浅谈中学数学中的反证法
浅谈中学数学中的反证法
数学作为高考的重要学科，一直以来备受学生和老师的关注。因此寻求数学中解题方法，提高数学解题能力和数学成绩，成为探讨的对象。在解题过程中如果能够找到适当的解题方法，就可以使问题简单化，更容易获取答案，而反证法正是数学解题方法的一种，它在数学领域中起着重要的作用。下面从反证法的来源，反证法的定义，解题思路，适用范围和注意事项做一些简单的论述。
一、反证法的来源
对反证法的认知，我们可以先由一个小故事引出：在古希腊时期，有三个哲学家，他们经常在一起争论一些事情。有一天他们又聚在一起，并且进行了激烈的争论，加上天气的炎热，感到非常疲劳，于是在花园里的一棵大树下躺下休息，过了一会这三个哲学家就睡着了。这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额，三人醒过来后，彼此相看而笑，每人都在取笑其他两个人，而没想到自己脸上也被抹黑。隔了一会其中有一个人突然不笑了，因为他发觉自己的脸上也被涂黑了。那他到底是怎样觉察到的呢？
实际上，发现自己脸上被涂黑者，并非从正面直接看到，而是据他观察另外两人的表情之后，并进行分析、思考，从反面得出自己脸也被涂黑了。小故事虽然简单，但却是数学上的重大发现，即反证的方法。当从正面不容易解决问题时，就可以考虑运用反证法。
二、反证法的定义及理解
一般的，由证明pq转向证明-qr…t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定-q为假，推出q为真的方法，叫做反证法。也即是说反证法是一种从反面思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的正确性。
三、反证法的解题思路及步骤
设要证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般分下面三个步骤：
1.反设：作出与要证结论相反的假设；
2.归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理，导出矛盾；
3.结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
四、反证法的适用范围
反证法“是一种非常重要的数学方法，在三角、代数、立体几何、解析几何中应用非常广泛。下面就学过的例子及实践，介绍几种适用反证法的题型。
（一）基本命题的应用
下面所举的例子，经过分析，用直接法证明两条直线是异面直线比较困难，所以考虑采用反证法。
例1：已知A、B、C、D是空间的四个点，AB、CD是异面直线。
求证：AC和BD是异面直线。
证明：假设AC和BD不是异面直线，那么AC和BD在同一平面内。
因此，A、C、B、D四点在同一平面内，这样，AB、CD就分别有两个点在这个平面内，则AB、CD在这个平面内，即AB和CD不是异面直线。这与已知条件产生矛盾。
所以，AC和BD是异面直线
（二）限定式命题的应用
限定式命题，在要证的结论中含有”至少“、”最多“等词语的命题。
例2：已知函数f（x）是单调函数，则方程f（x）=0 最多只有一个实数根。
证：假设方程至少有两个根x1，x2且x1≠x2，
则有f（x1）=f（x2）（x1≠x2）
这与函数单调的定义产生矛盾，所以原命题成立。
（三）唯一性问题的应用
”唯一性“问题：在给出的问题中，所要证明的结论，只有一个符合条件时，这种情况下也可考虑采用反证法。
例3：过平面α上的点A的直线aα，求证：a是唯一的。
证明：a假设不是唯一的，则过A至少还有一条直线b，bα
∵a、b是相交直线，
∴a、b可以确定一个平面β。
设a和β相交于过点A的直线。
这样在平面β内，过点A就有两条直线垂直于c，这与定理产生矛盾。
所以，a是唯一的。
（四）无穷性命题的应用
无穷性命题：所涉及各种含有”无限“结论的命题。
例4：求证：是无理数。
分析：这个命题可使用的条件实在太少，从正面解决非常困难。而无理数又是无限不循环的，”无限“与”不循环“都很难表示出来。当反设是有理数时，就增加了一个具体而有效的”条件“，使得能方便地将表示为一个分数，所以采用反证法。
证明：假设是有理数，则存在互质a，b∈N且a，b互质，使，从而，a为偶数，记为a=2c，∴a2=4c2，∴2c2=b2，则b也是偶数。由a，b均为偶数与a、b互质矛盾，故是无理数。
（五）不可能性命题的应用
不可能性命题：即所给结论中含有“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题。这类命题的反面比较具体，特别适合应用反证法。
例5：AB、CD为圆两条相交弦，且不全为直径，
求证：AB、CD不能互相平分。
证明：假设弦AB、CD被P点平分，
由于P点一定不是圆心，连接OP，则有OP AB，OP CD即过一点P有两条直线与OP垂直，这与垂线性质矛盾，所以弦AB、CD不能被P平分。
以上只是选取几类适用反证法的题型，其中还有某些存在性命题，逆命题，全称存在性命题等也同样适用非常广泛。
五、反证法应用时应注意的问题
1.正确否定结论
运用反证法证明命题的第一步是：反设，即假设命题的结论不成立，假设结
论的反面成立。在这一步骤中，必须注意正确的”否定结论“，这是正确运用反证法的前提，否则，如果错误地”否定结论“，即使推理、论证再好也都会前功尽弃。
例如：命题“一个三角形中，最多有一个内角是直角”。“最多有一个”是指：“只有一个”或“一个没有”，其反面是“有两个直”或“三个内角都是直角”，即“至少有两个是直角”。
2.明确推理特点
