武汉大学数值分析期末考试题目和答案

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )

北师大网络教育 数值分析 期末试卷含答案

注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案 一．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。 2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。 3.设110111011A -????=--????-??，233x ?? ??=?? ???? ，则1A ＝ ，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？ 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件： i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。（10分） 四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：

注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式，并 判断其是否收敛？（10分） 八．就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）

数值分析学期期末考试试题与答案(A)

期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ） 2. 为了减少误差,进行计算。 （ ） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关，与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩

数值分析期末考试复习题及其答案.doc

数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2 解： ①Newton 迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分

②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：? ??=1 3A ??? 22，??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收 敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(

昆明理工大学—数值分析各年考试题及答案

昆明理工大学数值分析考试题 （07） 一．填空（每空3分，共30分） 1． 设A 0.231x =是真值0.229T x =的近似值，则A x 有 位有效数字。 2． 若74()631f x x x x =+++，则017[2,2,...2]f = ，018[2,2,...2]f = 。 3． A=1031?? ? ?-?? ,则1 A = ； A ∞ = ； 2 A = 2()cond A = 。 4． 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 。 5．设105%x =± ，则求函数()f x =的相对误差限为 。 6．A=2101202a a ?? ? ? ??? ,为使其可分解为T L L （L 为下三角阵，主对角线元素>0），a 的取值范 围应为 。 7．用最小二乘法拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线是 。 （注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。） 二．推导与计算 （一）对下表构造f(x)的不超过3次的插值多项式，并建立插值误差公式。（12分） （二）已知()x x =Φ和()x 'Φ满足∣()x 'Φ-3∣<1。请利用()x Φ构造一个收敛的简单迭代函数()x ψ，使1(),0,1,......k k x x k +=ψ=收敛。（8分）

（三）利用复化梯形公式计算2 1 x I e dx -=?，使其误差限为60.510-?，应将区间[0，1] 等份。（8分） （四）设A= 1001005a b b a ?????????? ，detA ≠0，推导用a ，b 表示解方程组AX=f 的Seidel(G-S) 迭代法收敛的充分必要条件。（10分） （五）确定节点及系数，建立如下 GAUSS 型求积公式 1 11220 ()()dx A f x A f x ≈+? 。（10分） （六）对微分方程初值问题'00(,) ()y f x y y x y ?=?=? （１） 用数值积分法推导如下数值算法： 1111(4)3 n n n n n h y y f f f +-+-=+ ++，其中(,)i i i f f x y =，(1,,1)i n n n =-+。（8分） （２） 试构造形如 1011011(),n n n n n y a y a y h b f b f +--=+++ 的线形二步显格式差分格式，其中111(,),(,)n n n n n n f f x y f f x y ---==。试确定系数0101,,,a a b b ，使 差分格式的阶尽可能高，写出其局部截断误差主项，并指明方法是多少阶。（14分） （考试时间2小时30分钟）

数值分析试卷及其答案2

1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为

2014-2015数值分析考试试题卷

太原科技大学硕士研究生 2014/2015学年第1学期《数值分析》课程试卷 一、填空题（每空4分，共32分） 1、设?????≤≤-++<≤+=2 1,1321 0,)(2 323x x bx x x x x x s 是以0,1,2为节点三次样条函数，则b=__-2___ 2、解线性方程组12312312388 92688 x x x x x x x x x -++=-?? -+=??-+-=? 的Jacobi 迭代格式（分量形式）为 ?? ???+--=++-=++=+++)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2) (3)(2)1(1882/)96(88k k k k k k k k k x x x x x x x x x ，其相应的迭代矩阵为??????????-0812/102/9810。 3、方程03 =-a x 的牛顿法的迭代格式为__3 12 3k k k k x a x x x +-=-__________，其收敛的阶为 2 。 4、已知数x 的近似值0.937具有三位有效数字，则x 的相对误差限是310534.0-? 解：x 1≈0.937， 31102 1 )(-?≤ x ε 3 31111 10(x )2 (x )0.53410x 0.937 r εε--?=≤=? 5、用列主元高斯消去法解线性方程组 ??? ??=--=++=++2333220221 321321x x x x x x x x 作第1次消元后的第2，3个方程分别为? ? ?=+--=-5.35.125 .15.03232x x x x 6、设???? ??-=3211A ，则=∞)(A Cond __4____.

