人教A版高中数学选修2-1习题：3.2.3利用向量求空间角(附答案)

第3课时利用向量求空间角

1.若平面α的一个法向量为n1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n2=(-3,1,3),则平面α与β所成的角等于( )

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

2.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为( )

A. B. -

C. D. -

3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( )

A. －

B. C. －

D.

4.若二面角α-l-β的大小为120°,则平面α与平面β的法向量的夹角为( )

A. 120°

B. 60°

C. 120°或60°

D. 30°或150°

5.已知四面体各棱长为1，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值（）

A. B. C. D.

6.若两个平面α,β的法向量分别是u=(1,0,1),v=(-1,1,0),则这两个平面所成的锐二面角的度数是_____.

7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则直线BC1与平面A1BD所成的角的余弦值是_____.

8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为_____.

9.如图,直棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠ACB=90°,棱AA1=2,如图,以C为原点,分别以CA,CB,CC1为x,y,z轴建立空间直角坐标系

. (1)求平面A1B1C的法向量;

(2)求直线AC与平面A1B1C夹角的正弦值.

10.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯

形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA=AD=AB=2BC=2,过AD的平面分别交PB,PC于M,N两点

.

(1)求证:MN∥BC;

(2)若M,N分别为PB,PC的中点,

①求证:PB⊥DN;

②求二面角P-DN-A的余弦值.

11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin<>的值为( )

A. B. C. D.

12.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=2,CC1=,则异面直线AB1和BC1所成角的正弦值为( )

A. 1

B.

C.

D.

13.二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝2，则该二面角的大小为( )

A. 150°

B. 45°

C. 60°

D. 120°

14.已知a,b 是异面直线,A,B ∈a,C,D ∈b,AC ⊥b,BD ⊥b 且AB=2,CD=1,则a 与b 所成的角是( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

15.正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都相等,则AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角的余弦值为_____. 16.如图,三棱柱OAB-O 1A 1B 1中,平面OBB 1O 1⊥平面OAB,且

∠O 1OB=60°,∠AOB=90°,OB=OO 1=2,OA=,求异面直线A 1B 与O 1A 所成角的余弦值

.

17.如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB=AC=1,∠BAC=90°,异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角为60°.

(1)求该三棱柱的体积;

(2)设D 是BB 1的中点,求DC 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值.

第3课时 利用向量求空间角

1.若平面α的一个法向量为n 1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n 2=(-3,1,3),则平面α与β所成的角等于( )

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

【答案】D 【解析】 【分析】 先求出

，所以α⊥β,即得平面α与β所成的角.

【详解】因为n 1·n 2=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α与β所成的角等于90°. 故答案为:D

【点睛】(1)本题主要考查利用面面垂直的向量表示，意在考察学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)两平面的法向量垂直，则两平面互相垂直.

2.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB 和直线CD 所成角的余弦值为( )

A.

B. -

C.

D. -

【答案】A 【解析】 【分析】 先求出向量

=(2,-2,-1),

=(-2,-3,-3),再利用向量法求两异面直线所成的角的余弦.

【详解】由题得

=(2,-2,-1),

=(-2,-3,-3),而cos<

>=

,

故直线AB 和CD 所成角的余弦值为

.

故答案为：A

【点睛】(1)本题主要考查向量法求两异面直线所成的角，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找

作（平移法、补形法）

证（定义）指求（解三角形）,方法二：（向量法）

，其中是异面直线所

成的角，分别是直线的方向向量.

3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为

( )

A. －

B.

C. －

D.

【答案】B

【解析】

取中点，则就是直线与平面所成角的线面角，

所以，故选B。

点睛：本题考查立体几何的线面夹角。一般的，立体几何问题利用其几何性质求解，如本题中的线面角，可以结合图形的特殊性，可以较容易地找到其线面角。当线面角不容易找的时候，可以采用空间直角坐标系来辅助解题。

4.若二面角α-l-β的大小为120°,则平面α与平面β的法向量的夹角为( )

A. 120°

B. 60°

C. 120°或60°

D. 30°或150°

【答案】C

【解析】

【分析】

利用法向量的夹角和二面角的关系解答.

【详解】二面角为120°时,其法向量的夹角可能是60°,也可能是120°.

故答案为：C

【点睛】本题主要考查二面角的大小和法向量的夹角的关系，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.