运用反证法证明命题的第二步是：归谬，即从假设出发，经过推理论证，得出矛盾。但何时出现矛盾，出现什么样的矛盾是不能预测的，有的甚至是捉摸不定的。这就要求在整个推理过程中，必须认真分析、仔细推敲，在提出”假设“后，再回过头来看看”假设“的对立面是否恰是命题的结论。这样导致的矛盾才是有效的。
尽管反证法是一种重要的证明命题的方法，但也不是所有的命题都用反证法。一般情况下，对于“若p则q”型的数学命题，都能用反证法证明，但证明难度会有所不同。所以在证明时，首先采用直接法，其次再使用反证法。
英国近代着名数学家哈代曾经这样说：”反证法是数学家最有利的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明。“实践表明，证明反证法是数学中最有效和常用的证明方法之一，在数学学习中有着不可替代的作用。并以其独特的证明方法和思维方式，对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义。同时，反证法不仅可以单独使用，也可以与其他方法结合使用，并且在一道题中可以多次使用，只要能够熟练掌握并学会运用，就能提高对证明题的解题能力。当然，反证法在其它领域应用也非常广泛，这就需要作进一步的研究。
初中数学解题方法：反证法
初中数学解题方法：反证法 数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发 展起来的。六年级的同学们很快就要小学毕业，中学的大门已经向我们敞开。为了能进一步学好数学，有必要掌握初中数学的特点尤其是解题方法。下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。 反证法 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设;(2)归谬;(3)结论。 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有 n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。 一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人
以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。 家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析 1. 引言 1.1 反证法在初中数学解题中的重要性 反证法是初中数学解题中一种重要的思维方法，其在数学推理和证明中扮演着至关重要的角色。通过反证法，我们可以通过假设所要证明的结论为假，从而推导出矛盾，进而证明原命题的正确性。这种方法在解决复杂问题或证明难题时常常能够起到意想不到的效果，为我们打开了解决问题的新思路。 在初中数学学习中，反证法的重要性不言而喻。通过反证法，我们可以更好地理解数学定理和公式，并且培养逻辑思维和分析问题的能力。它帮助我们发现问题的本质，找到解决问题的关键，提高数学学习的效率和深度。在解决数学问题时，有时直接证明一个命题比较困难，而通过反证法可以简化证明过程，使得解题更加简洁和清晰。 反证法在初中数学解题中的重要性不容忽视。它不仅能够提高我们的数学解题能力，还可以培养我们的逻辑思维方式，让我们在数学学习中收获更多的成就和乐趣。熟练掌握反证法对于初中生来说是十分重要的。 1.2 反证法的基本原理
反证法是逻辑推理中常用的一种方法，其基本原理是通过否定待 证命题的反命题来间接证明原命题的真实性。这种方法在数学证明中 被广泛运用，特别是在初中数学解题中具有重要意义。 反证法的基本原理可以用简单的逻辑推理来解释。假设我们要证 明一个命题P，而假设P是假的，即非P是真的。我们利用这个假设来推导出某些结论Q，但我们最终发现Q与已知事实或其他命题矛盾，从而得出结论非P也是假的，即P是真的。这一过程就是利用反证法间接证明原命题的过程。 反证法的基本原理可以帮助我们加深对待证命题的理解，发现存 在逻辑矛盾的地方，从而推导出命题的真实性。在数学解题中，反证 法可以帮助我们简化证明过程，节省时间和精力，提高解题效率。了 解和掌握反证法的基本原理对于初中生学习数学和解题是非常重要的。反证法不仅仅是一种证明方法，更是一种思维方式和逻辑推理的训练，可以帮助学生提升解决问题的能力和思考深度。 2. 正文 2.1 反证法在代数方程解题中的运用 在解代数方程中，反证法是一种常用且有效的解题方法。通过假 设所给方程的解不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明假设是错 误的，进而推出所给方程的解。下面我们通过一个具体例子来说明反 证法在代数方程解题中的运用。 假设我们要解如下代数方程：
