汽车振动分析

研究生试卷

2013 年—2014年度第2 学期

评分：______________________

课程名称：振动理论

专业：车辆工程

年级：2013级

任课教师：李伟

研究生姓名：王荣

学号：2130940008

注意事项

1.答题必须写清题号；

2.字迹要清楚，保持卷面清洁；

3.试题随试卷交回；

4.考试课按百分制评分，考查课可按五级分制评分；

5.阅完卷后，授课教师一周内将成绩在网上登记并打印签名后，送研究生部备案；

6.试题、试卷请授课教师保留三年被查。

《汽车振动分析》总结

王荣

（重庆交通大学机电与汽车工程学院重庆 400074）

摘要：本课程由浅入深、循序渐进，从单自由度系统的简单问题逐渐加深到多自由度的分析，甚至是无限自由度系统,并从简单激励的振系逐渐推广到随机激振振系。作为汽车理论及汽车设计等课程的基础，其对于分析汽车的行驶平顺性、乘坐舒适性、发动机的减振和隔离等具有良好的参考价值。

关键词：单自由度；多自由度；简单激振；随机激振

The Conclusion of “Automotive Vibration

Analysis”

Abstract: The course progressively, step by step, gradually discusses from the simple question of a single degree of freedom system to the analysis of a multi-degree of freedom system, even to the analysis of the infinite degree of freedom system. In addition, the course extends from simple energized vibration system to random energized vibration system. As the basis of Vehicle Theory and Vehicle Design, this course has direct reference value for the analysis of vehicle ride, comfort of passenger, engine vibration damping and isolation.

Keywords：Single-Degree-of-Freedom; Multi-Degree-of-Freedom; Simple Energized Vibration System ;Random Energized Vibration System

0 引言

随着科学技术的日新月异和人民生活水平的日益提高，人们对汽车的动态性能，例如：汽车行驶的舒适性，操纵的稳定性，车内噪声水平及音质等等——提出了愈来愈高的要求。因而汽车的动态分析和设计方法已日益成为产品研究和幵发的重要手段。我国进入WTO以后，汽车的自主开发更是提到了议事日程上来。要提高我国汽车自主开发能力，开发出具有自主知识产权的汽车产品，就必须从基本原理出发进行大貴的汽车动态特性的分和研究。随着汽车向高速化和轻质化方向发展，振动噪声问题口益突出，人们对报动噪声的控制要求也越来越严格。因此，振动分析理论越来越受到重视。

本书的重点章节共6章：第1章，概论；第2章，单自由度系统的振动；第3章，二自由度系统的振动；第4章，多自由度系统的振动；第6章，连续系统振动分析；第8章，随机振动概述。

1.概论

1.1振动的概念

在所研究的机械或结构均为弹性体时，在外力作用下不仅产生刚体运动，还会产生由于自身弹性而引起在平衡位置附近的微小弹性往复运动，这种往复运动通常称为振动。

广义上来说，振动是一种运动的物理量，作时而增加时而减小的反复变化，这种物理过程及运动形式，即为振动。而机械振动是一种特殊形式的运动，在这种运动中，物体或质点在其平衡位置附近所作的往复运动。

