千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第94炼 极坐标与参数方程

第94炼 极坐标与参数方程

极坐标与参数方程在高考中常以填空或选择的形式出现，在知识上结合解析几何，考查学生曲线方程的转化能力，以及解析几何的初步技能。题目难度不大，但需要学生能够快速熟练的解决问题 一、基础知识： （一）极坐标：

1、极坐标系的建立：以平面上一点为中心（作为极点），由此点引出一条射线，称为极轴，这样就建立了一个极坐标系

2、点坐标的刻画：用一组有序实数对(),ρθ确定平面上点的位置，其中ρ代表该点到极点的距离，而θ表示极轴绕极点逆时针旋转至过该点时转过的角度，通常：[)0,0,2ρθπ>∈

3、直角坐标系与极坐标系坐标的互化：如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴重合，则同一个点可具备极坐标(),ρθ和直角坐标(),x y ，那么两种坐标间的转

化公式为：222cos sin x y x y ρθ

ρθρ?=?

=??=+?

，由点组成的直角坐标方程与极坐标方程也可按照此法则进行转

化，例如：极坐标方程cos sin 11x y ρθρθ+=?+=（在转化成,x y 时要设法构造cos ,sin ρθρθ ，然后进行整体代换即可）

（二）参数方程：

1、如果曲线(),0F x y =中的变量,x y 均可以写成关于参数t 的函数()()x f t y g t =???=??，那么

()()x f t y g t =???

=??

就称为该曲线的参数方程，其中t 称为参数 2、参数方程与一般方程的转化：消参法 （1）代入消参：()3

23323x t y x y t =+??=+-?

=+?

（2）整体消参：2211

x t t y t t ?=+????=+??

，由222112t t t t ??+=++ ???可得：2

2x y =+

（3）平方消参：利用22

sin cos 1θθ+=消去参数

例如：22cos 3cos 312sin 94sin 2

x

x x y y y θθθθ

?=?=????+=?

?=??=?? 3、常见图形的参数方程：

（1）圆：()()2

2

2

x a y b r -+-=的参数方程为：[)cos 0,2sin x a r y b r θ

θπθ

=+?∈?

=+?，，其中θ

为参数，其几何含义为该圆的圆心角

（2）椭圆：()22

2210x y a b a b +=>>的参数方程为[)cos 0,2sin x a y b θθπθ

=?∈?=?，，其中θ为参

数，其几何含义为椭圆的离心角

（3）双曲线：()222210x y a b a b -=>>的参数方程为[)10,2cos tan x a

y b θπθθ

?=?∈??=?，，其中θ为

参数，其几何含义为双曲线的离心角

（4）抛物线：()2

20y px p =>的参数方程为2

22x pt y pt ?=?=?

，其中t 为参数

（5）直线：过(),M a b ，倾斜角为θ的直线参数方程为cos sin x a t t R y b t θ

θ=+?∈?=+?

，，其中t 代

表该点与M 的距离

注：对于极坐标与参数方程等问题，通常的处理手段是将方程均转化为直角坐标系下的一般方程，然后利用传统的解析几何知识求解 二、典型例题：

例1：已知直线参数方程为33x t y t =+??=-?，圆C 的参数方程为2cos 2sin 2

x y θ

θ=??=+?，则圆心到直线

的距离为____________

思路：将参数方程转化为一般方程：()2

2

:6,:24l x y C x y +=+-=

所以圆心为()0,2

，到直线的距离为：d =

=

答案：例2：以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点A

的极坐标为4π??

??

?

，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y θ

θ=+??

=-+?

，

则曲线C 上的点到点A 距离的最大值为___________

思路：()()()2

2

2,2,:221A C x y -++=，故曲线上距离A 最远的距离为A 到圆心的距离加上半径，故5d = 答案：5

例3：已知在平面直角坐标系xOy 中圆C

的参数方程为：3cos 13sin x y θ

θ

?=??

=+??，以Ox 为极轴

建立极坐标系，直线极坐标方程为cos 06πρθ?

?

+

= ??

?

