人教版七年级上册数学 有理数单元培优测试卷

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）

1．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b﹣4|=0；

（1）点A表示的数为________；点B表示的数为________；

（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），

①当t=1时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=________；

当t=3时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=________；

②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．________

【答案】（1）-2

；4

（2）3

；2

；5

；2

；能.

理由：

当0＜t≤2时，t+2=4-2t

解之：

当t＞2时，t+2=2t-4

解之：t=6

∴当或6时，甲乙两小球到原点的距离相等.

【解析】【解答】解：（1）∵a、b满足|a+2|+|b﹣4|=0，

∴a+2=0且b-4=0

解之：a=-2且b=4，

∵在数轴上A点表示数a，B点表示数b，

∴点A表示的数是-2，点B表示的数是4.

故答案为：-2，4.

（2）当0＜t≤2时，甲小球距离原点为（t+2）个单位长度；乙小球距离原点为（4-2t）个单位长度；

当t＞2时，甲小球距离原点为（t+2）个单位长度；乙小球距离原点为（2t-4）个单位长

度；

①当t=1时，甲小球到原点的距离为：1+2=3；乙小球到原点的距离为4-2×1=2；

当t=3时，甲小球到原点的距离为：3+2=5；乙小球到原点的距离为2×3-4=2；

故答案为：3，2；5，2

【分析】（1）利用几个非负数之和为0，则每一个数都是0，建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，就可得到点A，B所表示的数。

（2）①根据两个小球的运动方向及速度，可以分别用含t的代数式表示出当0＜t≤2时，甲小球距离原点的距离和乙小球离原点的距离，当t＞2时，甲小球距离原点的距离和乙小球离原点的距离，然后将t=1和t=3分别代入相关的代数式，即可求解；②利用（2）中的结论，分情况分别根据甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间，建立关于t的方程，解方程求出t的值。

2．如图，已知数轴上有A、B两点(点A在点B的左侧)，且两点距离为8个单位长度，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒.

（1）图中如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点A表示的数是________；

（2）当t＝3秒时，点A与点P之间的距离是________个长度单位；

（3）当点A表示的数是－3时，用含t的代数式表示点P表示的数；

（4）若点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，请直接写出t的值.

【答案】（1）-4

（2）6

（3）解：当点A为-3时，点P表示的数是-3+2t；

（4）解：当点P在线段AB上时，AP＝2PB，即2t＝2（8?2t），

解得，t＝，

当点P在线段AB的延长线上时，AP＝2PB，即2t＝2（2t?8），

解得，t＝8，

∴当t＝或8秒时，点P到A的距离是点P到B的距离的2倍.

【解析】【解答】解：（1）设点A表示的数是a，点B表示的数是b，

则|a|＋|b|＝8，又|a|＝|b|，

∴|a|＝4，

∴a＝?4，

则点A表示的数是?4；

（ 2 ）∵P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，

∴当t＝3秒时，点A与点P之间的距离为6个单位长度；

【分析】（1）设点A表示的数是a，点B表示的数是b，两点间的距离是8及互为相反数的两个数分别位于原点的两侧，到原点的距离相等即可判断得出答案；

（2）根据路程等于速度乘以时间即可得出答案；

（3）由点A表示的数结合AP的长度，即可得出点P表示的数；

（4）分当点P在线段AB上时，AP=2t，BP=（8-2t），根据AP＝2PB 列出方程，求解即可；当点P在线段AB的延长线上时，AP=2t，BP=（2t-8），根据 AP＝2PB 列出方程，求解即可，综上所述即可得出答案.

3．如图，在数轴上，点A表示﹣5，点B表示10．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴负方向以每秒2个单位的速度匀速运动，设运动时间为t秒：

（1）当t为________秒时，P、Q两点相遇，求出相遇点所对应的数________；

（2）当t为何值时，P、Q两点的距离为3个单位长度，并求出此时点P对应的数．

【答案】（1）5；0

（2）解：若P、Q两点相遇前距离为3，则有

t+2t+3=10-(-5)，

解得：t=4，

此时P点对应的数为：-5+t=-5+4=-1；

若P、Q两点相遇后距离为3，则有

t+2t-3=10-(-5)，

解得：t=6，

此时P点对应的数为：-5+t=-5+6=1；

综上可知，当t为4或6时，P，Q两点的距离为3个单位长度，此时点P对应的数分别为-1或1.