北航2010-2011年研究生数值分析期末模拟试卷1-3

数值分析模拟试卷1 一、填空（共30分，每空3分） 1 设??? ? ??-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数=________. 2 设 ,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________, ],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________. 3 设?????≤≤-++≤≤+=2 1,121 0,)(2 323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________. 4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则 ?=1 )(dx x xq k ________，=)(2 x q ________. 5 设???? ??????=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当 其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的. 二、（14分）设4 9,1,41,)(2102 3 === =x x x x x f , （1）试求)(x f 在]4 9,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足 2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='. （2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式. 三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3 2 41+ =+， （1） 证明R x ∈?0均有? ∞ →=x x n x lim （? x 为方程的根）； （2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值； （3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论. 四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？

数值分析试题A卷10.1

中国石油大学（北京）2009--2010学年第一学期 研究生期末考试试题A (闭卷考试) 课程名称：数值分析 注：计算题取小数点后四位 一、填空题（共30分，每空3分） 1、 已知x =是由准确数a 经四舍五入得到的近似值，则x 的绝对误差 界为_______________。 2、数值微分公式()() '()i i i f x h f x f x h +-≈ 的截断误差为 。 3、已知向量T x =，求Householder 变换阵H ，使(2,0)T Hx =-。 H = 。 4、利用三点高斯求积公式 1 1 ()0.5556(0.7746)0.8889(0)0.5556(0.7746)f x dx f f f -≈-++? 导出求积分 4 0()f x dx ?的三点高斯求积公式 。 5、4 2 ()523,[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]_____.f x x x f =+-= 若则 6、以n + 1个互异节点x k ( k =0,1,…,n ),（n >1）为插值节点的 Lagrange 插值基函数为l k (x)( k =0,1,…,n )，则 (0)(1)__________.n k k k l x =+=∑ 7、已知3()P x 是用极小化插值法得到的cos x 在[0,4]上的三次插值多项式，则3()P x 的 截断误差上界为3()cos ()R x x P x =-≤_________.

8、已知向量(3,2,5)T x =-，求Gauss 变换阵L ，使(3,0,0)T Lx =。L =_________. 9、设3 2 ()(7)f x x =-, 给出求方程()0f x =根的二阶收敛的迭代格式_________。 10、下面M 文件是用来求解什么数学问题的________________________. function [x,k]=dd （x0） for k=1:1000 x=cos (x0); if abs(x-x0)<, break end x0=x; end 二、（15分）已知矛盾方程组Ax=b ，其中11120,1211A b ???? ????==???????????? ， （1）用施密特正交化方法求矩阵A 的正交分解，即A=QR 。 （2）用此正交分解求矛盾方程组Ax=b 的最小二乘解。 三、（10分）已知求解线性方程组Ax=b 的分量迭代格式 1 (1) (1) ()1 +1 /, 121,,i n k k k i i ij j ij j ii j j i x b a x a x a i n n -++===-- =-∑∑（），， （1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵； （2）若11a A a ?? = ??? ，推导上述迭代格式收敛的充分必要条件。 四、（15分）（1）证明对任何初值0x R ∈，由迭代公式11 1sin ,0,1,2, (2) k k x x k +=+ = 所产生的序列{}0k k x ∞ =都收敛于方程1 1sin 2 x x =+ 的根。 （2）迭代公式11 21sin ,0,1,2, (2) k k k x x x k +=-- =是否收敛。 五、（15分）用最小二乘法确定一条经过原点(0,0)的二次曲线，使之拟合下列数据

