环境数学模型第一次作业
第一题
命令代码：
data set1;
do season='summer','autuom','winter','spring';
do deep='0.3','0.8','1.3','1.8';
do i=1 to 2;
input COD TOC ratio@@;
output;
end;end;end;
cards;
35.6 12.5 2.85 37.6 13.1 2.87 39.5 13.4 2.95 37.5 13.3 2.82 50.9 16.1 3.16
54.1 16.9 3.20 52.7 16.8 3.14 51.5 16.2 3.18 42.5 14.2 2.99 39.1 13.8 2.83
41.4 14.0 2.96 42.8 14.5 2.95 52.7 17.0 3.10 57.1 18.2 3.14 61.7 17.9 3.45
60.5 22.0 2.75 45.6 15.2 3.00 46.4 16.1 2.88 43.2 14.8 2.92 42.9 15.0 2.86
55.6 18.2 3.05 52.1 17.4 2.99 62.7 21.3 2.94 61.4 18.8 3.27 40.9 12.9 3.17
43.8 14.9 2.94 42.6 13.9 3.06 44.9 14.7 3.05 52.7 16.8 3.14 51.5 16.2 3.18
59.2 18.1 3.27 59.9 19.3 3.10
;
procanova;
class season deep;
model COD TOC ratio=season deep season*deep;
run;
运行结果：
Analysis of Variance Procedure
Class Level Information
Class Levels Values
SEASON 4 autuom spring summer winter
DEEP 4 0.3 0.8 1.3 1.8
Number of observations in data set = 32
Analysis of Variance Procedure
Dependent Variable: COD
Sum of Mean
Source DF Squares Square F Value Pr> F Model 15 2024.818750 134.987917 51.24 0.0001 Error 16 42.150000 2.634375
Corrected Total 31 2066.968750
R-Square C.V. Root MSE COD Mean
0.979608 3.323846 1.623076 48.83125
Analysis of Variance Procedure
Dependent Variable: COD
Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr>F
SEASON 3 177.721250 59.240417 22.49 0.0001 DEEP 3 1768.831250 589.610417 223.81 0.0001 SEASON*DEEP 9 78.266250 8.696250 3.30 0.0180
Analysis of Variance Procedure
Dependent Variable: TOC
Sum of Mean
Source DF Squares Square F Value Pr> F Model 15 157.5346875 10.5023125 9.82 0.0001 Error 16 17.1050000 1.0690625
Corrected Total 31 174.6396875
R-Square C.V. Root MSE TOC Mean
0.902055 6.443340 1.033955 16.04688
Analysis of Variance Procedure
Dependent Variable: TOC
Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr SEASON 3 23.1709375 7.7236458 7.22 0.0028 DEEP 3 127.5109375 42.5036458 39.76 0.0001 SEASON*DEEP 9 6.8528125 0.7614236 0.71 0.6910 Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: RATIO Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr> F Model 15 0.39465000 0.02631000 1.12 0.4111 Error 16 0.37590000 0.02349375 Corrected Total 31 0.77055000 R-Square C.V. Root MSE RATIO Mean 0.512167 5.048224 0.153277 3.036250 Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: RATIO Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr SEASON 3 0.06970000 0.02323333 0.99 0.4230 DEEP 3 0.27512500 0.09170833 3.90 0.0287 SEASON*DEEP 9 0.04982500 0.00553611 0.24 0.9834 在95%的置信水平下，COD和TOC均受季节和水深的交互影响不显著，其余效应显著，COD/TOC 受季节、季节和水深的交互影响不显著，受水深影响显著。 第二题 命令代码： data set2; doduanmian=1 to 12; do i=1 to 6; input fen@@; output; end;end; cards; 4 1 0 3 5 16 0 4 0 0 6 0 5 0 0 3 6 4 2 10 0 0 2 5 0 0 0 0 1 0 21 2 12 4 20 15 54 3 0 0 0 0 37 41 30 52 46 58 0 6 0 0 0 0 8 10 0 2 5 0 104 1 29 284 108 39 2 6 0 2 1 1 ; procanova; classduanmian; model fen=duanmian; meansduanmian/t; run; 运行结果: Analysis of Variance Procedure Class Level Information Class Levels Values DUANMIAN 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Number of observations in data set = 72 Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: FEN Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr> F Model 11 50479.66667 4589.06061 4.92 0.0001 Error 60 55962.33333 932.70556 Corrected Total 71 106442.00000 R-Square C.V. Root MSE FEN Mean 0.474246 203.6015 30.54023 15.00000 Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: FEN Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr> F DUANMIAN 11 50479.66667 4589.06061 4.92 0.0001 Analysis of Variance Procedure T tests (LSD) for variable: FEN NOTE: This test controls the type I comparisonwise error rate not theexperimentwise error rate. Alpha= 0.05 df= 60 MSE= 932.7056 Critical Value of T= 2.00 Least Significant Difference= 35.27 Means with the same letter are not significantly different. T Grouping Mean N DUANMIAN A 94.17 6 11 B 44.00 6 8 B C B 12.33 6 6 C B C B 9.50 6 7 C C 4.83 6 1 C C 4.17 6 10 C C 3.17 6 4 C C 3.00 6 3 C C 2.00 6 12 C C 1.67 6 2 C C 1.00 6 9 C C 0.17 6 5 在95%的置信水平下，各断面挥发酚的差异显著。 