线性规划(教师版)

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

1.二元一次不等式表示的平面区域

(1)一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线.

(2)由于对直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，把它的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C ，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点，由Ax 0＋By 0＋C 的符号即可判断Ax ＋By ＋C >0表示的直线是Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域. 2.线性规划相关概念

名称 意义

约束条件 由变量x ，y 组成的一次不等式

线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组

目标函数 欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合

最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

1.不等式组????

?

3x －y －6<0，x －y ＋2>0，

x ≥0，y ≥0

表示的平面区域是下图中的阴影部分. ( × )

2.下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是

( )

A.(0,0)

B.(－1,1)

C.(－1,3)

D.(2，－3)

答案 C

3.若实数x ，y 满足不等式组????

?

x －y ≥－1，x ＋y ≥1，

3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )

A.3

B.5

2

C.2

D.2 2

答案 C

4.(2013·湖南)若变量x ，y 满足约束条件????

?

y ≤2x ，x ＋y ≤1，

y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )

A.－5

2

B.0

C.5

3

D.52

答案 C

设z ＝x ＋2y ，平行移动直线y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋z

2过点M ????13，23时，z 取最大值53，所以(x ＋2y )max ＝53

. 5.(2013·浙江)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足?????

x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，

2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实

数k ＝________. 答案 2

解析 作出可行域如图阴影部分所示：

由图可知当0≤－k <1

2时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解

得k ＝2(舍去)；当－k ≥1

2时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2，

不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合题意.综上可知，k ＝2.

题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域

练习:在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐 标分别为A (0,1)，B (－2,2)，C (2,6)，试写出△ABC 及其内部区域所对应的二元一次不等式组.

解 由已知得直线AB 、BC 、CA 的方程分别为直线AB ：x ＋2y －2 ＝0，直线BC ：x －y ＋4＝0，直线CA ：5x －2y ＋2＝0，

∴原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为????

?

x －y ＋4≥0x ＋2y －2≥0

5x －2y ＋2≤0

.

题型二 求线性目标函数的最值

例2 设x ，y 满足约束条件：????

?

x －4y ≤－33x ＋5y ≤25

x ≥1

，求z ＝x ＋y 的最大值与最小值.

思维启迪 作可行域后，通过平移直线l 0：x ＋y ＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值. 解 先作可行域，如图所示中△ABC 的区域，且求得A (5,2)、

B (1,1)、

C (1，22

5)，作出直线l 0：x ＋y ＝0，再将直线l 0平移，当

l 0的平行线l 1过点B 时，可使z ＝x ＋y 达到最小值；当l 0的平 行线l 2过点A 时，可使z ＝x ＋y 达到最大值.故z min ＝2，z max ＝7.

(1)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组???

0≤x ≤

2，

y ≤2，

x ≤2y

给定.

若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →

的最大值为 ( ) A.3

B.4

C.3 2

D.4 2

(2)(2013·课标全国Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件?????

x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值

为1，则a 等于

( )

A.1

4

B.12

C.1

D.2

答案 (1)B (2)B

解析 (1)由线性约束条件???

0≤x ≤

2，

y ≤2，

x ≤2y

画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →

＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，、z 最大，将点(2，2)的坐标代入z ＝2x ＋y

得z 的最大值为4.

(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分). 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，

由????? x ＝1，y ＝a (x －3)，得?????

x ＝1，y ＝－2a ，

∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝1

2，

故选B.

题型四 求非线性目标函数的最值

例4 (1)设实数x ，y 满足?????

x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则y

x

的最大值为________.

(2)已知O 是坐标原点，点A (1,0)，若点M (x ，y )为平面区域????

?

x ＋y ≥2，x ≤1，

y ≤2，上的一个动点，

则|OA →＋OM →

|的最小值是________.

思维启迪 与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成. 答案 (1)32 (2)32

2

解析 (1)y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，在点(1，3

2)处取到最大值.

(2)依题意得，OA →＋OM →＝(x ＋1，y )，|OA →＋OM →

|＝(x ＋1)2＋y 2可视为点 (x ，y )与点(－1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的 平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(－1,0)向直线

x ＋y ＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(－1,0)的距离最小，因此|OA →＋OM →

|的最 小值是|－1＋0－2|2

＝322.

思维升华 常见代数式的几何意义有 (1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离；

(2)(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离； (3)y

x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率； (4)y －b x －a

表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率.

设不等式组????

?

x ≥1，x －2y ＋3≥0，

y ≥x ，

所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2是与Ω1

关于直线3x －4y －9＝0对称的区域，对于Ω1中的任意一点A 与Ω2中的任意一点B ，|AB |的最小值等于

( )

A.28

5 B.4

C.125

D.2

答案 B

解析 由题意知，所求的|AB |的最小值，即为区域Ω1中的点到直

线3x －4y －9＝0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的 平面区域，如图所示，

可看出点(1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离最小，故|AB |的最小值 为2×|3×1－4×1－9|5

＝4，选B.