数值分析期末试卷

数值分析2006 — 2007学年第学期考试 课程名称：计算方法 A 卷 考试方式：开卷[] 闭卷[V ] 半开卷[] IV 类 充要条件是a 满足 二、（18分）已知函数表如下 1?设 f(0) = 0, f (1) =16 , f( 2) =46，则 f [0,1]= ,f[0,1,2]二 2 ?设 AJ <2 -3 -1 ，则X ，A := A 1 1 j — 3 ?计算积分 xdx ，取4位有效数字。用梯形公式求得的近似值为 "0.5 （辛普森）公式求得的近似值为 ，用 Spsn 4?设f （x ）二xe x -3，求方程f （x ） =0近似根的牛顿迭代公式是 ，它的收 敛阶是 5 ?要使求积公式 1 1 [f (x)dx 拓一(0) + A , f (x 1)具有2次代数精度，则 捲= _________________ , 0 4 6 ?求解线性方程组 x 1 ax 2 = 4 , 12_3 （其中a 为实数）的高斯一赛德尔迭代格式收敛的 10 11 12 13 In x 2.3026 2.3979 2.4849 2.5649

三、(20分)构造如下插值型求积公式，确定其中的待定系数，使其代数精度尽可能高, 并指出所得公式的代数精度。 2 f (x)dx ： A o f (0) A f (1) A2f(2) o

X 2 4 6 8 y 2 11 28 40 五、（14分）为求方程X ’ -X 2 -1 =0在X o =1.5附近的一个根，将方程改写为下列等价 形式，并建立相应的迭代公式: 试问上述两种迭代公式在 x 0 =1.5附近都收敛吗？为什么？说明理由。 （1）X =1 ?丄，迭代公式 X 1 X k 1 = 1 - X k （2） X 2二1 ，迭代公式 X —1 2 （X k ）； X k 1

数值分析期末试题

数值分析期末试题 一、填空题（20102=?分） （1)设??? ? ? ??? ??---=28 3 012 251A ，则=∞ A ______13_______。 （2)对于方程组?? ?=-=-3 4101522121x x x x ，Jacobi 迭代法的迭代矩阵是=J B ?? ? ? ??05.25.20。 （3)3*x 的相对误差约是*x 的相对误差的 3 1倍。 （4）求方程)(x f x =根的牛顿迭代公式是) ('1)(1n n n n n x f x f x x x +-- =+。 （5）设1)(3 -+=x x x f ，则差商=]3,2,1,0[f 1 。 （6）设n n ?矩阵G 的特征值是n λλλ,,,21 ，则矩阵G 的谱半径=)(G ρi n i λ≤≤1max 。 （7）已知?? ? ? ??=1021 A ，则条件数=∞ )(A Cond 9 （8）为了提高数值计算精度，当正数x 充分大时,应将)1ln(2 -- x x 改写为 )1ln(2 ++ -x x 。 （9）n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为1-n 次。 （10）拟合三点))(,(11x f x ，))(,(22x f x ，))(,(33x f x 的水平直线是)(3 1 3 1 ∑== i i x f y 。 二、（10分）证明：方程组? ?? ??=-+=++=+-1 211 2321321321x x x x x x x x x 使用Jacobi 迭代法求解不收敛性。 证明：Jacobi 迭代法的迭代矩阵为 ???? ? ?????---=05 .05 .01015.05.00J B J B 的特征多项式为

数值分析历年考题

数值分析A 试题 2007.1 第一部分：填空题10?5 1.设3112A ?? = ??? ,则A ∞=___________ 2()cond A =___________ 2.将4111A ??= ??? 分解成T A LL =，则对角元为正的下三角阵L =___________ ,请用线性最小二乘拟合方法确定拟合函数()bx f x ae =中的参数：a = ___________ b =___________ 4.方程13 cos 2044x x π--=在[0,1]上有 个根，若初值取00.95x =，迭代方法 113 cos 244 k k x x π+=-的收敛阶是 5.解方程2 210x x -+=的Newton 迭代方法为___________，其收敛阶为___________ 6.设()s x = 323 2 323,[0,1]31,[1,2] ax x x x x x bx x +-+∈--+∈为三次样条函数，则a = ___________ b =___________ 7.要想求积公式： 1 121 ()(()f x dx A f f x -≈+? 的代数精度尽可能高，参数1A = ___________ 2x =___________此时其代数精度为：___________ 8.用线性多步法2121(0.50.5)n n n n n y y h f f f ++++-=-+来求解初值问题 00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，该方法的局部截断误差为___________，设 ,0,f y μμ=?其绝对稳定性空间是___________ 9.用线性多步法 2121()n n n n n y ay by h f f ++++-+=-来求解初值问题 00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，希望该方法的阶尽可能高，那么a = ___________ b =___________，此时该方法是几阶的：___________