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析 反证法是一种证明方法，运用反证法可以达到“证明之外还证明”的效果，也就是通过证明不成立的情况来证明规律的正确性。 在初中数学中，反证法可以有效地应用于解题，以下是几个例子： 1、证明根号2是无理数。 假设根号2是有理数，可以表示为p/q，其中p,q互质。则根号2=p/q，两边平方得到2=p*p/q*q，化简可得到p*p=2*q*q，由于2是质数，而p*p是偶数，就可以推出p也是偶数。那么p=2k，代入原式可得到2=q*k，则q也是偶数。这与p,q互质矛盾，因此假设不成立，根号2是无理数。 2、证明平方根小数是无限不循环小数。 假设平方根的小数部分有限、循环。设其小数部分为a.b(c)。则有 a.b(c)=x/10^t+y/(10^(t+1))+z/(10^(t+2))+…，即表示成有限的分数形式。那么可以将该分数转换为最简分数a’/b’，然后平方可得到 (a’)^2/(b’)^2=2+2y/(10^t)+(y/(10^t))^2+(2z/(10^(t+1))+(z/(10^(t+1)))^2+…… 3、证明勾股数不存在除1以外的公因数。 假设勾股数存在除1以外的公因数d，则可以表示a=dm，b=dn。那么 c^2=a^2+b^2=d^2(m^2+n^2)，即c也能被d整除，此时c/d也是一个整数，且满足c/d是勾股数a/d，b/d的最大公因数。这与a/d，b/d互质矛盾，因此假设不成立，勾股数不存在除1以外的公因数。 以上几个例子展示了反证法在初中数学解题中的应用，可以看到反证法是一种极为重要的证明方法。在解题过程中，可以运用一些技巧，如化简、分解因式、求幂、辗转相除等，帮助分析矛盾的来源，找到反证的破绽，从而得出正确的结论。
反证法及其应用(全文)
反证法及其应用(全文) 数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明.证明的基本方法有直接法和间接法，反证法是间接证明的一种基本方法. 认识反证法 王戎（晋朝人，竹林七贤之一）7岁时，与小伙伴外出游玩，看到路边的李数上结满了果子，小伙伴们纷纷去摘果子，只有王戎站在原地没动.路人不解，王戎回答道：“树在道边而多子，此比苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的？他运用了怎样的推理方法？ 他的推理过程可简单的表述为：如果李子不是苦的，它就不可能长在道路旁，且上面结了那么多李子.这种推理方法叫做反证法（归谬法）. 1.反证法的定义：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得到矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（reduction to absurdity）. 2.反证法的实质：先否定结论，后导出矛盾，从而说明结论的反面是错误的，故原命题成立. 3.反证法证明命题的一般步骤： ①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论成立.
注1.“推理论证”是指由假设结合所学知识进行分析、推理和论证； 注2.“导出矛盾”是指和已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等； 4.一个反证法的范例 证明：素数有无穷多个。 这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德(Euclid of Alexandria，生活在亚历山大城,约前330～约前275,是古希腊最享有盛名的数学家)在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法： 假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是2=a1 此时，令N=a1*a2*…*an,那么所有的ai(i=1,2,……,n)显然都不是N的因子，那么有两个可能：或者N有另外的素数真因子，或者N本身就是一个素数，但是显然有N＞ ai(i=1,2……n).无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数！ 这个证明简短有力，充分体现了证明者的智慧和归谬法的特点！ 反证法的应用 类型一.用反证法证明否定性命题 例1 设a,b,c,d∈R,且ad-bc=1，求证： a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1 证明：假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1，由于ad-bc=1 所以a2+b2+c2+d2+ab+cd=ad-bc
反证法在高考数列考题中的应用(全文)
反证法在高考数列考题中的应用 (全文) 在数学问题中，有相当数量的问题直接证明难以入手，因此，常采用间接法证明，其中，反证法是间接证明的一种基本方法.反证法的基本思想是：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾.具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”， 而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的.使用反证法时要注意：当遇到“否定性”、“惟一性”、“无限性”、“至多”、“至少”等类型命题时，常用反证法.注意反证法的基本思路及一般步骤：①反证法的理论依据；②什么样的命题可采用反证法；③反证法的“反设”；④反证法中的“归谬”.在反证法中探求的矛盾常见的有：（1）与已知条件矛盾；（2）与定理、公理矛盾；（3）与已知具有的或成立的性质矛盾. 例1（2013年高考陕西卷（理）17）设{an}是公比为q的等比数列. （1）推导{an}的前n项和公式； （2）设q≠1，证明数列{an+1}不是等比数列. 解题思路：（1）用首项和公比表示前n项和，利用错位相减法进行求解，对公比分类得到两个公式；（2）假设{an+1}是等比数列，取连续三项，利用等比中项构建方程，推出含公比的方程无解或公比为1. 解析：（1）分两种情况讨论. 所以当q≠1时，数列{an+1}不是等比数列.
