比例线段和黄金分割练习题
比例线段和黄金分割练习题 姓名________学号_________
一、选择题（每题4分，共24分）
1、在比例尺为1：400000的地图上，量得AB 两地距离是24cm ，则A 、B 两地实际距离为( )
A 、960m
B 、9600m
C 、96000m
D 、960000m
2、把cd ab 2
1=写成比例式，下列写法不正确的是 A 、b d c a 2= B 、b d c a =2 C 、b d c a =2 D 、b
c d a =2 3、已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＜PB ，则( ) A 、PB AB AP ?=2B 、PB AP AB ?=2；C 、AB AP PB ?=2；D 、222AB BP AP =+
4、已知P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10cm ，则PQ 长为（ ）
A 、)15(5-
B 、)15(5+
C 、)25(10-
D 、)53(5-
5、若15
1011c a c b b a +=+=+ ，则=c b a ::（ ） A 、11：10：15 B 、8：3：7； C 、3：2：5； D 、6：7：8
6、某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是
1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是（ ）
A 、12米
B 、11米
C 、10米
D 、9米
二、填空题（每空3分，共24分）
1、已知04.0,2.0==b a ，则=b a : 。
2、正方形的边长与对角线的比为： 。
3、若43=b a ，则=+a b a =-b a a 2 =-+b
a b a 工 。 4、若2:3:=y x ，2:3:=z y 则=z y x :: 。
5、若P 为AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，若AB ＝8cm ，则AP ＝__________PB ＝ 。
四、解答题。（每题7分，共28分）
1、（1）若322=-y y x , 求y
x 的值。 （2）、若c b a 432==，求c b a ::的值。
2、已知10:5:3::=c b a ，且16=-+b c a ，求c b a -+23的值。
3、已知
743c b a ==，且0≠??c b a ，求c b a c b a 432234-+-+的值。
4、若k c
b a d d b a
c
d c a b d c b a =++=++=++=++求k 的值。
五、综合应用题。
1、 已知点C 是线段AB 的黄金分割点AC ＝555-，且AC ＞BC ，求线段AB 与
BC 的长。（8分）
2、(1) 试用尺规作图的方法作出线段AB 的黄金分割点。
（2）用尺规作图的方法作出一个黄金矩形。
3、已知
d c b a =，求证：d c b a d c b a --=++
4、(1)已知线段AB=a ，在线段AB 上有一点C ，若AC=a 2
53-，则点C 是线段AB 的黄金分割点吗？为什么？
(2)宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形。请你设法作出一个黄金矩形.
5、 若ABC ?三边3:4:6::=c b a ，三边上的高分别为321h h h 、、，求3
21::h h h 的值。
相似三角形的判定
1. 如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，
连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形 （ ）
A 1对
B 2对
C 3对
D 4对
2. 如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC ，②ΔBCD ，③ΔBDE ，④ΔBFG ，⑤ΔFGH ，⑥Δ
EFK.其中②～⑥中，与三角形①相似的是（ ）
(A)②③④ (B)③④⑤ (C)④⑤⑥ (D)②③⑥
3. 如图，P 是Rt ΔABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一
点，过点P 做直线截ΔABC ，使截得的三角形与ΔABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）
A 、 1条
B 、 2条
C 、 3条
D 、 4条
4. 如图，已知 AB AD ＝ BC DE = AC AE
，求证：△ABD ∽△ACE
5. 已知；如图，D 是AC 上一点．BE ∥AC ，BE ＝AD 。AE 分别交BD 、BC 于点F 、G 。∠1＝∠2。
求证：2BF ＝FG ·EF 。
6. 如图，点C 、D 在线段AB 上，且ΔPCD 是等边三角形.
(1)当AC ，CD ，DB 满足怎样的关系时，ΔACP ∽ΔPDB ；
(2)当ΔPDB ∽ΔACP 时，试求∠APB 的度数.
7. 如图，四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形.
(1)⊿ACF 与⊿ACG 相似吗？说说你的理由.
(2)求∠1+∠2的度数.
A
C
E B
D
8. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB//CD ，
7,3,2,===⊥AD AB CD AB DA ，
在AD 上能否找到一点P ，使三角形PAB 和三角形PCD 相似？若能，共有几个符合条件的点P ？并求相应PD 的长。若不能，说明理由。
9. 如图,⊿ABC 是等边三角形,点D,E 分别在BC,AC 上,且BD=CE,AD
与BE 相交于点F.则BD 2=AD ·DF 成立吗?请说明理由.
