数学选修2-2第三章
3.1数系的扩充和复数的概念
3．1.1 数系的扩充和复数的概念
1．复数的概念及代数表示
(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1.
(2)表示：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式，a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部．
2．复数的分类
(1)复数a ＋b i(a ，b ∈R )
???
实数(b ＝0)，
虚数(b ≠0)?
??
??
纯虚数(a ＝0)，非纯虚数(a ≠0).
(2)集合表示：(右图)
3．复数相等的充要条件
设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d .
1．复数m ＋n i 的实部、虚部一定是m 、n 吗？
提示：不一定．只有当m ∈R ，n ∈R 时，m ，n 才是该复数的实部、虚部． 2．3＋2i>3＋i 正确吗？
提示：不正确．如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小． 3．若(a －2)＋b i>0，则实数a ，b 满足什么条件？ 提示：b ＝0，a >2.
实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6
x ＋3
＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？
(3)纯虚数？
[自主解答] (1)当x 满足?
???
?
x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，
即x ＝5时，z 是实数．
(2)当x 满足?
???
?
x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．
(3)当x 满足?????
x 2
－x －6x ＋3＝0，
x 2－2x －15≠0，
即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．
——————————————————
判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．
1．实数m 为何值时，z ＝lg(m 2＋2m ＋1)＋(m 2＋3m ＋2)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 解：(1)若z 为实数，则 ????? m 2＋2m ＋1>0，m 2＋3m ＋2＝0，即?
????
m ≠－1，m ＝－2或m ＝－1， 解得m ＝－2.∴当m ＝－2时，z 为实数．
(2)若z 是虚数，则?
????
m 2＋2m ＋1>0，
m 2＋3m ＋2≠0，
即????
?
m ≠－1，m ≠－2且m ≠－1，
解得m ≠－2且m ≠－1.
∴当m ≠－2且m ≠－1时，z 为虚数．
(3)若z 为纯虚数，则?
????
lg (m 2
＋2m ＋1)＝0，
m 2＋3m ＋2≠0，
即?????
m 2＋2m ＋1＝1，m 2＋3m ＋2≠0，即?
???
?
m ＝0或m ＝－2，m ≠－1且m ≠－2. 解得m ＝0.
∴当m ＝0时，z 为纯虚数．
下列四个命题： ①两个复数不能比较大小；
②若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ③若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ④实数集相对复数集的补集是虚数集． 其中真命题的个数是________．
[自主解答] ①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小．故①不正确； ②由于x ，y 都是复数，故x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件．故②不正确；
③若a ＝0，则a i 不是纯虚数，即实数集中的0在纯虚数集中没有对应元素，故③不正确；
④由实数集、虚数集、复数集之间的关系知④正确． [答案] 1 ——————————————————
(1)复数写成代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )后，才可以确定实部、虚部． (2)两个复数不全是实数，就不能比较大小．
2．下列命题中：
①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②复数z ＝0的实数和虚部均为0；
③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中，正确命题的序号是( )
A ．①
B ．②④
C ．②③
D ．③④
解析：在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误；在③中，若x ＝－1，则x 2
－1＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0为实数，故③错误；②、④正确．
答案：B
根据下列条件，分别求实数x ，y 的值．
(1)x 2－y 2
＋2xy i ＝2i ； (2)(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i.
[自主解答] (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，x ，y ∈R ，
∴????? x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得????? x ＝1，y ＝1，或?????
x ＝－1，y ＝－1. (2)∵(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，且x ，y ∈R ，
∴?????
2x －1＝y ，
1＝－(3－y )，解得?????
x ＝52，y ＝4.
——————————————————
复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据，多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部与虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组求解．
3．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且x ，y 满足2x ＋
y ＋x i ＝8＋(1＋y )i ，求复数z .
解：∵2x ＋
y ＋x i ＝8＋(1＋y )i ，x ，y ∈R ，
∴?
???? 2x ＋y ＝8，x ＝1＋y ， 即?
???? x ＋y ＝3，x －y ＝1， 解得?
????
x ＝2，y ＝1.
∴z ＝2＋i. 【解题高手】【妙解题】
若关于x 的方程x 2－2m ＋(x 2－m －1)i ＝0有实根，求实数m 的值和方程的实根．
[巧思] 因为方程有实根，所以只要设出实根代入方程，就可把问题转化为复数相等求参数的问题．
[妙解] 设方程的实根为x 0，代入方程得
x 20－2m ＋(x 2
0－m －1)i ＝0，
根据复数相等的条件，可得?
????
x 20－2m ＝0，
x 20－m －1＝0，
解得???
m ＝1，
x 0
＝±2.
∴m ＝1，方程的实根为x ＝±2.
1．a ＝0是复数a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：因为a ＝0，b ＝0时，a ＋b i ＝0，所以a ＝0时，a ＋b i 不一定为纯虚数， 当a ＋b i 为纯虚数时，a ＝0. 答案：B 2．设集合C ＝{复数}，A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，若全集S ＝C ，则下列结论正确的是( ) A ．A ∪B ＝C B ．A ＝B
C ．A ∩(?S B )＝?
D ．(?S A )∪(?S B )＝C
解析：集合C 、A 、B 的关系如图，可知只有(?S A )∪(?S B )＝C 正确．
答案：D
3．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( )
A ．1
B ．1或－4
C ．－4
D ．0或－4 解析：由复数相等的条件得
?
????
4－3a ＝a 2
，－a 2
＝4a ，∴a ＝－4. 答案：C
4．复数(1－2)i 的实部为________． 解析：∵复数(1－2)i ＝0＋(1－2)i ， ∴实部为0. 答案：0
5．已知z 1＝m 2－3m ＋m i ，z 2＝4＋(5m ＋4)i ，其中m ∈R ，i 为虚数单位，若z 1＝z 2，则m 的值为________．
解析：由题意得m 2
－3m ＋m i ＝4＋(5m ＋4)i ，从而?
????
m 2－3m ＝4，m ＝5m ＋4解得m ＝－1.
答案：－1
6．已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)
m －1
＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时
(1)z ∈R ；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z ＝1
2
－4i?
解：(1)∵z ∈R ，
∴?
????
m 2＋2m －3＝0，m －1≠0， 即????? m ＝1或m ＝－3，m ≠1.
∴当m ＝－3时，z ∈R . (2)∵z 是虚数，
∴?
???? m 2＋2m －3≠0，m －1≠0， 即?
????
m ≠1且m ≠－3，m ≠1. ∴当m ≠1且m ≠－3时，z 是虚数． (3)∵z 是纯虚数，
∴????
?
m 2
＋2m －3≠0，m (m ＋2)m －1
＝0，
即?
????
m ≠1且m ≠－3，
m ＝0或m ＝－2， ∴当m ＝0或m ＝－2时，z 是纯虚数．
(4)∵z ＝1
2－4i ，
∴?????
m (m ＋2)m －1＝12，m 2＋2m －3＝－4，即?????
m ＝－1或－12，
m ＝－1.
