概率论期中考试题目与答案

北方工业大学

《概率论与数理统计II 》课程试卷答案及评分标准

A 卷

2013年春季学期

开课学院： 理学院

考试方式：闭卷

考试时间：120 分钟

班级 姓名 学号 注意事项：最后一页可以撕下作稿纸，但不能把试卷撕散，撕散试卷作废。

一、单项选择题（每题3分，共15分）

1. 设随机变量X 服从正态分布()21

1

,σμN

，Y 服从正态分布()22

2

,σμN ，且

12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则 ( C )

（A ）21μμ<

（B ）21μμ>

（C ）21σσ<

（D ）21σσ>

2. 随机变量)4,1(~),1,0(~N Y N X 且相关系数1=XY ρ则（D ） （A ）{}112=--=X Y P （B ）{}112=-=X Y P （C ）{}112=+-=X Y P （D ）{}112=+=X Y P

3. 设在一次试验中事件A 发生的概率为p,现重复进行n 次独立试验,则事件A 至多发生一次的概率为(D)

A.n

p -1

B. n

p

C. n

p )1(1--

D. 1

)

1()1(--+-n n p np p

4. （13）设随机变量()Y X ,的概率分布为：

已知随机事件{}0=X 与{}1=+Y X 相互独立，则（B ）

订

线

装

（A ） 3.0,2.0==b a （B ） 1.0,4.0==b a （C ） 2.0,3.0==b a . （D ） 4.0,1.0==b a

5. 设两个随机变量X 和Y 的标准差分别为3和2，且它们的相关系数为0.1，则随机变量Y X 34-的方差是(C )

（A ） 36 （B ） 144.6 （C ） 165.6 （D ） 180

二、填空题（每空3分，共15分）

1. 设事件B A ,至少发生一个的概率为0.7，且P(A)+P(B)=1.2，则B A ,至少有一个不发生的概率为___ 0.5____.

2. 某人投篮命中率为

5

4

，直到投中为止，所用投球数为4的概率为 4/625 。 3. 随机地从区间(0,1)中任取两个数x 和y ，则|x -y|大于0.5的概率是 1/4 。 4.已知)1,2(~),1,3(~N Y N X -，且Y X ,相互独立，记,72+-=Y X Z 则~Z N(0,5) 。 5. 随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}P X DX == 1

e - 。

三、计算题(共5小题，前4小题每题15分，最后1题10分，共70分)

1、某人下午6：00下班，他所累积资料表明：

某日他抛一枚均匀硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是6:42到家的。试求他是乘汽车回家的概率？

解：设“抛掷一枚均匀硬币出国徽一面乘汽车”记为事件A ，那么出另一面就乘地铁记为事件A ，他是6:42到家的记为事件B ，则：

()()

2

1

=

=A P A P ，()35.0=A B P ，()

25.0=A B P ()()()

()()()()

5833.012

7

25.05.035.05.035.05.0≈=?+??=

+=

A

B P A P A B P A P A B P A P B A P

2、 设随机变量X 的概率密度为

1,10,()1,01,0,.ax x f x x x +-≤

=-≤≤???

其他

试求: (1) 常数a ； (2) P{0< X <2}; (3) Y = X 2 + 1的密度函数.

解 (1) +-()d 1f x x ∞

∞

=?

由

，易得a = 1.

(2) P{0< X <2}2

1

1()d (1)d 2

f x x x x =

=-=

?

?. (3) 先求Y 的分布函数

22()()(1)(-1).

Y F y P Y y P X y P X y =≤=+≤=≤

当y <1时，F Y (y )=0;

当1≤y <2

时，()Y F y P X =≤≤

()d )d )d 1;

f x x x x x x y ==++=+?

当y ≥2时，F Y (y )=1. 从而

0,

1,()1,12,

1,2,Y y F y y y y

=+≤

故Y 的密度函数为

1,12,()()0,.Y Y y f y F y -<<'==?

其他

3、 设随机变量X 和Y 的联合概率分布，是在直线x y =和曲线2x y =所围封闭区域上的均匀分布，试求

(1) 概率{}6.0,5.0≤≤Y X P ；

(2) 随机变量X 和Y 的概率密度()X f x 和()Y f y ． (3) 随机变量X 关于Y y =的条件概率密度|(|)X Y f x y 。 解 设G 是直线x y =和曲线2x y =所围区域，其面积为

6

1

d )(1

2=

-=?x x x S

因此X 和Y 的联合概率密度为

?

?

?=?∈．，，

，若若G y x G y x y x f ),(),(06),( (1) 所求概率

{}；

5.0d d 6d d 6

6.0,5.05

.00

2

===≤≤????x

x G

y x y x Y X P (2) 当)1,0(?x 时()0X f x =，对于)1,0(∈x ，有

2

2()(,)d 6d 6()x

X x f x f x y y y x x ∞

-∞

=

==-??；

当)1,0(?y 时()0Y f y =，对于)1,0(∈y ，有

()(,)d 6d 6(y

Y f y f x y x y y ∞

-∞

=

=

=?

．

于是，X 和Y 的概率密度()X f x 和()Y f y 为

26()(0,1)6((0,1)() () 0 (0,1) 0 (0,1)X Y x x x y y f x f y x y ??-∈∈?==???????

，若，，若，

，若；，若．

(3) 当0

时，|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =

=。 4、设随机变量()Y X ,的联合分布律为

求：（1）常数a 、E (X ) 、E (Y 、、； （

2

）X 与Y 的相关系数XY ρ；

（3）判断X 与Y 的相关性与独立性，并说明理由。 解：（1）易得a =1/4.

Y X ,的边缘分布为：

3113()211208888i i i E X x p ?==-?+-?+?+?=∑, 25214211)(=?+?==?∑j j

j p y Y E ,

222222311313

()(2)(1)1288884i i i E X x p ?==-?+-?+?+?=

∑,

2213()()4

D X EX EX =-=

。 2

17

214211)(222=?+?

==?∑j j

p y Y E j ，2217259()()()244D Y E Y EY =-=-= 。 （2）0)(==∑∑i

j

ij j i p y x XY E

0)()()(),(=-=∴Y E X E XY E Y X COV 0)

()()

,(==

Y D X D Y X C o v XY ρ

（3）0=XY ρ因为，X ∴与Y 不相关。 又3(2)8

P X =-=

因为，，21)1(==Y P

13

(2,1)(2)(1)816

P X Y P X P Y =-==

≠==-?=。 X ∴与Y 不独立。

5 (10分)设随机变量X 和Y 的联合密度为，

??

???<<=-，若不然，，

，若 0 0e ),(2x y y x f x λλ

求随机变量Y X Z +=的概率密度()Z f z ．

解 随机变量Y X Z +=的值域显然为),0(∞．利用二随机变量之和的密度公式

2

2

2

2 ()(,)d e

d e (e e )z z z

x

Z z x z z f z f x z x x x

λλλλλ

λλ∞

--∞

---=

-==-=-?

?，

其中，由x x z <-<0,可见z x z <<2，故积分区间为),2(z z ．

随机变量Y X Z +=的概率密度为

2 (e e ) 0() 0 0z z Z z f z z λλλ--?->=?

≤?，若，

，若．