10. 如图，在△EAD 中，∠EAD=90°，AC 是高，B
在DE 延长线上，且∠BAE=∠EAC ．(1) 试说明：
△ABE ∽△DBA ；(2) 试说明：
AC AB EC BD ?=?；(3) 问：当AB ∶BD 等
于多少时，EC ∶CD=1∶4？
10、 如图：AB 是等腰直角三角形ABC 的斜边，点M 在边AC
上，点N 在边BC 上，沿直线MN 将△MCN 翻折，使点C 落在AB 上，设其落点为P ， ①当P 是边AB 中点时，求证：
CN
CM PB PA =； ②当P 不是边AB 中点时，CN CM PB PA =是否仍成立？请证明你的结论；
A B C D
E
初三数学第2讲 比例线段与黄金分割
一、知识要点： 1、两条线段长度的比叫做两条线段的比。 2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 如果a、b、c、d是比例线段，即 段b、c是比例内项。 3、比例线段有以下性质： （1）基本性质 如果ac，那么线段a、d是比例外项，线=（或a:b=c:d）bdac=，那么ad=bc bd aca+bc+da-bc-d，； =，那么==bdbdbd aca+cac=，那么===k。 bdb+dbd a1a2a3===k，那么 b1b2b3（2）合比性质如果（3）等比性质如果等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形。例如：如果 a1+a2+a3a1a2a3====k b1+b2+b3b1b2b3 小试牛刀： 一、填空题 1、两条线段x、y的长度的比叫做这两条线段的____________，记作 ____________。 2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比____________，那么这四条线段叫做成比例线段，简称____________。 3、合（分）比性质：如果aca±b=_____________。 =，那么bdb 4、等比性质：如果aceace== =，且_____________，那么__________=(== =) bdfbdf 5、若4x=5y，则x：y=____________ 6、已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，则d为_______ 7、下列各组线段成比例的是（） A、1cm、3cm、2cm、4cm B、1m、20cm、5cm、25cm C cm
黄金分割比例
解读构成的自然审美法则—电视背景墙的比例分割 在装饰设计中，直觉感受的设计师更多的是深思熟虑应用知识经验的结果，感性的审美是有理性审美法则做基础的，通过分析自然的审美规律就能获得这个答案，也就是说，设计过程可以遵循某种几何构成和规划方法。以往的艺术设计应用提到黄金分割的关系，但只是作为神奇的自然几何规律引证，常常忽略彼此相关联的理性内容，艺术设计作品常被作为直接灵感的表现。没能真正将自然几何学引入教学和设计，我个人认为是一种遗憾，应当有理念的将设计、几何学、生物学中某种相关的规律注入到设计中，融入自然设计审美法则，使其跳出传统“天赋”、“灵性”等无法传达的设计困惑，获得设计过程中更美好的境界。一．最美构成比例视觉最美构成比例矩形的长宽比是0.618，这一比例称为黄金分割律。此律的意思是：整体与较大部分之比等于较大部分与较小部分之比。如果物体、图形的各部分的关系都符合这种分割律，它就具有严格的比例性，这个比例符合人的视觉审美习惯,使人感到悦目。因此，黄金分割率就是视觉最美构成比例。从数学语言来说，将一条线段分为两部分，整条线段AB与较长部分AC AC与较短部分BC的比值相同，即AB:AC=AC:CB，比例数值为1:61803:1；按百分比来表示的比例是38.2%：61.8%，近似比例为4:6。电视屏幕、写字台面、书籍、门窗等，其短边与长边之比大多为0.618。甚至连火柴盒、国旗的长宽比例，都恪守0.618比值。鉴于审美要求，如果需要用作电视背景墙的墙面不符合黄金分割率的审美比例，差距较大，当然需要合理的分割，使其接近这个审美构成比例。* 黄金分割率的矩形做法从正方形开始；从一边的中点向对角画一条斜线，以这条斜线为半径做一段圆弧，与正方形的延长线相交于C点。这个小矩形和正方形共同构成了黄金矩形；这个黄金矩形可以按上述规则被进一步分割，产生较小比例的正方形和黄金矩形，这个分割过程可以无限继续下去，产生更小的等比例的正方形和黄金矩形。用黄金分割矩形的分割圆弧线可以构造一个黄金分割的螺旋线，方法是用被分割二产生的正方形边长作为圆的半径，对每一个正方形做出圆弧，并连接这些圆弧，就形成了黄金分割螺旋线。黄金分割矩形中的大小正方形之间的面积也符合黄金分割比例. 二．各种根号矩形根号矩形在设计几何学中也是自然审美法则的主要内容，它的奇妙在于能无限分割更小的等比根号矩形，构成根号矩形的比例也大量存在于大自然的造物之中，形成和谐的分割关系，同黄金分割矩形是一样的，在电视背景墙的设计分割中常使用、、和矩形。（一）矩形矩形具有特殊的性质，也能被无限分割为更小的对比矩形，这意味着当一个矩形被二等分时，得到2个较小的矩形，当被四等分时，得到4个较小的矩形，矩形的比例近似于黄金分割率，的比例是1:1.414，黄金分割率的比例是1:1.618.，近似表现为3:7。* 分割方法：从正方形内画一条对角线，以这条对角线为半径做一段圆弧，与正方形的延长线相交于C点。将这个新的图形封闭为矩形，这个矩形就是矩形。这个矩形被进一步分割为两个矩形的矩形，将长边中点连接成中线就得到了两个更小的矩形；这个过程可以无限重复，可以产生无限多的矩形。（二）矩形正如矩形能被分割成相似的矩形一样，、.、矩形也可以被这样分割，这些矩形既能被横向分割也能被纵向分割，还能被分割为3个垂直的矩形，依次类推，3个垂直的矩形能被分割为3个水平的矩形等等，这些分割方法对电视背景墙的分割处理有很大的借鉴作用，矩形的比例近似于黄金分割率，的比例是1:1.732，近似表现为4:6。* 分割方法从矩形内画一条对角线，以这条对角线为半径做一段圆
比例线段;黄金分割;平行线分三角形两边成比例