点睛高考：本题考查等比数列前n项和公式推导所用的错位相减法以及用反证法研究问题，深度考查考生应用数列作工具进行逻辑推理的思维方法.回归教材，用好教材，从教材中选取例、习题或公式、定理的证明，这是高考命题的一个特点，希望引起考生的重视. 例2（2013年高考北京（理）20）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各 项an+1，an+2…的最小值记为Bn，dn=A（1）若{an}为2， 1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意 n∈N*，an+4=an），写出d1，d2，d3，d4的值； （2）设d是非负整数，证明：dn=-d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列； （3）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项 只能是1或者2，且有无穷多项为1. 解题思路：本题主要考查无穷数列的有关知识，考查了考生对新定义类数列的理解与运用，对考生的逻辑思维能力要求较高. （2）证明充分性：
反证法在初中数学中的应用
反证法在中学数学中的应用反证法是一种非常重要的证明方法，它不仅在初等数学中是必要的，而且在高等数学中也是常用的。它的“正难则反”与“非此即彼”的原理，不但在数学中应用广泛，而且在现实生活中也有非常重要的应用价值。 引言 反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况时可以考虑用反证法。反证法是数学中一种重要的证明方法，在许多方面都有着不可替代的作用。它以其独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义。 反证法的定义、逻辑依据、种类及模式 定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。 逻辑依据：反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。 种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。根据结论B的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。 模式：设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤： （1）反设：作出与求证结论相反的假设； （2）归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； （3）结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 反证法的适用范围 反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一
般用反证法来证比较方便。 3.1否定性命题 即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证 法一般不易入手，而反证法有希望成功。 例 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。已知：∠A ，∠B ，∠C 是三角形ABC 的三个内角。求证：∠A ，∠B ，∠C 中不能有两个钝角。 证明：假如∠A ，∠B ，∠C 中有两个钝角，不妨设∠A ＞900,且∠B ＞900，则 ∠A+∠B+∠C ＞1800。这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾。 故 ∠A ， ∠B 均大于900不成立。所以，一个三角形不可能有两个钝角。 3.2限定式命题 即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。 例 已知方程4430x ax a +-+=2，22(1)0x a x a +-+=，2220x ax a +-=中 至少有一个方程有实数值，求实数a 的取值范围。 分析：此题直接分情况用判别式求角就特别麻烦，可用反证法，假设三个方 程都无实数根，然后求满足条件a 的集合的补集即可。 证明：假设三个方程都无实根，则有： 222(4)(43)(1)48a a a a a ⎧--+⎪--⎨⎪+⎩ 2＜0＜04a ＜0 解得 32-＜a ＜-1 ∴所求a 的范围为a ≤-3/2或a ≥-1. 3.3无穷性命题 即涉及各种“无限”结论的命题。 例 求证：2是无理数。[1] 分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步 都非 常困难。而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设2是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将2 表示为一个分数。
初中数学解题方法：反证法
初中数学解题方法：反证法 初中数学解题方法:反证法 反证法，亦称“逆证”，是间接论证的方法之一，是通过断定与论题相矛盾的判断的虚假来确立论题的真实性的论证方法。以下是小编为大家整理的初中数学解题方法:反证法相关资料，供大家参考。 反证法 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为： (1)反设； (2)归谬； (3)结论。 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如： 是/不是； 存在/不存在； 平行于/不平行于； 垂直于/不垂直于； 等于/不等于； 大(小)于/不大(小)于； 都是/不都是； 至少有一个/一个也没有； 至少有n个/至多有(n一1)个； 至多有一个/至少有两个； 唯一/至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。 导出的矛盾有如下几种类型：
与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。 本章节的初中数学学习方法汇编之反证法，相信同学们都认真记忆了吧。接下来还有更多更全的初中数学学习方法等着大家来掌握哦。 初中数学解题方法之常用的公式 下面是对数学常用的公式的讲解，同学们认真学习哦。 对于常用的公式 如数学中的乘法公式、三角函数公式，常用的数字，如11～25的平方，特殊角的三角函数值，化学中常用元素的化学性质、化合价以及化学反应方程式等等，都要熟记在心，需用时信手拈来，则对提高演算速度极为有利。 总之，学习是一个不断深化的认识过程，解题只是学习的一个重要环节。你对学习的内容越熟悉，对基本解题思路和方法越熟悉，背熟的数字、公式越多，并能把局部与整体有机地结合为一体，形成了跳跃性思维，就可以大大加快解题速度。 初中数学解题方法之学会画图 数学的解题中对于学会画图是有必要的，希望同学们很好的学会画图。 学会画图 画图是一个翻译的过程。读题时，若能根据题义，把对数学（或其他学科）语言的理解，画成分析图，就使题目变得形象、直观。这样就把解题时的抽象思维，变成了形象思维，从而降低了解题难度。有些题目，只要分析图一画出来，其中的关系就变得一目了然。尤其是对于几何题，包括解析几何题，若不会画图，有时简直是无从下手。所以，牢记各种题型的基本作图方法，牢记各种函数的图像和意义及演变过程和条件，对于提高解题速度非常重要。 画图时应注意尽量画得准确。画图准确，有时能使你一眼就看出答案，再进一步去演算证实就可以了；反之，作图不准确，有时会将你引入歧途。 初中数学解题方法之审题