A 组 专项基础训练

一、选择题

1.在直角坐标平面内，不等式组????

?

y ≤x ＋1y ≥0

0≤x ≤t 所表示的平面区域的面积为3

2

，则t 的值为( )

A.－3或 3

B.－3或1

C.1

D. 3

答案 C

2.直线2x ＋y －10＝0与不等式组?????

x ≥0，y ≥0，

x －y ≥－2，

4x ＋3y ≤20表示的平面区域的

公共点有

( )

A.0个

B.1个

C.2个

D.无数个

答案 B

3.(2013·天津)设变量x ，y 满足约束条件????

?

3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，

y －3≤0，

则目标函数z ＝y －2x 的最小值为

( )

A.－7

B.－4

C.1

D.2

答案 A

解析 可行域如图阴影部分(含边界)

令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知，当直线l 过A 点时，

z 取得最小值.由?

???

?

y ＝3，x －y －2＝0得A (5,3).∴z min ＝3－2×5＝－7，选A.

4.(2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组 ????

?

2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0

所表示的区域上 一动点，则直线OM 斜率的

最小值为 ( )

A.2

B.1

C.－13

D.－12

答案 C

解析 画出图形，数形结合得出答案. 如图所示，????

?

2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，

3x ＋y －8≤0

所表示的平面区域为图中的阴影部分.

由?????

x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，

得A (3，－1).当M 点与A 重合时，OM 的斜率最小，k OM ＝－1

3.

二、填空题

5.已知z ＝2x －y ，式中变量x ，y 满足约束条件????

?

y ≤x ，x ＋y ≥1，

x ≤2，则z 的最大值为________.

答案 5

解析 在坐标平面内画出题中的不等式表示的平面区域及直线2x

－y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(2，－1)时， 相应直线在x 轴上的截距最大，此时z ＝2x －y 取得最大值，最大值 是z ＝2×2－(－1)＝5.

6.设z ＝2x ＋y ， x ，y 满足????

?

x ＋y ≥0x －y ≤0

0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则k 的值为_____，z 的最小值

为___. 答案 2 －2

解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝6，结合图形分析可知，要使z ＝2x ＋y 的最大值是6，直线y ＝k 必过直线2x ＋y ＝6与x －y ＝0的交点，即必过点(2,2)，于是有k ＝2； 平移直线2x ＋y ＝6，当平移到经过该平面区域内的点(－2,2)时，相应

直线在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝2x ＋y 取得最小值，最小值是z ＝2×(－2)＋2＝－2. 三、解答题

10.已知x ，y 满足条件????

?

7x －5y －23≤0x ＋7y －11≤0

4x ＋y ＋10≥0

，求4x －3y 的最大值和最小值.

解 不等式组????

?

7x －5y －23≤0x ＋7y －11≤0

4x ＋y ＋10≥0

表示的区域如图所示.

可观察出4x －3y 在A 点取到最大值，在B 点取到最小值.

解方程组?????

7x －5y －23＝04x ＋y ＋10＝0，得????

? x ＝－1y ＝－6，则A (－1，－6).

解方程组????? x ＋7y －11＝04x ＋y ＋10＝0，得?????

x ＝－3y ＝2

.则B (－3,2)， 因此4x －3y 的最大值和最小值分别为14，－18.

B 组 专项能力提升

1.(2012·课标全国)已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是

( ) A.(1－3，2) B.(0,2) C.(3－1,2)

D.(0,1＋3)

答案 A

解析 如图，根据题意得C (1＋3，2).

作直线－x ＋y ＝0，并向左上或右下平移，过点B (1,3)和 C (1＋3，2)时，z ＝－x ＋y 取范围的边界值，即－(1＋3) ＋2

?

x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，

y －1≤0，

若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取

得最大值，则a 的取值范围是__________. 答案 ????12，＋∞

解析 画出x 、y 满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >1

2

.

4.当x ，y 满足约束条件????

?

x ≥0，y ≤x ，

2x ＋y ＋k ≤0，(k 为负常数)时，能使z ＝x ＋3y 的最大值为12，

试求k 的值.

解 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图).

当直线y ＝－13x ＋1

3

z 经过区域中的点A 时，截距最大.

由?

????

y ＝x 2x ＋y ＋k ＝0，得x ＝y ＝－k 3.∴点A 的坐标为(－k 3，－k 3).

则z 的最大值为－k 3＋3(－k 3)＝－43k ，令－4k

3＝12，得k ＝－9.∴所求实数k 的值为－9.