∴m ＝－1时，z ＝1
2
－4i.
一、选择题
1．下列各数中，纯虚数的个数是( )
3＋7，2
3
i,0i,8＋3i ，(2＋3)i,0.618
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：根据纯虚数的定义知，2
3
i ，(2＋3)i 是纯虚数．
答案：C
2．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1
解析：由已知得????
?
x 2－1＝0，x －1≠0，
∴x ＝－1.
答案：A
3．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D.2＋2i
解析：3i －2的虚部为3,3i 2＋2i 的实部为－3，所以所求的复数为3－3i. 答案：A
4．若(7－3x )＋3y i ＝2y ＋2(x ＋2)i(x ，y ∈R )，则x ，y 的值分别为( ) A ．1,2 B ．2,1 C ．－1,2 D ．－2,1
解析：(7－3x )＋3y i ＝2y ＋2(x ＋2)i ??????
7－3x ＝2y ，
3y ＝2(x ＋2)
??????
x ＝1，
y ＝2.
即x ，y 的值分别为 1,2. 答案：A
5．已知M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( )
A ．－1或6
B ．－1或4
C ．－1
D ．4 解析：由M ∩N ＝{3}，知
m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，
∴?
????
m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1. 答案：C 二、填空题
6．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则a 的取值范围是________．
解析：若复数为纯虚数，则有?
????
|a －1|－1≠0，
a 2－a －2＝0，
即?
????
a ≠0且a ≠2，
a ＝2或a ＝－1，∴a ＝－1. 故复数不是纯虚数时a ≠－1. 答案：(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
7．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值(或取值范围)是________．
解析：由题意知?????
log 2(x 2
＋2x ＋1)＝0，
log 2
(x 2
－3x －2)>1. 解得x ＝－2. 答案：－2
8．已知2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i ，则实数x 、y 的值分别为________、________. 解析：由复数相等的充要条件知 ????? 2x －1＝x －y ，y ＋1＝－x －y ，解得?????
x ＝3，y ＝－2. 答案：3 －2 三、解答题
9．已知关于x ，y 的方程组
?????
(x ＋32)＋2(y ＋1)i ＝y ＋4x i ，(2x ＋ay )－(4x －y ＋b )i ＝9－8i
有实数解，求实数a ，b 的值．
解：设(x 0，y 0)是方程组的实数解，则由已知及复数相等的意义得
?????
x 0＋3
2
＝y 0， ①
2(y 0
＋1)＝4x 0
， ②2x 0
＋ay 0＝9， ③－(4x 0
－y 0
＋b )＝－8， ④
由①②得?????
x 0＝52，y 0＝4，
代入③④得?????
a ＝1，
b ＝2.
10．已知复数z ＝a 2－7a ＋6
a 2－1
＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )．实数a 取什么值时，z 是(1)实数？(2)
虚数？(3)纯虚数？
解：(1)当z 为实数时，有?
???
?
a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，
所以?
???? a ＝－1或a ＝6，
a ≠±1.
所以当a ＝6时，z 为实数．
(2)当z 为虚数时，有?
????
a 2－5a －6≠0，
a 2－1≠0，
所以?
????
a ≠－1且a ≠6，
a ≠±1.
即a ≠±1且a ≠6.
所以当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，有?????
a 2
－5a －6≠0，a 2
－7a ＋6a 2－1
＝0.
所以?
????
a ≠－1且a ≠6，
a ＝6.
所以不存在实数a 使得z 为纯虚数．
3．1.2 复数的几何意义
1．复平面的定义
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
1．复平面的虚轴的单位长度是1，还是i?
提示：复平面的虚轴上的单位长度是1，而不是i.
2．原点是实轴与虚轴的公共点吗？ 提示：是． 3．若复数(a ＋1)＋(a －1)i(a ∈R )在复平面内对应的点P 在第四象限，则a 满足什么条件？
提示：a 满足?
????
a ＋1>0，
a －1<0，即－1 考点一 复数的几何意义 当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点 (1)位于第四象限； (2)位于x 轴负半轴上； (3)在上半平面(含实轴)． [自主解答] (1)要使点位于第四象限，需 ? ???? m 2－8m ＋15＞0，m 2＋3m －28＜0， ∴? ???? m ＜3或m ＞5，－7＜m ＜4，解得－7 m 2－8m ＋15<0，m 2＋3m －28＝0，∴? ???? 3 ∴当m ≥4或m ≤－7时，复数z 对应的点在上半平面(含实轴)． —————————————————— 复数集与复平面内所有的点所成的集合之间存在着一一对应关系，每一个复数都对应着复平面内的一个点，复数的实部对应着该点的横坐标，而虚部则对应该点的纵坐标，这样在复平面内就可根据点的位置确定复数实部、虚部应满足的条件． 1．实数m 取何值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 对应的点 (1)在x 轴上方； (2)在直线x ＋y ＋4＝0上？ 解：(1)由m 2－2m －15>0，得m <－3，或m >5， 所以当m <－3，或m >5时，复数z 对应的点在x 轴上方． (2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋4＝0， 得m ＝1，或m ＝－5 2 ， 所以当m ＝1，或m ＝－5 2 时， 复数z 考点二 复数模的求法 求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－1 2－2i 的模，并比较它们的模的大小． [自主解答] ∵z 1＝6＋8i ，z 2＝－1 2 －2i ， ∴|z 1|＝62＋82＝10， |z 2|＝ (－12)2＋(－2)2＝3 2. ∵10>3 2，∴|z 1|>|z 2|. —————————————————— 计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模为实数可以比较大小． 2．已知复数z 1＝－3＋i ，z 2＝－12－3 2 i ， (1)求|z 1|与|z 2|的值，并比较它们的大小； (2)设复平面内，复数z 满足|z 2|≤|z |≤|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？ 解：(1)|z 1|＝(－3)2＋12＝2.|z 2|＝ (－12)2＋(－3 2 )2＝1. ∵2>1，∴|z 1|>|z 2|. (2)由(1)知|z 2|≤|z |≤|z 1|，则1≤|z |≤2. 因为不等式|z |≥1的解集对应圆|z |＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z |≤2的解集对应圆|z |＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆及所夹的圆环． 在复平面上，复数i,1,4＋2i 对应的点分别是A ，B ，C .求平行四边形ABCD 的D 点所对应的复数． [自主解答] 法一：由已知条件得点A (0,1)，B (1,0)，C (4,2)， 则AC 的中点E (2，3 2 )， 由平行四边形的性质知点E 也是边BD 的中点， 设D (x ，y )，则??? x ＋1 2 ＝2，y ＋02＝3 2， 解得? ???? x ＝3，y ＝3.即D (3,3)， ∴D 点对应复数为3＋3i. —————————————————— 解决此类问题的关键是将复数与复平面内的点、向量进行合理转化．但要注意复数与向 量转化时，复数的实部、虚部对应起点在坐标原点的向量的坐标． 【解题高手】【妙解题】 已知z 0＝x ＋y i(x ，y ∈R )，z ＝(x ＋3)＋(y －2)i ，且|z 0|＝2，求复数z 对应点的轨迹． [妙思] 设出复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，根据复数相等的充要条件寻找出a ，b 与x ，y 之间的关系，然后利用|z 0|＝2这一条件求出a ，b 的等量关系． [妙解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则????? a ＝x ＋3，b ＝y －2， 即? ???? x ＝a －3，y ＝b ＋2， 又∵z 0＝x ＋y i(x ，y ∈R )且|z 0|＝2， ∴x 2＋y 2＝4， ∴(a －3)2＋(b ＋2)2＝4， ∴复数z 对应的点的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆. 1．在复平面内，若OZ ―→＝(0，－5)，则OZ ―→对应的复数为( ) A ．0 B ．－5 C ．－5i D ．5 解析：OZ ―→对应的复数z ＝0－5i ＝－5i. 答案：C 2．