浅谈反证法的原理及应用
摘要 反证法是一种重要的证明方法,它不仅对数学科学体系自身的完善有促进作用,而且对人的思维能力的培养和提高也有极其重要的作用.如果能恰当的使用反证法,就能达到化繁为简,化难为易,化不能为可能的目的.反证法的逻辑思维强,数学语言准确性高,对培养学生严谨的逻辑思维能力,阅读能力,树立正确的数学观具有重要的意义. 本论文主要研究的内容有反证法的由来;具体阐述了反证法的定义,即反证法的概念、分类和作用;反证法具有广泛应用的科学根据;并且着重介绍了反证法的应用,包括反证法在初等数学和高等数学的应用,并提出应用反证法应注意的问题;针对各种问题提出一些具体的教学建议,从而为改进反证法教学提供参考. 关键词:反证法,否定,矛盾,应用
Principle and application of the reduction to absurdity ABSTRACT:Reduction to absurdity is an important method, it not only to improve its own system of mathematical science have stimulative effect, but also has an extremely important role in cultivating and improving the people's thinking ability. If you use apagoge properly, can be simplified, the difficult easy, words can not be as likely to. The logical thinking of reduction to absurdity, the language of mathematics of high accuracy, to cultivate students' rigorouslogical thinking ability, reading ability, is of great significance to establish a correct conception of mathematics. The origin of the main content of the paper is the reduction to absurdity;expounds the definition of absurdity, and concept, apagoge classification; the reduction to absurdity has wide application of scientific basis; and introducesthe application of reduction to absurdity, including the application of reduction to absurdity in elementary mathematics and higher mathematics, and proposed should note that the application of reduction to absurdity problems;to solve these problems and puts forward some specific suggestions for teaching, so as to provide reference for the improvement of the teaching of reduction to absurdity. Keywords: reduction to absurdity, negation, contradiction, application
论文题目浅谈中学数学中的反证法
论文题目浅谈中学数学中的反证法论文题目浅谈中学数学中的反证法 浅谈中学数学中的反证法 目录 1. 引言 2. 反证法的定义、逻辑依据、关键及一般步骤 3. 反证法的适用范围 4. 举例 5.运用反证法应注意的问题 6.参考文献 论文摘要: 介绍反证法的地位、阐明其定义、逻辑依据、证明的一般步骤、种类～探索反证法在中学数学中的应用。 在当今和未来社会中，人们面对纷繁复杂的信息，经常需要作出选择和判断，进而进行推理，作出决策，因而义务教育阶段，数学课程的学习，强调学生的数学活动，发展学生的……推理能力。长期以来中学数学教材重视了对学生直接推理能力的培养，而淡化了对学生间接推理能力的培养，有的同学不习惯用反证法解决问题，甚至怀疑这种方法是否有道理，可是数学的研究说明，要是不用反证法，很多定理就推不出来。反证法是数学中不可缺少的推理方法，也是经过实践检验、证明是正确可靠的推理方法。为了对反证法在生活重要性有一个初步认识，下面先从流传了近1800年的"道旁苦李"的故事说起:有一群小朋友正在郊外玩耍，忽然看见路边有棵李树，树上结满了李子，上面的李子个大皮红。小朋友都争先恐后地跑去摘李子，只有其中一个叫王戎(234?305 )的小朋友却站着不动。有人奇怪地问他
为什么不去摘李子，王戎回答说:“路边的李树，结满了果实而没有人摘，说明这李子一定是苦的。”同伴们听了，拿到嘴里一尝，果然是苦的。大家都觉得王戎太聪明了。这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。 1. 反证法的定义、逻辑依据、关键及一般步骤 定义: 反证法是通过论证命题的矛盾判断的虚假性，从而确定命题真实性的一种证明方法，属于"间接证明"的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。 逻辑依据: 反证法所依据的是逻辑思维规律中的"矛盾律"和"排中律"。 关键: 运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。 一般步骤: 用反证法证明命题一般有三个步骤: (1)分清命题的条件与结论，并假设命题的结论不成立; (2)从所作的否定结论的假设，应用正确的推理方法，导出矛盾的结果(与已知的公理、定义或定理矛盾;或与已知条件矛盾;或与所作的假设矛盾;或自相矛盾) (3)断定产生矛盾结果的原因，在于所作的与命题结论相矛盾的假定不真，于是原结论为真，从而间接证明了命题为真。 分类:根据结论的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。如果与命题结论相矛盾的方面只有一种情况，这时反证法又称简单归谬法;如果与命题结论相、矛盾的方面不止一种情况，这时需要将它们逐一加以否定，命题才能得证，这种反证法又叫穷举归谬法。
