高中数学选修21主要内容

第一章常用逻辑用语

1.1命题及其关系

定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

命题的构成――条件和结论

定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者“如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．

真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题．

假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．

四种命题：定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．

定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．

定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．

形式：

原命题：若P，则q．则：

逆命题：若q，则P．

否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示

p的否定；即不是p；非p）

逆否命题：若￢q，则￢P．

四种命题间的相互关系：

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

1.2 充分条件与必要条件

定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p ? q,那么我们就说p是q的充分条件；q 是p必要条件．

一般地,如果既有p?q ，又有q?p 就记作 p ? q.

此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p ? q,那么p 与 q互为充要条件.

一般地，

若p?q ,但q ≠>p，则称p是q的充分但不必要条件；

若p≠>q，但q ?p，则称p是q的必要但不充分条件；

若p≠>q，且q ≠>p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

1.3 简单的逻辑连接词

一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q 读作“p且q”。

一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q,读作“p或q”。

一般地，我们规定：

当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p ∧q是假命题；当p，q两个命题中有一个是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题。

一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p，读作“非p”或“p 的否定”。

若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题；

命题的否定是否定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定。

1．4全称量词与存在量词

所有的”“任意一个”这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符号“?”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。

“存在一个”“至少有一个”这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做存在量词。并用符号“?”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题（或存在命题）。

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题P：

?∈

,()

x M p x

它的否定￢P

￢P(x)

特称命题P：

x M p x

?∈

,()

它的否定￢P：

?x∈M，￢P(x)

全称命题和否定是特称命题。特称命题的否定是全称命题。

第二章圆锥曲线与方程

2.1曲线与方程

(二)几种常见求轨迹方程的方法

1．直接法

由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．

例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；

(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：

动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．

解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．

即x2+y2=4R2或x2+y2=0．

故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．

对(2)分析：

题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：

设弦的中点为M(x，y)，连结OM，

则OM⊥AM．

∵k OM·k AM=-1，

其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．

2．定义法

利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或

差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．

直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．

分析：

∵点P在AQ的垂直平分线上，

∴|PQ|=|PA|．

又P在半径OQ上．

∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．

故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义

写出P点的轨迹方程．

解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．

又P在半径OQ上．

∴|PO|+|PQ|=2．

由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．

3．相关点法

若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．

例3已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．

分析：

P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．

解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0)

∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．

4．待定系数法

求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．

例4已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲

曲线方程．

分析：

因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方

ax2-4b2x+a2b2=0

∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根．

∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b．

(以下由学生完成)

由弦长公式得：

即a 2b 2=4b 2-a 2．

2.2 椭圆

把平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse ）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}

12|2M MF MF a +=．

焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程)0(122

22>>=+b a b

y a x ．

焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程()22

2210y x a b a b

+=>>．

椭圆的简单几何性质

①范围：由椭圆的标准方程可得，22

2210y x b a

=-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理

可得：b y b -≤≤，即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里；

②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭

圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；

④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比a

c

e =

叫做椭圆的离心率（10<

?→→→椭圆图形越扁时当01a ，，b ，c e ；???→→→椭圆越接近于圆

时当a

，b ，c e 00 ．

椭圆的第二定义

当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=

e a

c

e 时，

这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．

对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦

点)0,(c F -'的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b

x a y 的准线方程是c a y 2

±=．

可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几

何意义．

由椭圆的第二定义e d

MF =∴

|

|可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -=-==||||2右；左焦半径公式为ex a c

a x e ed MF +=--==|)(|||2

左

定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

性质一：已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形

21F PF 中,21θ=∠PF F 则2

tan

221θ

b S PF F =?。

θ

cos 2)2(212

2212

2

12PF PF PF PF F F c -+==Θ)cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF θ

θθcos 12)cos 1(244)

cos 1(24)(2

222

22121+=

+-=+-+=

∴b c a c PF PF PF PF 12

22121sin sin tan 21cos 2

F PF b S PF PF b θθθθ?∴===+ 性质二：已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形