1.2振动的分类

1.2.1根据系统的输入的类型可分为

(1）自由振动：系统受到初始干扰后，在没有外界激励作用时所产生的振动。

(2) 强迫振动：系统在外界激励作用下产生的振动。

(3) 自激振动：系统在输入和输出之间具有反馈特性，并有能源补充时产生的振动。

(4) 参数振动：通过周期或随机的改变系统的特性参数而实现的振动。

(5) 固有振动：无激励时系统所有可能的振动关系的集合，仅是可能的振动反应系统的固有属性。

1.2.2根据描述系统的微分方程分类：

(1）线性振动：用常系数线性微分方程式描述的系统所产生的振动。

(2）非线性振动：用非线性微分方程式描述的系统所产生的振动。

1.2.3根据系统的自由度分类：

(1）单自由度系统的振动：用一个独立坐标就能确定位置的系统的振动。

(2）双自由度系统：需要两个广义坐标才可完全的确定其位置和状态的系统。

(3）多自由度系统的振动：用多个独立坐标才能确定位置的系统的振动，包括二自由度系统。

(4）无限多自由度系统的振动：用无限多个独立坐标才能确定位置的系统的振动，这种振动又称为弹性体的振动。

1.2.4 根据系统输出的振动规律分类：

(1）周期振动：振动量是时间的周期函数, x(t)=x(t+nT) n=1,2, ……。系统在相等的时间间隔内作往复运动。是周期振动中最简单、最重要的是简谐振动。

(2）非周期性振动：振动量不是时间的周期函数，又可以分为稳态振动和瞬态振动。稳态振动是非周期持续进行的等幅振动；瞬态振动是在一定时间内振动并逐渐消失的非周期振动。

(3）随机振动：振动量不是时间的确定函数，只能通过概率统计的方法来研究。振动量不能用函数x(t)来表示，只能通过与时间t的关系图线来表示。振动过程中振幅、相位、频率都是随机变化的。

1.2.5按系统的模型

(1）连续性系统：系统的质量、弹性及阻尼是分布的、连续的。描述连续系统要用到空间和时间两个坐标，其运动方程是偏微分方程。

(2）离散性系统：系统的质量、弹性及阻尼是离散的。

1.2.6振动问题的分类

图2-1 振动系统框图

根据图2-1，可以把振动问题分为以下三类

(1）振动分析：已知激励系统特性，求系统的响应。如已知路面条件和车辆结构，求解驾驶员受到的振动。

(2）振动环境预测：已知系统的特性和振动响应，反推系统的激励。预测的结果可以作为以后振动设计的激励。

(3）系统识别：已知激励和系统的响应，确定系统的特性。使用模态实验及模态分析的方法，识别出系统，以建立振动模型或检验已有的理论模型。若对振动系统有所了解，称为灰箱问题；如对振动系统一点也不了解，称为黑箱问题。

1.3 研究振动问题的基本方法

1.理论分析法

(1）建立系统的力学模型（激励、质量、弹性和阻尼是振动系统的四大要素）。

(2）建立运动方程。

(3）求解方程，得到响应规律。

2.实验研究法

(1）选择测试工况，也就是选择激励源。

(2）对振系结构进行分析，研究振动的测点，以布置传感器。

(3）测取振动信号，并进行分析和处理。

(4）对分析的结果做出结论。

3.理论实践相结合法

(1）通过实验的方法识别出系统，建立系统特性模型，通过实验验证理论分析的结果。

(2）通过理论分析的方法预测系统的响应，通过实验验证振动结果。

1.4 振动的理论分析

1.4.1振动产生的机理：

振动的产生，从外部条件看是受到了外界刺激，从内部条件看是系统具有质量和弹性；从能量转化过程来看，激励功一部分转化成质量块的动能，另一部分转化成弹性件的变形势能；从系统有无阻尼来看，若系统无阻尼，只要给系统以初始激励，振动就一直延续下去，若系统有阻尼，阻尼消耗能量，必须有激励补充能量振动才能延续，若系统没有继续从外界获得能量，振动在经历一段时间后停止。

1.4.2 振动四要素

由振动产生的激励可见，激励、质量、弹性和阻尼是振动系统的四大要素。

(1）弹簧：弹簧是表示力与位移关系的元件。力的大小与弹簧两端点的相对位移成正比。

F

s

=k(x2?x1)

k—比例常数； x

2，x

1

—弹簧两端点的位移

(2）阻尼器：阻尼器是表示力与速度关系的元件。力的大小与阻尼器两端的相对速度成正比。

F

d

=c( x?2- x?1 )

c—比例常数；x?2、x?1—分别为阻尼器两端的速度

(3）质量：质量是表示力和加速度关系的元件。力与加速度的关系为

F

m

=m x?