初中数学反证法简单例子
初中数学反证法简单例子 初中数学中的反证法是一种常用的证明方法，通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出与已知事实相矛盾的结论，从而证明原命题一定成立。下面我们来列举一些初中数学中常用的反证法的简单例子。 1. 命题：不存在任意两个不相等的正整数，使得它们的和等于它们的积。 假设存在两个不相等的正整数a和b，满足a + b = ab。由于a和b不相等，不妨设a > b，那么有a > a/2 > b。根据不等式性质，我们可以得到2a > a + b = ab，即2 > b。但是正整数b不可能小于2，与假设矛盾。因此，不存在任意两个不相等的正整数满足该条件。 2. 命题：存在一个无理数x，使得x的平方等于2。 假设不存在这样的无理数x，即对于任意实数x，x的平方不等于2。那么我们可以考虑一个特殊的实数y，即y = √2。根据无理数定义，√2不是有理数，因此是一个无理数。而根据假设，y的平方不等于2，即y^2 ≠ 2。然而，这与y = √2相矛盾。因此，存在一个无理数x，使得x的平方等于2。 3. 命题：对于任意正整数n，2n不等于n的平方。 反证法证明：
假设存在一个正整数n，使得2n = n^2。可以将等式两边同时除以n，得到2 = n。然而，这与n是一个正整数相矛盾。因此，对于任意正整数n，2n不等于n的平方。 4. 命题：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。反证法证明： 假设存在一个正整数n，使得n^2 + 3n + 2 = m^2，其中m是一个正整数。可以将等式变形为n^2 + 3n + 2 - m^2 = 0。这是一个关于n的二次方程，可以使用求根公式解得n = (-3 ± √(9 - 8(2 - m^2))) / 2。由于n是一个正整数，因此根号内的值必须为正整数。然而，当m取不同的正整数值时，根号内的值不可能为正整数，因此假设不成立。因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。 5. 命题：对于任意两个实数a和b，如果a > b，则存在一个有理数x，使得a > x > b。 反证法证明： 假设对于任意两个实数a和b，如果a > b，则不存在一个有理数x，使得a > x > b。即对于任意有理数x，要么x ≤ b，要么x ≥ a。我们可以取一个实数m，满足b < m < a。根据假设，m不是一个有理数。然而，根据无理数的定义，存在一个有理数序列逼近m，即存在一个有理数序列{x_n}，使得lim(x_n) = m。而根据实数序列的性质，这个有理数序列中一定存在一个有理数x使得b < x < a，
反证法的定义 数学
反证法的定义数学 反证法是一种由数学家威廉爱德华卡尔的卡尔定理发展而来的 推理方法，它用于证明某种定理的真实性。反证法是一种充满智慧和创造力的推理方式，它旨在通过辩论，比较和证明某一观点的正确性，以便于证明目标定理的真实性。 反证法的定义是：反证法是用来证明某一特定观点的正确性的一种推理方式，它通过对该观点的另一种情况进行论证，从而得出结论。反证是一种负面证明，它经常通过假设要证明的事实是错误的，以及假设与已经证实的事实相抵触，从而证明该事实是正确的。 反证法在数学中有着广泛的应用，主要用于证明某一主张是正确的，而不是推测一个假设来证明它是正确的。例如，假设x是一个正整数，我们可以利用反证法来证明x的立方数是奇数。首先，我们假设x的立方数不是奇数，即x的立方数是偶数。因此，结论就是x必须是奇数。 反证法也可以用于解决一些平面几何问题，以证明某些图形是否满足某一条件。例如，假设有一个几何图形，我们可以利用反证法来证明它是否满足直角三角形的条件。我们首先假设该几何图形不满足直角三角形的条件，即它的三角形的三个角不全为直角，而是有些角是钝角。如果一个三角形有两个钝角，则这个三角形的三条边的长度都不相等，由此可以得出结论，即原来假设的几何图形不满足直角三角形的条件是错误的，因此原来假设的几何图形确实满足直角三角形的条件。
除了上述应用，反证法也被广泛应用在其他领域，如政治经济学、法律学和数理统计学等，以及一些哲学论文中，用来证明论文或定理的正确性。由于反证法在数学中具有重要的意义，因此，在数学教学和学习过程中，需要重视反证法的理解和运用。 首先，数学教师应注意在教授定理的同时，详细介绍反证法的基本概念，培养学生对反证法的正确认识。其次，教师应提供大量的实际例子，以说明反证法的运用，让学生更加熟练的掌握反证法的用法，同时提高学生对反证法的敏感性。最后，在数学课堂上，教师应提供反证法的几何实验，一方面可以让学生进行反证法的证明，另一方面可以使学生在熟悉实际情况的基础上，熟悉抽象的概念，将概念转化为证明定理的能力培养灵活起来。 总之，反证法是一种充满智慧和创造力的推理方式，可以有效的帮助证明某一特定观点的正确性，是一种在数学中重要的推理方法。数学教师通过多种方式培养学生对反证法的理解，实际操作能力更加娴熟，从而增强学生对定理的证明能力。
浅谈中学数学中的反证法
浅谈中学数学中的反证法 数学作为高考的重要学科，一直以来备受学生和老师的关注。因此寻求数学中解题方法，提高数学解题能力和数学成绩，成为探讨的对象。在解题过程中如果能够找到适当的解题方法，就可以使问题简单化，更容易获取答案，而反证法正是数学解题方法的一种，它在数学领域中起着重要的作用。下面从反证法的来源，反证法的定义，解题思路，适用范围和注意事项做一些简单的论述。 一、反证法的来源 对反证法的认知，我们可以先由一个小故事引出：在古希腊时期，有三个哲学家，他们经常在一起争论一些事情。有一天他们又聚在一起，并且进行了激烈的争论，加上天气的炎热，感到非常疲劳，于是在花园里的一棵大树下躺下休息，过了一会这三个哲学家就睡着了。这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额，三人醒过来后，彼此相看而笑，每人都在取笑其他两个人，而没想到自己脸上也被抹黑。隔了一会其中有一个人突然不笑了，因为他发觉自己的脸上也被涂黑了。那他到底是怎样觉察到的呢？ 实际上，发现自己脸上被涂黑者，并非从正面直接看到，而是据他观察另外两人的表情之后，并进行分析、思考，从反面得出自己脸也被涂黑了。小故事虽然简单，但却是数学上的重大发现，即反证的方法。当从正面不容易解决问题时，就可以考虑运用反证法。 二、反证法的定义及理解 一般的，由证明pq转向证明-qr…t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定-q为假，推出q为真的方法，叫做反证法。也即是说反证法是一种从反面思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的正确性。 三、反证法的解题思路及步骤 设要证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般分下面三个步骤： 1.反设：作出与要证结论相反的假设； 2.归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理，导出矛盾； 3.结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 四、反证法的适用范围