【解析】【解答】（1）解：由题意可知运动t秒时P点表示的数为-5+t，Q点表示的数为10-2t；

若P，Q两点相遇，则有

-5+t=10-2t，

解得：t=5，

-5+t=-5+5=0，

即相遇点所对应的数为0，

故答案为5；相遇点所对应的数为0；

【分析】（1）由题意可知运动t秒时P点表示的数为-5+t，Q点表示的数为10-2t，若P、Q相遇，则P、Q两点表示的数相等，由此可得关于t的方程，解方程即可求得答案；（2）分相遇前相距3个单位长度与相遇后相距3个单位长度两种情况分别求解即可得.

4．已知 a、b、c 在数轴上的位置如图：

（1）用“<”或“>”填空：a+1________0；c-b________0；b-1________0；

（2）化简：；

（3）若a+b+c=0，且b与-1的距离和c与-1的距离相等，求下列式子的值：2b -c - (a - 4c - b)．

【答案】（1）>；<；<

（2）解：∵a+1＞0，c-b＜0，b-1＜0，

∴原式=a+1-(b-c)-(1-b)=a+1-b+c-1+b=a+c

（3）解：由已知得：b+1=-1-c，即b+c=-2，

∵a+b+c=0，即-2+a=0，∴a=2，

则2b -c - (a - 4c - b)．

=2b -c - a + 4c + b

=3(b+c)-2=

【解析】【解答】解：（1）根据题意得：c<0

∴a+1＞0；c-b＜0；b-1<0

【分析】（1）根据数轴上点的位置进行计算比较大小即可；（2）利用数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果（3）根据题意列出关系式，求出a与b+c的值，原式去括号合并得到最简结果，将a与b+c的值代入计算即可求出值．

5．已知：b是最小的正整数，且a、b满足＋＝0，请回答问题：

（1）请直接写出a、b、c的值；

（2）数轴上a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点M是A、B之间的一个动点，其对应的数为m，请化简（请写出化简过程）；

（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动．若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动．同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC－AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

【答案】（1）解：∵b是最小的正整数

∴b=1

∵＋＝0

∴a = -1，c=5

故答案为：-1；1；5；

（2）解：由（1）知，a = -1，b=1，a、b在数轴上所对应的点分别为A、B，

①当m<0时，|2m|=-2m；

②当m≥0时，|2m|=2m；

（3）解：BC-AB的值不随着时间t的变化而变化，其值是2，理由如下：

∵点A以每秒一个单位的速度向左移动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右移动，

∴BC=3t+4，AB=3t+2

∴BC-AB=3t+4-（3t+2）=2

【解析】【分析】（1）先根据b是最小的正整数，求出b，再根据＋

＝0，即可求出a、c的值；（2）先得出点A、C之间（不包括A点）的数是负数或0，得出m≤0，在化简|2m|即可；（3）先求出BC=3t+4，AB=3t+2，从而得出BC-AB=2.

6．先阅读下面的材料，再解答后面的各题：

现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分．有一种密码的明文(真实文)按计算机键盘字母排列分解，其中Q，W，E，……，N，M这26个字母依次对应1，2，3，……，25，26这26个自然数(见下表)．

Q W E R T Y U I O P A S D

12345678910111213

F G H J K L Z X C V B N M

14151617181920212223242526

将明文转成密文，如：，即R变为L；，即A 变为S．

将密文转换成明文，如：，即X变为P；13 3×(13－8)－1＝14，即D变为F．

（1）按上述方法将明文NE T译为密文．

（2）若按上方法将明文译成的密文为DWN，请找出它的明文．

【答案】（1）解：

即NET密文为MQP．

（2）解：

即密文DWN的明文为FYC ．

【解析】【分析】（1）由图表找出N、E、T对应的自然数，再根据变换公式变成密文即可；（2）由图表找出D、W、N对应的自然数，再根据变换公式变成明文即可.

7．阅读材料:

在数轴上，点 A 在原点 0 的左边，距离原点 4 个单位长度，点 B 在原点的右边，点 A 和点B 之间的距离为 14个单位长度.

（1）点 A 表示的数是________，点 B 表示的数是________;

（2）点 A、B 同时出发沿数轴向左移动，速度分别为 1 个单位长度/秒，3 个单位长度/秒，经过多少秒，点 A 与点 B重合?