比例线段；黄金分割；平行线分三角形两边成比例 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 第十九章相似形 第一节比例线段 第二节黄金分割 第三节平行线分三角形两边成比例 二. 教学目标： 1. 了解成比例线段的概念，会判断已知线段是否成比例。 2. 了解比例的性质，会运用比例的性质进行简单的比例变形。 3. 了解黄金分割。 4. 掌握平行线截三角形两边成比例定理。 三. 教学重点、难点： 平行线截三角形两边成比例定理 四. 教学过程： （一）知识要点： 1. 线段的比： 一般地，用同一长度单位（如米或厘米或毫米）去度量线段a,b所得的量数分别为m,n， 那么这两条线段的比为a：b=m：n，或a b m n =，其中a叫比的前项，b叫比的后项。 注：①用同一长度单位去度量。 ②两条线段的比和所选用的长度单位无关。 ③两条线段的比总是正数。 2. 成比例线段： 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 如a b c d =（或a：b=c：d）中，a、b、c、d叫四条线段成比例线段。a、b、c、d叫做 组成比例的项，线段a、d叫比例外项，线段b、c叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项。 3. 比例的性质： （1）比例的基本性质： 如果a：b=c：d，那么ad=bc，反之，若ad=bc且bd≠0，那么a：b=c：d。 （2）合比性质： 如果a b c d =，那么 a b b c d d + = + 。 （3）分比性质： 如果a b c d =，那么 a b b c d d - = - 。
补充：等比性质： 若a b c d e f b d f ===+++≠…，且…，则0a c e b d f a b ++++++=……。 4. 黄金分割： 若点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB BC AC =，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫黄金比， A C A B =-+152≈0.618。 注：黄金分割重在实际问题中的应用。 5. 平行线截三角形两边成比例定理： 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。 如图：△ABC 中，EF//BC ∴A E B E A F F C A E A B A F A C ==，，… A B C E F 【典型例题】 例1. 已知：A 、B 两地的实际距离AB=5000m ，而画在地图上A 、B 两点距离A ＇B ＇=5cm ，求该地图的比例尺（即图上距离与实际距离的比）。 解：A B mc m A B c m ===50005000005'' ∴==A B A B ''55000001100000 ∴该地图的比例尺为1：100000 例2. 已知：a ：：235 =，求a 。 解：∵a ：2=3：5 ∴5a=6（比例的基本性质） ∴a =65 例3. 若a b b c a c m c c m ===，且，43，求 b 。
人体比例与黄金分割
人体比例与黄金分割 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
人体比例与黄金分割 人体美学观察受到种族、社会、个人各方面因素的影响，牵涉到形体与精神、局部与整体的辩证统一，只有整体的和谐、比例协调，才能称得上一种完 整的美。 黄金分割律这是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。这其实是一个数字的比例关系，即把一条 线分为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比，其数值比为 : 1或1 : ，也就是说长段的平方等于全长与短段的乘积。 人体14个“黄金点”: 肚脐：头顶－足底之分割点； 咽喉：头顶－肚脐之分割点； (3)、(4)膝关节：肚脐－足底之分割点； (5)、(6)肘关节：肩关节－中指尖之分割点； (7)、(8)乳头：躯干乳头纵轴上这分割点； (9)眉间点：发际－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点； (10)鼻下点：发际－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点； (11)唇珠点：鼻底－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点； (12)颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点； (13)左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点； (14)右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。 隐藏在身体里的15个黄金矩形 人体上存在的长方形的宽与长的比值等于或接近于0．618，称为黄金矩 形。能在你身体里找到越多的黄金矩形，就说明你的身体比例越完美! 躯干轮廓：躯干的宽与高之 面部轮廓：口裂水平线的面宽与发际至颏底的面高之比。 鼻部轮廓：两鼻翼点间距为宽与鼻根至鼻底为高之比。 头部轮廓：头宽(左、右颧弓突点间距)与头高之比。 唇部轮廓：静态时，上下唇峰间距(宽)与口角间距(长)之比。 手部轮廓：手指并拢时取平均值，手的宽(掌指关节处)与长(腕远纹至食指间)之比。 外耳轮廓：以耳轮下角水平的耳宽为宽，耳轮上缘至耳垂下缘间距为长之比。 颌中切牙、侧切牙和尖牙(左右各3个)轮廓：最大近远中径为宽与龈径为 长之比。 2个“黄金指数”: (1)反映鼻口关系的鼻唇指数：鼻翼宽与口角间距之比近似黄金数； (2)反映眼口关系的目唇指数：口角间距与两眼外眦间距之比近似黄金数。 ，作为一个人体健美的标准尺度之一，是无可非议的，但不能忽视其 存在着“模糊特性”，它同其它美学参数一样，都有一个允许变化的幅度，受 种族、地域、个体差异的制约。
黄金分割1
八下数学期中复习图形的相似 【知识点 5】黄金分割 1、点C是线段AB上的一点，当满足_________________,则称点C是线段AB的黄金分割点。 2、AC与AB 的比值约为________,比值也称为_________. 3、一条线段有__________个黄金分割点。 4、黄金三角形：________________________ 5、黄金矩形：________与_________的比等于______的矩形称为黄金矩形。 【基础练习】 1、已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB=10cm，求线段AC=_______________。 2、如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形，若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=4，则 DE=______________（精确到0.01） 3、如图，点P是AB的黄金分割点，且PA>PB，若S1表示以AP为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB矩形面积，那么S1__________S2. 