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：∵π 2 <2<π， ∴sin 2>0，cos 2<0. 故z ＝sin 2＋icos 2对应的点在第四象限． 答案：D 3．已知复数z ＝2－3i ，则复数的模|z |是( ) A ．5 B ．8 C ．6 D.11 解析：|z |＝(2)2＋(－3)2＝11. 答案：D 4．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________． 解析：∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限， ∴? ???? x －2>0，3－x <0.解得x >3. 答案：(3，＋∞) 5．已知复数z ＝x －2＋y i(x ，y ∈R )的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________． 解析：∵|z |＝22， ∴(x －2)2＋y 2＝22，∴(x －2)2＋y 2＝8. 答案：(x －2)2＋y 2＝8 6．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则|z |＝a 2＋b 2， 代入方程得，a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ， ∴??? a ＋a 2＋ b 2＝2，b ＝8， 解得????? a ＝－15， b ＝8. ∴z ＝－15＋8i. 一、选择题 1．若3 2 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：∵3 2 ∴复数z ＝(2m －2)＋(3m －7)i 在复平面上对应的点位于第四象限． 答案：D 2．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(1，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：∵|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝5， ∴a 2＋4< 5.∴－1 3．在复平面内，O 为原点，向量OA ―→对应复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝x 的对称点为B ，则向量OB ―→对应复数为( ) A ．－2－i B ．2＋i C ．1＋2i D ．－1＋2i 解析：由题意知，A 点坐标为(－1，－2)，B 点坐标为(－2，－1)．故OB ―→对应的复数为－2－i. 答案：A 4．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－5，则z 为( ) A ．－5＋2i B ．－5－2i C.5＋2i D.5－2i 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x ＝－5， 由|z |＝3，得(－5)2＋y 2＝9，即y 2＝4，∴y ＝±2. ∵复数z 对应的点在第二象限，∴y ＝2. ∴z ＝－5＋2i. 答案：A 二、填空题 5．已知0 6．在复平面内，O 为坐标原点，向量OB ―→对应的复数为3－4i ，如果点B 关于原点的对称点为A ，点A 关于虚轴的对称点为C ，则向量OC ―→对应的复数为________． 解析：∵点B 的坐标为(3，－4)， ∴点A 的坐标为(－3,4)，∴点C 的坐标为(3,4)， ∴向量OC ―→对应的复数为3＋4i. 答案：3＋4i 7．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模的取值范围为________． 解析：|z |＝(1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α， ∵π<α<2π，∴－1 8．设z ＝log 2(m 2－3m －3)＋i·log 2(m －3)(m ∈R )，若z 对应的点在直线x －2y ＋1＝0上，则m 的值是__________________________________________________________________． 解析：因为log 2(m 2－3m －3)－2log 2(m －3)＋1＝0， 整理得log 22(m 2－3m －3) (m －3)2 ＝0， 所以2m 2－6m －6＝m 2－6m ＋9， 即m 2＝15，m ＝±15. 又因为m －3＞0且m 2－3m －3＞0，所以m ＝15. 答案：15 三、解答题 9．设z ∈C ，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？ (1)|z |＝2；(2)|z |≤3. 解：法一：(1)复数z 的模等于2，这表明向量OZ ―→的长度等于2，即点Z 到原点的距离等于2，因此满足条件|z |＝2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以2为半径的圆． (2)满足条件|z |≤3的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以3为半径的圆及其内部． 法二：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )． (1)|z |＝2，∴x 2＋y 2＝4， ∴点Z 的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆． (2)|z |≤3，∴x 2＋y 2≤9. ∴点Z 的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部． 10．设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 1 2 (3－m )(m ∈R )． (1)若z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围； (2)若z 在复平面内对应的点在直线x －y －1＝0上，求m 的值． 解：(1)由已知，得????? log 2(1＋m )<0， log 12 (3－m )<0， 1＋m >0，3－m >0， 即????? －1 m <2， m >－1，m <3. 解得－1 (2)由已知得，点(log 2(1＋m )，log 1 2 (3－m ))在直线x －y －1＝0上， 即log 2(1＋m )－log 1 2 (3－m )－1＝0， ∴log 2[(1＋m )(3－m )]＝1， ∴(1＋m )(3－m )＝2，∴m 2－2m －1＝0， ∴m ＝1±2，且当m ＝1±2时都能使1＋m >0，且3－m >0，∴m ＝1±2. 3.2复数代数形式的四则运算 3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 1．复数加法与减法的运算法则 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数， 则z 1＋z 2＝a ＋c ＋(b ＋d )i ， z 1－z 2＝a －c ＋(b －d )i. 2．复数加法运算的运算律 对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 3．复数加减法的几何意义 如图：设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ 1―→，OZ 2―→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ ―→ ，与z 1－z 2对应的向量是Z 2Z 1―→ . 1．在实数范围内a －b >0?a >b 恒成立，在复数范围内是否有z 1－z 2>0?z 1>z 2恒成立呢？ 提示：若z 1，z 2∈R ，则z 1－z 2>0?z 1>z 2成立．否则z 1－z 2>0?/z 1>z 2. 如z 1＝1＋i ，z 2＝i ，虽然z 1－z 2＝1>0，但不能说1＋i 大于i. 2．复数|z 1－z 2|的几何意义是什么？ 提示：表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1与Z 2间的距离. 计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i 2 ＋i)＋|i|＋(1＋i)． [自主解答](1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i) ＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i) ＝－1＋i＋1＋1＋i＝1＋2i. —————————————————— 对复数进行加减运算时，要先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部分别相加减．若有括号，先计算括号内的，若没有括号，可从左到右依次进行． 1．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a＋b i)－(2a－3b i)－3i(a，b∈R)． 解：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i) ＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i. (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)] ＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. (3)(a＋b i)－(2a－3b i)－3i ＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i ＝－a＋(4b－3)i. 