解直角三角形导学案(学生用)

1.1 锐角三角函数

执笔人：林生审核人：李显东

【学习内容】锐角三角函数

【学习目标】1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。

2、能根据正弦概念正确进行计算。

【学习重点】理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．

【学习难点】对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。

【学习过程】

【探究新知】

【活动1】问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？

思考：你能把这个实际问题转化为数学问题吗？（画图，写出已知和所

求）

思考：这个问题中若高度变为50m，则要多长的水管？

对于类似问题你有何结论？

结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于。

【活动2】问题：如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90o，∠A=45o，计算∠A的对边

与斜边的比BC

AB

，能得到什么结论？（请你证明）

结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于。

【活动3】

思考：一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？

如图：Rt △ABC 与Rt △A`B`C`，∠C=∠C` =90o ，∠A=∠A`=α，那么

BC AB 与B C A B ''

''

有什么关系？小组之内交流一下你的结论吧。

提醒：有什么注意事项？

【巩固练习】

例1如图,在

中,

,求sin

和sin

的值.

2、﹙2006海南﹚三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是﹙ ﹚ A ．4

3 B ．3

4 C ．5

3 D ．5

4

3、（2005厦门市）在直角△ABC 中，∠C ＝90o

，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（ ） A ．35 B ．45 C ．34 D ．43

4、﹙2006黑龙江﹚ 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=2

3，则边AC 的长是( )

A ．13

B ．3

C ．4

3 D ． 5

5、如图，在△ABC 中， AB=BC=10，sinA=4/5，求△ABC 的面积。

思考题：

在平面直角坐标系中，有一条直线l ：y =2x ，l 与x 轴的正半轴的夹角为α，求s i n α的值。

【小结】通过本节课的学习你有什么收获？

α

∠A的邻边b

∠A的对边a 斜边c C

B

A

1.2 锐角三角函数

执笔人：林生 审核人：李显东

【学习内容】锐角三角函数

【学习目标】1、知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比

值也都固定这一事实．能根据余弦、正切概念正确进行计算

2、经历当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。

【学习重点】理解余弦、正切的概念

【学习难点】辨析锐角三角函数的概念并能熟练进行有关计算 【学习过程】 【复习引入】

1、如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝5，BC ＝3．

则sin ∠BAC= ；sin ∠ADC= ．

2、﹙2006成都﹚如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°， CD ⊥AB 于点D 。已知AC= 5 ，BC=2，求sin ∠ACD

【实践探索】

思考：一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定

值？

如图：Rt △ABC 与Rt △A`B`C`，∠C=∠C` =90o

，∠B=∠B`=α，

那么与有什么关系？

例如，当∠A=30°时，我们有cosA=cos30°=

；

当∠A=45°时，我们有tanA=tan45°= ．

归纳：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的 。 【巩固练习】 1、在中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有（）

A ．

B ．

C ．

D ．

2、课本78页练习1、2、3

A

B

C

D E

O

A

B

C

D

·

3、在中, ,BC=6, 求cos和tan的值.

4、在中，∠C＝90°，如果求的值。

5、Rt ABC

?中，若

4

sin

5

A=，10

AB=，求BC、和的值

6、如图：P是∠的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），求cos 的值。

7、ABC

?中，90

BAC

∠=?，AD是高，9

BD=，

4

tan

3

B=，求AD AC BC

、、

【小结】

本节课的学习你有什么收获？

1.3锐角三角函数

执笔人：林生审核人：李显东

【学习目标】锐角三角函数

1.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。

2.能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式

【学习重点】

熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式

【学习难点】

30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程

【课前知识储备】

一、知识回顾

1.一个直角三角形中，一个锐角正弦、余弦、正切是怎

么定义的？

2. 在R t△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=

5

3

，

则AB= ,AC= ,cosA= ，

tanB= 。

二、思考探究

思考：两块三角尺中有几个不同的锐角？分别是多少度？

你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？

30°45°60°sina

cosa

tana

锐

角

a

三角

函数

【课堂学习】

活动一：说一说（结合课前储备）

1.30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值分别是多少？

2.你是如何求出这些函数值的？

活动二：口算（考考你！）

cos60°= sin60°= sin30°=

sin45°= cos45°= tan45°=

tan30°= tan60°= cos30°=

cos260°= sin260°=

活动三：例题典练

例3：求下列各式的值．

（1）cos260°+sin260°．（2）

45

sin

45

cos-tan45°．归纳：含有30°、45°、60°角的三角函数的运算与实数的混合运算有什么联系？

例4：（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90，

6，3，求∠A的度数．

（2）如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的

3

tan

2

2

cos

2

1

sin=

=

=

cos 45sin 301

cos 60tan 452?-??+?