m—为比例常数; x?—为阻尼器的加速度

1.6简谐振动的表示方法

简谐振动是指机械系统的某个物理量（位移、速度或是加速度）按时间的正弦（或余弦）函数规律变化的振动。它是最简单最重要的周期振动，也是研究其他形式振动的基础。它主要有三种表达方式，不同的表达方式适用于不同的场合。

（1）函数表示法：简谐振动是正弦（或余弦）的时间函数，如用正弦时间函数表示

X=Asin(ωt+ φ）=Asin(2πft+ φ）=Asin(ωt+ φ）

A—振幅； T—周期；f—频率；ω—圆频率；φ—初相位

（2）旋转矢量表示法：可以看成是一个做等速圆周运动的点在铅垂轴上的投影。

X=Asin(ωt+ φ）

（3）复数表示法：把坐标平面xOy视为复平面，x轴当成实轴，y轴当成虚轴。

z=Acos(ωt+ φ）+iAsin(ωt+φ）=A e i（ωt+φ）

1.7简谐振动的合成

（1）同频率简谐振动的合成，仍然是同频率的简谐振动，振幅不变，相位在变：

x1=A1cos (ωt+φ1)

x2=A2cos (ωt+φ2)

x=Acos (ωt+φ)

A=√A12+A22+2A1A2cos (φ2?φ1)

tanφ=A1sinφ1+A2sinφ2 A1cosφ1+A2cosφ2

（2）频率不同的简谐振动的合成不再是简谐振动，频率之比是有理数时合成振动是周期振动，频率比为无理数时，合成为非周期振动

x1=A1cos (ω1t+φ1) x2=A2cos (ω2t+φ2)

ω1ω2= m n

（3）频率很接近的两个简谐振动的合成出现“拍”的现象：频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍。

x1=A1cosω1t=A1cos2πf1t

x2=A2cosω2t=A2cos2πf2t

设A1=A2，|f2?f1|?f1+f2的情况

x=x1+x2=A1cos2πf1t+A2cos2πf2t

x=2A1cos2πf2?f1

2

tcos2π

f2+f1

2

t

该式可以看成是频率为f，振幅为2A1cos2πf2?f1

2

t的振动，频率接近的两个振动的频率差的绝对值称为拍频，即f=|f2?f1|。

1.8 汽车振动问题

把汽车作为一个系统来研究，汽车本身就是一个具有质量、弹簧和阻尼的振动系统。1.汽车振动问题的影响

（1）使汽车的动力性得不到充分的发挥，经济性变坏。

（2）影响汽车的通过性、操纵稳定性和平顺性，使乘员产生不舒服和疲乏的感觉，甚至损坏汽车的零部件和运载的货物，缩短汽车的使用寿命。

2.汽车振动问题的组成

（1）发动机和传动系统:

汽车行驶时因道路不平气缸内的燃气压力和运动件的不平衡惯性力周期性变化的结果，都会使曲轴系统和发动机整机产生振动。发动机和传动系统振动主要研究发动机在车架上的整机振动，以及出曲轴和传动系统扭振以外的其他振动，如气门结构的振动等。

（2）制动系统:

汽车在制动时，行驶方向的惯性力和作用在轮胎上的地面制动力所形成的力矩会使前轴

负荷增大，后轴负荷减小，从而加强了制动是整车的振动。

（3）转向系统：

由于转向拉杆有一定的弹性，轮胎又有侧向变形和侧向力的作用，汽车在行驶时，前轮会绕主销左右摆动，将这种转向轮绕主销的振动称为前轮摆振。

（4）悬架系统：

汽车行驶时，路面不平度会激起汽车的振动。当这种振动达到一定程度时，将影响乘员的舒适性。由弹簧和减震器组成的悬架系统要缓和由不平路面传给车身的冲击载荷，衰减由冲击载荷引起的承载系统的振动。