考点二复数加减运算的几何意义 —————————————————— (1)根据复数的几何意义可知：复数的加减运算可以转化为向量的坐标运算． (2)复数的加减运算用向量进行时，它们同时满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能． 考点三复数加减法几何意义的应用 已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值． [自主解答] 由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数－3＋4i 对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3,4)为圆心，半径等于1的圆． 而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离， 又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4. 即|z|max＝6，|z|min＝4. —————————————————— (1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． (2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆． (3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． 3．满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是() A．一条直线B．两条直线 C．圆D．椭圆 解析：∵|z－i|＝|3＋4i|＝5，∴复数z在复平面上对应点的轨迹是以(0,1)为圆心，5为半径的圆． 答案：C 【解题高手】【多解题】 设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|. [解]法一：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)， 由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2， 又由(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2， 可得2ac＋2bd＝0. |z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2 ＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2. ∴|z1－z2|＝ 2. 1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于() A．－1＋i B．1－i C．i D．－i 解析：(1－i)－(2＋i)＋3i ＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i. 答案：A 2．已知z1＝3＋i，z2＝1＋5i，则复数z＝z2－z1对应的点位于() A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 解析：∵z＝z2－z1＝1＋5i－(3＋i) ＝(1－3)＋(5－1)i＝－2＋4i. 答案：B 3．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点Z() A．在实轴上B．在虚轴上 C．在第一象限D．在第二象限 解析：设z＝x＋y i(x，y∈R)， 由|z－1|＝|z＋1|得(x－1)2＋y2＝(x＋1)2＋y2， 化简得：x＝0. 答案：B 6．计算 (1)(13－5i)＋(－3＋4i)； (2)(－3＋2i)－(4－5i)； (3)(10－9i)＋(－8＋7i)－(3＋3i)； (4)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 011－2 012i)－(2 012－2 013i)． 解：(1)(13－5i)＋(－3＋4i)＝(13－3)＋(－5＋4)i＝10－i； (2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i＝－7＋7i； (3)(10－9i)＋(－8＋7i)－(3＋3i)＝(10－8－3)＋(－9＋7－3)i＝－1－5i； (4)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 011－2 012)＋(－2＋3－4＋5－…－2 012＋2 013)i＝ －1 006＋1 006i. 一、选择题 1．已知z＋5－6i＝3＋4i，则复数z为() A．－4＋20i B．－2＋10i C．－8＋20i D．－2＋20i 解析：z＝3＋4i－(5－6i)＝(3－5)＋(4＋6)i＝－2＋10i. 答案：B 3．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是() A．等腰三角形B．直角三角形 C．等边三角形D．等腰直角三角形 4．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在() A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 解析：∵z＝3－4i， ∴z－|z|＋(1－i)＝3－4i－32＋(－4)2＋1－i ＝(3－5＋1)＋(－4－1)i＝－1－5i. 答案：C 二、填空题 5．设纯虚数z满足|z－1－i|＝3，则z＝________. 解析：∵z为纯虚数，∴设z＝b i(b∈R且b≠0)． 由|z－1－i|＝3得|－1＋(b－1)i|＝3. ∴1＋(b－1)2＝9.∴b－1＝±2 2. ∴b ＝1±2 2. 答案：(1±22)i 6．设f (z )＝z －2i ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝________. 解析：∵f (z )＝z －2i ， ∴f (z 1－z 2)＝z 1－z 2－2i ＝(3＋4i)－(－2－i)－2i ＝(3＋2)＋(4＋1)i －2i ＝5＋3i. 答案：5＋3i 7．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则y x 的最大值为________． 解析：|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知(y x )max ＝ 3. 答案： 3 8．已知|z |＝2，|z ＋2|＝2，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则? ???? a 2＋ b 2＝4，(a ＋2)2＋b 2 ＝4， 解得? ?? a ＝－1， b ＝±3， ∴z ＝－1±3i. 答案：－1±3i 三、解答题 9．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，若z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2. 解：z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i. 又∵z 1－z 2＝13－2i ， ∴(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i. ∴????? 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得? ???? x ＝2，y ＝－1， ∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i. z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i. 3．2.2 复数代数形式的乘除运算 1．复数的乘法和除法的运算法则 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 (1)z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (2)z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)； 2．复数乘法的运算律 对于任意z 1、23交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1 结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3) 乘法对加法的分配律 z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3 3.一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z 的共轭复数为z ，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 1．复数的除法，其实质是分母实数化，即把分子和分母同乘以一个什么样的数？ 提示：进行复数的除法运算时，分子、分母同乘以分母的共轭复数． 2．两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？ 提示：若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，则z ＋z ＝2a ∈R .因此，和一定是实数；而z －z ＝2b i.当b ＝0时，两共轭复数的差是实数，而当b ≠0时，两共轭复数的差是纯虚数． 3．若z 1与z 2互为共轭复数，则|z 1|与|z 2|之间有什么关系？ 提示：|z 1|＝|z 2|. 