【知识点 6】图形的位似 1、两个多边形不仅_____________, 而且________________________________, 对应边__________________________________,像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做________________. 2、利用位似图形可以把图形________________. 【基础练习】 1、视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（）A．平移 B．旋转 C．对称 D．位似 2、如图．位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm，则投彩三角形的对应边长为_______________ 3、请在如图的正方形网格纸中，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍． 4、如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：2，若AB=2cm，则A′B′= _________cm，
初中数学例题：黄金分割
初中数学例题：黄金分割 5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即＝≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？ 【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为 ，则这种矩形叫做黄金矩形． （2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明 ＝即可． 【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形． 理由如下：因为 ＝ ＝ 所以矩形ABFE 也是黄金矩形． 【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法. 举一反三： 【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示， BC AB 2 15-2 15-AB AE 215-AB AE AB ED AB AD AB ED AD -=-2 1512151)15)(15() 15(21152 -=-+=-+-+=--
（1）求AM ，DM 的长， （2）试说明AM 2 =AD ·DM （3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？ 【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点， ∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°， ∴PD ＝。 ∵PF ＝PD ， ∴AF ＝ ，在正方形ABCD 中，AM ＝AF ＝，MD ＝AD －AM ＝3－ （2）由（1）得AD ×DM ＝2（3－）＝6－2， ∴AM 2 =AD ·DM ． （3）如图中的M 点是线段AD 的黄金分割点． 6.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感.某女士身高165cm ，下半身长与身高的比值是0.60，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）. A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm 【答案】C. 522=+AD AP 15-15-555526)15(22-=-=AM x l
比例线段与黄金分割练习题
2017 年 8 月2 2 日数学随堂练 习 试卷 、选择题（共8小题；共40 分） 2.如图是一只美丽的蝴蝶图片，任强同学通过测量发现，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之 比是黄金分割比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是h：-啦I,则蝴蝶身体的长度约是 __________ 3.已知’，那么下列比例式中正确的是 4.已知:知-泠＞丁心，那么下列比例式中成立的是 5._________________________________________________________________________ 已知线段?沁二：:；I-V，点是线段'的黄金分割点'f，则AC的长为_______________________________________ A (3\I'5—lOXm B(15-Sv^Xm C (5\S—5)cnn D (1U—2i/5)cm 6.如果匚 '），那么下列比例式变形正确的是 1.若紐二'M芋匚则下列比例式成立的是 B. C. 4.4 em x _ fl D. A. 4.2 cm A.
7. 根据有关测定，当外界气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感到最舒适（人体正常体温约 为），这个气温大约为______________ A. 23 飞 B. ^"C 8.如图所示，回为线段的黄金分割点，四边形卜W、四边形应聚谒都为正方形， 且面积分别为耳，％四边形APHM、四边形APEQ都为矩形，且面积分别为巧，下列说 法正确的是__________ 、填空题（共8小题；共40 分） 10.已知线段a、山满足加=玖则二 ___________________ _____ M 14.已知加?弘,贝U ______________ a 3 b + n 15.若，则的值是_________________ D. 11.已知以：二那么 13.若2u-3i = 0 12.若
黄金分割及比例线段
1、“黄金分割”之美 2、“黄金分割”应用两例 3、黄金分割矩形 4、人体中的黄金分割之美 5、美妙的黄金分割和黄金数 6、线段黄金分割点的几种求法 7、中考黄金分割问题两例 8、“黄金分割”考题透视 9、“比例线段”变式多多 10、证明比例线段方法多多 11、巧用面积比来证线段比 12、巧用面积比，妙解几何题 1、“黄金分割”之美 黄金分割是指一条直线（或矩形）被分割成两个不同的部分，分割点（或线）将较大的部分与较小的部分分割成一定的比例（如下图所示）。具体的比例公式是：AC AB BC AC （AC 为长边，BC 为短边），其比值约为1.618∶1或1∶0.618。 5 2 1D C B A BC AC ≈ 1.618 ≈1.618 黄金分割广泛应用于建筑、艺术与设计中。早在埃及设计金字塔的时候就开始使用黄金分割， 如图 古希腊的巴台农神庙是希腊繁荣和美德的象征，它的外框矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比.这样的矩形称为黄金矩形.