（5）车身和车架：

利用有限元法分析车身和车架的振动问题。将连续系统视为由若干个基本单元在节点处彼此相连接的组合，把具有无限多个自由度的连续结构振动问题变为有限个自由度的振动问题。

2单自由度系统的振动

单自由度振动系统指的是在振动的过程中，振系的任一瞬态由一个独立坐标即可确定的系统。单自由度系统是振动分析中最简单、最基础的一种。

2.1 研究单自由度系统振动的意义

（1）在实际中，有些系统由于简单可简化为单自由度的系统。例如，在不平路面激励的作用下，只研究汽车车身的垂直振动，其他质量和其他方式的振动忽略不计，就可以把汽车这样一个复杂的振动系统简化为单自由度的系统。

（2）由于单自由度的分析是振动分析的基础，即使很复杂的问题多自由度振动系统问题，经过解耦后就可转化为单自由度的问题，可用单自由度振系分析的方法进行分析。

2.2 单自由度系统模型的建立

从实际的机械简化出理想的力学模型若要确切反映其物理过程的话，首先要确定质量、弹性、阻尼和激励这振动的四大要素。

2.2.1微分方程的建立

考虑振动系统的质量、弹性、阻尼和激励，确定系统的质量参数、刚度参数、和阻尼参

数，应用牛顿第二定律mx?=∑f x或Jθ=∑M来建立微分方程，也可利用达朗勃原理∑f x?mx?=0或∑M?Jθ=0来建立微分方程。mx?、Jθ分别为惯量力和惯性力矩。如图2-1所示的单自由度弹簧-质量系统的振动微分方程为

mx?+cx?+kx=f(t)

图2-1 单自由度弹簧-质量系统

2.2.2 等效参数的确立

（1）等效刚度：使系统的某点沿指定的方向产生单位位移（线位移或角位移）时，在该点同一向上所要施加的力（力矩），就称为系统在改点沿指定方向的刚度。表达式为

k=F X

其确定的方法主要有定义法和能量法。

（2）等效质量：同等效刚度一样，在实际系统较复杂时，可以用能量法来确定等效质量。根据实际系统要转化的质量的动能与等效质量动能相等的原则来求解。

（3）等效粘性阻尼：作为方便起见，在工程实践中往往根据在振动的一周中实际阻尼所耗散的能力等于粘性阻尼所耗散的能力的关系，把其他类型阻尼折算成等效粘性阻尼，然后用这种等效粘性阻尼进行计算。

2.3单自由度振系的自由振动

若外界激振力f(t)=0，系统仅在初始时受到外界干扰，靠系统本身的固有特性进行的振

动，称为自由振动。单自由度振系自由振动的微分方程为

mx?+cx?+kx=0

2.3.1无阻尼自由振动

当系统的阻尼很小，阻尼可忽略不计。振动微分方程为

mx?+kx=0

得其通解为：x=x0cospt+x?0

p

sinpt

(其中x0、x?0为初始位移及初始速度。P为固有圆频率，p=√k

m

(rad s?)。

2.3.2有阻尼自由振动

前面的讨论忽略了阻尼，但实际振系中阻尼不可避免地存在，但系统有阻尼的时候，其运动微分方程为：

mx?+cx?+kx=0

得其通解为：x=e?ξpt(C1e√ξ2?1pt+C2e?√ξ2?1pt)

（其中相对阻尼系数 ξ=n

p ，衰减系数n=c

2m

）。

由于具体问题中ξ的值不同，根式√ξ2?1可能为虚数、实数或零，相应的通解有三种不同的情况：

（1）ξ>1 时，称为过阻尼；

（2）ξ=1时，为临界阻尼；

（3）ξ<1时，称为弱阻尼。

2.4 单自由度的强迫振动

由于阻尼会使自由振动逐渐衰减，最后达到完全停止，因此，工程上一些能持续下去的振动必定有外加能源，这种在外在干扰力作用下的振动称为强迫振动。

其微分方程式为：

mx?+cx?+kx=f(t)

