印象铸学堂期中考试数学(文科)含答案

福州印象铸学堂2018-2019上学期期中考试

数学（文科）

一、选择题。（共5小题，每小题5分，共25分）

1、设集合}2|||{},0|{2<=<-=x x N x x x M ，则

（A ）=N M ? （B ）M N M =

（C ）M N M = （D ）=N M R 2、

=-2)1(3i （A ）i 23 （B ）i 23- （C ）i （D ）－i 3、函数)4tan()(π+

=x x f 的单调增区间为

（A ）∈+-k k k ),2,2(ππππZ （B ）∈+k k k ),)1(,(ππZ （C ）∈+-k k k ),4,43(ππππZ （D ）∈+-k k k ),4

3,4(πππ

πZ 4、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c . 若a 、b 、c 成等比数列，且==B a c cos ,2则

（A ）41 （B ）43 （C ）42 （D ）3

2 5、设}{n a 是公差为正数的等差数列，若321321,15a a a a a a =++=80，则

131211a a a ++=

（A ）120 （B ）105 （C ）90

（D ）75

二、填空题。（共11小题，每小题5分，共55分）

6、

设32log ,log ,log a b c ππ===_________（大小排序）

7、若x y ，满足约束条件03003x y x y x ?+?-+???

，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为

8、为得到函数πcos 23y x ?

?=+ ???

的图像，只需将函数sin 2y x =的图像向左平移______个 单位。

9、设向量a=（1，2），b=（2，3）.若向量λa+b 与向量c=（4，-7）共线，则λ=

10、若=-=)(cos ,2cos 3)(sin x f x x f 则___________

11、设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式

()()0f x f x x

--<的解集为__________________ 12、若动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图像分别交于M 、N 两点，则MN 的最大值为

13、函数)(x f y =的图像与函数)0(l o g )(2>=x x x g 的图像关于原点对称，则 )(x f 的表达式为

14、设函数).0)(3cos()(π??<<+=x x f 若)()(x f x f '+是奇函数，则?= .

15、已知椭圆2

2:12

x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB = ,则||AF =

16、函数x

y -=11的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于

三、计算题。（共6题，第17题10分，其他每题12分，共70分）

17、（10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2

2x t y t ==???

（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为5cos ρθ=．

（1）写出曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；

（2）记曲线1C 和2C 在第一象限内的交点为A ，点B 在曲线1C 上，且π2AOB ∠=，求AOB △的面积．

18、（12分）设函数()πcos 22sin cos 6f x x x x ?

?=-- ???

． （1）求()f x 的单调递减区间；

（2）在ABC △中，若4AB =，122

C f ??=

???，求ABC △的外接圆的面积．

19、（12分）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=

（1） 求数列{}n a 的通项公式；

（2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S

20、（12分）已知ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 其面积为S ，且 ()2

2b c a +-=．

（1）求角A ；

（2）若a =()0b m m =>，当ABC △有且只有一解时，求实数m 的范围及S 的最大值．

20、（12分）如图，已知四边形ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，2CD PD EA ==，PD EA ∥，F ，G ，H 分别为PB ，BE ，PC 的中点．

（1）求证：GH ∥平面PDAE ；

（2）求证：平面FGH ⊥平面PCD ．

22、（12分）已知函数()e x a f x x

-=，a ∈R ． （1）若()f x 在定义域内无极值点，求实数a 的取值范围；

（2）求证：当01a <<，0x >时，()1f x >恒成立．

数学期中考试（文科）参考答案

一、选择题。

1. B

2.A

3.C

4.B

5.B

二、填空题。

6. b>a>c

7. 9

8.

5π12 9. 2 10.x 2cos 3+ 11.(10)(01)- ，，

12.)0)((log )(2<--=x x x f 14.6

π 15.2 16. 8

17、（1）由题21:4C y x =，22sin 4cos ρθρθ=，

即2sin 4cos ρθθ=，2225:C x y x ∴+=．

（2）联立24y x =和225x y x +=，得1A x =，2A y =，

设2,4m B m ?? ???