古希腊几何学家毕达哥拉斯对黄金分割甚感兴趣，他提出人身体的各个部分就是以确定的黄金比例分布的。 达芬奇的蒙娜里莎，也是个很好的例子，如图 著名的巴黎圣母院的设计中也应用了黄金分割，如图 芭蕾舞演员翩翩起舞时不时地踮起脚尖，就为了使肚脐以下的部分和身高的比值接近0.618. 电视节目主持人在主持节目时，也往往是站在近于舞台的“黄金分割点”处，显得自然大方. 生活中还我许许多多地方存在“黄金分割”。 2、“黄金分割”应用两例 “黄金分割”虽然不好理解，但运用其实也很广，现举两例与大家共赏。 例1．如图1，已知线段AB，点C在AB上，且有AC BC AB AC =，则 AC AB 的数值为； 若AB的长度与中央电视台演播厅舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在位置最好。 A 析解：由黄金分割的定义可知AC AB 的数值为 2 1 5- 。依据“黄金分割”知识可知节目主 持人站在线段AB的黄金点C，这样台下的观众看上去感觉最好． 点评：本题实际上是属于黄金分割问题，即若点C把线段AB分成两条线段AC和BC （AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 例2．若一个矩形的短边与长边的比值为 21 5- （黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形。
高中数学史集黄金分割素材
黄金分割 （浙江省宁波市镇海区外语实验学校 315200）余满龙 在初中数学的相似形这一章中有“黄金分割”的简单介绍：把一条线段（PQ ）分成两条线段，使其 中较大的线段（PC ）是原线段（PQ ）与较小线段（CQ ）的比例中项，这种分法用途广泛，且美观，所以人们把它称为黄金分割也称“中外比”或“中末比”。（如图1） 世界上最早接触黄金分割的是古希腊的毕达哥拉斯学派。公元前4世纪（二千多年前），古希腊数学家欧多克斯（约公元前408～公元前355）第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。他发现: 在这个几何问题里，若CQ 与PC 之比等于PC 与PQ 之比， 那么这一比值就等于…，用式子表示就是: 618.0215=-==PQ PC PC CQ 这个神奇的数字已经让我们着迷了几千年但实际上，这个黄金分割很早就存在了，我们 从 Andros 神庙(公元前10000年)就可以看出,而Kheops (公元前2800年)金字塔(如右图)表现的尤为明显。几何学家，哲学家和建筑师都认为黄金分割是一组非常奇特的比例，是一种空间的和谐，能够组成精确的比例。公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克斯的工作，系统论述了黄金分割，成为最早的有证论着。欧多克斯就是从整个比例论的角度考虑黄金分割，他还把上述的C 点分PQ 所成的比PC:CQ 叫做“中外比”。欧多克斯发现这种线段之间的中外比关系存在于许多图形中。如正五边形中， Kheops (公元前Q C P 图1
莱奥纳多·达·芬奇 相邻顶角的两条对角线互相将对方分成中外比，而较长的一段等于正五边形的边。如果将有理线段分成中外比，那末被分成的两个线段长是无理数。 文艺复兴时期的欧洲，由于绘画艺术的发展，促进了对黄金分割的研究。当时，出现了好几个身兼几何学家的画家，着名的有帕奇欧里、丢勒、达芬奇等人。他们反几何学上图形的定量分析用到一般绘画艺术，从而给绘画艺术确立了科学的理论基础。 1228年，意大利数学家斐波那契在《算盘书》的修订本中提出“兔子问题”，导致斐波那契数列：1，1 ，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……，它的每一项与后一项比值的极限就是黄金分割数，即黄金分割形成的线段与全线段的比值。(即设F 1 =1，F 2 =1，F n = F n-2 + F n-1，n ≥3，则) 1525年丢勒制定了充分吸收黄金分割几何意义的比例法则，揭示了黄金分割在绘画中的重要地位。丢勒以为，在所有矩形中，黄金分割的矩形，即短边与长边之比为2 15 的矩形最美观。因为这样的矩形，“以短边为边，在这个矩形中分出一个 正方形后，余下的矩形与原来的矩形相似，仍是 一个黄金分割形的矩形”，这使人们产生一种 “和谐”的感觉。 后来意大利伟大画家达·芬奇(1452-1519)(如右图)把欣赏的重点转到使线段构成中外比的分割，而不是中外比本身，提出了“黄金分割”这一名称。这一命名一直延用至今。 欧洲中世纪的物理学家和天文学家开普勒（J ．Kepler1571—1630），曾经说过：“几何学里有二个宝库：一个是毕达哥拉斯定理（我们称为“商
比例线段与黄金分割
比例线段与黄金分割 【知识要点】 1．把b a 的值叫做线段b a ,的比，若d c b a =，则称线段 d c b a ,,,成比例线段。 2．bc ad d c b a d c b a =?=?=::，其中 d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。 3．n 1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位 4．比例性质：①基本性质： bc ad d c b a =?=；②反比性质：c d a b d c b a =?=； ③更比性质：a b c a d c b a =?=； ④合比性质：d b c b b a d c b a ±=±?=； ⑤等比性质：n n b a b a b a b a === 332211，则1 12121b a b b b a a a n n =+++++ 5．比例中项：若ac b =2，则称b 是ac 的比例中项 6．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB 的黄金分割点； 7．2 15,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。 相似多边形 相似多边形 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。 相似多边形性质 相似多边形性质定理1：相似多边形周长比等于相似比。 相似多边形性质定理2：相似多边形对应对角线的比等于相似比。 相似多边形性质定理3：相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。 相似多边形性质定理4：相似多边形面积的比等于相似比的平方。 相似多边形性质定理5：若相似比为1，则全等 相似多边形的性质定理主要根据它的定义：对应角相等，对应边成比例。 相似多边形的判定 对应角相等,对应边成比例的多边形是相似多边形. 所有对应边成比例，那么这两个多边形相似 练习： 1、若a:b:c=3:5:7,且3a+2b-4c=9,则a+b+c 的值等于（ ）
