浙江专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.2函数的单调性与最值

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本

初等函数I 2.2 函数的单调性与最值教师用书

1．函数的单调性 (1)单调函数的定义

如果函数y ＝f (x )在区间D

上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值

【知识拓展】 函数单调性的常用结论

(1)对任意x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f x 1 －f x 2 x 1－x 2>0?f (x )在D 上是增函数，

f x 1 －f x 2

x 1－x 2

<0?f (x )在D 上是减函数．

(2)对勾函数y ＝x ＋a x

(a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．

(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．

(4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”． 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)

x

的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )

(4)所有的单调函数都有最值．( × )

(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( × )

(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( √ )

1．(2016·北京)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A ．y ＝

1

1－x

B ．y ＝cos x

C ．y ＝ln(x ＋1)

D ．y ＝2－x

答案 D

解析 y ＝1

1－x

与y ＝ln(x ＋1)在区间(－1,1)上为增函数；

y ＝cos x 在区间(－1,1)上不是单调函数；y ＝2－x ＝? ??

??12

x 在(－1,1)上单调递减．

2．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－6 D ．6 答案 C

解析 由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[－a 2，＋∞)，令－a

2＝3，得a ＝－6.

3．(2016·舟山模拟)函数y ＝x 2

＋2x －3(x >0)的单调增区间为________． 答案 (0，＋∞)

解析 函数的对称轴为x ＝－1，又x >0， 所以函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．

4．(教材改编)已知函数f (x )＝2

x －1

，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________． 答案 2 2

5

解析 可判断函数f (x )＝2

x －1

在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25

.

题型一 确定函数的单调性(区间) 命题点1 给出具体解析式的函数的单调性

例1 (1)函数f (x )＝log 12

(x 2

－4)的单调递增区间是( )

A ．(0，＋∞)

B ．(－∞，0)

C ．(2，＋∞)

D ．(－∞，－2)

(2)y ＝－x 2

＋2|x |＋3的单调增区间为________． 答案 (1)D (2)(－∞，－1]，[0,1]

解析 (1)因为y ＝log 12

t ，t >0在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求

函数t ＝x 2

－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)． (2)由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2

＋2x ＋3＝－(x －1)2

＋4；当x <0时，y ＝－x 2

－2x ＋3＝－(x ＋1)2

＋4， 二次函数的图象如图．

由图象可知，函数y ＝－x 2

＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数. 命题点2 解析式含参数的函数的单调性 例2 已知函数f (x )＝ax

x 2

－1

(a >0)，用定义法判断函数f (x )在(－1,1)上的单调性．

解 设－1

ax 1

x 21－1－

ax 2

x 22－1

＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 2

1＋ax 2 x 21－1 x 22－1 ＝a x 2－x 1 x 1x 2＋1 x 21－1 x 2

2－1

∵－1

∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 2

1－1)(x 2

2－1)>0. 又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数f (x )在(－1,1)上为减函数． 引申探究

如何用导数法求解例2?

解 f ′(x )＝a · x 2－1 －ax ·2x x 2－1 2＝－a x 2＋1 x 2－1

2，

∵a >0，∴f ′(x )<0在(－1,1)上恒成立， 故函数f (x )在(－1,1)上为减函数． 思维升华 确定函数单调性的方法

(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法． (2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”． (3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．

(1)已知函数f (x )＝x 2

－2x －3，则该函数的单调递增区间为( )

A ．(－∞，1]

B ．[3，＋∞)

C ．(－∞，－1]

D ．[1，＋∞)

(2)函数f (x )＝(3－x 2

)e x

的单调递增区间是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞)

C ．(－3,1)

D ．(－∞，－3)和(1，＋∞)

答案 (1)B (2)C

解析 (1)设t ＝x 2

－2x －3，则t ≥0，即x 2

－2x －3≥0，

解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 因为函数t ＝x 2

－2x －3的图象的对称轴为x ＝1， 所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减， 在[3，＋∞)上单调递增．

所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．

(2)f ′(x )＝－2x ·e x ＋e x (3－x 2)＝e x (－x 2－2x ＋3)＝e x

[－(x ＋3)(x －1)]．

当－30，所以函数y ＝(3－x 2

)e x

的单调递增区间是(－3,1)，故选C. 题型二 函数的最值

例3 (1)(2016·诸暨质检)已知f (x )＝????

?

1＋x ，x ≤0，log 2 x 2

＋2x ＋a ，x >0，

其中a >0.

若函数f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0,2]

解析 设t ＝x 2

＋2x ＋a (x >0)，则t >a ， ∴log 2t >log 2a ，

又x ≤0时，f (x )≤1，又f (x )的值域为R ， ∴log 2a ≤1，∴0

(2)已知f (x )＝x 2＋2x ＋a

x

，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.

①当a ＝1

2

时，求函数f (x )的最小值；

②若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解 ①当a ＝12时，f (x )＝x ＋1

2x

＋2，

又x ∈[1，＋∞)，所以f ′(x )＝1－1

2x 2>0，即f (x )在[1，＋∞)上是增函数，

所以f (x )min ＝f (1)＝1＋12×1＋2＝7

2.