21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。

证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ?中，2

12

2

121212cos PF PF F F PF PF -+=

θ2

12

21221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=

1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122

222

--o

x e a b a x a ≤≤-0Θ 22

a x o

≤∴

性质三：已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b

y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形

21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ

证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ?中，由余弦定理得：

1222242)(2cos 2

12

221221221212

212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ

.2112221)

2

(2222

2

2222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。 （2000年高考题）已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在

一点,P 使得,1200

21=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。 简解：由椭圆焦点三角形性质可知.21120cos 2

e -≥即2212

1

e -≥-

, 于是得到e 的取值范围是.1,23???

?

?

?? 性质四：已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b

y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形

21F PF ，,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率β

αβαsin sin )

sin(++=

e 。

,,1221βα=∠=∠F PF F PF

由正弦定理得：

β

α

βαsin sin )

180sin(122

1PF PF F F o

=

=

--

由等比定理得：

β

αβαsin sin )

sin(2121++=

+PF PF F F

而)sin(2)sin(2

1βαβα+=+c F F ，β

αβαsin sin 2sin sin 21+=

++a

PF PF ∴

β

αβαsin sin )sin(++==

a c e 。 已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜的等差中项．

(1)求椭圆的方程；

(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°，求tan F 1PF 2．

解：(1)由题设2｜F 1F 2｜＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜

∴2a ＝４，又2c ＝2，∴b ＝3 ∴椭圆的方程为3

42

2y x +＝1． (2)设∠F 1PF 2＝θ，则∠PF 2F 1＝60°－θ

Θ椭圆的离心率21=e 则)60sin(2

3

sin )

60sin(120sin )

180sin(21θθθθ-+=-+-=o o

o o ，

整理得：5sin θ＝3(1＋cos θ)

∴53cos 1sin =

+θθ故532tan =θ，tan F 1PF 2＝tan θ＝113525

3153

2=-?

．

2.3 双曲线

把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}

122M MF MF a -=．

焦点在y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程)0(122

22>>=-b a b y a x ．

焦点在y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程)0(122

22>>=-b a b

x a y ．

①范围：由双曲线的标准方程得，22

2210y x b a

=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这

说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；

②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；

③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；

④渐近线：直线b

y x a

=±叫做双曲线22221x y a b -=的渐近线；

⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比a

c

e =叫做双曲线的离心率（1e >）． 双曲线第二定义:当动点M(x,y) 到一定点F(c,0)的距离和它到一定直线2

:a l x c

=的

距离之比是常数1c

e a

=

>时,这个动点M(x,y)的轨迹是双曲线。其中定点F(c,0)是双曲线的一个焦点，定直线2

:a l x c

=叫双曲线的一条准线，常数e 是双曲线的离心率。双曲线上

任一点到焦点的线段称为焦半径。例如PF 是双曲线的焦半径。

2.4 抛物线

(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．

(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．

(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．

(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．

第三章空间向量与立体几何

3.1空间向量及其运算

如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．

与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．

空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．

空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：

空间向量加法与数乘向量有如下运算律：

⑴加法交换律：a + b = b + a ；

⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ． 空间向量加法的运算律要注意以下几点：

⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：

n n n A A A A A A A

A

A A

11433221=++++-Λ

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：

011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n Λ．

⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．

1．共线（平行）向量：

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或

平行向量。读作：a r

平行于b r ，记作：//a b r r ．

2．共线向量定理：

对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠r r r

r r r 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=r r （λ唯一）．

推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a r

的直线，那么对任一点O ，点P 在直线

l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP OA t AB =+u u u r u u u r u u u r ①，其中向量a r

叫做直线l 的方向向量。在l 上取AB a =u u u r r ，则①式可化为OP OA t AB =+u u u r u u u r u u u r 或(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r