，

则圆C 截直线所得弦长为__________ 思路：圆C

的方程为：(()2

219x y +-=，对于直线方程cos 06πρθ?

?+= ??

?，无法

直接替换为,x y ，需构造cos ,sin ρθρθ再进行转换：cos 06πρθ?

?

+

= ??

?

11sin 0022x y ρθθ??-=?-=???

再求出弦长即可：l =

答案：例4

：已知两曲线参数方程分别为()0sin x y θ

θπθ

?=?≤

=??和254x t

y t

?

=???=?，它们的交点坐

标为_____________

思路：曲线方程为222125

:1,:54

x C y C x y +==，

联立方程可解得：1x y =??

?=??

或5x =-（舍）

由[)0,θπ∈可得：0y >

所以1x y =???=??

，坐标为? ?

答案：? ? 例5：在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线=2cos 4sin ρθθ-相交于,A B 两点，

且AB =a 的值为_____________

思路：先将直线与曲线转化为直角坐标方程：()sin cos a y x a ρθθ-=?-=，曲线222=2cos 4sin =2cos 4sin 24x y x y ρθθρρθρθ-?-?+=-，所以问题转化为直线:0l x y a -+=与圆()()2

2

125x y -++=相交于,A B ，

且AB =，利用圆与直线关系可求得圆心到直线距离

d ==32a +=，解得5a =-或1a =-

答案：5a =-或1a =-

例6：以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为()4

R π

θρ=

∈，它与曲线12cos 22sin x y α

α=+??

=+?

（α为参数）

相交于两点,A B ，则AB =_________

思路：先将两个方程转化为直角坐标系下的普通方程。对于4

π

θ=

，这种特殊的极坐标方

程可以考虑数形结合来确定直线：即:l y x =，曲线消参后可得：()()2

2

124x y -+-=即

圆心是

()1,2O ，半径为2

的

圆，所

以

2O l d

-=

=

，

AB =

==

小炼有话说：对于形如4

π

θ=

的极坐标方程，可以作出图像并根据图像得到直角坐标方程，

或者可以考虑对θ赋予三角函数，然后向直角坐标进行转化：

sin sin tan 11114

cos cos y

y x x

π

θρθθθθρθ=

?=?

=?=?=?= 例7：在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11x t t

y t t ?

=-????=+

??

，以坐标原点为极点，x 轴

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是sin 13πρθ?

?

+= ??

?

，则两曲线交点间的距离是______________

思路：将12,C C

转变为直角坐标系的普通方程。2

2

121:4,:122

C y x C y x -=+=，则为直线与双曲线位置关系，联立方程，利用韦达定理求得弦长即可

解：1:C 11

x t t

y t t ?

=-????=+??

2222114y x t t t t ????∴-=+--= ? ?????

21:sin cos

cos sin

1sin cos 13

32C π

π

ρθρθρθθ+=?+= 2C ∴

的方程为

1

122

x y +=

联立方程可得：224

2

y x y ?-=??=+?? 代入消去y 可得：

(

)

2

222420x x +-=?-=

设交点()()1122,,,A x y B x y

则120,x x ==

12AB x ∴=-=

答案：例8：已知曲线的极坐标方程分别为12:cos 3,:4cos C C ρθρθ==，其中

0,02

π

ρθ≥≤<

，则曲线12,C C 交点的极坐标为_______

思路一：按照传统思路，将12,C C 转变为直角坐标系的普通方程，求出交点坐标后再转换为

极坐标

解：1:cos 33C x ρθ=?=

2222:4cos 4cos 4C x y x ρθρρθ=?=?+=

22

334x x x y x y ==???∴???+==???

3

x y =???=??

将两个点转化为极坐标分别为,66ππ?

??

?

- ? ??

???

，因为0,02πρθ≥≤<

，所以只有6π?

? ???

符合条件

思路二：观察到所给方程12:cos 3,:4cos C C ρθρθ==形式简单，且所求也为极坐标，所以考虑直接进行极坐标方程联立求解 解：cos 34cos ρθρθ=??

=?