考点一 复数的乘除运算 计算 (1)(－1＋3i)(3－4i)； (2)(1－i)(－12＋3 2i)(1＋i)； (3)2－i (3－4i )(1＋i ) 2＋(1－i)2 . [自主解答] (1)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i ＋9i －12i 2＝9＋13i. (2)法一：(1－i)(－12＋3 2 i)(1＋i) ＝(－12＋32i ＋12i －3 2i 2)(1＋i) ＝(3－12＋3＋12i)(1＋i) ＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2 ＝－1＋3i. 法二：原式＝(1－i)(1＋i)(－12＋3 2 i) ＝(1－i 2)(－12＋3 2i) ＝2(－12＋3 2i)＝－1＋3i. (3)2－i (3－4i )(1＋i ) 2＋(1－i)2 ＝2－i (3－4i )·2i －2i ＝2－i 8＋6i －2i ＝(2－i )(8－6i )(8＋6i )(8－6i )－2i ＝10－20i 100－2i ＝110－15i －2i ＝110－115 i. —————————————————— (1)复数乘法运算类似于多项式展开，同时要把i 2代为－1. (2)复数除法就是分子、分母同乘以分母的共轭复数，从而使分母实数化，最后把结果写成a ＋b i(a ，b ∈R )的形式． 1．(1)(1－i)(3＋2i)＋(2＋2i)2 ；(2)4＋4i 1－3i ＋1i ；(3)(2＋i )(1－i )21－2i . 解：(1)原式＝(3＋2i －3i ＋2)＋(4＋8i －4) ＝(5－i)＋8i ＝5＋7i. 案例（二）----精 析精练 课堂合作探究 重点难点突被 知识点一公式cosθ=cosθ1·cosθ2 如右图,已知OA是平面a的一条斜 线,AB⊥a, 则OB是OA在平面a内的射影,设OM是a 内通过点O 的任意一条直线,OA与OB所成的角为θ1,OB与OM所 成的角为θ2,OA与OM所成的角为θ,则有cosθ= cosθ1·cosθ2,我们简称此公式为三余弦公式,它反映了三个角的余弦值之间的关系. 在上述公式中,因为0≤cosθ2≤1，所以cosθ (2)斜线和平面所成角的范围:(0,2π). (3)直线和平面所成角的范围:[O,2π ],其中当一条直线与一个平面垂 直时,这条直线与平面的夹角为,当一条直线与个平面平行或在平面内时,这条直线与平面的夹角为0. (4)直线和平面所成角的求法:①几何法:用几何法求直线和平面所成角的步骤:i)找(或作)出直线和平面所成的角；ii)计算,即解三角形；iii)结论,即点明直线和平面所成角的大小.②向量法:若直线AB 与平面a 所成的角为θ,平面a 的法向量为n,直线与向量n 所成的角为?，则θ+?=2 π,利用向量的夹角公式求出cos ?=AB n AB ,再根据sin θ=|cos ?|求出 θ③利用公式cos θ=cos θ1cos 2求解. 典型例题分析 题型1 几何法求直线和平面的夹角 【例1】 如下图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 中,AB=4,BC=3,AA 1=5,试求B 1D 1与面A 1BCD 1所成角的正弦值 解析 作出B 1点在平面A 1BCD 1上的射C 影,从而得到B 1D 1在平面上的射影.又因为平面 A 1 B 1D ⊥面A 1BCD 1,故只要过B 1作A 1B 的垂线,垂足就是B 1的射影. 高二数学选修2—2测试题 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、若函数()y f x =在区间(,)a b 可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的 值为（ ） A ．'0()f x B ．'02()f x C ．'02()f x - D ．0 2、一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3、函数3 y x x 的递增区间是（ ） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞ C ．),(+∞-∞ D ．),1(+∞ 4、32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ） A ． 3 19 B ． 316 C ．313 D ．3 10 5、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6、如图是导函数/()y f x =的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数 A. 13(,)x x B. 24(,)x x C.46(,)x x D.56(,)x x 7、设*211111()()123S n n n n n n n = +++++∈+++N ，当2n =时，(2)S =（ ）Ａ．12Ｂ．1123+Ｃ．111234++ Ｄ．11112345+++ 8、如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处，则克服弹力所做的功为（ ） (A)0.28J (B)0.12J (C)0.26J (D)0.18J 9、 有一段“三段论”推理是这样的： 对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点. 以上推理中（ ） A ．大前提错误 B ． 小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确 10、已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为（ ） （A ）e 1 （B ）e 1- （C ）e 2 （D ）e 2- 11、在复平面, 复数1 + i 与31+i 分别对应向量OA 和OB , 其中O 为坐标原点, =（ ） A.2 B.2 C. 10 D. 4 12、 若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋3 4上移动，经过点P 的切线的倾斜角 为α，则角α的取值围是( ) A ．[0，π2) B ．[0，π2)∪[2π3，π) C ．[2π3，π) D．[0，π2)∪(π2，2π 3] 二、填空题（每小题5分，共30分） 13、=---?dx x x )2)1(1(1 02 14、函数322(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10，那么b a ,的值分别为________。 15、已知)(x f 为一次函数，且1 0()2()f x x f t dt =+?，则)(x f =_______. 16、函数g (x )＝ax 3＋2(1－a )x 2－3ax 在区间? ? ???－∞，a 3单调递减，则a 的取值围 是________． 新课程标准数学选修1—2第三章课后习题解答 第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充和复数的概念 练习（P52） 1、实部分别是2-2 ，0，0，0； 虚部分别是13 ，1，0，1，0. 2、2+0.618，0，2i 是实数； 27 i ，i ，58i +，3-，(1i 是虚数； 27i ，i ，(1i 是纯虚数. 3、由23121x y x y y y +=+??-=+?，得42 x y =??=-?. 练习（P54） 1、A ：43i +，B ：33i -，C ：32i -+，D ：43i +， E ：532i --， F ：112 ，G ：5i ，H ：5i -. 2、略. 3、略. 习题3.1 A 组（P55） 1、（1）由321752x y x y +=??-=-?，得17x y =??=? . （2）由3040x y x +-=??-=?，得41 x y =??=-? 2、（1）当230m m -=，即0m =或3m =时，所给复数是实数. （2）当230m m -≠，即0m ≠或3m ≠时，所给复数是虚数. （3）当2256030 m m m m ?-+=??-≠??，即2m =时，所给复数是纯虚数. 3、（1）存在，例如i ，，等等. （2）存在，例如1-，12 --，等等. （3）存在，只能是. 4、（1）点P 在第一象限. （2）点P 在第二象限. （3）点P 位于原点或虚轴的下半轴上. （4）点P 位于实轴下方. 5、（1）当2281505140 m m m m ?-+>??--??-->??，或2281505140 m m m m ?-+时，复数z 对应的点位于第一、三象限. （3）当22815514m m m m -+=--，即293m = 时，复数z 对应的点位于直线y x =上. 习题3.1 B 组（P55） 1、（1）2i -； （2）2i --. 2、因为 1z == 2z = 3z == 4z == 所以，1Z ，2Z ，3Z ，4Z . 3．2复数代数形式的四则运算 练习（P58） 1、（1）5； （2）22i -； （3）22i -+； （4）0. 2、略. 练习（P60） 1、（1）1821i --； （2）617i -； （3）2015i --； 2、（1）5-； （2）2i -； （3）5. 3、（1）i ； （2）i -； （3）1i -； （4）13i --. 习题3.2 A 组（P61） 1、（1）93i -； （2）23i -+； （3）75612 i -； （4）0.30.2i +. 2、AB 对应的复数为(34)(65)9i i i -+-+=--. BA 对应的复数为9i +. 3、向量BA 对应的复数为(13)()14i i i +--=+. 向量BC 对应的复数为(2)()22i i i +--=+. 于是向量BD 对应的复数为(14)(22)36i i i +++=+， 点D 对应的复数为()(36)35i i i -++=+. 4、（1）2124i -+； （2）32i --； （3）1122 i -+； （4）122--. 数学选修2-1 综合测评 时间：90分钟 满分：120分 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( ) A.? ?? ???13，1，1 B ．(－1，－3,2) C.? ?????