高中数学湘教版必修二知识点

高中数学必修2知识点总结

第三章三角函数

一、角的概念和弧度制：

（1）在直角坐标系内讨论角：

角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 （2）①与α角终边相同的角的集合：

},2|{},360|{0

Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y x =轴对称的角的集合： ； ②一些特殊角集合的表示

终边在坐标轴上角的集合： ； 终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：

①象限角：第一象限角 ；第三象限角： ；

第一、三象限角： ；

②写出图中所表示的区间角：

（4）正确理解角：

“第一象限的角”= ；“锐角”= ；

“小于o

90的角”= ；

（5）由α的终边所在的象限， 来判断

,

23αα所在的象限

（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一 已知角α的弧度数的绝对值l

r

α=

，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。

（7）弧长公式： ；半径公式： ；

扇形面积公式： ；周长公式 二、任意角的三角函数：

（1）任意角的三角函数定义：

以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个

异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，

则=αsin ；=αcos ；=αtan

如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；

（

三、同角三角函数的关系与诱导公式：

（1）同角三角函数的关系

（2）诱导公式：

ααπ?+k 2： ， ， ；

ααπ?+： ， ， ； αα?-： ， ， ； ααπ?-： ， ， ；

ααπ?-2： ， ， ；

α

απ

?-2

： ， ， ；

α

απ

?+2

： ， ， ；

ααπ

?-23： ， ， ； ααπ

?+23： ， ， ；

诱导公式可用概括为：

奇变偶不变，符号看象限

（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：

①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。 ②求任意角的三角函数值。 步骤：

如m =αtan ，则=αsin ，=αcos ；

注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；

三角函数图象与性质复习题

常考题型： 1、3sin(2)4

y x π

=+

的最小正周期是 、对称轴是 、单调递增区间

是 、单调递减区间是 ；振幅是 、相位是 、初相是 。用五点法作出该函数的图象。并说明该函数怎样由sin y x =变化而来。

2、求3sin(2),[,]4

22

y x x π

ππ

=+

∈-

的单调递减区间。 3、比较大小

6cos(),sin

,sin 8

76

π

ππ

-； tan1,tan 2,tan 3 4、求3sin(2),[,]3

66

y x x π

ππ

=+

∈-

的最大值、最小值及对应的x 的取值范围。 5、求3sin(2),[,],03

66

y a x x a π

ππ

=+

∈-

≠的最值及对应的x 的取值。 6、若2sin(2),[0,]32

y a x b x π

π

=-

+∈的最大值是1，最小值是5-，求a b ，的值。 7、为了得到3sin(2)6y x π

=+

的图象，只须将3sin(2)3

y x π

=-的图象向 平移 个单位。

8、定义在R 的函数()f x ，对任意x R ∈都有(2)[1()]()1f x f x f x +-=+。（1）证明()f x 是

周期函数。（2）若(1)2f =-，求(2013)f 。

9、若sin()(0,0,)2

y A x B A π

ω?ω?=++>><

，在其一个周期内的图象上有一个最高点

(,3)12π

和一个最低点7(,5)12

π

-，求这个函数的解析式。 10、求2

15()2cos 2sin ,[,]266

f x x a x b x ππ

=++-

∈的值域

要求：1、能正确画出sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象

2、给定条件，能够求sin y x =，cos y x =，tan y x =的定义域、值域、单调区间；

3、给定条件，能够求sin()y A x ω?=+中的,,A ω?。

4、掌握正弦余弦函数图象平移法则，区分先平移后伸缩与先伸缩后平移之间的差别。

5、结合图象，会求诸如1sin 22

x -

≤≤的取值范围。 6、会作出含有绝对值的正弦、余弦、正切函数图象。如sin y x =，sin y x =

第五章 三角恒等变换

1

⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；

⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

--=

+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；

()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

++=

- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．

sin22sin cos ααα=．2

2

2

)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±?

2

222cos2cos

sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

?升幂公式2

sin 2cos 1,2cos 2cos 12

2

α

αα

α=-=+

?降幂公式2cos 21cos 2αα+=

，2

1cos 2sin 2

αα-=． 22tan tan 21tan α

αα=-．

3、

?（后两个不用判断符号，更加好用）

4、辅助角公式 )sin α?A ++，其中tan ?B

=

A

． 5、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角

之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：

①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是

2α的二倍；2α是4

α

的二倍； ②2304560304515o o

o

o

o

o

=-=-=；问：=12sin π ；=12

cos π

；

③ββαα-+=)(；④

)4

(

2

4

απ

π

απ

--=

+；

⑤)4

(

)4

(

)()(2απ

απ

βαβαα--+=-++=；等等

（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是

基础，通常化切为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常

数“1”的代换变形有： o

o

45tan 90sin cot tan cos sin 12

2

===+=αααα

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的

方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需

要升幂，如对无理式

αcos 1+常用升幂化为有理式，常用升幂公式

有： ； ；

（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 如：

_______________tan 1tan 1=-+αα； ______________tan 1tan 1=+-α

α

；

____________tan tan =+βα；___________tan tan 1=-βα；

____________tan tan =-βα；___________tan tan 1=+βα；

=αtan 2 ；=-α2tan 1 ；

=++o o o o 40tan 20tan 340tan 20tan ；

=+ααcos sin = ；

=+ααcos sin b a = ；（其中

=?tan ；）

=+αcos 1 ；=-αcos 1 ；

（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；

基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有

理，特殊值与特殊角的三角函数互化。

如：=+)10tan 31(50sin o

o ；

=-ααcot tan 。

ααααααα半角公式cos 1cos 12tan 2cos 12sin ;2cos 12cos :

+-±=-±

=+±=

第四章 平面向量

1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量．

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．

2、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；

②结合律：()()

a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．

⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 3、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1

212

,x x y y A B=

--．

4、向量数乘运算：

⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①

a a λλ=；

②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．

⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()

a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．

5、向量共线定理：向量()

0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．

设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()

0b b ≠共线．

6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一

平面内所有向量的一组基底）

7、平面向量的数量积：

⑴()cos 0,0,0180

a b a b a b θθ?=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??=．②当a 与b 同向时，

a b a b ?=；当a 与b 反向时，a b a b ?=-；2

2a a a a ?==或a a a =?．③a b a b ?≤．

⑶运算律：①a b b a ?=?；②

()()()

a b a b a b λλλ?=?=?；③

()a b c a c b c +?=?+?．

⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ?=+．

若(),a x y =，则2

2

2

a x y =+，或2a x y =

+． 设()11,a x y =，()22,b x y =，则

12120a b x x y y ⊥?+=

． 设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，

θ是a 与b 的夹角，则

12

1

cos a b a b

x θ?=

=

+．

b

a

C

B

A

a b C C -=A -AB =B