代入消去ρ

可得：2

4cos 3cos 2θθ=?=±

0,2πθ??

∈????

cos 26πθθ∴=?=

4cos

6

π

ρ∴==

∴

交点坐标为6π?

? ??

?

小炼有话说：（1）思路一中规中矩，但解题过程中要注意原极坐标方程对,ρθ的限制条件 （2）思路二有些学生会对联立方程不很适应，要了解到极坐标中的,ρθ本身是实数，所以关于它们的方程与,x y 方程一样，都是实数方程，所以可以用实数方程的方法去解根，只是由于其具备几何含义（尤其θ）导致方程形式有些特殊（数与三角函数）。但在本题中，通过代入消元还是容易解出,ρθ的

例9：已知在极坐标系中，O 为极点，圆C 的极坐标方程为4sin 3πρθ?

?

=+

??

?

，点P 的极坐标为4,

3π??

???

，则OCP 的面积为___________

思路一：将C 转变为直角坐标系方程：

2

4sin 2sin 2sin cos 3πρθρθθρρθθ??

=+

?=+?=+ ??

?

(()2

2

22214x y y x y ?+=+?-+-=，

所以)

C

，再求出P 的直角坐

标为(2,，则12OCP P OC S OC d -=

?

，因为:303

OC y x x y =-=

，所以2P OC d -=

=，且2OC =，所以1

2222

OCP S =

??=

思路二：本题求出)

C

后，发现其极坐标为2,6π?? ???，而4,3P π??

???

，所以可结合图像利

用极坐标的几何含义求解，可得3

66

C O P π

π

π

∠=

-

=，2,4OC OP ==，所以

11sin 24sin 2226

OCP S OC OP COP π

=

?=???= 答案：2OCP S =

小炼有话说：（1）在思路一中面积的求法用向量求解还可以更为简单：

)(,OC OP =

= ，所以

OCP S =

（2）思路二体现了极坐标本身具备几何特点，即长度（ρ）与角()θ，在解决一些与几何相关的问题时，灵活运用极坐标的几何含义往往能达到出奇制胜的效果

例10：在直角坐标系xOy

中，曲线1C

的参数方程为2212

x y ?=-????=-+??，（其中t 为参数），以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐

标方程为

ρ=

，设点()2,1M -，曲线12,C C 交于,A B ，求MA MB ?的值

思路一：将12,C C 转化为直角坐标系下普通方程：1:1C y x =

-+ ，

222:44C x y ρ=

?+=，联立方程，解出,A B 坐标，再求出MA MB ?即

可

解：1222:11112

x x C y x y y ?=-?-??=-?=-+?+?=-+??

()222222:213sin 43sin 4

C ρρθρρθ=

?=?+=?+= 2244x y ∴+=

()222

2444141

x y x x y x ?+=∴?+-+=?=-+? 2580x x ∴-= 设()()1122,,,A x y B x y

1101x y =?∴?=? ，22853

5x y ?=????=-?? ()830,1,,55A B ??

- ???

AM BM ∴==

8

5

AM BM ∴?= 思路二：本题在思路一的基础上通过作图可发现,,M A B 三点共线，则可以考虑将

MA MB ?转变为向量的数量积，即MA MB MA MB ?=?

，进而向量坐标化后整体代入1212,x x x x +即可

解：（前面转化方程，联立方程同思路一）设()()1122,,,A x y B x y ，()2,1M -

()()11222,1,2,1MA x y MB x y ∴=-+=-+

()()()()12122211MA MB MA MB x x y y ∴?=?=--+++

()()()()()()121212*********x x x x x x =--+-++-++=-- ()1212224x x x x =-++????

由2

580x x -=得12128

,05

x x x x +=

= 88

202455

MA MB ??∴?=-?+= ???

思路三：观察到()2,1M -恰好是直线1C 参数方程的定点，且所求恰好是,A B 到M 的距离，所以联系到直线参数方程中参数t 的几何含义。只需求得对应参数12,t t 的乘积即可

解：设()11,A x y

，则有1111212x y ?=-????=-+??，()22,B x y

，则有2222212

x y ?=-????=-+?? 代入到222:41C x y +=中可得：

22

1122

222+414222+41422??