其中，f(t)≠0,振系作强迫振动。

2.4.1简谐激振力作用下的强迫振动

若激励f(t)=F0sinωt，就为正弦简谐激振力。其振动微分方程为

mx?+cx?+kx=F0sinωt

F0—力幅；ω—激振力圆频率

上式可写成x?+2ξpx?+p2x=qsinωt

其中：2ξp=c

m ，p2x=k

m

，q=F0

m

。

其解包含两部分：齐次方程的通解x1和方程的特解为x2，即

x=x1+x2

x1对应于有阻尼自由振动齐次方程的解，它代表的是一种衰减振动，只在振动开始的一段时间内才有意义，为瞬态振动，一般情况下不予考虑。

特解x2代表系统在简谐激振下产生的强迫振动，它是一种持续的等幅振动，为稳态振动。求得稳态解为

x2=

X

√(1?λ2)2+(2ξλ)2

(ωt?ψ)

其中：λ=ω

p ，X0=F0

k

，ψ=arctan2ξλ

1?λ

。

2.4.2单位谐函数法求强迫振动

所谓单位谐函数法，是设作用在系统上的激励为复数形式的单位幅值简谐激振力，即f c(t)=

e iωt=cosωt+isinωt

则系统的微分方程为

mx?+cx?+kx=e iωt

此处涉及到一个重要的函数—频率响应函数H（ω），它由系统特性确定，表示系统在单位幅值的简谐激振力f c(t)=e iωt作用下所产生的振幅。即

H(ω)=x c(t) f c(t)

解得H（ω）为H(ω)=1

k?mω+icω=

1

k

1?λ+i2ξλ

=|H(ω)|e?iψ

其中λ=ω

p ,为频率比；频率响应函数的模为|H(ω)|=

1

k

√(1?λ2)+(i2ξλ)2

，为幅频特性；

频率响应函数的相位差角ψ=arctan2ξλ

1?λ2

，称为相频特性。

则复数形式简谐激振力F0e iωt下的响应为

x c(t)=|H(ω)|e?iψF0e iωt=F0|H(ω)|e i（ωt?ψ）2.5一般性周期激励的强迫振动

实际问题中简谐干扰力作用下的强迫周期振动是比较少的，大多数是一种非简谐的周期性干扰力。可通过谐波分析，对这些不同频率的简谐振动，求出各自的响应，再根据性系统的叠加原理，将各响应叠加起来而求得一般周期干扰力作用下的总响应。

周期性激励函数在一定条件下展开为傅里叶级数：

f(t)=a0

2

+∑(a j cos(jωt)+b j sin(jωt))∞

j=1

则一般性周期激励的强迫振动的微分方程为

mx?+cx?+kx=a0

2

+∑(a j cos(jωt)+b j sin(jωt)∞

j=1

)

求得其响应为

x=a0

2k

+

a cos(jωt?ψ)+

b sin(jωt?ψ)

k√(1?j2λ2)2+(2ξjλ)2

∞

j=1

其中，ψi=2ξjλ

1?j2λ2

，j=1,2，…

2.6任意激励下的响应

在工程实际中，对振动系统的激励作用往往既不是简谐的，也不是周期的，而是任意的时间函数，包括作用时间很短的冲击作用。这种激励作用下，系统通常没有稳态振动而只有瞬态振动。在这种激励停止后，系统将按照其固有频率进行自由振动，即所谓的剩余振动。系统在任意激励下的瞬态振动包括剩余振动在内统称为任意激励的响应。

在已知任意激振时，求系统响应的方法有好几种，本章主要介绍了三种方法：杜哈美积分法、傅氏积分法以及拉式变换法。

3.二自由度系统的振动

二自由度系统就是用两个独立坐标可以完全描述其在质量在空间位置的关系。二自由度系统是多自由度系统中最为简单的情况。其具有一定的代表性，可以通过处理二自由度系统振动问题及实际应用来熟悉多自由度系统的振动问题。