数值分析期末试题

一、（8分）用列主元素消去法解下列方程组： ??? ??=++-=+--=+-11 2123454 321321321x x x x x x x x x 二、（10分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=1,y(1)= —2,y '(0)=1, y '(1)=—4 三、（12分）分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式并利用复化的梯形公式、复化的辛普生公式计算下列积分： ? 9 1dx x n=4 四、（10分）证明对任意参数t ，下列龙格－库塔方法是二阶的。 五、（14分）用牛顿法构造求c 公式，并利用牛顿法求115。保留有效数字五位。 六、（10分）方程组AX=B 其中A=????????? ?10101a a a a 试就AX=B 建立雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，并讨论a 取何值时 迭代收斂。 七、（10分）试确定常数A,B,C,a,使得数值积分公式?-++-≈2 2 ) (}0{)()(a Cf Bf a Af dx x f 有尽可能多的 代数精确度。并求该公式的代数精确度。 八、{6分} 证明： A ≤ 其中A 为矩阵，V 为向量. 第二套 一、（8分）用列主元素消去法解下列方程组： ??? ??=++=+-=+3 2221 43321 32132x x x x x x x x 二、（12分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=y '(0)=0, y(1)=y '(1)= 1,y(2)=1 三、（14分）分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式,并利用复化的梯形公式、 复化的辛普生公式及其下表计算下列积分： ?2 /0 sin πxdx ????? ? ? -+-+=++==++=+1 3121231)1(,)1(() ,(),()(2 hk t y h t x f k thk y th x f k y x f k k k h y y n n n n n n n n

数值分析整理版试题及复习资料

例1、 已知函数表 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1） 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为

[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 ()()()()()()()()1 1 200110 1 1 2011000 1 210 1 ,11, ,3 1 23 ,,, ,3226 9,324 dx x dx xdx f x x dx f x x x dx ??????????==== ====++= =++= ????? 所以，法方程为 011231261192 34a a ??????????=?????????? ?????????? ，经过消元得012311 62110123a a ??? ???????=???????????????????? 再回代解该方程，得到14a =，011 6a =

数值分析试题及答案

数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差 商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以 当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…) 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题及答案汇 总 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

数值分析试题 一、填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =(x )在有解区间满足 |’(x )| <1 ，则使用该迭代函数 的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差 商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当系数 a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…) 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 (B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。

2019年数值分析第二学期期末考试试题与答案A

卷）期末考试试卷（A2007学年第二学期考试科目：数值分析分钟考试时间：120 年级专业学号姓 名 题号一2二三0四总分 分）分，共10一、判断题（每小题210001?n）（ 1. 用计算机求时，应按照从小到大的顺序相加。1000n1n?219992001?为了减少误差2. ,应将表达式进行计算。（改写为）19992001?） （ 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（系数矩阵及其演变方式有用迭代法解线性方程组时，5. 迭代能否收敛与初始向量的选择、） （关，与常数项无关。 分）二、填空题（每空2分，共36_________. ________，相对误差限为已知数a的有效数为0.01，则它的绝对误差限为1. 0?110??????????xA?Ax,0?21,x??5A?_____. 则设______，_____，2. ????21?????1?130????53f(x)?2x?4x?5x,f[?1,1,0]?f[?3,?2,?1,1,2,3]? 3. 已知则, . 331?)?Af(0)?Af(f(x)dx?Af(?)的代数精度尽量高，应使4. 为使求积公式321331?A?A?A?，此时公式具有，，次的代数精度。312 ?nA)(A的关系是 5. A阶方阵的谱半径与它的任意一种范数. (k?1)(k)BAX??N(k?XMX?0,1,2,)产时，使迭代公式用迭代法解线性方程组6. ??)k(X . 生的向量序列收敛的充分必要条件是