－12，32，－1 D ．(2，－3，－22) 解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b ≠0，a ∥b ?a ＝ λb ，a ＝(1，－3,2)＝－1? ?????－12，32，－1，故选C. 答案：C 2．若命题p ：? x ∈? ?????－π2，π2，tan x >sin x ，则命题綈p ：( ) A ．?x 0∈? ?????－π2，π2，tan x 0≥sin x 0 B ．? x 0∈? ?????－π2，π2，tan x 0>sin x 0 C ．? x 0∈? ?????－π2，π2，tan x 0≤sin x 0 D ．?x 0∈? ?????－∞，－π2∪? ?? ???π2，＋∞，tan x 0>sin x 0 解析：?x 的否定为?x 0，>的否定为≤，所以命题綈p 为?x 0∈? ?? ??－π2，π2，tan x 0≤sin x 0. 答案：C 3．设α，β是两个不重合的平面，l ，m 是两条不重合的直线，则α∥β的充分条件是( ) A ．l ?α，m ?β且l ∥β，m ∥α B ．l ?α，m ?β且l ∥m C ．l ⊥α，m ⊥β且l ∥m D ．l ∥α，m ∥β且l ∥m 解析：由l ⊥α，l ∥m 得m ⊥α，因为m ⊥β，所以α∥β，故C 选项正确． 答案：C 4．以双曲线x 24－y 212 ＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216 ＝1 高二数学选修2-2、2-3期末检测试题 命题：伊宏斌 命题人： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．过函数x y sin =图象上点O （0，0），作切线，则切线方程为 （ ） A ．x y = B ．0=y C ．1+=x y D ．1+-=x y 2．设() 121222104 3 21x a x a x a a x x x ++++=+++ ,则=0a ( ) A ．256 B ．0 C ．1- D ．1 3．定义运算a c ad bc b d =-，则 i i 12(i 是虚数单位)为 ( ) A ．3 B ．3- C ．12 -i D ．22 +i 4．任何进制数均可转换为十进制数,如八进制()8507413转换成十进制数，是这样转换的： ()167691 3818487808550741323458=+?+?+?+?+?=,十六进制数 1444706165164163162)6,5,4,3,2(23416=+?+?+?+?=,那么将二进制数()21101转 换成十进制数，这个十进制数是 （ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 5．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n 条直线把平面分为)(n f 部分，则 2 ) 1(1)(++ =n n n f 。”在证明第二步归纳递推的过程中，用到)()1(k f k f =++ 。( ) A ．1-k B ．k C ．1+k D ．2 ) 1(+k k 6.记函数)() 2(x f y =表示对函数)(x f y =连续两次求导,即先对)(x f y =求导得)('x f y =, 再对)(' x f y =求导得)() 2(x f y =,下列函数中满足)()() 2(x f x f =的是（ ） 数学选修2—1第三章测试题 考试时间：120分钟 总分：150分 第I 卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、在下列命题中： ①若向量a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行； ②若向量a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面； ③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面； ④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ． 其中正确命题的个数为 （ ） A .0 B. 1 C. 2 D. 3 2、空间四边形ABCD 中，,,,===则=CD ( ) A ．-+ B.-- C ．+-- D ．++- 3、已知平行四边形ABCD 中，A (4，1，3)、B (2，－5，1)、C (3，7，－5)，则顶点D 的坐标为( ) A ．)1,4,2 7(- B ．(2，3，1) C ．(－3，1，5) D ．(5，13，－3) 4、a ＝(－1，－5，－2)，b ＝(2,2,+x x )，若⊥，则x ＝( ) A ．0 B ．3 14 - C ．－6 D ．±6 5、设a ＝(2,1,-m )，b ＝(n ,4,3-)，若//，则m ，n 的值分别为( ) A ． 4 3，8 B ．43- ，—8 C ．4 3-，8 D ． 4 3 ，－8 6、已知向量a (0，2，1)，b (－1，1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A ．0° B ．45° C ．90° D ．180° 7、若斜线段AB 是它在平面α 内的射影长的2倍，则AB 与α 所成的角为( ) A ．60° B ．45° C ．30° D ．120° 8、已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面， 则实数λ等于 （ ） A ．627 B. 637 C. 647 D. 657 选修2-2模块测试题数学(理科) 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.函数y =x 2 co sx 的导数为( ) (A ) y ′=2x co sx －x 2 s i nx (B ) y ′=2x co sx +x 2 s i nx (C) y ′=x 2 co sx －2xs i nx (D) y ′=x co sx －x 2 s i nx 2.下列结论中正确的是( ) A 导数为零的点一定是极值点 B 如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)(' 描述：例题：高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 一、学习任务 1. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量． 2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系． 3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和 垂直关系． 4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题；体会向量方法在研究几何问题中的作用． 二、知识清单 异面直线所成的角 线面角 二面角 三、知识讲解 1.异面直线所成的角 设直线 是异面直线，过空间一点 分别作直线 的平行线 ，我们把直线 所成的锐角或直角叫做异面直线 所成的角，或异面直线 的夹角． a , b O a ,b ,a ′b ′,a ′b ′ a , b a ,b 如图，在正方体 中，求： （1）异面直线 与 所成的角； （2） 与 所成的角． 解：（1）因为 ，而 ，所以 ，即 与 所成角为 ． （2）如下图，连接 ，，因为 ，所以 与 所成的角即为 与 所成的角． 又 ，所以 为正三角形，所以 和 所成的角为 ，即 与 所成的角为 ． ABCD ?A 1B 1C 1D 1AB A 1D 1A D 1D C 1∥AB A 1B 1⊥A 1D 1A 1B 1⊥AB A 1D 1AB A 1D 190°A B 1B 1D 1A ∥D B 1C 1A B 1A D 1D C 1A D 1A =A =D 1B 1B 1D 1△A B 1D 1A D 1A B 160°A D 1D C 160° 数学第二次月考试题 一、选择题 1．若a ＞b ，c 为实数，下列不等式成立是（ ）． A ac ＞bc B ac ＜bc C ac 2＞bc 2 D ac 2≥bc 2 2．不等式│3-x │＜2的解集是（ ）． A {x │x ＞5或x ＜1} B {x │1＜x ＜5} C{x │-5＜x ＜-1} D {x │x ＞1} 3．如果（a+1）x ＞a+1的解集是x ＜1，则a 必须满足（ ）． （A ） a ＜0 B a ≤-1 C a ＞-1 D a ＜-1 4．设f (x )在(－∞, +∞)上是减函数，且a +b ≤0，则下列各式成立的是 A f (a )+f (b )≤0 B f (a )+f (b )≥0 C f (a )+f (b )≤f (－a )+f (－b ) D f (a )+f (b )≥f (－a )+f (－b ) 5. 函数y = （ ） A ． B ． C ． 6 D ．26 6. 设)(21312111)(*∈+++++++= N n n n n n n f Λ，则=-+)()1(n f n f （ ） A ．121+n B ．221+n C ．221121+++n n D ．2 21121+-+n n 7. 用数学归纳法证明“122+>n n 对于0n n ≥的正整数n 都成立”时，第一步证明中起始值 0n 应取 （ ） A .2 B .3 C .5 D .6 8. 在数列{a n }中，a 1＝13 ，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式( ) A.1(n －1)(n ＋1) B.12n (2n ＋1) C.1(2n －1)(2n ＋1) D.1(2n ＋1)(2n ＋2) 高中新课标数学选修（2-2）综合测试题 一、选择题（每题小题5分） 1.设y=2x －x ,则x ∈[0,1]上的最大值是（ ） A 0 B － 41 C 21 D 4 1 2.