研究二自由度振系的振动问题时，要解决一下问题

（1）实际结构简化成二自由度系统模型；

（2）系统运动微分方程的建立；

（3）求解运动微分方程的方法；

（3）响应特性的分析。

3.1 系统运动微分方程的建立

将实际问题中关于机械、汽车等的实际结构简化成二由度系统模型后，要研究其振动问题。在选定广义坐标后，可以利用达朗伯原理或牛顿第二定律，即用矢量力学的方法来求系统运动方程。也可以利用影响系数的概念，从研究系统的惯性力作用下的变形而求得系统的运动方程。此外，还可以用分析力学的方法，从研究系统的动能与位能入手，然后利用拉格朗日方程，求解出系统的运动微分方程。

在多自由度系统振动理论中，广泛使用矩阵记号 (写为矩阵形式)，这里运用牛顿第二定律建立如图3-1所示二自由度系统微分方程为：

图3-1 二自由度系统

[m10

0m2]{

x?1

x?2}+[

c1+c2?c2

?c2c2+c3]{

x?1

x?2}+[

k1+k2?k2

?k2k2+k3]{

x1

x2}={

f1(t)

f2(t)}

其中矩阵

[m10

0m2]——为质量矩阵，用M表示；

[c1+c2?c2

?c2c2+c3]——阻尼矩阵，用C表示；

[k1+k2?k2

?k2k2+k3]——刚度矩阵，用K表示；

{x?1

x?2}——加速度向量，用X表示；

{x?1

x?2}——速度向量，用X表示；

{x1

x2}——位移向量，用X表示；

{f1(t)

f2(t)}——激振力向量，用F（t）表示。

根据以上符号，多自由度系统的微分方程写成一般形式：MX +CX +KX =F(t)

3.2二自由度无阻尼振系的自由振动

如图3-1所示的二自由度振系，当其中的c 1=c 2=c 3=0，f 1(t )=f 2(t )=0时，即为二自由度无阻尼振系的自由振动。 此时二自由度微分方程可写成：

m 1x?1+(k 1+k 2)x 1?k 2x 2=0 m 2x?2?k 2x 1+(k 2+k 3)x 2=0 x?1+(k 1+k 2)1x 1?k 2

1x 2

=0

x?2?k 2

m 2x 1+(k 2+k 3)m 2

x 2=0

令a=

(k 1+k 2)m 1

,b=k 2m 1

,c=k

2m 2

,d=

(k 2+k 3)m 2

，求得系统固有频率为： p 21,2

=a +d ?√(a ?d )2+bc

第一阶主振型为：β1=c

d?p 1

2

第二阶主振型为：β2=c

d?p 2

2

若给出系统具有的四个初始条件：x 10，x 20，x?10，x?20，则解得通解为：

{x 1x 2

}=A 11{1β1}sin (p 1+φ1)+A 12{1

β2}sin (p 2+φ2)

其中： A 11=1

β

1?β2

√(β2x 10?x 20)2+(

β2x 10?x 20p 1

)2

A 11=

1β2?β1√(β1x 10?x 20)2+(β1x?10?x?20p 2

)2

φ1=arctan

p 1(β2x 10?x 20)

β2x?10?x?20

φ1=arctan p 2(β1x 10?x 20)

β1x?10?x?20

3.3 二自由度无阻尼振系在简谐激振力下的强迫振动

和单自由度一样，二自由度系统在受到持续的激振力作用下就会产生强迫振动，在一定条件下还会产生共振。如图3-1所示，若c 1=c 2=c 3=0，f 1(t )=F 1sinωt ，f 2(t )=F 2sinωt ，