12个断面可以分为A=｛11｝，B=｛6、7、8｝，C=｛1、2、3、4、5、6、7、9、10、12｝三类，在资金人力有限情况下可以选择在每类中只选择一个或少数几个，即可代表该类断面的总体水平。 第三题 命令代码： data set3; do lake=1 to 9; do i=1 to 6; input BOD COD S SS Cu Cr NH4@@; output; end;end; cards; 18.9 27.6 3.3 37.3 0.393 0.024 7.52 26.0 20.6 3.5 13.5 0.015 0.005 14.80 17.4 34.7 3.1 23.5 0.038 0.012 17.95 24.7 25.9 2.0 30.0 0.081 0.019 19.31 32.9 39.8 9.3 19.5 0.137 0.023 17.47 45.9 49.3 5.6 56.5 0.114 0.033 21.38 20.6 26.2 3.2 37.3 0.398 0.026 9.25 24.1 20.7 2.4 7 0.015 0.002 12.8 12.6 33.7 3.6 44 0.055 0.015 13.3 11.5 18.4 1.7 34 0.121 0.010 15.75 37.8 41.4 11.0 15 0.229 0.027 16.3 42.2 50.4 8.6 73.5 0.025 0.035 21.26 19.3 26.1 5.3 36.3 0.528 0.028 6.48 30.1 21.5 3.2 12 0.007 0.001 13.89 9.1 27.5 1.9 10.5 0.065 0.007 14.10 7.3 14.7 2.0 45 0.116 0.007 12.10 34.5 39.5 10.7 25.5 0.118 0.026 15.10 47.5 50.6 8.6 50.5 0.124 0.049 19.56 13.3 26.4 6.1 61 0.547 0.026 5.78 25.3 21.5 4.5 12 0.008 0.005 12.10 39.5 53.1 2.1 16.5 0.533 0.020 12.00 11.0 16.9 1.5 44 0.197 0.015 14.08 25.5 36.7 9.7 26.5 0.188 0.021 12.90 48.0 52.0 10.4 102.5 0.296 0.036 18.00 12.5 27.5 6.2 53.5 0.458 0.028 9.31 23.6 23.5 3.4 13.5 0.032 0.012 19.30 46.2 57.6 1.9 36 0.221 0.016 15.00 9.8 14.5 2.3 38 0.127 0.015 14.01 32.7 36.0 8.9 15 0.152 0.022 14.00 50.4 60.3 10.6 104 0.271 0.032 19.90 33.7 35.0 5.6 16.5 0.080 0.031 7.36 20.1 20.2 4.5 12 0.005 0.028 14.39 9.2 22.3 1.6 9.5 0.009 0.047 6.92 9.0 16.2 13 8 0.025 0.011 11.20 49.0 39.8 5.7 26 0.049 0.072 34.20 57.7 29.7 7.7 34.5 0.011 0.135 33.22 17.7 30.3 3.6 30.8 0.072 0.025 4.66 21.3 21.9 4.6 46 0.009 0.032 14.31 16.4 18.9 1.3 17 0.011 0.056 6.16 12.3 11.7 1.1 18 0.007 0.013 11.66 40.7 41.6 5.6 21.5 0.058 0.049 32.70 58.7 28.6 7.5 35 0.014 0.016 32.53 6.6 26.2 3.4 13 0.051 0.023 5.26 27.6 22.2 4.5 24.5 0.002 0.037 16.00 26.4 22.2 1.3 9.5 0.009 0.045 7.34 14.0 16.0 1.2 6 0.006 0.024 11.58 39.0 44.2 6.9 32 0.044 0.074 35.20 74.0 30.6 8.9 121.5 0.011 0.143 35.57 5.4 29.3 3.2 23.3 0.090 0.020 5.30 37.7 21.8 5.0 8 0.008 0.056 20.6 25.0 23.2 1.9 16.5 0.003 0.039 5.61 22.0 21.4 3.0 19 0.019 0.024 17.65 52.8 44.3 6.9 28.5 0.052 0.079 37.90 53.9 30.3 8.9 9 0.014 0.146 33.48 ; procanova; class lake; model BOD COD S SS Cu Cr NH4=lake; means lake/t; run; 运行结果： The SAS System 1 23:17 Thursday, December 23, 1999 Analysis of Variance Procedure Class Level Information Class Levels Values LAKE 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Number of observations in data set = 54 Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: BOD Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr> F Model 8 358.9670370 44.8708796 0.15 0.9960 Error 45 13449.0433333 298.8676296 Corrected Total 53 13808.0103704 R-Square C.V. Root MSE BOD Mean 0.025997 60.99978 17.28779 28.34074 Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: BOD Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr> F LAKE 8 358.9670370 44.8708796 0.15 0.9960 Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: COD Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr> F Model 8 682.0033333 85.2504167 0.55 0.8093 Error 45 6925.6516667 153.9033704 Corrected Total 53 7607.6550000 R-Square C.V. Root MSE COD Mean 0.089647 40.78613 12.40578 30.41667 Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: COD Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr> F LAKE 8 682.0033333 85.2504167 0.55 0.8093 Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: S Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr> F Model 8 27.05814815 3.38226852 0.31 0.9596 Error 45 496.36500000 11.03033333 Corrected Total 53 523.42314815 R-Square C.V. Root MSE S Mean 0.051695 65.57386 3.321195 5.064815 Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: S Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr> F LAKE 8 27.05814815 3.38226852 0.31 0.9596 Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: SS Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr> F Model 8 4290.020370 536.252546 0.87 0.5497 Error 45 27784.816667 617.440370 Corrected Total 53 32074.837037 R-Square C.V. Root MSE SS Mean 0.133750 79.91726 24.84835 31.09259 Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: SS Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr> F LAKE 8 4290.020370 536.252546 0.87 0.5497 Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: CU Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr> F Model 8 0.44981204 0.05622650 3.49 0.0032 Error 45 0.72454967 0.01610110 Corrected Total 53 1.17436170 R-Square C.V. Root MSE CU Mean 0.383027 109.3182 0.126890 0.116074 Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: CU Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr> F LAKE 8 0.44981204 0.05622650 3.49 0.0032 nalysis of Variance Procedure Dependent Variable: CR Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr> F Model 8 0.01602904 0.00200363 2.45 0.0272 Error 45 0.03682733 0.00081839 Corrected Total 53 0.05285637 R-Square C.V. Root MSE CR Mean 0.303256 84.78602 0.028607 0.033741 Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: CR Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr> F LAKE 8 0.01602904 0.00200363 2.45 0.0272 Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: NH4 Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr> F Model 8 286.6045926 35.8255741 0.42 0.9059 Error 45 3883.9601333 86.3102252 Corrected Total 53 4170.5647259 R-Square C.V. Root MSE NH4 Mean 0.068721 57.30186 9.290330 16.21296 Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: NH4 Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr> F LAKE 8 286.6045926 35.8255741 0.42 0.9059 Analysis of Variance Procedure T tests (LSD) for variable: BOD5 NOTE: This test controls the type I comparisonwise error rate not the experimentwise error rate. Alpha= 0.05 df= 45 MSE= 298.8676 Critical Value of T= 2.01 Least Significant Difference= 20.103 Means with the same letter are not significantly different. T Grouping Mean N OBS A 32.800 6 9 A A 31.267 6 8 A A 29.783 6 6 A A 29.200 6 5 A A 27.850 6 7 A A 27.633 6 1 A A 27.100 6 4 A A 24.800 6 2 A A 24.633 6 3 The SAS System 20 13:11 Friday, September 8, 2000 Analysis of Variance Procedure T tests (LSD) for variable: COD NOTE: This test controls the type I comparisonwise error rate not the experimentwise error rate. Alpha= 0.05 df= 45 MSE= 153.9034 Critical Value of T= 2.01 Least Significant Difference= 14.426 Means with the same letter are not significantly different. T Grouping Mean N OBS A 36.567 6 5 A A 34.433 6 4 A A 32.983 6 1 A A 31.800 6 2 A A 29.983 6 3 A A 28.383 6 9 A A 27.200 6 6 A A 26.900 6 8 A A 25.500 6 7 The SAS System 21 13:11 Friday, September 8, 2000 Analysis of Variance Procedure T tests (LSD) for variable: S NOTE: This test controls the type I comparisonwise error rate not the experimentwise error rate. Alpha= 0.05 df= 45 MSE= 11.03033 Critical Value of T= 2.01 Least Significant Difference= 3.862 Means with the same letter are not significantly different. T Grouping Mean N OBS A 6.350 6 6 A A 5.717 6 4 A A 5.550 6 5 A A 5.283 6 3 A A 5.083 6 2 A A 4.817 6 9 A A 4.467 6 1 A A 4.367 6 8 A A 3.950 6 7 The SAS System 22 13:11 Friday, September 8, 2000 Analysis of Variance Procedure T tests (LSD) for variable: SS NOTE: This test controls the type I comparisonwise error rate not the experimentwise error rate. Alpha= 0.05 df= 45 MSE= 617.4404 Critical Value of T= 2.01 Least Significant Difference= 28.895 Means with the same letter are not significantly different. T Grouping Mean N OBS A 43.75 6 4 A A 43.33 6 5 A A 35.13 6 2 A A 34.42 6 8 A A 30.05 6 1 A A 29.97 6 3 A A 28.05 6 7 A A 17.75 6 6 A A 17.38 6 9 The SAS System 23 13:11 Friday, September 8, 2000 Analysis of Variance Procedure T tests (LSD) for variable: CU NOTE: This test controls the type I comparisonwise error rate not the experimentwise error