底面半径OB

倍，求a ．

活动四：练一练 （一）、课本83页 第1、2 题 （二）、选择题．

1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=3

5 ，AB=15，则AC 的长是（ ）．

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12 2．下列各式中不正确的是（ ）．

A ．sin 260°+cos 260°=1

B ．sin30°+cos30°=1

C ．sin35°=cos55°

D ．tan45°>sin45° 3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）． A ．2 B

．1

4．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12 ，cosB= 3 2 ，则△ABC 的形状是（ ）

A ．直角三角形

B ．钝角三角形

C ．锐角三角形

D ．不能确定

（三）、填空题．

5．设α、β均为锐角，且sin α-cos β=0，则α+β=_______．

6.

的值是_______．

7．已知，等腰△ABC?的腰长为4 3 ，?底为30?°，?则底边上的高为______，?周长

为______．

8．在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知tanB=

5

2

，则cosA=________．

活动五：课堂小结：

1.特殊角 ←→正弦、余弦、正切值；

2.含三角函数的运算式与实数运算的联系。

作业设置：

课本 第85页 习题28．1复习巩固第3题

解直角三角形（1）

执笔人：林生审核人：李显东

【学习目标】

1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形

2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养分析问题、解决问题的能力．

3.渗透数形结合的数学思想，培养良好的学习习惯．

【学习重点】

解直角三角形

【学习难点】

三角函数在解直角三角形中的灵活运用

【课前知识储备】

1.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=8，则可求出AB= ,AC= 。

∠B= 。

结合上面题目的解决，归纳：

（1）在三角形中共有几个元素（边、角）：

（2）Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？

①三边之间关系：

②两锐角之间关系：

③边角之间关系：

2.思考：要求出直角三角形的所有元素，至少需要知道几个条件（直角除外）？

【课堂学习】

一、说一说

1.三角形有个元素，分别是。

2.直角三角形的元素中，除了直角外，还需要知道个元素（其中至少有一个是），这个三角形就可以确定下来（即求出其余的元素）。

3.在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是。（参考课本89页）

二、合作交流：

要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成

的角一般要满足，(如图).现有一个长6m的梯子，问:

(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)

(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少(精

确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子？（可用计算器）

三、典例精练

例1：在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=2，a=6，解这个直角三角形．

例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B =45o，b=20，解这个直角三角形．

3

5

四、巩固提高

（一）完成课本91页练习 （二）自我检测

1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________?其它所有元素的过程，即解直角三角形．

2、Rt △ABC 中，若sinA=5

4

，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．

3、在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．

4、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=则cosA 的值是

5、在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=3，b=3，解这个三角形．

6、 在△ABC 中，∠C 为直角，AC=6，BAC 的平分线AD=43，解此直角三角形。

五、课堂小结：

题目类型：直角三角形中“已知一边一角，如何解直角三角形？”

“已知两边，如何解直角三角形？”

方法：综合运用三角形三边勾股定理、两锐角互余、三角函数等知识解直角三角形 思想：数形结合 六、作业设置：

课本 第96页 习题28．2复习巩固第1题、第2题．

解直角三角形（2）

执笔人：林生 审 核 人：李显东

【学习目标】

1: 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． 2: 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

3: 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识 【学习重点】

将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 【学习难点】

实际问题转化成数学模型 【导学过程】 一、课前热身：

1、解直角三角形的类型： 已知____________；已知___________________．

2、如图解直角三角形的公式： （1）三边关系：__________________． （2）角关系：∠A+∠B＝_____，

（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．

cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____．

3、已知：如图，在△ABC 中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC 的长. (结果保留根号)

二、合作探究：

1、仰角、俯角的理解

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

2、简单应用

1）、如图所示，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=30°，求飞机A 到控制点B 距离。

c

b

a A

C B

2）、为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得

仰角∠ACD=60°，已知人的高度是1.72米，求树高．

三、例题学习：

例1热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，

看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?