则为受简谐激振力作用下的二自由度无阻尼系统。 此时，系统微分方程为

m 1x?1+(k 1+k 2)x 1?k 2x 2=F 1sinωt m 2x?2?k 2x 1+(k 2+k 3)x 2=F 2sinωt

其中a=

(k 1+k 2)m 1

,b=k 2m 1

,c=k

2m 2

,d=

(k 2+k 3)m 2

，q 1=F 1m 1

，q 2=F

2m 2

。

求得系统的响应为：

x 1=(d ?ω2)q 1+bq 2

(2)(2)sinωt

x 2=(d ?ω2)q 2+cq 1

(2)(2)sinωt

当ω=p 1时，振幅比为(B 2

B 1

)P 1=cq 1+(a?p 21)q 2

(a?p 2

1)q 1+bq 2

； 当ω=p 2时，振幅比为(B 2

B 1

)P 2=cq 1+(a?p 22)q 2

(a?p 2

2)q 1+bq 2

。

4 多自由度振动系统

所谓多自由度系统，是指必须通过两个以上的独立广义坐标才能够描述系统运动特性的系统，或者说自由度个数多于一个，但又不属于连续弹性体的系统。如图4-1所示就是一个三自由度系统。

图4-1 三自由度振动系统

关于多自由度系统的微分方程式，一般是一组相互耦合的常微分方程组。在求解的过程中往往利用模态分析的方法。其要点在于利用模态矩阵进行坐标变换，实现方程之间的解耦。 将多自由度系统的振动分析简化为多个单自由度系统的振动分析问题。

4.1多自由度系统运动微分方程的建立

1 直接法

利用动力学的基本定律或定理（如牛顿第二定律或达朗伯原理）建立系统的运动微分方程的方法。

（1）对各质量取隔离体，进行受力分析；

（2）根据牛顿第二定律建立微分方程：m i x i=∑F i，i=1,2,3…。

2 拉格朗日法

从能量的观点建立系统的动能T、势能U和功W之间的标量关系，研究静、动力学。（1）取n个自由度系统的n个互为独立的变量q1,q2,…,q n,为广义坐标。

（2）建立拉格朗日方程：（无阻尼系统的振动微分方程）

d(?T

?q i

) dt ??T

?q i

+?U

q i

=Q i（i=1,2,3…）

3 影响系数法

m ij和k ij分别称为质量影响系数和刚度影响系数。根据它们的物理意义可以直接写出矩阵 M 和 K，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法。

刚度矩阵 K 中的元素 k

ij

是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。

质量矩阵M中的元素m ij是使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。

4.2 多自由度系统的固有特性

多自由度无阻尼系统的自由振动方程为

MX+KX=0

解得主振型方程：(K?ω2n M)A=0，通过|H|=|K?ω2n M|=0解得系统的固有频率ω2n。将固有频率ω2n代入主振型方程可解的系统的主振型A。

4.3 无阻尼自由度系统的模态分析

由于多自由度系统的微分方程是一个相互耦合的二阶常微分方程组，按照一般的方法进行求解较为困难，一方面因为微分方程的数量很多，一方面各个方程之间存在坐标耦合。因此，在实际的工程应用中，常常采用模态分析，对原方程组进行坐标变换，解除方程之间的耦合，使原方程组的求解转化为n个独立单自由度系统的求解问题，然后，将各阶主振型按

照一定的比例进行叠加，求得原方程的解。

进行系统模态分析的一般过程为：

（1）求出系统的各阶固有频率和相应的主模态，组成模态矩阵Ф，或者对质量矩阵对角化，

。

组成正则模态矩阵Ф

N

Q N，使原方（2）对以广义物理坐标表达的系统运动微分方程作坐标变换：X=ФQ或X=Ф

N 程解耦，得到以模态坐标Q和Q N表达的系统模态方程。

（3）求解模态方程，得到系统以模态坐标表达的响应Q或Q N以及各个模态参数。

（4）将求得的系统在模态坐标下的响应Q或Q N代回到坐标变换式，求出系统在原有物理坐标下的响应X。

5连续系统振动分析

所谓连续系统，其质量、弹性及阻尼都是分布的、连续的，所以，与离散系统相比，自由度不是有限的，而是无限的。因而，又称为无限自由度振动系统或弹性振动系统。

描述连续系统要用到空间和时间两个坐标，其运动方程是偏微分方程，在求解的过程中需要同时考虑弹性及边界值问题。

5.1振动分析的有限元方法

利用模态分析法求解离散集中质量振动系统、梁及平板等简单连续振动系统时，会因为模型的过于简化，而产生精度不高甚至错误的结论。相比较而言，利用计算机技术的有限单元法，在求解复杂振动系统中具有巨大的优势。