rate. Alpha= 0.05 df= 45 MSE= 0.016101 Critical Value of T= 2.01 Least Significant Difference= 0.1476 Means with the same letter are not significantly different. T Grouping Mean N OBS A 0.29483 6 4 A B A 0.21017 6 5 B A B A C 0.15967 6 3 B C B C 0.14050 6 2 B C B C 0.12967 6 1 C C 0.03100 6 9 C C 0.02983 6 6 C C 0.02850 6 7 C C 0.02050 6 8 The SAS System 24 13:11 Friday, September 8, 2000 Analysis of Variance Procedure T tests (LSD) for variable: CR NOTE: This test controls the type I comparisonwise error rate not the experimentwise error rate. Alpha= 0.05 df= 45 MSE= 0.000818 Critical Value of T= 2.01 Least Significant Difference= 0.0333 Means with the same letter are not significantly different. T Grouping Mean N OBS A 0.06067 6 9 A A 0.05767 6 8 A B A 0.05400 6 6 B A B A C 0.03183 6 7 B C B C 0.02083 6 5 C C 0.02050 6 4 C C 0.01967 6 3 C C 0.01933 6 1 C C 0.01917 6 2 The SAS System 25 13:11 Friday, September 8, 2000 Analysis of Variance Procedure T tests (LSD) for variable: NH4 NOTE: This test controls the type I comparisonwise error rate not the experimentwise error rate. Alpha= 0.05 df= 45 MSE= 86.31023 Critical Value of T= 2.01 Least Significant Difference= 10.803 Means with the same letter are not significantly different. T Grouping Mean N OBS A 20.090 6 9 A A 18.492 6 8 A A 17.882 6 6 A A 17.003 6 7 A A 16.405 6 1 A A 15.253 6 5 A A 14.777 6 2 A A 13.538 6 3 A A 12.477 6 4 Pr>F的值大于0.05，所以BOD5、COD、S、SS和氨氮均无显著差异，可以减少取样点，优化监测。 Cu和Cr的含量有显著差异，按Cu的含量可聚为三类A=｛3、4、5｝，B=｛1、2、3、5｝，C=｛1、2、3、6、7、8、9｝，因此我们在ABC三类中各取一个湖监测；按Cr的浓度可聚为三类A=｛6、7、8、9｝，B=｛5、6、7｝，C=｛1、2、3、4、5、7｝，因此我们在ABC三类中各取一个湖监测。 兰州交通大学 数学建模大作业 学院：机电工程学院 班级：车辆093 学号：200903812 姓名：刘键学号：200903813 姓名：杨海斌学号：200903814 姓名：彭福泰学号：200903815 姓名：程二永学号：200903816 姓名：屈辉 高速公路问题 1 实验案例 (2) 1.1 高速公路问题(简化) (2) 1.1.1 问题分析 (3) 1.1.2 变量说明 (3) 1.1.3 模型假设 (3) 1.1.4 模型建立 (3) 1.1.5 模型求解 (4) 1.1.6 求解模型的程序 (4) 1实验案例 1.1 高速公路问题(简化) A城和B城之间准备建一条高速公路，B城位于A城正南20公里和正东30公里交汇处，它们之间有东西走向连绵起伏的山脉。公路造价与地形特点有关，图4.2.4给出了整个地区的大致地貌情况，显示可分为三条沿东西方向的地形带。 你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地形上每公里的建造费用的情况下，确定最便宜的路线。图中直线AB显然是路径最短的，但不一定最便宜。而路径ARSB过山地的路段最短，但是否是最好的路径呢？ A B 图8.2 高速公路修建地段 1.1.1 问题分析 在建设高速公路时，总是希望建造费用最小。如果要建造的起点、终点在同一地貌 中，那么最佳路线则是两点间连接的线段，这样费用则最省。因此本问题是一个典型的最优化问题，以建造费用最小为目标，需要做出的决策则是确定在各个地貌交界处的汇合点。 1.1.2 变量说明 i x ：在第i 个汇合点上的横坐标（以左下角为直角坐标原点），i ＝1，2，…，4；x 5＝30（指目的地B 点的横坐标） x=[x 1，x 2，x 3，x 4]T l i ：第i 段南北方向的长度（i ＝1，2， (5) S i ：在第i 段上地所建公路的长度（i ＝1，2， (5) 由问题分析可知， () ()() () 2 542552 432442 322332212 222 1211x x l S x x l S x x l S x x l S x l S -+=-+=-+=-+=+= C 1：平原每公里的造价（单位：万元/公里） C 2：高地每公里的造价（单位：万元/公里） C 3：高山每公里的造价（单位：万元/公里） 1.1.3 模型假设 1、 假设在相同地貌中修建高速公路，建造费用与公路长度成正比； 2、 假设在相同地貌中修建高速公路在一条直线上。在理论上，可以使得建造费用最少， 当然实际中一般达不到。 1.1.4 模型建立 在A 城与B 城之间建造一条高速公路的问题可以转化为下面的非线性规划模型。优化目标是在A 城与B 城之间建造高速公路的费用。 () 4,3,2,1300. .)(min 5142332211=≤≤++++=i x t s S C S C S C S C S C x f i 数学建模作业——实验1 学院：软件学院 姓名： 学号： 班级：软件工程2015级 GCT班 邮箱： 电话： 日期：2016年5月10日 基本实验 1.椅子放平问题 依照1.2.1节中的“椅子问题”的方法，将假设中的“四腿长相同并且四脚连线呈正方形”，改为“四腿长相同并且四脚连线呈长方形”，其余假设不变，问椅子还能放平吗？如果能，请证明；如果不能，请举出相应的例子。 答：能放平，证明如下： 如上图，以椅子的中心点建立坐标，O为原点，A、B、C、D为椅子四脚的初始位置，通过旋转椅子到A’、B’、C’、D’，旋转的角度为α，记A、B两脚，C、D两脚距离地面的距离为f(α)和g(α)，由于椅子的四脚在任何位置至少有3脚着地，且f(α)、g(α)是α的连续函数，则f(α)和g(α)至少有一个的值为0，即f(α)g(α)=0，f(α)≥ 0，g(α)≥0，若f(0)＞0，g(0)=0， 则一定存在α’∈（0，π），使得 f(α’)=g(α’)=0 令α=π（即椅子旋转180°,AB 边与CD 边互换），则 f(π)=0，g(π)＞0 定义h(α)=f(α)-g(α)，得到 h(0)=f(0)-g(0)＞0 h(π)=f(π)-g(π)＜0 根据连续函数的零点定理，则存在α’∈（0，π），使得 h(α’)=f(α’)-g(α’)=0 结合条件f(α’)g(α’)=0,从而得到 f(α’)=g(α’)=0，即四脚着地，椅子放平。 2. 过河问题 依照1.2.2节中的“商人安全过河”的方法，完成下面的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米之一，而当人不在场时，猫要吃鸡、鸡要吃米，试设计一个安全过河的方案，并使渡河的次数尽量的少。 答：用i =1,2,3,4分别代表人，猫，鸡，米。1=i x 在此岸，0=i x 在对岸，()4321,,,x x x x s =此岸状态，()43211,1,1,1x x x x D ----=对岸状态。安全状态集合为 : 郑重声明： 本作业仅供参考，可能会有错误，请自己甄别。 应用运筹学作业 6.某工厂生产A，B，C，D四种产品，加工这些产品一般需要经刨、磨、钻、镗四道工序，每种产品在各工序加工时所需设备台时如表1-18所示，设每月工作25天，每天工作8小时，且该厂有刨床、磨床、钻床、镗床各一台。问：如何安排生产，才能使月利润最大？又如A，B，C，D四种产品，每月最大的销售量分别为300件、350件、200件和400件，则该问题的线性规划问题又该如何？ 