（3）点 M、N 分别从点 A、B 出发沿数轴向右移动，速度分别为 1 个单位长度/秒、2 个单位长度/秒,点 P 为 ON 的中点，设 OP-AM 的值为 y,在移动过程中，y 值是否发生变化?若不变，求出 y 值;若变化，说明理由.

【答案】（1）-4；10

（2）解：由题意知，此时为速度问题里面的追击问题，则由速度差×相遇时间＝相距距离可知：

设经过x秒后重合，即x秒后AB相遇.

则(3-1)x=14

解得：x=7

故7秒后点A，B重合.

（3）解：y不发生变化，理由如下：

设运动时间为x秒，则AM=x

而OP=

则y=OP-AM=

故y为定值，不发生变化.

【解析】【解答】解：（1）由A在原点左边4个单位长度可知A点表示的数是-4，由B 在原点右边且与点A距离14个单位长度可知，-4+14=10，则B点表示的数是10.

【分析】（1）由A在原点左边4个单位长度可知A点表示的数是-4，再根据B 在原点右边且与点A距离14个单位长度，可由-4+14=10可得B点表示的数.（2）把A，B看成距离为14个单位长度的追击问题，由速度差×相遇时间＝相距距离列出等式求解.（3）设移动时间为x秒，用含有x的代数式表示出OP与AM的长度，然后根据y= OP-AM列出关系式判断,若式中不含x项则不发生变化，含x项则发生变化.

8．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应

的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x 所对应的点与-1所对应的点之间的距离．

⑴发现问题：代数式的最小值是多少？

⑵探究问题：如图，点分别表示的是，．

∵的几何意义是线段与的长度之和

∴当点在线段上时， ;当点点在点的左侧或点的右侧时

∴的最小值是3．

⑶解决问题：

①. 的最小值是 ________ ；

②.利用上述思想方法解不等式：

________

③.当为何值时，代数式的最小值是2________．

【答案】6；设A表示-3，B表示1，P表示x，∴线段AB的长度为4，则，的几何意义表示为PA+PB，∴不等式的几何意义是PA+PB＞AB，∴P 不能在线段AB上，应该在A的左侧或者B的右侧，即不等式的解集为或．故答案为：或．；设A表示-a，B表示3，P表示x，则线段AB 的长度为，的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时PA+PB取得最小值，∴∴或，即

或；故答案为：或 .

【解析】【解答】解：(3)①设A表示的数为4，B表示的数为-2，P表示的数为x ，

∴表示数轴上的点P到4的距离，用线段PA表示，

表示数轴上的点P到-2的距离，用线段PB表示，

∴的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时取得最小值为AB，且线段AB的长度为6，

∴的最小值为6.

故答案为：6.

【分析】(3)①根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值；②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．

9．已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且 G 为线段上一点，两点分别从点沿方向同时运动，设点的运动速度为

点的运动速度为，运动时间为 .

（1）点对应的数为________，点对应的数为________；

（2）若，试求为多少时，两点的距离为；

（3）若，点为数轴上任意一点，且，请直接写出的值. 【答案】（1）-4；11

（2）解：∵，且 ,

∴，

①

即

解得：

②

即

解得： ,

（3）解：①当点H在点B的左侧时，如图：

设，

∵，，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

②当点H在点B的右侧时，如图：

∵，

而

∴

∴，

故答案为：或

【解析】【解答】（1）∵，

∴，，

∴，，

故答案为：；；

【分析】（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方、绝对值同时为0，可得答案；（2）分两种情况讨论：① ，② 分别列式计算即可；（3）也分两种情况讨论：①当点H在点B的左侧时，设，列式计算即可；②当点H在点B的右侧时，直接列式计算即可；

10．阅读理解：

若A，B，C为数轴上的三点，且点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，我们就称点C是【A，B】的好点。

例如，如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点，又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点。

知识运用：

（1）如图2，M，N为数轴上的两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为4．

①在点M和点N中间，数________所表示的点是【M，N】的好点；

②在数轴上，数________和数________所表示的点都是【N，M】的好点。

（2）如图3，A，B为数轴上的两点，点A所表示的数为-20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，到达点A时停止，则经过几秒后，P，A和B中恰有一个点为其余两点的好点？

【答案】（1）2；0；-8

（2）解：由题意设PB=4t，AB=40+20=60，则PA=60-4t，

点P走完所用的时间为60÷4=15(秒)