分析：AD同时属于Rt△和Rt△这两个三角形又已知了

( )条件，求楼的高就是求线段、的

例2 20XX年10月15日“神舟”5号载人航天飞

船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面

350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地

球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接

看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P

点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果

精确到0. 1 km)(cos18°≈0.95)

分析：根据所学圆的知识（因为地球可以近似看

成一个球体，球的视图为圆）可以判断出从飞船上能看到的地球上最远的点，应是（视线与地球相切时的切点。）可将问题放到Rt△FOQ中解决。根据示意图，可知本题已知，求，用三角函数正弦、余弦、正切、余切中的解较为简便。

四、跟踪练习：1、如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .

2、如图所示，小杨在广场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D 处的仰角为30o，然后他正对大楼方向前进5m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角

为45o．若该楼高为26.65m，小杨的眼睛离地面1.65m，

广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐．求广告屏幕上端与

下端之间的距离（ 3 ≈1.732，结果精确到0.1m）．

A B C D

E

A C D

E F

B

五、能力提升：

1、在山脚C 处测得山顶A 的仰角为45°。问题如下：

1）.沿着水平地面向前300米到达D 点，在D 点测得山顶A 的仰角为60 °，求山高AB 。 2）.沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D 点，在D 点测得山顶A 的仰角为60 ° ，求山高AB 。

2．某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆

车沿索道AB 返回山脚下的B 处．在同一平面内，若测得

斜坡BD 的长为100米，坡角10DBC ∠=°，在B 处测得A 的仰角40ABC ∠=°，在D 处测得A 的仰角85ADF ∠=°，过D 点作地面BE 的垂线，垂足为C ． （1）求ADB ∠的度数； （2）求索道AB 的长．（结果保留根号）

五、课堂小结：1、在视线与水平线所成的角中， 是仰角

是俯角。2、在解斜三角形、等腰三角形等一些图形的问题时，可以适当地添加辅助线构造 直角三角形 ，然后解 三角形，使问题得以解决。

六、作业设置：

课本 第96页 习题28．2复习巩固第3、4题

七、自我反思： 本节课我的收获:

1、知识技能： 。

2、思想方法： 。

解直角三角形（3）

执笔人：林生 审 核 人：李显东

【学习目标】

1.使学生理解方位角、坡角、坡比等概念的意义，并能解决有关实际问题；

2.使学生能适当的选择锐角三角函数关系式去解决直角三角形问题；

3．培养学生将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形转化为解直角三角形)的能力

4．使学生认识数学来源于实际，又为实际服务，养成用数学的思想意识 【学习重点】

用三角函数有关知识解决方位角和坡角、坡比的实际问题

【学习难点】

学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型

【导学过程】

一、课前热身：1．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾

斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（结果保留根号） 2. 王英同学从A 地沿北偏西60o方向走100m 到B 地，再从

B 地向正南方向走200m 到

C 地，此时王英同学离A 地 ( )

A ．150m

B ．350m

C ．100 m

D ．3100m

二、例题学习： 一）、方位角的练习

1、例5如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东45方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30方向上的B 处.这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远？（cos25≈0.906 sin34≈0.56）

分析：先将实际问题转化为数学问题，并构造出与实际问题有关的两个直角三角形 、 ，它们有公共边 ，如图所示，∠APC ＝∠ —∠ = °，∠CPB ＝ °

可先在由直角三角形中利用已知求得的长，再在直角三角形中利用∠B的求出PB的长。

变式练习如图一轮船自西向东航行，在A处测得某岛C，在北偏东60°的方向上，船前进8海里后到达B，再测C岛，在北偏东30°的方向上，问船再

前进多少海里与C岛最近?最近距离是多少?

分析：将实际问题转化为数学问题，并构造出与实际问题有关

的直角三角形，如图所示，船沿AB方向继续前进至（ D ）处与

C岛最近，此问题实质就是已知∠A＝∠—∠ = °，∠ABC

＝°+°＝°，AB＝8海里，求BD和CD的解直角三角形问

题.

2、应用训练

1）、上午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．

2）、如图所示，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有

暗礁.一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行,行至A点处测

得P在它的北偏东60°的方向,继续行驶20分钟后,到达B处又测

得灯塔P在它的北偏东45°方向.问客轮不改变方向继续前进有

无触礁的危险?

二）、坡度与坡角的相关练习

1、坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），

2、一般用i表示。即ｉ＝（）常写成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．

结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？

3、即学即用：(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；

______，坡角α______度．

4、例题学习：如图，一水坝横断面为等腰梯形ABCD ，斜坡AB 的坡度为1∶3，坡面AB 的水平宽度为33米，上底宽AD 为4米，求坡

角B ，坝高AE 和坝底宽BC 各是多少?