1234 四种产品的数量，则得目标函数： Max=(200?150)x1+(130?100)x2+(150?120)x3+(230?200)x4 =50x1+30x2+30x3+30x4 生产四种产品所用时间： (0.3+0.9+0.7+0.4)x1+(0.5+0.5+0.5+0.5)x2+(0.2+0.7+0.4+ 0.8)x3+(0.4+0.8+0.6+0.7)x4≤25×8 即：2.3x1+2.0x2+2.1x3+2.5x4≤200 又产品数量不可能为负，所以：x i≥0(i=1,2,3,4) 综上，该问题的线性规划模型如下： Max Z=50x1+30x2+30x3+30x4 S.T.{2.3x1+2.0x2+2.1x3+2.5x4≤200 x i≥0(i=1,2,3,4) 下求解目标函数的最优解： max=50*x1+30*x2+30*x3+30*x4; 2.3*x1+2.0*x2+2.1*x3+2.5*x4<200; Global optimal solution found. Objective value: 4347.826 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 86.95652 0.000000 X2 0.000000 13.47826 X3 0.000000 15.65217 数学建模期末大作业论文 题目：A题美好的一天 组长：何曦（2014112739） 组员：李颖（2014112747）张楚良（2014112740） 班级：交通工程三班 指导老师：陈崇双 美好的一天 摘要 关键字：Dijkstra算法多目标规划有向赋权图 MATLAB SPSS 1 问题的重述 Hello！大家好，我是没头脑,住在西南宇宙大学巨偏远的新校区（节点22）。明天我一个外地同学来找我玩，TA叫不高兴，是个镁铝\帅锅，期待ing。我想陪TA在城里转转，当然是去些不怎么花钱的地方啦~~。目前想到的有林湾步行街(节点76)、郫郫公园（节点91），大川博物院（节点72）。交通嘛，只坐公交车好了,反正公交比较发达，你能想出来的路线都有车啊。另外，进城顺便办两件事，去老校区财务处一趟（节点50），还要去新东方（节点34）找我们宿舍老三，他抽奖中了两张电影票，我要霸占过来明晚吃了饭跟TA一起看。电影院嘛，TASHIWODE电影院（节点54）不错，比较便宜哈。我攒了很久的钱，订了明晚开心面馆（节点63）的烛光晚餐，额哈哈，为了TA，破费一下也是可以的哈。哦，对了，老三说了，他明天一整天都上课，只有中午休息的时候能接见我给我票。 我主要是想请教一下各位大神： 1）明天我应该怎么安排路线才能够让花在坐车上的时间最少？ 2）考虑到可能堵车啊，TA比较没耐心啊，因为TA叫不高兴嘛。尤其是堵车啊，等车啊，这种事，万一影响了气氛就悲剧了。我感觉路口越密的地方越容易堵，如果考虑这个，又应该怎么安排路线呢？ 3）我们城比较挫啊，连地图也没有，Z老师搞地图测绘的，他有地图，跟他要他不给，只给了我一个破表格（见附件，一个文件有两页啊），说“你自己画吧”。帮我画一张地图吧，最好能标明我们要去的那几个地方和比较省时的路线啊，拜托了~ 2 问题的分析 2.1 对问题一的分析 问题一要求安排路线使得坐车花费的时间最少。 对于问题一，假设公交车的速度维持不变，要使花费的时间最少，则将问题转化为对最短路径的求解。求解最短路径使用Dijkstra算法很容易进行求解，在运用MATLAB编程，得到最优的一条路径，则这条路径所对应的时间即为最少用时。 2.2 对问题二的分析 问题二要求在考虑堵车的情况下，路口越密越容易发生拥堵，安排路线是乘车时间最短。 对于问题二，在问题的基础上增加了附加因素，即公交车的速度会因道路的密集程度而发生改变，从而问题一建立的基本Dijkstra算法对于问题二就不再适用了，因此对问题一的基本Dijkstra算法进行改进，并结合蚁群算法的机理与特点，运用MATLAB求解出最短路径，保证了花费时间的最少性。 2.3 对问题三的分析 问题三要求根据提供的附件，画出一张地图，标明要去的那几个地方和比较省时的路线。 对于问题三，在问题一和问题二的基础上，根据求解的结果，运用SPSS软件画出地图。 《数学模型》作业解答 第二章(1)（2008年9月16日） 1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们 要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法； （3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑N=10的分配方案， ,432 ,333 ,235321===p p p ∑==3 1 .1000i i p 方法一（按比例分配） ,35.23 1 11== ∑=i i p N p q ,33.33 1 22== ∑=i i p N p q 32.43 1 33== ∑=i i p N p q 分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 4 ,3 ,2321===n n n 第10个席位：计算Q 值为 ,17.92043223521=?=Q ,75.92404333322=?=Q 2.9331544322 3=?=Q 3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n 方法三（d ’Hondt 方法） 此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n 此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）. i i n p 是每席位代表的人数，取,,2,1Λ=i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的,i i i n p 尽量接近. 再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t 到t t ?+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得 ?? +=n t dn wkn r k vdt 0 )(2π )22 2 n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n v k w n v rk t ππ+=∴ 第二章(2)（2008年10月9日） 15．速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ ，用量纲分析方法确定风车 1．（1） n=101; x1=linspace(-1,1,n); x2=linspace(-2,2,n); y1=[sqrt(1-x1.^2);-sqrt(1-x1.^2)]; y2=[sqrt(4-x2.^2);-sqrt(4-x2.^2);sqrt(1-(x2.^2)/4);-sqrt(1-(x2.^2)/4)]; plot(x1,y1) … hold on; plot(x2,y2) title('椭圆x^2/4+y^2=1的内切圆和外切圆') axis equal -2.5 -2-1.5-1-0.500.51 1.52 2.5 -2-1.5-1-0.500.511.5 2椭圆x 2/4+y 2=1的内切圆和外切圆 （2） x1=linspace(-2,2,101); / x2=linspace(-2,8); axis equal plot(exp(x1),x1,x1,exp(x1),x2,x2) title('指数函数y=exp(x)和对数函数y=ln(x)关于y=x 对称') -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -2-101234567 8指数函数y=exp(x)和对数函数y=ln(x)关于y=x 对称 （3） hold on — q=input('请输入一个正整数q;') for i=1:q for j=1:i if rem(j,i) plot(j/i,1/i) end end end @ 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 00.050.10.150.20.250.30.350.40.45 0.5 3．代码如下： n=input('请输入实验次数n=') k=0; for i=1:n 。 x=ceil(rand*6)+ceil(rand*6); if x ==3|x==11 k=k+1; elseif x~=2&x~=7&x~=12 y= ceil(rand*6)+ceil(rand*6); while y~=x&y~=7 y=ceil(rand*6)+ceil(rand*6); end if y==7 ； k=k+1; end end end 环境系统数学模型 环境系统数学模型 引自文献《环境评价》 1环境系统简化图： 图中，系统A的状态参数（变量）以节点x表示（例如污染物浓度），影响状态变量变化的系数以支叉α表示（例如水体弥散系数或化学动力学的速率常数等），这里，假设系统只有单一输入的扰动u和单一输出的结果y；真实的环境系统结构远较图中复杂。