解三角形专题复习

期末复习 期末复 期末复习专题——解三角形 一、填空题

1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin A sin B ＋b cos 2 A ＝2a ，

则b

a

＝________. 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a sin A ＋b sin B －c sin C ＝3a sin

B ，则角

C 等于________． 3．在△ABC 中，sin(A ＋B )·sin(A －B )＝sin 2C ，则此三角形的形状是________三角形． 4．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．

5．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π

3

，△ABC 的面积S ＝3，则sin C ＝________.

6．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2

B ＋sin 2

C －sin B sin C ．则A 的取值范围是________．

7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝1

4

a,2sin B ＝3sin C ，

则cos A 的值为________．

8．在△ABC 中，AD 为BC 边上的高线，AD ＝BC ，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，则b

c

＋

c

b

的取值范围是________． 二、解答题

9.已知函数f (x )＝sin ????π4＋x ·

sin ????

π4－x ＋3sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ????π6的值；(2)在△ABC 中，若f ???

?A 2＝1，求sin B ＋sin C 的最大值．

10．如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝1

7.

(1)求sin ∠BAD ；

(2)求BD ，AC 的长．

11．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，B ＝2π

3

，b ＝3，求a ＋c

的范围．

12.如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步

行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C . 现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min

后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速

直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝3

5

.

(1)求索道AB 的长；

(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙

步行的速度应控制在什么范围内？

13.如图所示，在四边形中， ，

；为边上一点，，，.

（Ⅰ）求sin ∠CED 的值；

（Ⅱ）求BE 的长．

14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A B C A B

+=+．

（1）求角C 的大小；

（2）若△ABC 的外接圆直径为1，求22a b +的取值范围． 15.在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠；（2）若DC =BC .

ABCD AB DA ⊥CE

=23

ADC π

∠=

E AD 1DE =2EA =3

BEC π

∠=

16．在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .已知2

2

2a c b -=，且

sin 4cos sin B A C =，求b .

17. 在△ ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，向量(2sin ,,m B =

2cos 2,2cos 12B n B ?

?=- ??

?，且//m n 。

（1）求锐角B 的大小；

（2）如果b =2，求△ ABC 面积的最大值。

期末复习——解三角形专题（参考答案） 一、填空题1．答案 2

2． 解析 由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝3ab ，

所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，又0＜C ＜π，所以C ＝π6.答案 π

6

3．解析 因为sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2 C ，所以sin (A －B )＝sin C ，又因为A ，B ，C

为△ABC 的内角，所以A －B ＝C ，所以A ＝90°，所以△ABC 为直角三角形． 4． 解析 由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ，

∴12＝AB 2＋16－2×AB ×4×cos 60°，解得AB ＝2，

∴S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝1

2

×2×4×sin 60°＝2 3.答案 2 3

5． 解析：因为在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积S ＝3，所以S △ABC ＝1

2

BC ×BA sin

B ＝3，即12×1×BA ×3

2

＝3，解得BA ＝4.又由余弦定理，得AC 2＝BC 2＋BA 2－

2BC ·BA cos B ，即得AC ＝13，由正弦定理，得BA sin C ＝AC sin B ，解得sin C ＝239

13

.

6．解析 由题意结合正弦定理，得a 2≤b 2＋c 2－bc ?b 2＋c 2－a 2

≥bc ?b 2＋c 2－a 2bc

≥1?

cos A ≥12，A 为△ABC 内角?0＜A ≤π

3

.答案 ????0，π3 7． 解析 ∵2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，∴b ＝3

2c ，

又b －c ＝14a ，∴a ＝4(b －c )，∴a ＝2c .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9

4c 2

＋c 2

－4c 2

2·32c

2＝－1

4. 8．解析 因为AD ＝BC ＝a ，由12a 2＝1

2

bc sin A ，

解得sin A ＝a 2

bc ，再由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12????b c ＋c b －a 2

bc ＝12????b c ＋c b －sin A ，

得b c ＋c b ＝2cos A ＋sin A ，又A ∈(0，π)，所以由基本不等式和辅助角公式得b c ＋c

b 的取值范围是[2，5]．

二、解答题9. 解 (1) f ????π6＝1.

(2)由f ????A 2＝1，有f ????A 2＝sin ????A ＋π6＝1，因为0＜A ＜π，所以A ＋π6＝π2，即A ＝π3

. sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ????2π3－B ＝32sin B ＋3

2

cos B ＝3sin ????B ＋π3. 因为0＜B ＜2π3，所以π3＜B ＋π

3

＜π，0＜sin ????B ＋π3≤1，

所以sin B ＋sin C 的最大值为 3.