分析：此题应正确理解，将实际问题转化为数学问题,应用坡度、坡角的概念及联系，即i ＝tanα＝ ，将梯形问题，添加高线把梯形转化为 来解.

总结：通过以上练习你发现利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是 ①

② ③ ④

三、应用练习1、如图，沿江堤坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶AD=4m ，坝高AE=6 m ，斜坡AB 的坡比2:1=i ，∠C=60°，求斜坡AB 、CD 的长。

2、同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD 的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB 的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长(精确到0.1m)

四、能力提升：

1、某海港区为提高某段海堤的防海潮能力，计划将100米的一段堤（原海堤的横断面如图中的梯形ABCD ）的堤面加宽1米，背水坡度由原来的1:1改成1:2。已知原背水坡长AD= 24 米，求完成这一工程所需的土方数。

C B 2

:1=i

2、在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A

的北偏东60°，且与A

相距的C 处．

（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；

（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正

好行至码头MN 靠岸？请说明理由．

五、课堂小结：1．把实际问题转化成数学问题，这个转化包括两个方面：一是（ ）；二是( ). 2．把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可( )，画出（ ）三角形. 六、作业设置：

课本 第96页 习题28．2复习巩固第5、6、7题

七、自我反思： 本节课我的收获:

1、知识技能： 。

2、思想方法： 。

东

l

锐角三角函数小结

执笔人：林生 审核人：李显东

【学习内容】锐角三角函数

【学习目标】1、进一步理解锐角三角函数的正弦、余弦和正切的定义，归纳本章的知

识结构。

2、建立直角三角形中边角之间的关系概念，能根据不同的已知条件归纳

解直角三角形的方法。

3、归纳利用锐角三角函数解决实际问题的几种类型。

4、体会数学的数形结合及建模思想。

【学习重点】锐角三角函数的运用

【学习难点】用相关知识将实际问题转化为数学问题的能力。 【学习过程】

【本章知识结构】 【知识回顾】

1、在直角△ABC 中，∠C ＝90o

，若AB ＝13，AC ＝5，BC= ,则sinA ＝ , CosA= ,tanB= .

2、.直角三角形中，90C ∠=?，a b ，分别是A B ，的对边，则

a

b

是角A 的（ ） （A ）正弦 （B ）余弦 （C ）正切 （D ）余切

3、Rt ABC ?中，若4

sin 5

A =

，10AB =，那么BC = ，tan B = 4．写出适合条件的锐角α

cos α=

α= , tan α=，则α= sin 45°= 5、计算：sin30°+cos30° =

2sin 45°-2

1

cos30°= 6、已知12

sin 13

a =

, a 为锐角，则cos a = ，tan a = ，cot a =

7、在Rt ABC ?中，90C ∠=?，3a ，则sinA= 回顾：用到了哪些知识？

【巩固练习】

8、如图，沿倾斜角为30?的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为 m(精确到0.1m).

9、某山路坡面坡度

1:399i =,沿此山路向上前进200米,升高了_______米． 10、如图，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，测得

AC ＝a ，∠ACB ＝α，那么AB 等于（ ）．

A ．a ·sinα

B ．a ·cosα

C ．a ·tanα

D ．a ·cotα

11、某市在“旧城改造”中计划在一块如图7所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ） A.450a 元 B.225a 元 C.150a 元 D.300a 元

12、ABC ?中，90BAC ∠=?，AC=3, AB =3，解这个直角三角形。

【能力提升】

13、在△ABC 中,∠A ,∠B 都是锐角,且sin A =

1

2

,tan B =3,AB =10,求△ABC 的 14、如图，河对岸有古塔AB ，小敏在C 处测得塔顶A 的仰角为30度，向塔20米到达D ，在D 处测得塔顶A 的仰角为45度，求塔高。

图10 a B A C ?

15020米30米图11 图8

15、如图某一水库大坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶宽CD ＝5米，斜坡AD ＝16米，坝高 6米，斜坡BC 的坡度3:1 i .求斜坡AD 的坡角∠A （精确到1分）和坝底宽AB （精确到0.1米）.

【小结】

1、 在本章节中你认为有哪些知识要点？

2、 通过本节学习你总结了哪些数学方法？

图15

D C

B

A