为简化问题，我们将环境系统简化成如上图所示。2模型建立的目的 建立数学模型的目的，从理论上说是帮助人们理解环境系统的复杂的行为，并且对系统过去发生的行为进行解释；运用模型预测环境影响，则是以环境系统过去行为的规律来推断未来。 3灰箱模型建立 ·适用范围：当人们对所研究的环境要素或过程已有一定程度的了解但是又不完全清楚，或对其中一部分比较了解而对其他部分不甚清楚时，可以应用该模型。此模型多用于预测开发性对环境的物理、化学和生物过程为主的影响。在灰箱模型中，状态变量和输出常常是随时间变化的。 ·不失一般性，可以将（3.1）代表环境系统输出变量的动态过程，（3.2）代表离散地采集的系统状态及其输出的观察结果，在稳态下的输出结果以（3.3）表示。如下： (){}(),,;y t f x u t t αξ∨ =+ （3.1） (){}(),;k k k y t h x t t αη=+ （3.2） {},,y g x u α= （3.3） 式中 x ——状态变量的向量（如在一定体积水体中污染物的浓度）； u ——实测的对系统产生扰动的输入向量（如降雨量、排入水系的各种污染物等）； α——模型系数向量（如弥散系数、有机物降解系数）； ξ——状态变量、是动态随机变化的向量（系统的噪声，一般是不能确定性地观测到的）； η——输出的观测误差向量（即测量噪声）； t ——时间历程； k t ——第k 次观测的时间； y ∨ ——表示随着时间t 变化的输出向量y 4 灰箱模型的灵敏度分析 输出变量对模型的灵敏度系数'y s 定义为 'y y s α ?=? （4.1） 'y y s s y α = （4.2） 式中 α——模型的系数值 数学建模创新思维课大作业 一、使用MATLAB 求解一下问题,请贴出代码. 1. cos 1000x mx y e =，求''y >>clear >>clc >> syms x m; >> y=exp(x)*cos(m*x/1000); >> dfdx2=diff(y,x,2) dfdx2 = exp(x)*cos((m*x)/1000) - (m*exp(x)*sin((m*x)/1000))/500 - (m^2*exp(x)*cos((m*x)/1000))/1000000 >> L=simplify(dfdx2) L = -(exp(x)*(2000*m*sin((m*x)/1000) - 1000000*cos((m*x)/1000) + m^2*cos((m*x)/1000)))/1000000 2.计算22 1100x y e dxdy +?? >> clear >> clc; >> syms x y >> L=int(int(exp(x^2+y^2),x,0,1),y,0,1) L = (pi*erfi(1)^2)/4 3. 计算4 224x dx m x +? >> clear; >> syms x m; >> f=x^4/(m^2+4*x^2); >> intf=int(f,x) intf = (m^3*atan((2*x)/m))/32 - (m^2*x)/16 + x^3/12 >> L=simplify(intf) L = (m^3*atan((2*x)/m))/32 - (m^2*x)/16 + x^3/12 4. (10)cos ,x y e mx y =求 >> clear; >> syms x m; >> y=exp(x)*cos(m*x); >> L=diff(y,x,10); >> L=simplify(L) L = -exp(x)*(10*m*sin(m*x) - cos(m*x) + 45*m^2*cos(m*x) - 210*m^4*cos(m*x) + 210*m^6*cos(m*x) - 45*m^8*cos(m*x) + m^10*cos(m*x) - 120*m^3*sin(m*x) + 252*m^5*sin(m*x) - 120*m^7*sin(m*x) + 10*m^9*sin(m*x)) 5. 0x =的泰勒展式(最高次幂为4). >> clear; >> syms m x; >> y=sqrt(m/1000.0+x)； >> y1=taylor(y,x,'order',5)； >> L=simplify(y1) L = (10^(1/2)*(m^4 + 500*m^3*x - 125000*m^2*x^2 + 62500000*m*x^3 - 39062500000*x^4))/(100*m^(7/2)) 6. Fibonacci 数列{}n x 的定义是121,1x x ==12,(3,4, )n n n x x x n --=+=用循环语句编程 给出该数列的前20项（要求将结果用向量的形式给出）。 >> x=[1,1]; >> for n=3:20 数学建模第一次综合练习班级：数学123班 成员：蒋滢蓥（12170310）汤丽娅（12170321） 吴瑞（12170322） 2.建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k>r 。在每个生产周期T 内，开始的一段时间（0 数学建模作业 ：成靖 学号：1408030311 班级：计科1403班 日期：2015.12.30 1.某班准备从5名游泳队员中选4人组成接力队，参加学校的4×100m混合泳接力比赛，5名队员4种泳姿的百米平均成绩如下表所示，问应如何选拔队员组成接力队？ 如果最近队员丁的蛙泳成绩有较大的退步，只有1′15"2；而队员戊经过艰苦训练自由泳成绩有所进步，达到57"5，组成接力队的方案是否应该调整？ 名队员4种泳姿的百米平均成绩 ij 若参选择队员i加泳姿j 的比赛，记x ij=1, 否则记x ij=0 目标函数: 即 min=66.8*x11+75.6*x12+87*x13+58.6*x14+57.2*x21+66*x22+66.4*x23+53*x24 +78*x31+67.8*x32+84.6*x33+59.4*x34+70*x41+74.2*x42+69.6*x43+57.2*x44+ 67.4*x51+71*x52+83.8*x53+62.4*x54; 约束条件: x11+x12+x13+x14<=1; x21+x22+x23+x24<=1; x31+x32+x33+x34<=1; x41+x42+x43+x44<=1; x51+x52+x53+x54<=1; x11+x21+x31+x41+x51=1; x12+x22+x32+x42+x52=1; x13+x23+x33+x43+x53=1; x14+x24+x34+x44+x54=1; ∑∑ == = 4 1 5 1 j i ij ij x c Z Min lingo模型程序和运行结果 因此，最优解为x14=1,x21=1,x32=1,x43=1,其余变量为0 成绩为253.2(秒)=4′13"2 即：甲~ 自由泳、乙~ 蝶泳、丙~ 仰泳、丁~ 蛙泳. 西南大学2014年春《数学建模》作业及答案(已整理) 第一次作业 1：[填空题] 名词解释: 1．原型 2．模型 3．数学模型 4．机理分析 5．测试分析 6．理想方法 7．计算机模拟 8．蛛网模型 9．群体决策 10．直觉 11．灵感 12．想象力 13．洞察力 14．类比法 15．思维模型 16．符号模型 17．直观模型 18．物理模型19．2倍周期收敛20．灵敏度分析21．TSP问题22．随机存储策略23．随机模型24．概率模型25．混合整数规划26．灰色预测 参考答案： 1．原型：原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。2．模型：指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。3．数学模型：是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。4．机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。5．测试分析：将研究对象看作一个"黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。6．理想方法：是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。7．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行情况，并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。8．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。9．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。10．直觉：直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。11．