5.已知四面体各棱长为1，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值（）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

试题分析：如图，过D做DE||AC，交OC于点E，连接BE，则异面直线AC于BD 所成角为,易知,故选C．

考点：异面直线所成角

6.若两个平面α,β的法向量分别是u=(1,0,1),v=(-1,1,0),则这两个平面所成的锐二面角的度数是_____.

【答案】

【解析】

【分析】

利用向量的夹角公式求法向量的夹角，即得锐角二面角的大小.

【详解】设这两个平面所成的锐二面角为θ,则cos θ=,所以锐二面角的度数是60°.

故答案为：

【点睛】(1)本题主要考查二面角的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.

（2）二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：

（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式

（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）.

7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则直线BC1与平面A1BD所成的角的余弦值是_____.

【答案】

【解析】

【分析】

如图,以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,再利用向量法求直线BC1与平面A1BD所成的角的余弦值.

【详解】

如图,以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),

则=(1,0,1),=(1,1,0),=(-1,0,1),

设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),

则所以

令x=1得,n=(1,-1,-1),

设直线BC1与平面A1BD所成角为θ,

则sinθ=|cos <,n >|=,故cos θ=.

故答案为：

【点睛】（1）本题主要考查直线和平面所成角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分

析推理能力.(2)直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找作（定义法）

证（定义）

指求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角

形.方法二：（向量法），其中是直线的方向向量，是平面的法向量，是直线

和平面所成的角.

8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为_____.

【答案】

【解析】

【分析】

建立空间直角坐标系如图,设正方体的棱长为2,利用向量法求平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值.

【详解】

建立空间直角坐标系如图,设正方体的棱长为2,则D(2,0,0),A1(0,0,2),E(0,2,1),

则=(2,0,-2),=(0,2,-1).

设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),

则

则

令y=1,得n=(2,1,2).

易知平面ABCD的法向量为m=(0,0,1),

则cos=.

故答案为：

【点睛】(1)本题主要考查二面角的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.

（2）二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：

（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式

（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的

大小选择“”号）.

9.如图,直棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面△ABC 中,CA=CB=1,∠ACB=90°,棱AA 1=2,如图,以C 为原点,分别以CA,CB,CC 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系

.

(1)求平面A 1B 1C 的法向量;

(2)求直线AC 与平面A 1B 1C 夹角的正弦值. 【答案】（1）；（2）

【解析】 【分析】

（1）v=(x 0,y 0,z 0)为平面A 1B 1C 的法向量,则v·

=x 0+2z 0=0,v·

=y 0+2z 0=0,解方程组即得

平面A 1B 1C 的法向量.(2)利用向量法求直线AC 与平面A 1B 1C 夹角的正弦值. 【详解】(1)由题意可知C(0,0,0),A 1(1,0,2),B 1(0,1,2),故=(1,0,2),

=(0,1,2),

设v=(x 0,y 0,z 0)为平面A 1B 1C 的法向量,则 v·=(x 0,y 0,z 0)(1,0,2)=x 0+2z 0=0, v·=(x 0,y 0,z 0)(0,1,2)=y 0+2z 0=0,

即

令z 0=1,则v=(-2,-2,1).

(2)设直线AC 与平面A 1B 1C 夹角为θ,而=(1,0,0),

所以直线AC 与平面A 1B 1C 夹角的正弦值sin θ

=

.

【点睛】（1）本题主要考查直线和平面所成角的求法，考查法向量的求法，意在考查学生对该

知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找作（定义法）证（定义）指求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中

是直线的方向向量，是平

面的法向量，是直线和平面所成的角.

10.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD,底面ABCD 为直角梯

形,AD ∥BC,∠BAD=90°,PA=AD=AB=2BC=2,过AD 的平面分别交PB,PC 于M,N 两点

.

(1)求证:MN ∥BC;

(2)若M,N 分别为PB,PC 的中点, ①求证:PB ⊥DN;

②求二面角P-DN-A 的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）见解析， 【解析】 【分析】

（1）先证明BC∥平面ADNM ，再证明MN∥BC.（2）①先证明PB⊥平面ADNM ，再证明PB⊥DN. ②以A 为坐标原点,直线AB 为x 轴,直线AD 为y 轴,直线AP 为z 轴,建立空间直角坐标系A-xyz,利用向量法求二面角P-DN-A 的余弦值.

【详解】(1)证明因为底面ABCD 为直角梯形,所以BC∥AD. 因为BC ?平面ADNM,AD ?平面ADNM, 所以BC∥平面ADNM.

因为BC ?平面PBC,平面PBC∩平面ADNM=MN,所以MN∥BC.