浙教版初中数学九年级比例线段及黄金分割(基础) 知识讲解
比例线段及黄金分割（基础） 知识讲解 【学习目标】 1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段； 2、会运用比例线段解决简单的实际问题； 3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点. 【要点梳理】 要点一、比例线段 【： 394495 图形的相似 预备知识】 1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 2．比例的性质： （1）基本性质：如果 a c b d =，那么ad bc =. （2）合比性质：如果++==.a c a b c d b d b d ，那么 如果--==.a c a b c d b d b d ，那么 要点诠释： （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 要点二、黄金分割 1.定义： 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BC AB AC =,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比. 要点诠释： AC AB =≈叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 图4－7 如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD = 2 1AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .
（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 要点诠释： 一条线段的黄金分割点有两个. 【典型例题】 类型一、比例线段 1. （2016?兰州模拟）若a ：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ） A ．2a=3b B ．3a=2b C ． D ． 【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案． 【答案】B ． 【解析】A 、2a=3b ?a ：b=3：2，故选项错误； B 、3a=2b ?a ：b=2：3，故选项正确； C 、=?b ：a=2：3，故选项错误； D 、=?a ：b=3：2，故选项错误． 故选B ． 【总结升华】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积． 举一反三： 【变式】（2015?崇明县一模）已知=，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）． A ．2a=5b B. a b 52= C. a+b=7 D.a b b 72 += 【答案】C ． 2. 设432z y x ==，求2222232z xy x z yz x --+-的值． 【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出x ，y ，z 的值，因此用设参数法代入化简． 【答案与解析】设4 32z y x ==＝k 则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k 原式＝2222)4(322)2()4(433)2(2k k k k k k k k -??-+??-?＝222412k k --＝2 1 【总结升华】解此类题学生容易误认为设k 后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去． 类型二、黄金分割
黄金分割比例
黄金分割比例—— 相信学过数学的同学一定对不陌生，自从我们学习了后，就会发现其实这在我们实际生活中有很多的应用。所谓的是指事物各部分间的一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶或∶1，即长段为全段的。被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。 黄金分割是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。后来成为一种重要的审美法则.世界上着名的金字塔之所以能屹立数千年不倒，与其高度和基座长度的比例有很大关系，这个比例就是5：8，与0．618极其相似。，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。为什么人们对这样的比例，会本能地感到美的存在？其实这与人类的演化和人体正常发育密切相关。人体的好多部位的比例如果达到黄金分割就会给人以非常完美的视觉效果。例如最漂亮的脸庞：眉毛到脖子的距离/头顶到脖子的距离=；最完美的人体：肚脐到脚底的距离/头顶到脚底的距离=，等等。 在生活中无处不在。医学与也有着千丝万缕的联系，它可解释人为什么在环境22至24℃时感觉最舒适。因为人的体温为37℃与的乘积为22.8℃，而且这一温度中肌体的新陈代谢、生理节奏和生理功能均处于最佳状态。科学家们还发现，当外界环境温度为人体温度的倍时，人会感到最舒服。高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹。画家们发现，按:1来设计腿长与身高的比例，画出的人体身材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的，因此古希腊 维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使之与 身高的比值为，从而创造艺术美。世界上着名的画像蒙娜丽莎之所以 给人留下难以忘怀的印象与其画像给人的美感分不开。