②

当1

2t =时，点P 是线段AB 的中点，此时1()2

OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ③

①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB 的中点公式．

3．向量与平面平行：

已知平面α和向量a r

，作OA a =u u u r r ，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向

量a r 平行于平面α，记作：//a αr

．

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

a

l

P

B

A

O

a r a r

α

说明：空间任意的两向量都是共面的． 4．共面向量定理：

如果两个向量,a b r r 不共线，p r

与向量,a b r r 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r

．

1．空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量,a b r r ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==u u u r u u u r r r ，则AOB ∠叫做向量a r

与b r 的夹角，记作,a b <>r r ；且规定0,a b π≤<>≤r r ，显然有,,a b b a <>=<>r

r r r ；

若,2

a

b π<>=r r ，则称a r 与b r

互相垂直，记作：a b ⊥r r ；

2．向量的模：

设OA a =u u u r r ，则有向线段OA u u u r 的长度叫做向量a r

的长度或模，记作：||a r ；

3．向量的数量积：

已知向量,a b r r ，则||||cos ,a b a b ??<>r r r r 叫做,a b r

r 的数量积，记作a b ?r r ，即a b ?=r r ||||cos ,a b a b ??<>r r

r r ．

已知向量

AB a =u u u r r 和轴l ，e r 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''u u u u r

叫做

向量AB u u u r 在轴l 上或在e r

上的正射影；可以证明A B ''u u u u r 的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=?u u u u r u u u r r r r r ．

4．空间向量数量积的性质：

（1）||cos ,a e a a e ?=<>r r r r r

．

（2）0a b a b ⊥??=r r

r r ．

（3）2||a a a =?r r r ．

5．空间向量数量积运算律：

（1）()()()a b a b a b λλλ?=?=?r r r r r r

．

（2）a b b a ?=?r r r r

（交换律）．

（3）()a b c a b a c ?+=?+?r r r r r r r

（分配律）．

A C

B A ' B ' e r

1．几个概念

(1) 轴上有向线段的值：设有一轴u ，AB 是轴u 上的有向线段，如果数λ满足

=λ且当与轴u 同向时λ是正的，当与轴u 反向时λ是负的，那么数λ叫

做轴u 上有向线段的值，记做AB ，即AB =λ。设e 是与u 轴同方向的单位向量，则

e λ=

(2) 设A 、B 、C 是u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有BC AB AC += (3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量a 和b ，任取空间一点O ，作a =OA ，

b =，规定不超过π的AOB ∠称为向量a 和b 的夹角，记为),(b a ∧

(4) 空间一点A 在轴u 上的投影：通过点A 作轴u 的垂直平面，该平面与轴u 的交点'A 叫做点A 在轴u 上的投影。

(5) 向量在轴u 上的投影：设已知向量的起点A 和终点B 在轴u 上的投影分别为点'A 和'B ，那么轴u 上的有向线段的值''B A 叫做向量在轴u 上的投影，记做

j u Pr 。

2．投影定理

性质1：向量在轴u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角?的余弦：

?Pr j u =

性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即

2121a a a a j j j u Pr Pr )(Pr +=+

性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即

a a j j u Pr )(Pr λλ=

注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。 向量a 在坐标轴上的投影是三个数a x 、a y 、a z ，

向量a 在坐标轴上的分向量是三个向量a x i 、 a y j 、 a z k . 2．向量运算的坐标表示

设},,{z y x a a a =a ，},,{z y x b b b =b 即k j i a z y x a a a ++=，k j i b z y x b b b ++=

则

(1) 加法： k j i b a )()()(z z y y x x b a b a b a +++++=+ ◆ 减法： k j i b a )()()(z z y y x x b a b a b a -+-+-=-