②f (x )＝x ＋a

x

＋2，x ∈[1，＋∞)．

(ⅰ)当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数． 最小值为f (1)＝a ＋3.

要使f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3>0， 所以－3

(ⅱ)当0

2，

因为x ∈[1，＋∞)，所以f ′(x )≥0，即f (x )在[1，＋∞)上为增函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝a ＋3， 即a ＋3>0，a >－3，所以0

综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，

a 的取值范围是(－3,1]．

思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．

(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．

(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．

(1)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________．

(2)函数f (x )＝x 2＋8

x －1

(x >1)的最小值为________．

答案 (1)1 (2)8

解析 (1)易知函数y ＝x ＋x －1在[1，＋∞)上为增函数，∴x ＝1时，y min ＝1.(本题也可用换元法求解)

(2)方法一 (基本不等式法)f (x )＝x 2＋8

x －1

＝ x －1 2

＋2 x －1 ＋9x －1

＝(x －1)＋

9

x －1

＋2≥2 x －1 ·

9

x －1

＋2＝8， 当且仅当x －1＝

9

x －1

，即x ＝4时，f (x )min ＝8. 方法二 (导数法)f ′(x )＝

x －4 x ＋2

x －1

2

， 令f ′(x )＝0，得x ＝4或x ＝－2(舍去)． 当1

f (x )在(1,4)上是递减的；

当x >4时，f ′(x )>0，

f (x )在(4，＋∞)上是递增的，

所以f (x )在x ＝4处取到极小值也是最小值， 即f (x )min ＝f (4)＝8. 题型三 函数单调性的应用 命题点1 比较大小

例4 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－

f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－1

2

)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )

A ．c >a >b

B ．c >b >a

C ．a >c >b

D ．b >a >c 答案 D

解析 根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a ＝f (－12)＝f (52)，且2<5

2<3，所以b >a >c .

命题点2 解函数不等式

例5 (2016·温州模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f (1

2)＝0，则

满足f (log 19

x )>0的x 的集合为________________．

答案 {x |0

3

或1

解析 由题意知f (12)＝0，f (－1

2)＝0，

由f (19

log x )>0，得19

log x >1

2

，

或－12<19

log x <0，解得0

3

或1

命题点3 求参数范围

例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2

＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－14

B ．a ≥－1

4

C ．－1

4

≤a <0

D ．－1

4

≤a ≤0

(2)已知f (x )＝?????

2－a x ＋1，x <1，

a x

，x ≥1

满足对任意x 1≠x 2，都有

f x 1 －f x 2

x 1－x 2

>0成立，

那么a 的取值范围是________． 答案 (1)D (2)[3

2

，2)

解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；

当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1

a

，

因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－1

4≤a <0.

综合上述得－1

4

≤a ≤0.

(2)由已知条件得f (x )为增函数， 所以????

?

2－a >0，a >1，

2－a ×1＋1≤a ，

解得32≤a <2，所以a 的取值范围是[3

2

，2)．

思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．

(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数．

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；

②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．

(1)(2016·杭州滨江区模拟)已知函数f (x )＝x (e x

－1e

x )，若f (x 1)

( ) A ．x 1>x 2 B ．x 1＋x 2＝0 C ．x 1

D ．x 2

1

2

(2)(2016·金华模拟)要使函数y ＝2x ＋k

x －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，

则实数k 的取值范围是________． 答案 (1)D (2)(－∞，－4)

解析 (1)f (－x )＝－x (1e x －e x

)＝f (x )，

∴f (x )在R 上为偶函数，

f ′(x )＝e x －1e x ＋x (e x ＋1e

x )，

∴当x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数， 由f (x 1)

1

2.

(2)由于y ＝log 3(x －2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数， 故函数y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上是增函数． 又函数y ＝2x ＋k x －2＝2 x －2 ＋4＋k x －2＝2＋4＋k

x －2，

因其在(3，＋∞)上是增函数，故4＋k <0，得k <－4.

1．解抽象函数不等式

典例(15分)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.

(1)求证：f(x)在R上是增函数；

(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.

思维点拨(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点．要构造出f(M)

规范解答

(1)证明设x1，x2∈R且x10，

∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1. [2分]

f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[4分]

∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0?f(x1)

∴f(x)在R上为增函数．[7分]

(2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，

∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1?f(2)＝2f(1)－1，[8分]

f(3)＝4?f(2＋1)＝4?f(2)＋f(1)－1＝4?3f(1)－2＝4，

∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[12分]

∵f(x)在R上为增函数，

∴a2＋a－5<1?－3

即a∈(－3,2)．[15分]

解函数不等式问题的一般步骤

第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；

第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)

第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；

第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；

第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范.