毕业论文：浅谈中学数学中的反证法-审核通过
毕业论文 学生姓名XXX 学号1610010XXX 学院数学科学学院 专业数学与应用数学 题目浅谈中学数学中的反证法 XXX 副教授/博士 指导教师 2014 年 5 月
摘要：反证法是从反面的角度来思考问题的证明方法.在此文章中主要阐明了反证法的概念、证明的一般步骤、反证法的种类及其在中学数学中的应用。 关键词：反证法,适用范围，假设
Abstract：Proof by contradiction is a method to prove the problem from the opposite point of view。In this article，we mainly dicuessed the definition of proof by contradiction and the general steps of it。Furthermore，we applied it in Mathematics in middle school. Key word: Proof by contradiction，scope of application ，hypothesis
目录 1引言 (4) 2反证法的概述 (4) 3 反证法的适用范围 (5) 4运用反证法应该注意的问题 (10) 总结 (11) 参考文献 (12) 致谢 (13)
1 引言 1589年，意大利的科学家伽利略登上了比萨斜塔，同时丢了两个不同质量的铁球.用实验推翻了古希腊科学家亚里士多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的论断.而在此之前伽利略做了如下的推理论证: 假设假设亚里士多德的断言是正确的。设物体a 比物体b 的重量重很多，则a 应比b 先 落地。现在把物体a 和b 绑在一起成为物体c ，则c =a +b 。一方面，由于c 比a 要重,它应该比a 先落地.另一方面，由于a 比b 落得快,a 、b 一起的时候，b 应该是“拉了a 的后腿” 迫使a 的下落速度减慢，所以,物体c 应该比a 后落地.这样一来， c 应比a 先落地又应比a 后落地，这样产生了矛盾，所以假设是不成立的。因此亚里士多德的断言是错误的. 伽利略的论证是有力的，逻辑性极强的，而伽利略的这种方法就是我们现在将要介绍 的反证法.反证法在初中高中数学学习中有很多的运用，乃至大学或者更高的学习中都会用到反证法.它不仅是一种解题方法，更是一种锻炼学生逆向思维的手段。本文重点总结了反证法的概念,反证法的一般步骤，以及反证法的种类和适用范围等方面，同时指出了使用反证法时应该注意的问题。 2 反证法的概述 2。1 反证法的概念 反证法就是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立,然后从这个假设出发。根据命题的条件和已知的真命题，经过推理论证得出与已知事实（条件，公理，定义，定理，法则，公式等)相矛盾的结果。这样就证明了结论的否定是不成立的，从而间接的肯定了原命题的结论成立。”这种证明方法叫做反证法。 还有人将反证法总结为证明逆否命题的方法。他们认为证明原命题的真假，就是证明原命题的逆否命题是否成立。若一个命题为“若A 则B "，当A B ⇒为真，则B A ⌝⇒⌝（其中B ⌝表示命题B 的否定）为真,当A B ⇒为假，则B A ⌝⇒⌝为假。 2。2 运用反证法的步骤 运用反证法证题一般分为三个步骤： 1)假设原命题不成立； 2）从这个结论出发，经过推理论证得出矛盾； 3）由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确。 即先提出假设，然后推出矛盾,最后肯定结论。
浅谈中学数学中的反证法
浅谈中学数学中的反证法 摘要：反证法在数学中是一种非常重要的间接证明方法，它被称为“数学家最精良的武器之一”，又称为归谬法、背理法。反证法亦称“逆证”。其不仅是一种论证方法，对提升学生创新性思维能力与概念思维能力具有积极作用，从某种角度可以说，反证法还是一种思维方式，其还能拓展学生的解题思路，从而使学生形成良好的数学思维。反证法在中学数学中有着广泛的应用，如今学生在运用反证法解题中，基础一般的学生会受到思维能力的限制，如果能恰当的使用反证法，在一些有难度的题目上也许能够得到解决。所以本文首先会叙述反证法的产生，具体阐述反证法的定义，即反证法的概念、分类、科学性，介绍逆证在中学数学中的实际运用并论述了逆证应用的具体需要注意的一些问题。 关键词：反证法；中学数学；应用； On the Proof by Contradiction in Middle School Mathematics Abstract：Proof by contradiction is a very important indirect proof method in mathematics, it is called "one of the most sophisticated weapons of mathematicians", also known as reduction to absurdity, unreasonable method. Proof by contradiction is not only an argumentation method, but also a way of thinking. It plays an extremely important role in cultivating and improving students' logical thinking ability and creative thinking ability. It can also expand students' thinking of solving problems, so that students can form good mathematical thinking. Anyway, the method has been widely used in middle school mathematics. Nowadays, when students solve problems with the method of proof by contradiction, the students with general