10． 解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝1

7

，

所以sin ∠ADC ＝43

7

.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )

＝sin ∠ADC cos ∠B －cos ∠ADC sin ∠B ＝437×12－17×32＝33

14.

(2)在△ABD 中，由正弦定理得

BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB

＝8×33

14437

＝3.

在△ABC 中，由余弦定理得AC 2

＝AB 2

＋BC 2

－2AB ·BC ·cos B

＝82＋52－2×8×5×1

2＝49.所以AC ＝7.

11、解 法一 由B ＝2π3，得A ＋C ＝π

3

.

所以sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ????π3－A ＝sin A ＋????sin π3cos A －cos π3sin A ＝12sin A ＋32

cos A ＝sin ????A ＋π3.又0＜A ＜π3，所以π3＜A ＋π3＜2π3

. 所以32＜sin ????A ＋π3≤1.所以sin A ＋sin C ∈???

?3

2，1. 由正弦定理，得a sin A ＝c sin C ＝b sin B ＝3

sin

2π

3＝2，

所以a ＋c ＝2sin A ＋2sin C ＝2(sin A ＋sin C )．所以a ＋c ∈(3，2]．

法二 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π

3

＝(a ＋c )2－2ac ＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a

＋c )2－????a ＋c 22＝3(a ＋c )

2

4，当且仅当a ＝c 时，取等号． 所以(a ＋c )2≤4，故a ＋c ≤2.

又a ＋c ＞b ＝3，所以3＜a ＋c ≤2，即a ＋c ∈(3，2]．

12. 解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝3

5

，

所以sin A ＝513，sin C ＝4

5

.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )

＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝63

65

.

由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得 AB ＝AC sin B ·sin C ＝1 2606365

×4

5

＝1 040(m)． 所以索道AB 的长为1 040 m.

(2)设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，

所以由余弦定理得

d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×12

13

＝200(37t 2－70t ＋50)，

因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝35

37

(min)时，甲、乙两游客距离最短．

(3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ·sin A ＝1 2606365

×5

13

＝500(m)．

乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .

设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤625

14

，所以

为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在????1 25043

，62514(单位：m/min)范围内．

13.

14.解：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B

+=+，

所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，

得 sin()sin()C A B C -=-． ………………………………4分 所以C A B C -=-，或()C A B C π-=--(不成立)．

即 2C A B =+, 得 3

C π=． ………………………………7分

(2)由πππ,,,C A B αα==+=-设2πππ0,,A B α<<<<知-．

因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====， ……………………8分 故22221cos 21cos 2sin sin 22

A B a b A B --+=+=+

=12π2π11cos(2)cos(2)1cos22332??-++-=+????

ααα．………………11分

ππ2π2π,2,αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故223342a b <+≤．……14分

15解：（1）在ABD △中，由正弦定理得

sin sin BD AB

A ADB

=

∠∠.

由题设知，

52sin 45sin ADB =

?∠，所以sin ADB ∠=.

由题设知，90ADB ∠

（2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=. 在BCD △中，由余弦定理得

2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-???∠

25825=+-??25=.所以5BC =.

16．解：由余弦定理得A bc b c a cos 22

2

2-=-，∵0,222≠=-b b c a ，

∴b A bc b 2cos 22

=-，即2cos 2+=A c b 。 由正弦定理及sin 4cos sin B A C =得

c

b C B A 2si n 2si n cos 2=

=，∴22+=

b

b

，即4=b

17.解：(1) 由题意得：22sin (2cos 1)22

B B B -=，

整理得：2sin cos B B B =，即sin 2B B =，

所以tan 2B =又B 为锐角，故02B π<<，所以223B π=，于是3

B π

=。

(2) 由三角形面积公式得：1sin 2ABC S ac B ?=，由(1)得3B π=或者56

B π

=。

当3B π=时，由b =2及余弦定理222cos 2a c b B ac

+-=，得：22

4a c ac +-=，

由均值不等式得22

424ac a c ac =+-≥-，即4ac ≤当且仅当a c =时取等号；

此时11sin 22ABC S ac B ac ?==≤

当56B π=时，由b =2及余弦定理222

cos 2a c b B ac

+-=， 得：224a c +-=，

由均值不等式得22

424a c ac =+-≥-，

即4(2

ac ≤

=，当且仅当a c =时取等号；

此时111

sin 2222

ABC S ac B ac ?==??≤-2<

综上所述，△ ABC