九年级数学学案： 第4课时 黄金分割
天才是百分之一的天分,再加上百分之 九十九的努力 第4课时黄金分割 学习目标： 1、认识线段的黄金分割，理解黄金分割的概念. 2、会运用黄金分割进行相关计算和证明. 学习重点：比例性质的应用和黄金分割的概念. 学习难点：运用黄金分割解决实际问题. 【预习案】 一、链接 请写出比例的基本性质. 二、导读 阅读课本P95-96，回答下列问题： （1）叫做黄金分割．（2）黄金分割点是如何确定的？一条线段有几个黄金分割点？ 叫做线段的黄金分割点，叫做黄金比. 【探究案】 ㈠、黄金分割的定义：
1、动手操作，然后算一算，完成下面的填空： 度量线段AC 、BC 的长度，线段AC= ，BC= ， 计算AB AC = 、AC BC = , AB AC 与AC BC 的值 A B C 相等吗？ ※在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段 和 ，如果 = ， 那么称线段AB 被点C ，点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB 的比叫做 。其中AB AC = ≈ ※⑴、黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段的黄金分割点有 个。 ⑵、黄金比是两条线段的比，没有单位，它的比值为 ，精确到0.001为 。 2、想一想：点C 是线段AB 的黄金分割点，则AB AC = 。 ㈡、确定黄金分割点： 如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD= 21AB. （2）连接AD ，在DA 上截取DE=DB. （3）在AB 上截取AC=AE.点C 就是线段AB 的黄金分割点。 ㈢、黄金矩形： 宽与长的比是：的矩形叫做黄金矩形。 【训练案】 1、若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞CB ，则AB ：AC= ；BC ：AB= . 2、若在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中， =11B A AB =11C B BC 1111CD DA C D D A ==58且四边形A 1B 1C 1D 1的周长为80cm ，求四边形ABCD 的周长. 3、已知，如图在 △ABC 中 EC AE DB AD = E D A A B 5?12
最新8、1比例线段与黄金分割汇总
8、1比例线段与黄金 分割
精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 比例线段与黄金分割 【知识要点】 1．把b a 的值叫做线段b a ,的比，若d c b a =，则称线段 d c b a ,,,成比例线段。 2．bc ad d c b a d c b a =?=?=::，其中 d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。 3．n 1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位 4．比例性质：①基本性质：bc ad d c b a =?=；②反比性质：c d a b d c b a =?=； ③更比性质：a b c a d c b a =?=； ④合比性质：d b c b b a d c b a ±=±?=； ⑤等比性质：n n b a b a b a b a === 332211，则1 12121b a b b b a a a n n =+++++ 5．比例中项：若ac b =2，则称b 是ac 的比例中项 6．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点 P 是线段AB 的黄金分割点； 7．2 15,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。 相似多边形 相似多边形 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。 相似多边形性质 相似多边形性质定理1：相似多边形周长比等于相似比。 相似多边形性质定理2：相似多边形对应对角线的比等于相似比。
黄金分割比例——0.618
1 黄金分割比例——0.618 1 相信学过数学的同学一定对0.618不陌生，自从我们学习了0.618后，就会发现其实这在我们实际生活中有很多的应用。所谓的0.618是指事物各部分间的一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或 1.618∶1，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。 黄金分割是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。后来成为一种重要的审美法则.世界上著名的金字塔之所以能屹立数千年不倒，与其高度和基座长度的比例有很大关系，这个比例就是5：8，与0．618极其相似。0.618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。 为什么人们对这样的比例，会本能地感到美的存在？其实这与人类的演化和人体正常发育密切相关。人体的好多部位的比例如果达到黄金分割就会给人以非常完美的视觉效果。例如最漂亮的脸庞：眉毛到脖子的距离/头顶到脖子的距离=0.618；最完美的人体：肚脐到脚底的距离/头顶到脚底的距离=0.618，等等。 0.618在生活中无处不在。医学与0.618也有着千丝万缕的联系，它可解释人为什么在环境22至24℃时感觉最舒适。因为人的体温为37℃与0.618的乘积为22.8℃，而且这一温度中肌体的新陈代谢、生理节奏和生理功能均处于最佳状态。科学家们还发现，当外界环境温度为人体温度的0.618倍时，人会感到最舒服。高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹。 画家们发现，按0.618:1来设计腿长与身高的比例，画出的人体身 材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的0.58， 因此古希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延 长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美。世界上著 名的画像蒙娜丽莎之所以给人留下难以忘怀的印象与其画像给人 的美感分不开。