分四种情况：

①当PA=2PB时，即2×4t=60-4t，t=5，P是【A，B】的好点；

②当PB=2PA时，即4t=2(60-4t)，t=10，P是【B，A】的好点；

③当AB=2PB时，即60=2×4t，t=7.5，B是【A，P】的好点；

④当AB=2AP时，即60=2(60-4t)，t=7.5，A是【B，P】的好点，

即当经过5秒或7.5秒或10秒时，点P，A和B中恰有一个点为其余两点的好点。

【解析】【解答】解：（1）①设设所求的数为x，由题意得：

x-（-2）=2（4-x）

解之：x=2；

②在数轴上，数0和数-8所表示的点都是【N，M】的好点。

故答案为：2，0，-8

【分析】（1）①设所求的数为x，再根据好点定义，列出关于x的方程，解方程求出x 的值；②根据好点的定义可以得到结论。

（2）由已知条件用含t的代数式表示出PB，AB，PA的长，再求出点P走完所用的时间，然后分情况讨论：①当PA=2PB时；②当PB=2PA时；③当AB=2PB时；④当AB=2AP 时，由此分别建立关于t的方程，解方程求出t的值即可。

11．在数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应的数为a，b，c，d，且满足a，b到点-7的距离为1 （a＜b），且（c﹣12）2与|d﹣16|互为相反数.

（1）填空：a＝________、b＝________、c＝________、d＝________；

（2）若线段AB以3个单位/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1单位长度/秒向左匀速运动，并设运动时间为t秒，A、B两点都运动在CD上（不与C，D两个端点重合），若BD＝2AC，求t得值；

（3）在（2）的条件下，线段AB，线段CD继续运动，当点B运动到点D的右侧时，问是否存在时间t，使BC＝3AD？若存在，求t得值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）-8；-6；12；16

（2）解：AB、CD运动时，

点A对应的数为：?8＋3t，

点B对应的数为：?6＋3t，

点C对应的数为：12?t，

点D对应的数为：16?t，

∴BD＝|16?t?（?6＋3t）|＝|22?4t|

AC＝|12?t?（?8＋3t）|＝|20?4t|

∵BD＝2AC，

∴22?4t＝±2（20?4t）

解得：t＝或t＝

当t＝时，此时点B对应的数为，点C对应的数为，此时不满足题意，

故t＝

（3）解：当点B运动到点D的右侧时，

此时?6＋3t＞16?t

∴t＞，

BC＝|12?t?（?6＋3t）|＝|18?4t|，

AD＝|16?t?（?8＋3t）|＝|24?4t|，

∵BC＝3AD，

∴|18?4t|＝3|24?4t|，

解得：t＝或t＝

经验证，t＝或t＝时，BC＝3AD

【解析】【解答】（1）∵|x＋7|＝1，

∴x＝?8或?6

∴a＝?8，b＝?6，

∵（c?12）2＋|d?16|＝0，

∴c＝12，d＝16，

故答案为：?8；?6；12；16.

【分析】（1）根据方程与非负数的性质即可求出答案.（2）AB、CD运动时，点A对应的数为：?8＋3t，点B对应的数为：?6＋3t，点C对应的数为：12?t，点D对应的数为：16?t，根据题意列出等式即可求出t的值.（3）根据题意求出t的范围，然后根据BC＝3AD 求出t的值即可.

12．如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度由运动，同时，点Q从点B出发以每秒1个单位长度的速度由运动，当点Q到达点A时P、Q两点停止运动，设运动时间为单位：秒．

（1）求时，求点P和点Q表示的有理数；

（2）求点P与点Q第一次重合时的t值；

（3）当t的值为多少时，点P表示的有理数与点Q表示的有理数距离是3个单位长度？【答案】（1）解：当时，

点P表示的数为：，

点Q表示的数为：

（2）解：

答：点P与点Q第一次重合时的t值为4

（3）解：点P和点Q第一相遇前，

，

解得，；

当点P和点Q相遇后，点P到达点B前，

，

解得，；

当点P从点B向点A运动时，

，

解得，；

由上可得，当t的值为3，5，9时，点P表示的有理数与点Q表示的有理数距离是3个单位长度．

【解析】【分析】(1）根据题意可以得到当时，点P和点Q表示的有理数；(2)根据题意可以列出相遇关于t的方程，从而可以求得t的值；(3)根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．