◆ 乘数： k j i a )()()(z y x a a a λλλλ++=

◆ 或

},,{z z y y x x b a b a b a +++=+b a },,{z z y y x x b a b a b a ---=-b a

},,{z y x a a a λλλλ=a

◆ 平行：若a ≠0时，向量a b //相当于a b λ=，即

},,{},,{z y x z y x a a a b b b λ=

也相当于向量的对应坐标成比例即

z

z

y y x x a b a b a b =

= 三、向量的模与方向余弦的坐标表示式

设},,{z y x a a a =a ，可以用它与三个坐标轴的夹

角γβα、、（均大于等于0，小于等于π）来表示它的方向，称γβα、、为非零向量a 的方向角，见图7－6，其余弦表示形式γβαcos cos cos 、、称为方向余弦。 图 7－6

1． 模

2

22z y x a a a ++=a

2． 方向余弦

由性质1知??

?????======γγββα

αcos cos cos cos cos cos 21212

1a a a M M a M M a M M a z

y x ，当02

22≠++=z y x a a a a 时，有

????

?

?

?

????++=

=++==++=

=2222222

22cos cos cos z y x z z z y x y y z y x x x a a a a a a a a a a a a a a a a a a γβα ◆ 任意向量的方向余弦有性质：1cos cos cos 2

2

2

=++γβα ◆ 与非零向量a 同方向的单位向量为：

}cos ,cos ,{cos },,{1γβα==

=

z y x a a a a

a

a a 0

3.2 立体集几何中的向量方法

利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．

例１如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离．

分析：由题设可知CG 、CB 、CD 两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B 且垂直于平面EFG 的向量，它的长即为点B 到平面EFG 的距离．

解：如图，设=CD 4i ，=CB 4j ，=CG 2k ，以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系C －xyz ．

由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．

∴ (2,0,0)BE =u u u r ，(4,2,0)BF =-u u u r

，

(0,4,2)BG =-u u u u r ，(2,4,2)GE =-u u u r

，

(2,2,0)EF =-u u u r

．

设BM ⊥平面EFG ，M 为垂足，则M 、G 、E 、F 四点共面，由共面向量定

理知，存在实数a 、b 、c ，使得BM aBE bBF cBG =++u u u u r u u u r u u u r u u u u r

(1)a b c ++=，

∴ (2,0,0)(4,2,0)(0,4,2)BM a b c =+-+-u u u u r

＝(2a +4b ,－2b －4c ,2c )．

由⊥

BM 平面EFG ，得BM GE ⊥，BM EF ⊥，于是 0BM GE ?=u u u u r u u u r ，0BM EF ?=u u u u r u u u r

．

∴ (24,24,2)(2,4,2)0(24,24,2)(2,2,0)01a b b c c a b b c c a b c +--?-=??

+--?-=??++=?

整理得：?????=++=++=-102305c b a c b a c a ，解得1511711311a b c ?=??

?

=-??

?

=??

．

∴ BM ＝(2a +4b ,－2b －4c ,2c )＝)11

6

,112,112(．

∴ 222

226211||111111BM ??????=++= ? ? ???????

u u u u r

故点B 到平面EFG 的距离为

11

11

2． 说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．

例2已知正方体ABCD －''''A B C D 的棱长为1，求直线'DA 与AC 的距离． 分析：设异面直线'DA 、AC 的公垂线是直线l ，则线段'AA 在直线l 上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解．

解：如图，设=''A B i ，=''C B j ，=B B 'k ，以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系'B －xyz ，则有

'(1,0,0)A ，(1,1,1)D ，(1,0,1)A ，(0,1,1)C ．

∴ '(0,1,1)DA =--u u u u r ，(1,1,0)AC =-u u u u r ，'(0,0,1)A A =u u u u r

．

设n (,,)x y z =是直线l 方向上的单位向量，则2221x y z ++=． ∵ n 'DA ⊥，n AC ⊥，

∴ ??

?