比例线段和黄金分割练习题.doc
2、把ab = -cd 写成比例式，下列写法不正确的是 2 a d A 、—=— c 2 b a d 2a d —=—C 、—=— 2 c b c b 3、己知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP
人体比例与黄金分割
人体比例与黄金分割 人体美学观察受到种族、社会、个人各方面因素的影响，牵涉到形体与精神、局部与整体的辩证统一，只有整体的和谐、比例协调，才能称得上一种完整的美。 黄金分割律这是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。这其实是一个数字的比例关系，即把一条线分为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比，其数值比为1.618 : 1或1 : 0.618，也就是说长段的平方等于全长与短段的乘积。 人体14个“黄金点”: 肚脐：头顶－足底之分割点； 咽喉：头顶－肚脐之分割点； (3)、(4)膝关节：肚脐－足底之分割点； (5)、(6)肘关节：肩关节－中指尖之分割点； (7)、(8)乳头：躯干乳头纵轴上这分割点； (9)眉间点：发际－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点； (10)鼻下点：发际－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点； (11)唇珠点：鼻底－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点； (12)颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点； (13)左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点； (14)右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。 隐藏在身体里的15个黄金矩形 人体上存在的长方形的宽与长的比值等于或接近于0．618，称为黄金矩形。能在你身体里找到越多的黄金矩形，就说明你的身体比例越完美! 躯干轮廓：躯干的宽与高之 面部轮廓：口裂水平线的面宽与发际至颏底的面高之比。 鼻部轮廓：两鼻翼点间距为宽与鼻根至鼻底为高之比。 头部轮廓：头宽(左、右颧弓突点间距)与头高之比。 唇部轮廓：静态时，上下唇峰间距(宽)与口角间距(长)之比。 手部轮廓：手指并拢时取平均值，手的宽(掌指关节处)与长(腕远纹至食指间)之比。 外耳轮廓：以耳轮下角水平的耳宽为宽，耳轮上缘至耳垂下缘间距为长之比。 颌中切牙、侧切牙和尖牙(左右各3个)轮廓：最大近远中径为宽与龈径为长之比。 2个“黄金指数”: (1)反映鼻口关系的鼻唇指数：鼻翼宽与口角间距之比近似黄金数； (2)反映眼口关系的目唇指数：口角间距与两眼外眦间距之比近似黄金数。 0.618，作为一个人体健美的标准尺度之一，是无可非议的，但不能忽视其存在着“模糊特性”，它同其它美学参数一样，都有一个允许变化的幅度，受种族、地域、个体差异的制约。 比例关系 是用数字来表示人体美，并根据一定的基准进行比较。用同一人体的某一部位作为基准，来判定它与人体的比例关系的方法被称为同身方法（见中图）。分为三组：系数法，常指头高身长指数，如画人体有坐五、立七，即身高在坐位时为头高的五倍、立位时为7或7.5倍；百分数法，将身长视为100%，身体各部位在其中的比例；两分法：即把人体分成大小两部分，大的部分从脚到脐，小的部分为脐到头顶。标准的面型，其长宽比例协调，符合三停五眼（见右图）。三停是指脸型的长度，从头部发际到下颏的距离分为三等分，即从发际到
比例线段(设K法)与黄金分割
比例线段(设K 法)与黄金分割 【知识要点】 一、比例与成比例的线段 1． 把b a 的值叫做线段b a ,的比，若d c b a =，则称线段 d c b a ,,,成比例线段。 例如： （1）下列各线段的长度成比例的是( )． A ．2cm ，5cm ，6cm ，8cm B ．1cm ，2cm ，3cm ，4cm C ．3cm ，6cm ，7cm ，9cm D ．3cm ，6cm ，9cm ，18cm （2）边长为3cm 、4cm 、5cm 的三角形三边与一条线段成比例，则这条线段为____cm （3）已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否是成比例线段？ （1）cm 10,cm 5,cm 8,cm 16====d c b a ； （2）cm 10,m 6.0,cm 5.0,cm 8====d d c b a 二、比例的三个性质 比例的基本性质： bc ad d c b a d c b a =?=?=::，其中 d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。 另外两个重要的性质： 合比性质：d b c b b a d c b a ±=±?= 等比性质：如果d c b a ==…=n m （b +d +…+n ≠0）,那么b a n d b m c a =++++++ 三、归纳比例的解题思想与方法（多元变一元；方法：设K 法如第2题，关系式表示法如第3、4题） 例如：
1、3 x =6y ，则y ：x=________ ；如果， 那么 ＝_______． ⒉若2x =3y =4z ≠0，则z y x 32+=________ ； x+y+z x+y-z =________ ⒊已知2723=+b b a ，求b a 的值 ⒋已知4=y x ，求y y x -，y x x +的值 ⒌已知 3a=2b, 5b=4c,那么a:b:c=_______________ ⒍已知a ∶b ∶c = 4∶3∶2,且a +3b －3c =14. （1）求a ,b ,c （2）求4a －3b +c 的值. 7、如果， ，且x ＋y ＋z ＝12，求x ，y ，z 的值． 482334+=+=+z y x