(2)①证明因为M,N 分别为PB,PC 的中点,PA=AB,所以PB⊥MA.

因为∠BAD=90°,所以DA⊥AB.

因为PA⊥底面ABCD,所以DA⊥PA.

因为PA∩AB=A,所以DA⊥平面PAB.

所以PB⊥DA.

因为AM∩DA=A,所以PB⊥平面ADNM.

因为DN?平面ADNM,所以PB⊥DN.

②如图,以A为坐标原点,直线AB为x轴,直线AD为y轴,直线AP为z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).

由①知,PB⊥平面ADNM,所以平面ADNM 的法向量为=(-2,0,2).

设平面PDN的法向量为n=(x,y,z),

因为=(2,1,-2),=(0,2,-2),

所以

令z=2,则y=2,x=1.

所以n=(1,2,2),

所以cos=.

所以二面角P-DN-A 的余弦值为.

【点睛】(1)本题主要考查二面角的向量求法，考查空间线面位置关系的证明，意在考查学生对该知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.（2）二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）.

11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin<>的值为( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为1,利用向量法求sin<>的值.

【详解】

如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),M,

∴=(1,1,1),,

∴cos <>==,

∴sin <>=.

故答案为：B

【点睛】（1）本题主要考查向量夹角的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推

理计算能力.(2)求向量的夹角常用.

12.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=2,CC1=,则异面直线AB1和BC1所成角的正弦值为( )

A. 1

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

【分析】

设线段A1B1,AB的中点分别为O,D,则OC1⊥平面ABB1A1,以的方向分别为x轴,y轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,利用向量法求异面直线AB1和BC1所成角的正弦值.

【详解】

设线段A1B1,AB的中点分别为O,D,则OC1⊥平面ABB1A1,以的方向分别为x轴,y轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,

则A(-1,0,),B1(1,0,0),B (1,0,),C1(0,,0),

所以=(2,0,-),=(-1,,-).

因为=(2,0,-)·(-1,,-)=0,

所以,即异面直线AB1和BC1所成角为直角,则其正弦值为1.

故答案为：A

【点睛】(1)本题主要考查向量法求两异面直线所成的角，意在考查学生对该知识的掌握水平和

分析推理计算能力.(2)异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找

作（平移法、补形法）

证（定义）指求（解三角形）,方法二：（向量法），其中是异面直线所成的角，分别是直线的方向向量.

13.二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为( )

A. 150°

B. 45°

C. 60°

D. 120°

【答案】C

【解析】

【分析】

将向量转化成，然后等式两边同时平方表示出向量的模，再根据向量的数量积求出向量与的夹角，而向量与的夹角就是二面角的补角．

【详解】由条件，知．

∴

=62+42+82+2×6×8cos，

∴cos ，即=120°，

所以二面角的大小为60°，

故选：C．

【点睛】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

14.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是( )

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出，再计算出,所以

2×1×cos <>=1,即得a与b所成的角.

【详解】直线a,b的方向向量分别

为,因

为,所

以

,即2×1×cos

<>=1,所以cos

<

>=,即

<>=60°.

故答案为：C

【点睛】(1)本题主要考查异面直线所成的角，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能

力.(2)解法本题的关键是由得2×1×cos <>=1.

15.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为_____.

【答案】

【解析】

【分析】

设三棱柱的棱长为1,以B为原点,建立坐标系，利用向量法求AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦

值.

【详解】

设三棱柱的棱长为1,以B为原点,建立坐标系如图,则C1(0,1,1),A,又平面

BB1C1C的一个法向量n=(1,0,0),

设AC1与平面BB1C1C的夹角为θ.

则sin θ=|cos|=,

故cos θ=.

故答案为：

【点睛】（1）本题主要考查直线和平面所成角的求法，考查法向量的求法，意在考查学生对该

知识的掌握水平和分析推理能力.(2)直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找作（定

义法）证（定义）指求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平

面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中是直线的方向向量，是平

面的法向量，是直线和平面所成的角.

16.如图,三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,且

∠O1OB=60°,∠AOB=90°,OB=OO1=2,OA=,求异面直线A1B与O1A所成角的余弦值

.

【答案】

【解析】

【分析】

以O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

利用向量法求异面直线A1B与O1A所成角的余弦值.

【详解】以O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系

,

则A(,0,0),B(0,2,0),A1(,1,),O1(0,1,),

所以=(-,1,-),=(,-1,-).

设所求的角为α,

则cos α=,

即异面直线A1B与O1A 所成角的余弦值为.