，由OA OB ⊥，2124

m m =-，得8m =-，()16,8B -，

112022

AOB S OA OB =?==△． 18、（1）()πcos 2sin 26f x x x ?

?=-

- ???12π2sin 2sin 2sin 223x x x x ??=+-=+ ???

， 令π2π3π2π22π232k x k +≤+≤+，解得π5πππ1212

k x k -≤≤+，k ∈Z ， 单调递减区间为π5ππ,π1212k k ?

?-+????，k ∈Z ． （2）2π1sin 32

C ??+= ???，2π5π36C +=，π6C =， 外接圆直径28sin AB r C =

=，4r =，外接圆面积16πS =． 19、（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，

111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+

21233(222)2n n --=++++

2(1)12n +-=。

而 12,a =

所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=。

（Ⅱ）由212n n n b na n -==?知

35211222322n n S n -=?+?+?++? ①

从而

2357221222322

n n S n +?=?+?+?++? ② ①-②得

2352121(12)22222n n n S n -+-?=++++-? 。

即 211

[(31)22]9

n n S n +=-+

20、（1）分别取PD 的中点M ，EA 的中点N ．连结MH ，NG ，MN ． 因为G ，H 分别为BE ，PC 的中点，所以12MH CD ∥＝，12NG AB ∥＝， 因为AB 与CD 平行且相等，所以MH 平行且等于NG ，

故四边形GHMN 是平行四边形．所以GH MN ∥．

又因为GH ?平面PDAE ，MN ?平面PDAE ，

所以GH ∥平面PDAE ．

（2）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，所以PD BC ⊥． 因为BC CD ⊥，PD CD D = ，所以BC ⊥平面PCD ．

因为F ，H 分别为PB 、PC 的中点，所以FH BC ∥．

所以FH ⊥平面PCD ．

因为FH ?平面FGH ，所以平面FGH ⊥平面PCD ．

21、（1

）由己知2222sin b c a bc A +-+=，

由余弦定理得2cos 2sin bc A bc A +=，

所以cos 1A A +，即1sin 2

π6A ?

?-= ???， ()0,πA ∈ ，5π,666ππA ??∴-∈- ???，所以6ππ6A -=，π3A =． （2）由己知，当ABC △有且只有一解时，

sin π3m =

或0m <≤

(

{}2m ∈ ； ①当2m =时，ABC △

为直角三角形，112S =?=，

②当0m <

π2sin sin sin 3

m m B B =?=，

212π3sin sin sin cos 232

S B C B B B B B ??=?=?-=+ ???

31cos 2sin cos 222224π226B B B B B -??=++?=-+ ???

， 03πB <≤ ，ππ262

π6B ∴<-≤， 所以，当π3B =

时，max S =>，

综上所述，max S =

．

22、（1）由题意知()()2e 1x x a f x x

='-+， 令()()()e 10x g x x a x =-+≠，则()e x g x x '=?，

当0x <时，()0g x '<，()g x 在()0-∞，

上单调递减， 当0x >时，()0g x '>，()g x 在()0+∞，

上单调递增，

又()01g a =-，∵()f x 在定义域内无极值点，∴1a >．

又当1a =时，()f x 在()0-∞，

和()0+∞，上都单调递增也满足题意，所以1a ≥． （2）()()2e 1x x a f x x

='-+，令()()e 1x g x x a =-+，由（1）可知()g x 在()0+∞，上单调递増，又()()01010g a g a ?=-<=>????

，所以()f x '存在唯一的零点()001x ∈，，故()f x 在()00x ，上单调递减，在()0x +∞，

上单调递増， ∴()()0f x f x ≥，由()00e 10x x a -+=知()00e 1x f x =>，

即当01a <<，0x >时，()1f x >恒成立．