??=++=+-=--1

00

222z y x y x z y ，解得33=-==z y x 或3x y z ==-=-

． 取n 333(

,,)=-，则向量A A '在直线l 上的投影为 n ·A A ')33,33,33(-=

·)1,0,0(3

3

-=．

由两个向量的数量积的几何意义知，直线'DA 与AC 的距离为

3

3．

向量的内积与二面角的计算

在《高等代数与解析几何》课程第一章向量代数的教学中，讲到几何空间的内积时，有一个例题（见[1]，p53）要求证明如下的公式：

,cos sin sin cos cos cos ?βαβαθ+= (1)

其中点O 是二面角P-MN-Q 的棱MN 上的点，OA 、OB 分别在平面P 和平面Q 内。α=∠AON ，β=∠BON ， θ=∠AOB 。?为二面角P-MN-Q （见图1）。

b ρa

ρ

β

α

M

y

z

D

x

B

A

Q

P

N

O

图1

公式（1）可以利用向量的内积来加以证明：

以Q 为坐标平面，直线MN 为y 轴，如图1建立直角坐标系。 记xOz 平面与平面P 的交线为射线OD ，则MN OD ⊥，得

απ

-=

∠2

AOD ，?=∠DOx ，?π

-=

∠2

DOz 。

分别沿射线OA 、OB 的方向上作单位向量a ρ，b ρ

，则θ=b a ρρ,。

由计算知a ρ，b ρ

的坐标分别为

)sin sin ,cos ,cos (sin ?αα?α，)0,cos ,(sin ββ，

于是，

?βαβαθcos sin sin cos cos |

|||cos +=?=??=b a b a b

a ρρρρρ

ρ。

公式（1）在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。我们来介绍如下的两个应用。

例1．立方体ABCD-A1B1C1D1的边长为1，E、F、G、H、I分别为A1D1、A1A、A1B1、B1C1、B1B的中点。

求面EFG和面GHI的夹角?的大小（用反三角函数表示）。

解由于图2中所画的两平面EFG和GHI只有一个公共点，没有交线，所以我们可以将该立方体沿AB方向平移1个单位。这样就使平面EFG平移至平

面G

HI'。而?就是二面角G-IH-G'（见图3）。利用公式（1），只要知道了α，β和θ的大小，我们就能求出?。

1

A

图2

由已知条件，GHI

?和G

HI'

?均为等边三角形，所以

3

π

β

α=

=，而2

π

θ='

∠

=G

GI。因此，

D C

A

图3

?

π

π

π

π

π

cos

3

sin

3

sin

3

cos

3

cos

2

cos+

=，

即

?

cos

2

3

2

3

2

1

2

1

0?

+

?

=。

解得

31cos -=?， 3

1

arccos -=π?。

当然，在建立了直角坐标系之后，通过计算向量的外积可计算出两平面的法向量，利用法向量同样也可算出夹角?来。

例2．计算正十二面体的两个相邻面的夹角?的大小。

解 我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形，且在正十二面体的每个顶点上均有3个面围绕。设P 和Q 是两个相邻的面，MN 是它们的交线（如图4），则公式（1）中的α，β，?分别为：

AMN ∠=α， BMN ∠=β， AMB ∠=θ，

因此它们均为正五边形的内角。所以

?===108θβα。

图4

所以，由公式（1）知

?cos 108sin 108sin 108cos 108cos 108cos ????+???=?，

或

55

108sin )108cos 1(108cos cos 2-=?

?-?=

?。

因此，5

5

arccos

-=π?，或4533116'''?≈?。 如果不使用公式（1），要求出例2中的夹角?的大小在计算上要复杂很多。 利用例2的结果，我们可以容易地计算出单位棱长正十二面体的体积V 。

设单位棱长正十二面体的中心为O ，则该十二面体可以切割成十二个全等的正五棱锥，每个五棱锥以该多面体的一个面为底面、以O 为其顶点。设该正五棱锥为Ω，从而可知：Ω=V V 12。

再设Ω的底面积为S 、高为h ，设O '为单位边长正五边形（即Ω的底）的中