调有界准则知数列n x 有极限。

现设∞

→n lim n x =A,则由极限的保号性知A ≥4

a >0. 对式子)3(4131

n n n x a x x +=+两边同时取极限得)3(413A

a A A += 解得 A=4a ,即∞

→n lim n x =4

a （已舍去负根） 六、利用等价无穷小求极限

利用等价无穷小求极限是求极限极为重要的一种方法，也是最为简便、快捷的方法。学习时不仅要熟记常用的等价无穷小，还应学会灵活应用。同时应注意：只有在无穷小作为因式时，才能用其等价无穷小替换。

例6、求极限x

x x ln )

1sin(sin lim

1-→

分析 此题中sin(x-1),sinsin(x-1),lnx 均为无穷小，而均作为因式，故可以利用等价无穷小快速求出极限。 解 当1→x 时，

1~)11ln(ln ,1~)1sin(~)1sin(sin ,01--+=---→-x x x x x x x 则

故原式=11

1lim

1

=--→x x x 七、利用导数定义求极限

利用导数定义求极限适用于b

a b x f a x f b a -+-+→-)

()(lim

000)(型极限，并且需要

满足)('0x f 存在。

例7、求n n a

n a ]sin )

1

sin([lim +∞→，其中10<

解 n n a

n a ]sin )

1

sin([lim +∞→=]sin )

1

sin(ln[

lim a

n a n n e +⋅∞→

而 n a

n a a

n a n n n 1sin ln )1

sin(ln lim ]sin )1sin(ln[lim -+=+⋅∞→∞→

由导数的定义知，n

a

n a n 1

sin ln )1

sin(ln lim

-+∞→表示函数lnsinx 在x=a 处的导数。即a x a

n a n a

x n cot ]'sin [ln ]sin )

1

sin(ln[lim ==+⋅=∞→。 八、利用洛必达法则求极限

利用洛必达法则求极限适用于∞•∞

∞0,,00型未定式，其它类型未定式也可通过恒等变形转化为∞•∞

∞

0,,00型。洛必达法则使用十分方便，但使用时注意检查是否符合洛必达法则的使用条件。

例8、求极限2

03cos cos lim

x x

x x -→

解 原式=42

3cos 9cos lim 23sin 3sin lim 00=+-=+-→→x

x x x x x x 注：连续两次使用洛必达法则

九、利用微分中值定理求极限

利用微分中值定理求极限的重点是学会灵活应用拉格朗日中值定理，即

),),(')

()(b a f b

a b f a f （其中∈=--ξξ。

例9、求极限x

x e e x

x x sin lim sin 0--→ 分析 若对函数x x f e (=）

，在区间[]x x ,sin 上使用拉格朗日中值定理 则：

),sin ,sin sin x x e x

x e e x

x （其中∈=--ξξ 解 由分析可知

),sin ,sin sin x x e x

x e e x

x （其中∈=--ξξ 又 0,sin ,0sin 0→<<→→ξξ故时，有x x x x

所以x x e e x

x x sin lim sin 0--→=1lim 0

=→ξe x 十、利用泰勒公式（麦克劳林公式展开式）求极限

利用泰勒公式（麦克劳林公式展开式）求极限是求极限的又一极为重要的方法。与其它方法相比，泰勒公式略显繁琐，但实用性非常强。 例10、求极限x

x x

x x sin tan arcsin arctan lim

0--→

分析 若使用洛必达法则，计算起来会相当麻烦；同时分子并非两因

式之积，等价无穷小也不适用，此时可以考虑用泰勒公式。

解 )(6

arcsin ),(3arctan 0333

3x o x x x x o x x x x +-=+-=→时，由于当

3

2

1~

)cos 1(tan sin tan x x x x x -=- 故 原式=12

1)

(21lim 21)](6[)](3[lim 3

3303333

30-=+-=+--+-→→x x o x x x o x x x o x x x x 十一、利用定积分的定义求极限

由定积分的定义知，如果f(x)在[]b a ，上可积，那么，我们可以对[]b a ，用特殊的分割方法（如n 等分），并在每一个子区间特殊地取点（如取每个子区间的左端点或右端点），所得积分和的极限仍是f(x)在

[]b a ，上的定积分。所以，如果遇到某些求和式极限的问题，能够将

其表示为某个可积函数的积分和，就能用定积分来求极限。这里关键在于根据所给和式确定被积函数和积分区间。

例11、求极限))1(sin 2sin

(sin 1lim n

n n n n

n π

ππ

-+++∞

→

解 从和式))1(sin 2sin (sin 1n n n n n π

ππ-+++ 看，若选被积函数为x πsin ,

则因分点[].10101

1，，故积分区间为与时分别趋于当与∞→-n n

n n

[]从而有等分，则有，将,1

10n

x i =∆：

原式=))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ-+++∞→ =[]π

πππ2cos 1sin 1

10=-=⎰o x dx x 十二、利用级数收敛的必要条件求极限

级数具有以下性质：

若级数∑∞

=1n u n 收敛，则0lim =∞→n n u 。所以对于某些极限),(lim n f n ∞

→可以将函

数f(n)作为级数∑∞=1

n f(n)的一般项，只需证明级数∑∞

=1

n f(n)收敛，便有

),(lim n f n ∞

→=0.

例12、求极限2

)!(lim n n n

n ∞→

解 令有对于正项级数,u ,)!(1

n 2∑∞

==n n

n n n u 01lim 11)11(lim )1()1(lim )!())!1(()1(lim u u lim 2211=+=++=++=⋅++=∞→∞→∞→+∞→+∞→n e n n n n n n n n n n n n n n n n n n n

n n 由比值审敛法知，级数,10u u

lim 1<=+∞→n

n n 收敛。

∑∞

=1

n u n 故2

)!(lim n n n n ∞→=0 十三、利用幂级数的和函数求极限

当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和。此时常常可以辅助性地构造一个函数在某点的值。 例13、求极限)3

33321(lim 12-∞

→+++

+n n n 分析 若构造幂级数∑∞

=-1

n 1n nx ，则所求极限恰好是此级数的和函数在

3

1

=

x 处的值。 解 考虑幂级数∑∞

=-1

n 1n nx ，

由于 ）时，该级数收敛。

，（故当11-x ,11

lim a a lim

1∈=+=∞→+∞→n

n n n n n 设s(x)=

∑∞

=-1

n 1

n nx

,于是

s(x)= ,)

1(1

)'1(

)'(2

1

n x x x x n -=-=∑∞

= ),1,1(-∈x 从而 原式=4

9

)3(31

n 1

=

=∑

∞

=-s n n