foundation are limited by their thinking ability. If the method of proof by contradiction can be used properly, they may be able to solve some difficult problems. Therefore, this paper will first describe the source of proof by contradiction, specifically elaborate the definition of proof by contradiction, that is, the concept, classification and logical basis of proof by contradiction, introduce the application of proof by contradiction in middle school mathematics and explain the problems to be noticed in the application of proof by contradiction. Keywords：proof by contradiction; Middle school mathematics; Application;
浅谈反证法的原理及在中学数学中的应用
浅谈反证法的原理及在中学数学中的应用 王业双 摘要：反证法是一种重要的证明方法，是中学生必须掌握和灵活运用的一种重要的证明方法。文章介绍了反证法的原理及一般步骤，探索反证法在中学数学中的运用。 关键词：反证法；证明；矛盾；应用 ：G633.6？摇文献标志码：A ：1674-9324（2014）02-0077-02 在中学数学中，反证法应用相当广泛。怎样正确运用反证法是一个难题。本文主要研究的是一些直接证明难以入手甚至无法入手的题目，用反证法就会使证明变得轻而易举。 一、反证法原理及解题步骤 1.反证法原理。反证法是一种论证方式。它首先假设某命题不成立，然后推出明显矛盾的结论，从而得出原假设不成立，原命题得证。总的来说反证法就是通过证明原命题的反面不成立来确定原命题正确的一种证明方法。反证法在中学数学中经常运用。有的问题不易从问题的正面去解答，但若从问题的反面着手却容易解决，它从否定结论出发，经过正确严格的推理，得到与已知假设或已成立的数学命题相矛盾的结果，从而得到原命题的结论是不容否定的正确结论。 2.反证法的解题步骤。在中学数学题目的求解证明过程中，当直接证明一个命题感到困难时，我们经常采用反证法的思想。由此，我们总结出用反证法证明命题的三个步骤：①提出假设：做出与求证结论相反的假设。②推出矛盾：与题设矛盾；与假设矛盾；恒假命题。③肯定结论：说明假设不成立，从而肯定原命题成立。数学问题是多种多样的，尽管大多问题一般使用直接证明，但有些问题直接证明难度较大，而用反证法证明，却能迎刃而解。下面我们结合实例总结几种常用反证法的情况。 二、反证法在中学数学中的应用 反证法虽然是在平面几何教材中提出来的，但对数学的其他部分内容如代数、三角函数、立体几何、解析几何中都可应用反证法。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？下面就列举几种一般用反证法来证比较方便的命题。 1.基本命题。基本命题就是学科中的起始性命题，这类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。 例1 求证：两条相交直线只有一个交点。已知：如图，直线a、b相交于点P，求证：a、b只有一个交点。证明：假定a，b相交不只有一个交点P，那么a，b至少有两个交点P、Q。于是直线a是由P、Q两点确定的直线，直线b也是由P、Q两点确定的直线，即由P、Q两点确定了两条直线a，b。 与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a，b不可能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点。
浅谈反证法在中学数学中的应用
目录一反证法的概念 二反证法的逻辑依据、种类及步骤 （1）反证法逻辑依据 （2）反证法种类 （3）反证法步骤 三中学数学中宜用反证法的适用范围（1）否定性命题 （2）限定式命题 （3）无穷性命题 （4）逆命题 （5）某些存在性命题 （6）全称肯定性命题 （7）一些不等量命题的证明 （8）基本命题 四运用反证法应该注意的问题 （1）必须正确否定结论 （2）必须明确推理特点 （3）了解矛盾种类
浅谈反证法在中学数学中的应用 论文摘要 本文重点阐明反证法的概念，逻辑依据“矛盾律”和“排中律”，反证法的种类包括归谬法简单归谬法和穷举归谬法，反证法证明的一般步骤（反设、归谬、结论），证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便，否定性命题、限定式命题、无穷性命题、逆命题、某些存在性命题、全称肯定性命题、一些不等量命题的证明、基本命题。运用反证法应该注意的问题，必须正确否定结论、必须明确推理特点、了解矛盾种类。 关键词:反证法证明假设矛盾结论 有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友
发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。 一 反证法的概念 反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。 反证法是数学中常用的间接证明方法之一。反证法的逻辑基础是形式逻辑基本规律中的排中律。通常反证法是从待证命题的结论的反面入手进行正确推理,推出矛盾,从而得出原结论的反面不真,由此肯定原结论为真。中学代数中,一些起始性命题﹑否定性命题﹑唯一性命题﹑必然性命题﹑结论以“至多……”或“至少……”的形式出现的命题﹑“无限性”的命题﹑一些不等式的证明等用反证法来证明可收到较好的效果。 假设命题判断的反面成立，在已知条件和“否定命题判断”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理﹑定理、题设、临时假定相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定命题判断的反面不成立，即证明了命题的结论一定是正确的，当命题由已知不易直接证明时,改证它的逆命题的证明方法叫反证法。 用框图表示如下： 注：通过逻辑推理，得到上面5种结果中的任意一个结果都证明原命题的结论是正确的。 例 1 函数)(x f 在]1,0[上有意义，且),1()0(f f =如果对于不同的]1,0[,21∈x x 都有|,||)()(|2121x x x f x f -<-求证：2 1|)()(|12<-x f x f . 证明： 假定至少存在一组不同的]1,0[,21∈x x 使得