AX?BAL和上三角矩7. 使用消元法解线性方程组系数矩阵时，可以分解为下三角矩阵1 4?2??BAX?.A?LUU?A，则阵若采用高斯消元法解的乘积，即，其中??21??L?U?AX?B，则，______________；若使用克劳特消元法解_______________u?lu BAX?的大小关系为_____（选填：则____；若使用平方根方法解>与，，111111<，=，不一定）。 ??x?yy?8. 以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题的数值解，其迭代公式为 ?y(0)?1?___________________________. 三、计算题（第1～3、6小题每题8分，第4、5小题每题7分，共46分） 32?x01??3x?xf(x)?2)(1, 1.在区间为初值用牛顿迭代法求方程内的根，要求以0证明用牛顿法解此方程是收敛的；（1）,xx,计算结果（2）给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算21位）。取到小数点后4 2 2.给定线性方程组 x?0.4x?0.4x?1?312?0.4x?x?0.8x?2?321?0.4x?0.8x?x?3?312（1）分别写出用Jacobi和 Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式； （2）试分析以上两种迭代方法的敛散性。

数值分析复习题及答案

数值分析复习题 一、选择题 1. 和分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A．B． C． D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0， B．＝0， C．＝1， D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性 B．平方 C．线性 D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A． B． C．D． 二、填空 1. 设，取5位有效数字，则所得的近似值x= . 2.设一阶差商， 则二阶差商 3. 设, 则，。 4．求方程的近似根，用迭代公式，取初始值，那么 5．解初始值问题近似解的梯形公式是 6、，则A的谱半径＝。 7、设，则和。 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代 都。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为。 10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写 成。 11. 设, 则，. 12. 一阶均差

13. 已知时，科茨系数，那么 14. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 15. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式 . 16.设是真值的近似值，则有位有效数字。 17. 对, 差商( )。 18. 设, 则。 19.牛顿—柯特斯求积公式的系数和。 20. 若a=是的近似值，则a有( )位有效数字. 21. 是以为插值节点的Lagrange插值基函数，则( ). 22. 设f (x)可微，则求方程的牛顿迭代格式是( ). 23. 迭代公式收敛的充要条件是。 24. 解线性方程组A x=b (其中A非奇异，b不为0) 的迭代格式中的B称为( ). 给定方程组， 解此方程组的雅可比迭代格式为( )。 25、数值计算中主要研究的误差有和。 26、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则；。 27、设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为；插值型求积公式中求积系数；且。 28、辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式 为。 29、则。 30.设x* = 是真值x = 的近似值，则x*有位有效数字。 31. ，。 32.求方程根的牛顿迭代格式是。 33.已知,则, 。 34. 方程求根的二分法的局限性是。 三、计算题

数值分析期末试题

信02数值分析期末试卷 2005.6.20 班级：__________ 姓名：_________ 分数：___________ 一、填空题(每空2分，共10分) 1、计算正方形面积要使相对误差限为2%, 则边长L 时相对误差限为____． 2、设求积公式?∑≈=b a n i i i x f x x f 0 )(d )(ω是插值型的，其中n 为正整数， b x x x a n ≤<<<≤ 10，则其代数精度至少为____，至多为_____． 3、如果某方法的误差) (k X 满足关系式)1() (5.002-?? ????=k k X a X ，其中 ,2,1=k ，并且该方法是收敛的，那么a 的范围是______． 4、四阶Runge-Kutta 方法解常微分方程初值问题的局部截断误差是____． 二、(10分) 证明方程0sin 1=--x x 在]1,0[上有根，写出牛顿迭代公式， 并取初始值为10=)(x 求近似根?)(=2x （保留六位小数）

三、(20分) 求x x f += 11)(在]1,0[上的一次最佳一致逼近多项式和一次最佳 平方逼近多项式.

四、(12分) 考虑利用Gauss-Seidle 迭代法分别求解线性方程组 ??????????=????????????????????24210 1 014120321x x x 和???? ? ?????=????????????????? ???22410 1 120014 321x x x ， （1）说明两者的收敛性；（2）并对收敛的迭代法写出计算格式，再由 初始向量T X )0,0,0()0(=，计算=)(4X ？