若质点P 的运动方程为S(t)=2t 2 +t （S 的单位为米，t 的单位为秒），则当t=1时的瞬时速 度为（ ） A 2米/秒 B 3米/秒 C 4米/秒 D 5米/秒 3.曲线ｙ＝－ 3 13 x －2在点（－1，35-）处切线的倾斜角为（ ） Ａ 30o Ｂ 45o Ｃ 135o Ｄ 150o 4.函数y=－2x + 3x 的单调递减区间是（ ） A (－∞,－ 3 6) B (－36,36) C(－∞,－36)∪(36,+∞) D (36 ,+∞) 5.过曲线ｙ＝3 x ＋１上一点（-１，０），且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程是（ ） Ａ ｙ＝３ｘ＋３ Ｂ ｙ＝3x ＋３ Ｃ ｙ＝-3x -3 1 Ｄ ｙ＝-３ｘ-３ 6.曲线ｙ＝ 313x 在点（１，3 1 ）处的切线与直线ｘ＋ｙ-３＝０的夹角为 Ａ 30o Ｂ 45o Ｃ 60o Ｄ 90o 7.已知函数)(x f =3 x +a 2 x +b 的图象在点P (1,0)处的切线与直线3x+y=0平行.则a 、b 的值分别为（ ）. A －3, 2 B －3, 0 C 3, 2 D 3, －4 8.已知)(x f =a 3 x +32 x +2,若)1(/ -f =4,则a 的值等于（ ） A 319 B 310 C 316 D 3 13 9.函数y = 3 x －12x +16在 [－3,3]上的最大值、最小值分别是（ ） A 6，0 B 32, 0 C 2 5, 6 D 32, 16 10.已知a>0，函数ｙ＝3 x -a ｘ在[1，+∞)上是单调增函数，则a 的最大值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 11.已知)(x f =23 x -62x +m （m 为常数），在[-2，2]上有最大值3，则此函数在[-2，2]上的最小值为（ ） A -37 B -29 C -5 D -11 第三章 空间向量与立体几何 3.1空间向量及其运算 §3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算 1. 下列命题中不正确的命题个数是( ) ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0； ②对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。 A .1 B .2 C .3 D .4 2.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( ) A .（ 41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，3 2 ） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC yAF zAH =++，________.x y z ++=则 4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则 EF =_____________. 5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB yAD zAP =++的实数x 、y 、z 的值. §3.1.3空间向量的数量积运算 1.已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA = 2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A . 10 B . 15 C .10 D . 35 2．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ?= ， _ _ D _ A _ P _ N _B _ M 选修2-2综合测试题2一、选择题 1．在数学归纳法证明“ 1 2 1 1(1) 1 n n a a a a a n a + * - ++++=≠∈ - N L，”时，验证当1 n=时，等式的左边为（） Ａ．1Ｂ．1a -Ｃ．1a +Ｄ．2 1a - 2．已知三次函数322 1 ()(41)(1527)2 3 f x x m x m m x =--+--+在() x∈-+ ， ∞∞上是增函数，则m的取值范围为（） Ａ．2 m<或4 m>Ｂ．42 m -<<-Ｃ．24 m <<Ｄ．以上皆不正确 3．设()()sin()cos f x ax b x cx d x =+++，若()cos f x x x '=，则a b c d ，，，的值分别为（）Ａ．1，1，0，0 Ｂ．1，0，1，0 Ｃ．0，1，0，1 Ｄ．1，0，0，1 4．已知抛物线2 y ax bx c =++通过点(11) P，，且在点(21) Q- ，处的切线平行于直线3 y x =-，则抛物线方程为（） Ａ．2 3119 y x x =-+Ｂ．2 3119 y x x =++Ｃ．2 3119 y x x =-+Ｄ．2 3119 y x x =--+ 5．数列{} n a满足1 1 20 2 1 211 2 n n n n n a a a a a + ? ?? =? ?-< ?? ，， ，， ≤≤ ≤ 若 1 6 7 a=，则2004 a的值为（） Ａ．6 7 Ｂ．5 7 Ｃ．3 7 Ｄ．1 7 6．已知a b ，是不相等的正数， 2 a b x + =，y a b =+，则x，y的关系是（） Ａ．x y >Ｂ．y x >Ｃ．2 x y >Ｄ．不确定 7．复数2() 12 m i z m i - =∈ - R不可能在（） Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限 8．定义A B B C C D D A **** ，，，的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中 （Ａ），（Ｂ）可能是下列（）的运算的结果 Ａ．B D *，A D *Ｂ．B D *，A C *Ｃ．B C *，A D *Ｄ．C D *，A D * 选修 2-2 综合测试题 2 一、选择题 1．在数学归纳法证明“ 1 a a 2 a n 1 a n 1 (a 1， n N ) ”时，验证当 n 1 时，等式的左 1 a 边为（ ） Ａ． 1 Ｂ． 1 a Ｃ． 1 a Ｄ． 1 a 2 2．已知三次函数 f ( x) 1 x 3 (4 m 1)x 2 (15m 2 2m 7) x 2在 x ( ∞ ， ∞ ) 上是增函数，则 m 的 3 取值范围为（ ） Ａ． m 2 或 m 4 Ｂ． 4 m 2 Ｃ． 2 m 4 Ｄ．以上皆不正确 3．设 f ( x) ( ax b)sin x (cx d )cos x ，若 f ( x) x cosx ，则 a ， b ， c ， d 的值分别为（ ） Ａ．1，1，0，0 Ｂ． 1，0，1，0 Ｃ． 0，1，0，1 Ｄ． 1，0，0，1 4．已知抛物线 y ax 2 bx c 通过点 P(11)， ，且在点 Q(2， 1) 处的切线平行于直线 y x 3 ，则抛 物线方程为（ ） Ａ． y 3x 2 11x 9 Ｂ． y 3x 2 11x 9 Ｃ． y 3x 2 11x 9 Ｄ． y 3x 2 11x 9 ， 1， 5．数列 a n 2a n 0≤ a n ≤ 2 若 a 1 6 满足 a n 1 ，则 a 2004 的值为（ ） 1 ≤ a n 7 2a n ， ， 1 1 2 Ａ． 6 Ｂ． 5 Ｃ． 3 Ｄ． 1 7 7 7 7 6．已知 a ， b 是不相等的正数， x a 2 b ， y a b ，则 x ， y 的关系是（ ） Ａ． x y Ｂ． y x Ｃ． x 2 y Ｄ．不确定 7．复数 z m 2i ( m R ) 不可能在（ ） 1 2i Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 8．定义 A B ， B C ， C D ， D A 的运算分别对应下图中的（ 1），（2），（3），（4），那么，图中 （Ａ），（Ｂ）可能是下列（ ）的运算的结果 Ａ．B D ，A D Ｂ．B D ，A C Ｃ．B C ，A D Ｄ．C D ，A D 2020数学选修2-2模块测试题及答案(理科) 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.函数y =x 2co sx 的导数为( ) (A ) y ′=2x co sx －x 2s i nx (B ) y ′=2x co sx +x 2s i nx (C) y ′=x 2co sx －2xs i nx (D) y ′=x co sx －x 2s i nx 2.下列结论中正确的是( ) A 导数为零的点一定是极值点 B 如果在0x 附近的左侧 0)('>x f ，右侧0)(' 高中数学选修2-3第三章《统计案例》测试题 姓名___________学号______(满分100分，时间90分钟) 一、选择题：（每题5分，共50分，请将准确答案填在答题卡内） 1．已知一个线性回归方程为?y ＝1.5x ＋45(x i ∈{1,7,5,13,19})，则y ＝( ) A ．58.5 B ．58.6 C ．58 D ．57.5 2．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程 ???y a bx =+中，回归系数? b ( ) A ．能等于0 B ．小于0 C ．可以小于0 D ．只能等于0 3．能表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度的是( ) A.1 ()n i i y i =-∑ B 1 ()n i i i y =-∑ C. 2 1 () n i i y i =-∑ D. 21 ()n i i y y =-∑ 4．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由K 2 ＝ ()()()()() n ad bc a b c d a c b d -++++算得K 2 ＝2 110(40302030)7.860506050 ??-?≈???