灵感：灵感是指在人有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。12．想象力：指人们在原有知识基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工、处理，创造出新形象，是一种形象思维活动。13．洞察力：指人们在充分占有资料的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用那些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。14．类比法：类比法注意到研究对象与以熟悉的另一对象具有某些共性，比较二者相似之处以获得对研究对象的新认识。15．思维模型：指人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接储存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。16．符号模型：是在一定约束条件或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。17．直观模型：指那些供展览用的实物模型以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。18．物理模型：主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。19．2倍周期收敛：在离散模型中，如果一个数列存在两个收敛子列就称为2倍周期收敛。20．灵敏度分析：系数的每个变化都会改变线性规划问题，随之也会影响原来求得的最优解。为制定一个应付各种偶然情况的全能方法，必须研究以求得的最优解是怎样随输入系数的变化而变化的。这叫灵敏性分析。21．TSP问题：在加权图中寻求最佳推销员回路的问题可以转化为在一个完备加权图中寻求最佳哈密顿圈的问题，称为TSP问题。22．随机存储策略：商店在订购货物时采用的一种简单的策略，是制定一个下界s和一个上界S，当周末存货不小于s时就不定货；当存货少于s 时就订货，且定货量使得下周初的存量达到S，这种策略称为随机存储策略。23．随机模型：如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应该建立随机性的数学模型，简称为随机模型。24．概 环境系统数学模型引自文献《环境评价》1环境系统简化图: 图中，系统A的状态参数（变量）以节点x表示（例如污染物浓度），影响状态变量变化的系数以支叉a表示（例如水体弥散系数或化学动力学的速率常数等）这里，假设系统只有单一输入的扰动u和单一输出的结果y;真实的环境系统结构远较图中复杂。为简化问题，我们将环境系统简化成如上图所示。 2模型建立的目的 建立数学模型的目的，从理论上说是帮助人们理解环境系统的复杂的行为，并且对系统过去发生的行为进行解释；运用模型预测环境影响，则是以环境系统过去行为的规律来推断未来。 3灰箱模型建立 ?适用范围：当人们对所研究的环境要素或过程已有一定程度的了解但是又不完全清楚，或对其中一部分比较了解而对其他部分不甚清楚时，可以应用该模型。此模型多用于预测开发性对环境的物理、化学和生物过程为主的影响。在灰箱模型中，状态变量和输出常常是随时间变化的。 ?不失一般性，可以将（3.1）代表环境系统输出变量的动态过程，（3.2）代表离散地采集的系统状态及其输出的观察结果，在稳态下的输出结果以（3.3）表示。如下： y t = f ,x ,u 打t t （3.1） y t k 二h「x, ：；t" t k （3.2） y = g ：x,u,二（3.3） 式中x——状态变量的向量（如在一定体积水体中污染物的浓度）； u――实测的对系统产生扰动的输入向量（如降雨量、排入水系的各种污染物等）; G ――模型系数向量（如弥散系数、有机物降解系数）； ――状态变量、是动态随机变化的向量（系统的噪声，一般是不能确 定性地观测到的）； ――输出的观测误差向量（即测量噪声）； t ――时间历程； 数学模型课程期末大作业题 要求: 1）选题方式：共53题，每个同学做一题，你要做的题目编号是你的学号mod52所得的值+1。(例如：你的学号为119084157，则你要做的题为mod(119084157,52)+1=50)。 2）该类题目基本为优划问题，要求提交一篇完整格式的建模论文，文字使用小四号宋体，公式用word的公式编辑器编写，正文中不得出现程序以及程序冗长的输出结果，程序以附录形式附在论文的后面，若为规划求解必须用lingo 集合形式编程，其它可用Matlab或Mathmatica编写。 3）论文以纸质文档提交，同时要交一份文章和程序电子文档，由班长统一收上来，我要验证程序。 1、生产安排问题 某厂拥有4台磨床，2台立式钻床，3台卧式钻床，一台镗床和一台刨床，用以生产7种产品，记作p1至p7。工厂收益规定作产品售价减去原材料费用之余。每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）列于下表（表1）： 表 到6月底每种产品有存货50件。 工厂每周工作6天，每天2班，每班8小时。 不需要考虑排队等待加工的问题。 在工厂计划问题中，各台机床的停工维修不是规定了月份，而是选择最合 适的月份维修。除了磨床外，每月机床在这6个月中的一个月中必须停工维修；6个月中4台磨床只有2台需要维修。扩展工厂计划模型，以使可作上述灵活安排维修时间的决策。停工时间的这种灵活性价值若何？ 注意，可假设每月仅有24个工作日。 5、生产计划 某厂有4台磨床，2台立钻，3台水平钻，1台镗床和1台刨床，用来生产7种产品，已知生产单位各种产品所需的有关设备台时以及它们的利润如表所示： 台镗床，4月—1台立钻，5月—1台磨床和1台立钻，6月—1台刨床和1台水平钻，被维修的设备在当月内不能安排生产。又知从1月到6月份市场对上述7种产品最大需求量如表所示： 量均不得超过100件。现在无库存，要求6月末各种产品各贮存50件。若该厂每月工作24天，每天两班，每班8小时，假定不考虑产品在各种设备上的加工顺序，要求： （a）该厂如何安排计划，使总利润最大； （b）在什么价格的条件下，该厂可考虑租用或购买有关的设备。 34、瓶颈机器上的任务排序 在工厂车间中，经常会出现整个车间的生产能力取决于一台机器的情况（例如，仅有一台的某型号机床，生产线上速度最慢的机器等）。这台机器就称为关键机器或瓶颈机器。此时很重要的一点就是尽可能地优化此机器将要处理的任务计划。 2016年数学建模论文 第套 论文题目： 专业、姓名： 专业、姓名： 专业、姓名： 提交日期：2016.6.27 题目：人口增长模型的确定 摘要 对美国人口数据的变化进行拟合，并进行未来人口预测，在第一个模型中，考虑到人口连续变化的规律，用微分方程的方法解出其数量随时间变化的方程，先求对数用matlab里线性拟合求出参数，即人口净增长率r=0.0214,对该模型与实际数据进行对比，并计算了从1980年后每隔10年的人口数据，与实际对比，有很大出入。因此又改进出更为符合实际的阻滞增长模型，应用微分方程里的分离变量法和积分法解出其数量随时间变化的方程，求出参数人口增长率r=0.0268和人口所能容纳最大值m x=285.89,与实际数据对比，拟合得很好，并预测出1980年后每隔10年的人口数据，与实际对比，比较符合。为了便于比较两个模型与实际数据的描述情况作对比，又做出了两个模型与实际数据的对比图，并计算了误差。 关键词：人口预测微分方程马尔萨斯人口增长模型阻滞增长模型 一、问题重述 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示： 表1 人口记录表 试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测。 二、问题分析 由于题目已经说明首先用马尔萨斯人口增长模型来刻划，列出人口增长指数增长方程并求解，并进行未来50年内人口数据预测，但发现与实际数据有较大出入。考虑到实际的人口增长率是受实际情况制约的，因此，使人口增长率为一变化的线性递减函数，列出人口增长微分方程，求出其方程解，并预测未来五十年内人口实际数据。 三、问题假设 1.假设所给的数据真实可靠; 2.各个年龄段的性别比例大致保持不变; 期末大作业题目 一、小行星的轨道问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立了以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文观测单位。在5个不同的时间对 （1 ） 建立小行星运行的轨道方程并画出其图形； （2） 求出近日点和远日点及轨道的中心（是太阳吗？）； （3） 计算轨道的周长。 二、发电机使用计划 为了满足每日电力需求（单位：兆瓦），可以选用四种不同类型的发电机。每日电力需求如下所示： 一最小输出功率。所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。这些数据均列于下表中。 电机不需要付出任何代价。我们的问题是： （1）在每个时段应分别使用哪些发电机才能够使每天的总成本最小？ （2）如果增加表3中的关闭成本，那么在每个时段应分别使用哪些发电机才能够使每天的总成本最小？ （3）如果增加表4中的关闭成本，那么在每个时段应分别使用哪些发电机才能够使每天的总成本最小？ 三、合理计税问题 所以此人一年上税为： 245×12+11445=14385元 在实际的执行过程中，每月的岗位津贴和年末一次性奖金实际上是放在一起结算给个人的，而具体每月发放多少岗位津贴和年末一次性发放多少奖金可以由职工本人在年初根据自己的需要进行选择。显然，不同的选择发放方式所缴纳的税是不同的，这就产生一个合理计税的问题。假定该事业单位一年中的津贴与奖金之和的上限是160000元，试解决下面这个问题： 四、光伏电池的选购问题 早在1839年，法国科学家贝克雷尔（Becqurel）就发现，光照能使半导体材料的不同部位之间产生电位差。这种现象后来被称为“光生伏特效应”，简称“光伏效应”。1954年，美国科学家恰宾和皮尔松在美国贝尔实验室首次制成了实用的单晶硅太阳电池，诞生了将太阳光能转换为电能的实用光伏发电技术。据预测，太阳能光伏发电在未来会占据世界能源消费的重要席位，不但要替代部分常规能源，而且将成为世界能源供应的主体。 现有一家公司欲在面积为30平方米的一片向阳的屋顶安装光伏电池以解决部分电力紧张的问题。请你利用附件提供的数据通过建立数学模型解决下面三个问题： （1）如果该公司准备投资6万5千元购买A或者B两种类型的光伏电池，请你为该公司确定购买方案使得发电总功率最大。 （2）如果购买的光伏电池的开路电压之间的差不能超过2V，请你为该公司重新确定购买方案。 （3）实际中还要考虑电池串并联后并网发电的要求，即如果要购买两种或者两种类型以上的电池时，不同型号的电池的购买数量应该相等。请你在满足（1） 数学模型（第四版）第11 章（博弈模型）习题 1. “田忌赛马”是一个家喻户晓的故事：战国时期，齐国将军田忌经常与齐王赛马，设重金赌注。孙膑发现他们的马脚力都差不多，可分为上、中、下三等。于是孙膑对田忌说：“您只管下大赌注，我能让您取胜。”田忌相信并答应了他，与齐王用千金来赌胜。比赛即将开始，孙膑对田忌说：“现在用您的下等马对付他的上等马，拿您的上等马对付他的中等马，拿您的中等马对付他的下等马。” 三场比赛完后，田忌只有一场不胜而两场胜，最终赢得齐王的千金赌注。 （1）分析这个故事中还隐含了哪些信息，并思考何时可以建模为一个博弈问题，何时只是一个简单的单人决策问题。 （2）如果齐王和田忌约定比赛开始前双方同时决定马的出场顺序，并且以后不可改变，这个博弈是否存在纯战略纳什均衡？如果不存在，求出该博弈模型的混合战略纳什均衡。 2. 1943 年2 月，第二次世界大战新几内亚战争处于关键阶段，日军决定从新不列颠附近的岛屿调派援兵。日军运输船可以沿新不列颠北侧航行，但是可能会遇上下雨，能见度也较差；或者沿岛屿的南侧航行，天气会比较好。不论那种路线都需要三天时间。如果他们希望有个好天气，当然应该选择沿南部走的路线。但是战争期间日军指挥部希望运输船暴露在由西南太平洋盟军空军司令肯尼将军指挥的美军攻击火力下的时间尽可能少。在这样的条件下日军应该选择哪条路线？ 不列颠远侧集结。肯尼将军当然希望轰炸日军船队的天数达到最大。但是美军没有足够的侦察机兼顾南北两条路线，从而尽早侦察到日本运输船的航行路线。因此，肯尼将军只能将大量的侦察机集中在南部或者北部路线上。肯尼将军应该怎么做呢？ 如果盟军将侦察机集中在南部路线上，日军也选择南部路线，则盟军可以轰炸日军三天；而若日军选择北部路线，则盟军只能轰炸日军一天。如果盟军将侦察机集中在北部路线上，则无论日军选择哪条路线，盟军可以轰炸日军两天。 （1）建立博弈模型描述双方指挥官的决策问题。 （2）求出该博弈模型的纯战略纳什均衡，并查阅当时的历史，看看双方的行动是否确实与此一致。 3. 2004 年美国总统选举即将开始前，两位候选人布什和克里都把拉票的重点转移到了竞争异常激烈的宾夕法尼亚、俄亥俄、弗罗里达三个州。民意调查显示，当时布什在这三个州赢得选举的可能性分别是20%，60%和80%。为了赢得整个选举，布什必须至少赢得其中两个州。假设如果两人同时到某个州拉票，则对每个州获胜的概率没有影响；如果两人到不同州拉票，则候选人在其所到访的州获胜的概率将增加10%。由于剩余的时间只能允许每位候选人到其中一个州拉票，那么他们应该分别选择到哪个州？ （1）建立博弈模型描述两位候选人的决策问题。 （2）求出博弈模型的纯战略纳什均衡。 4. 我们经常见到媒体报道：一些不文明现象或违法行为发生在众目睽睽之下，却无人出面阻止或干预。如果不考虑这类事件的复杂社会、道德等因素，你能否完全从数学的角度通过建立博弈模型来定量分析一下这种“人多未必势众”的现象？具体来说，希望你的模型回答下面的问题：假设有多个人正在目睹某个不文明现象或违法行为，那么当目睹人数增加时，有人出面阻止或干预的可能性是增加了还是减少了？ 5. 同类型的商家经常会出现“扎堆”现象，形成各式各样的商品城，如“书城”、“灯具城” 等。人们有时不得不跑很远的路去这类商品城，于是会抱怨：如果他们大致均匀地分布到城市的不同地点，难道不是对商家更为有利可图，也更方便顾客？请你以下面的问题为例，做出适当的假设，进行建模分析：某海滨浴场准备设立两个售货亭，以供海滩上游泳和休闲的人购买饮用水和小食品等。那么，这两个售货亭的店主将会分别将售货亭设立在哪里？ 6. 分析两个完全类似的国家对某种商品的关税税率设定问题，假设每个国家对该商品的需求与 价格间成线性减函数关系，两国博弈的顺序为：（1）两个国家的政府各自制定关于该商品的进口关 税税率；（2）两个国家各有一家企业决定生产该商品的数量（设两家企业的单件生产成本相同，并且不考虑固定成本），其中一部分供国内消费，一部分供出口（设运输成本可忽略不计）。每家企业 习 题 1 1. 请编写绘制以下图形的MA TLAB 命令，并展示绘得的图形. (1) 221x y +=、224x y +=分别是椭圆2241x y +=的内切圆和外切圆. (2) 指数函数x y e =和对数函数ln y x =的图像关于直线y=x 对称. (3) 黎曼函数 1, (0)(0,1) 0 , (0,1), 0,1 q x p q q x y x x x =>∈?=? ∈=?当为既约分数且当为无理数且或者 的图像（要求分母q 的最大值由键盘输入）. 3. 两个人玩双骰子游戏，一个人掷骰子，另一个人打赌掷骰子者不能掷出所需点数，输赢的规则如下：如果第一次掷出3或11点，打赌者赢；如果第一次掷出2、7或12点，打赌者输；如果第一次掷出4、5、6、8、9或10点，记住这个点数，继续掷骰子，如果不能在掷出7点之前再次掷出该点数，则打赌者赢. 请模拟双骰子游戏，要求写出算法和程序，估计打赌者赢的概率. 你能从理论上计算出打赌者赢的精确概率吗？请问随着试验次数的增加，这些概率收敛吗？ 4. 根据表1.14的数据，完成下列数据拟合问题： (1) 如果用指数增长模型0()0()e r t t x t x -=模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MATLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算指数增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 和r ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 和r . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. (2) 通过变量替换，可以将属于非线性模型的指数增长模型转化成线性模型，并用MA TLAB 函数polyfit 进行计算，请说明转化成线性模型的详细过程，然后写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示拟合效果图. (3) 请分析指数增长模型非线性拟合和线性化拟合的结果有何区别？原因是什么？ (4) 如果用阻滞增长模型00 () 00()()e r t t Nx x t x N x --= +-模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MA TLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算阻滞增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r 和N ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 、r 和N ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 、r 和N . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. 年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890数学建模大作业
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