???

?--+= ? ?????????????--+= ? ????

??

??

所以12,t t

是方程2

2

2+41422????

--+= ? ????

?的两根，整理可得：

25402t -+= 1285

MA MB t t ∴?== 答案：85

小炼有话说：（1）思路二体现了处理线段模长乘积时，可观察涉及线段是否具备共线特点，如果具备可以将其转化为向量的数量积，从而简化运算，但要注意与图像结合，看好向量是同向还是反向

（2）思路三体现了对直线参数方程中参数几何含义的巧用。在处理两条曲线（其中一条为参数方程）的交点问题时，可以将参数代换掉另一曲线中的,x y 得到关于参数的方程。另外在使用直线参数方程时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值。否则参数不具备几何含义。例如本题中如果1C

参数方程为21x y ?=-??

=-+??，则t 并不代表点到

()2,1M -的距离。

三、历年好题精选

1、已知直角坐标系xOy 中，直线l

的参数方程为3

x t y =-???

=??（t 为参数），以直角坐标系xOy

中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为2

4cos 30ρρθ-+=，

则圆心C 到直线l 的距离为________ 2、（2015，北京）在极坐标系中，点2,

3π??

???

到直线()

cos 6ρθθ+=的距离为______ 3、（2015，广东）已知直线l

的极坐标方程为2sin 4πρθ?

?

-

= ??

?

，点A

的极坐标为

74A π?

?

??

?

，则点A 到直线l 的距离为_______ 4、（2015，新课标II ）在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t α

α=??

=?

（t 为参数，0t ≠），

其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲

线

23:2sin ,:C C ρθρθ==

（1）求23,C C 交点的直角坐标

（2）若12,C C 相交于点A ，13,C C 相交于点B ，求AB 的最大值

5、（2015，陕西）在直角坐标系xOy 中，直线l

的参数方程为132x t y ?

=+??

??=??（t 为参数），以

原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C

的极坐标方程为ρθ= （1）写出C 的直角坐标方程

（2）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标 习题答案： 1

、答案：

2

解析：可知直线l

的方程为：

)30y x y =

+-+=，圆的直角坐标方程为

()2

22243021x y x x y +-+=?-+=，所以圆心到直线的距离为

2

d =

=

2、答案：1 解析：点2,

3π??

???

化为直角坐标系坐标为(

，直线方程为60x +-=，从而该点到直线的距离为

1d =

=

3、答案：

2

解析：直线sin cos sin cos 1l θθρθρθ=?-=，转化为直角坐标方程为1y x -=，点A 的直角坐标为()2,2-，则A 到直线的距离为

2

d =

=

4、解析：（1）曲线2

3,C C 的直角坐标方程分别为：222220,0x y y x y +-=+

-=

联立方程：2222

200x y y x y ?+-=??+-=??

解得：00x y =

??=?或232

x y ?

=??

??=??

∴ 23,C

C 交点的直角坐标为()30,0,2?

??

? （2）曲线1C 的极坐标方程为(),0,0R θαρραπ=∈≠≤

< 在极坐标系下

()()

2sin ,,,A B ααα

α∴

2sin 4sin 3AB πααα?

?∴=-=- ??

?

max

4AB ∴=，当56

π

α=

时取到

5、解析：（1

）2sin ρθρθ=

?=

∴直角坐标方程为22

x y +=整理可得：(2

2

3x y +=

（2）设1322P t ??

+

?

?

?，由（1）可得(C

PC ∴==≥

等号成立条件为0t =，此时()3,0P 6、答案：cos sin 1ρθρθ-=

解析：圆C 的直角坐标方程为：()()2

2

211x y -+-=，设直线l 方程为：y x m =+，因为2AB =，可知2AB r =，所以AB 为直径，即过圆心()2,1，计算可得：1m =-，直线方程为10x y --=，再转化为极坐标方程为cos sin 1ρθρθ-=