附表： P (K 2≥k ) 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参照附表，得到的正确结论是（ ） A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 5．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其回归方程为y ^ ＝－3＋bx ，若∑i ＝1 10x i ＝17，∑i ＝1 10 y i ＝4，则b 的值为( ) A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 6．在一次试验中，测得(x ，y )的四组值分别是A (1,2)，B (2,3)，C (3,4)，D (4,5)，则y 与x 间的线性回归方程为( ) A. y ^ ＝x ＋1 B. y ^＝x ＋2 C. y ^＝2x ＋1 D . y ^ ＝x －1 7．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果： 冷漠 不冷漠 总计 新课程标准数学选修2— 2 第一章课后习题解答第一章导数及其应用 3． 1 变化率与导数 练习（ P6） 在第 3 h 和 5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为和 3. 它说明在第 3 h 附近，原油温度大约以 1 ℃／ h 的速度下降；在第 5 h 时，原油温度大约以 3 ℃／ h 的速率上升 . 练习（ P8） 函数在附近单调递增，在附近单调递增 . 并且，函数在附近比在附近增加得慢.说明：体会“以直代曲” 1 的思想 . 练习（ P9） 函数的图象为 根据图象，估算出，. 说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数 的几何意义估算两点处的导数 . 习题 A 组（ P10） 1、在处，虽然，然而. 所以，企业甲比企业乙治理的效率高. 说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵. 2、，所以， . 这说明运动员在s 附近以 m／s 的速度下降 . 3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数在时的导数. ，所以， . 因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为10 m／ s，它在第 5 s 的动能 4、设车轮转动的角度为，时间为，则. 由题意可知，当时，.所以，于是. 车轮转动开始后第s 时的瞬时角速度就是函数在时的导数. ，所以 . 因此，车轮在开始转动后第s 时的瞬时角速度为 . 说明：第 2,3,4 题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固. 5、由图可知，函数在处切线的斜率大于零，所以函数在附近单调递增 函数在，，0，2 附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减明：“以直代曲”思想的应用. . J. . 同理可得， 说 6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数的图 象如图（ 1）所示；第二个函数的导数恒大于零，并且随着的增加，的值也在增加； 对于第三个函数，当小于零时，小于零，当大于零时，大于零，并且随着的增加， 的值也在增加 . 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种 . 说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题 B 组（ P11） 1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度. 新课标选修2-2高二数学理导数测试题 一．选择题 (1) 函数13)(2 3+-=x x x f 是减函数的区间为( ) A ．),2(+∞ B ．)2,(-∞ C ．)0,(-∞ D ．（0，2） （2）曲线3 2 31y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（ ） A ．34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =-a (3) 函数y ＝a x 2 ＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A ． 18 B ．41 C ．2 1 D ．1 (4) 函数,93)(2 3 -++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (5) 在函数x x y 83 -=的图象上，其切线的倾斜角小于4 π 的点中，坐标为整数的点的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 （6）函数3 ()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ） A ．0a > B ．0a ≥ C ．0a < D ．0a ≤ （7）函数3 ()34f x x x =- （[]0,1x ∈的最大值是（ ） A ． 1 2 B ． -1 C ．0 D ．1 （8）函数)(x f =x （x －1）（x －2）…（x －100）在x ＝0处的导数值为（ ） A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100！ （9）曲线313y x x = +在点413?? ???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．2 3 二．填空题 （1）．垂直于直线2x+6y ＋1=0且与曲线y = x 3 ＋3x －5相切的直线方程是 。 （2）．设 f ( x ) = x 3 － 2 1x 2 －2x ＋5，当]2,1[-∈x 时，f ( x ) < m 恒成立，则实数m 的取值范围为 . （3）．函数y = f ( x ) = x 3＋ax 2＋bx ＋a 2 ，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 。 （4）．已知函数3 2 ()45f x x bx ax =+++在3 ,12 x x = =-处有极值，那么a = ；b = （5）．已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 （6）．已知函数32 ()33(2)1f x x ax a x =++++ 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是 （7）．若函数32 ()1f x x x mx =+++ 是R 是的单调函数，则实数m 的取值范围是 （8）．设点P 是曲线3 2 33+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是 。 三．解答题 A A 1 D C B B 1 C 1 图 空间向量与立体几何 说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ） A ．60° B ．90° C ．105° D ．75° 2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝ 4 1 1B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ） A ． 1715 B ． 21 C ．17 8 D ． 2 3 3．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点， 若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ） A ． 1030 B ． 2 1 C ．15 30 D ． 10 15 4．正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长2AB =，则异面直线BD 和SC 之间的距离（ ） A ． 5 15 B ． 5 5 C ． 5 5 2 D ． 10 5 5．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧 棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离（ ） A ．a 4 2 B ．a 8 2 C ． a 42 3 D ． a 2 2 6．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离 （ ） A ． 6 3 B ． 3 3 C ． 3 3 2 D ． 2 3 图 图 高二选修2-2理科数学试卷 第I 卷 （选择题, 共60分） 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1、复数 i -25 的共轭复数是( ) A 、2+i B 、2-i C 、i --2 D 、i -2 2、 已知f(x)=3 x ·sinx ，则'(1)f =( ) A. 31+cos1 B. 31sin1+cos1 C. 3 1 sin1-cos1 D.sin1+cos1 3、设a R ∈，函数()x x f x e ae -=-的导函数为()'f x ，且()'f x 是奇函数，则a 为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．-1 4、定积分dx e x x ? -1 )2(的值为（ ） A ．e -2 B ．e - C ．e D ．e +2 5、利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋ (1) 2n －1 人教版数学选修21第三章直线与平面的夹角讲义
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