其基本思路为

（1）将连续体视作有限个基本单元的集合体，相邻的单元仅在节点出相连，节点的位移分量作为结构的基本未知量。从而将具有无限度自由度的连续系统动力学问题，简化为有限多个自由度的离散系统的力学问题。

（2）假设一个简单的函数来近似模拟单元位移分量的分布规律，即选择位移模式，在通过动力学原理确定单元节点作用力与节点位移之间的关系。

（3）将所有节点按照节点位移连续和节点作用力平衡的原理进行集总，得到整个系统的平衡方程组。

（4）引入边界条件和激励，求解系统的节点位移，完成对整个系统力学的响应求解问题

具体分析过程：

（1）弹性连续体离散化

将弹性连续体分割成由有限个单元组成的集合体，也称为网格划分。单元仅在节点处相连，单元之间的载荷只能通过节点传递。单元类型的选择应根据结构的具体几何形状特点结合载荷及约束合理选取。

（2）选择单元位移模式

假设一个单元的函数模拟单元内位移的分布规律，通常为多项式。其阶数取决于单元的自由度和有关解的收敛性要求。

（3）单元力学特性分析

按照集合方程和物理方程推导出单元应变与应力的表达式，再利用虚功原理或变分方法等建立各单元的刚度矩阵，即单元节点力和位移之间的关系。

（4）整体分析，组集结构总刚度方程

依据相邻单元在公共节点上的位移相同，每个节点上的节点力和节点载荷保持平衡的原则。即：1.各单元的刚度矩阵组集成整体结构的刚度矩阵；2.将作用在各节点的节点载荷组集成结构总的载荷矩阵。

（5）约束处理并求解总的刚度方程

引进边界约束条件，修正总刚度矩阵，求解节点位移。

（6）计算结果整理

以图表的形式表达计算结果，如位移和应力等。

6随机振动概述

实际的自然界和工程问题中，大量的振动现象都是不确定的。对于汽车而言，最典型的非确定性振动是由于路面不平度引起的汽车振动。这些振动的特点是系统的激励和响应在事先都无法利用时间的确定性函数予以描述，因此，被称为随机振动。利用统计的方法进行规律性研究，即将随机振动用数学描述为随机过程。

6.1随机振动的统计特性

（1）幅值域（时域）特性

汽车的设计中，需要对结构的可靠性和寿命进行预估，这都需要对测量得到的随机信号进行幅值域的分析。时域特性参数本章主要涉及均值、方差和均方值。

（2）自相关特性

表征随机过程在一个时刻和另外一个时刻采样值之间的相互依赖关系。

其表达式为

R x(τ)=lim

T→∞1

∫x(t)x(t+τ)

T

dt

（3）频率域特性

对于随机过程在频率域内的描述，主要是应用功率谱密度函数来表征随机振动过程在各频率成分上的统计特性。

功率谱密度函数表达式为 S x(ω)=1

2π∫R x(τ)e?iωτ

+∞

?∞

dτ

（4）随机振动的概率分布

最常见的概率分布为正态分布和瑞利分布。其表达式分别为

p(x)=

1

σ√2π

?x22σ2

?

p(x)=x

σ2

e?x22σ2

?，x>0

6.2 线性系统随机响应计算

为了求解线性系统在稳态随机激励下的响应特性，首先要建立线性系统的随机响应统计特性与输入的统计特性以及系统传递特性三者之间的关系。

6.2.1 随机响应的统计特性

（1）响应均值

μx=μF H(0)

（2）自相关函数

R x(τ)=∫?(τ1)

+∞

?∞∫R F(τ+τ1?τ2)?(τ2)

+∞

?∞

dτ2dτ1

（3）响应自谱