1．(2016·北京东城区模拟)下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是( )

A ．y ＝－x ＋1

B ．y ＝

11－x

C ．y ＝－(x －1)2

D ．y ＝3

1－x

答案 B

解析 A 中，函数在(1，＋∞)上为减函数，C 中，函数在(1，＋∞)上为减函数，D 中，函数在(1，＋∞)上为减函数．

2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．(0,2] D ．[2，＋∞)

答案 A

解析 f (x )＝?

????

x 2

－2x ，x >2，

－x 2

＋2x ，x ≤2，

当x >2时，f (x )为增函数，

当x ≤2时，(－∞，1]是函数f (x )的增区间； [1,2]是函数f (x )的减区间．

3．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞)

答案 C

解析 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，即a ≥1.

4．已知f (x )＝?

???

?

a x

，x >1， 4－a

2 x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是

( ) A ．(1，＋∞) B ．[4,8) C ．(4,8) D ．(1,8)

答案 B

解析 由已知可得?????

a >1，

4－a 2

>0，

a ≥ 4－a

2

＋2，解得4≤a ＜8.

5．(2016·宁波模拟)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调

递增，则满足f (2x －1)

3)的x 的取值范围是( )

A ．(13，23)

B ．[13，2

3)

C ．(12，23)

D ．[12，23

)

答案 D

解析 由已知，得?

???

?

2x －1≥0，2x －1<1

3，即12≤x <23

. 6．定义新运算 ：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a

，则函数f (x )＝(1 x )x －(2 x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6 D ．12 答案 C

解析 由已知得，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1

－2.

∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.

7．(2017·杭州检测)设函数f (x )与g (x )的定义域为R ，且f (x )单调递增，F (x )＝f (x )＋g (x )，

G (x )＝f (x )－g (x )．若对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，不等式[f (x 1)－f (x 2)]2>[g (x 1)－g (x 2)]2

恒成立，则( ) A ．F (x )，G (x )都是增函数 B ．F (x )，G (x )都是减函数 C ．F (x )是增函数，G (x )是减函数 D ．F (x )是减函数，G (x )是增函数 答案 A

解析 由[f (x 1)－f (x 2)]2

－[g (x 1)－g (x 2)]2

>0，得 [F (x 1)－F (x 2)][G (x 1)－G (x 2)]>0， 所以F (x )，G (x )的单调性相同， 又因为F (x )＋G (x )＝2f (x )为增函数， 所以F (x )，G (x )都是增函数，故选A.

8．函数f (x )＝? ??

??13x

－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．

答案 3

解析 由于y ＝? ??

??13x

在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上

单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3. 9．(2016·杭州模拟)设函数f (x )＝????

?

1，x >0，0，x ＝0，

－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递

减区间是___． 答案 [0,1)

解析 由题意知g (x )＝????

?

x 2

，x >1，0，x ＝1，

－x 2，x <1，

函数的图象如图所示，其递减区间为[0,1)．

*10.(2016·北京东城区模拟)已知f (x )＝?

????

x 2

－4x ＋3，x ≤0，

－x 2

－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －

x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．

答案 (－∞，－2)

解析 二次函数y 1＝x 2

－4x ＋3的对称轴是x ＝2， ∴该函数在(－∞，0]上单调递减，

∴x 2

－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2

－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减， ∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减， ∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ， 即2x

∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)． 11．已知函数f (x )＝1a －1

x

(a >0，x >0)．

(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；

(2)若f (x )在[12，2]上的值域是[1

2，2]，求a 的值．

(1)证明 任取x 1>x 2>0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1

x 2

＝

x 1－x 2

x 1x 2

，∵x 1>x 2>0， ∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0，

∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．

(2)解 由(1)可知，f (x )在[1

2，2]上为增函数，

∴f (12)＝1a －2＝12，f (2)＝1a －1

2＝2，

解得a ＝25

.

12．(2017·金华十校高三上学期调研)已知函数f (x )＝|ax 2

－8x |(0

解 f (－1)＝|a ＋8|>f (1)＝|a －8|，f (4a )＝16

a

≥2，

①当0

a

时，f (x )max ＝f (－1)＝a ＋8；

②当4

a

，

当a ＋8＝16

a

时，a ＝42－4，

所以当a >42－4时，f (x )max ＝f (－1)＝a ＋8. 综上，f (x )max ＝a ＋8.

13.已知函数f (x )＝lg(x ＋a

x

－2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；

(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．

解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a

x

>0，

当a >1时，x 2

－2x ＋a >0恒成立， 定义域为(0，＋∞)；

当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}；

当01＋1－a }． (2)设g (x )＝x ＋a x

－2， 当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，

g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a

x

2>0恒成立，

所以g (x )＝x ＋a x

－2在[2，＋∞)上是增函数．

所以f (x )＝lg ?

??

??x ＋a

x －2在[2，＋∞)上是增函数．

所以f (x )＝lg ? ??

??x ＋a

x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a

2.

(3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x

－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． 所以a >3x －x 2

， 令h (x )＝3x －x 2，

而h (x )＝3x －x 2

＝－? ????x －322＋94

在[2，＋∞)上是减函数，

所以h (x )max ＝h (2)＝2， 所以a 的取值范围为(2，＋∞)．