有理分式函数的图象及性质

有理分式函数的图象及性质

【知识要点】 1．函数(0,)ax b y c ad bc cx d

+=

≠≠+

（1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{|y y ≠

单调区间为(,),(,+)d d c c

-∞--

∞（4）直线,d a x y c c =-

=

，对称中心为点(,)d a c c

-

（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。（62．函数(0,0)b

y ax a b x =+

>>的图象和性质：

（1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：{|y y y ≥≤或（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间+),(∞上是增函数；在区间0)上是减函数（5以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。

3．函数(0,0)b y ax a

b =+

><的图象和性质：

【例题精讲】 1．函数1

1+-

=x y 的图象是 （ ）

A

B

C D 2．函数23

(1)1

x y x x +=

<-的反函数是

（ ）

3333.(2) . (2) . (1) .(1)2

2

2

2

x x x x A y x B y x C y x D y x x x x x ++++=

<=

≠=<=

≠----

3．若函数2()x f x x a

+=+的图象关于直线y x =对称，则a 的值是 （ ）

. 1 . 1 . 2 .2A B C D --

4．若函数21

()x f x x a -=+存在反函数，则实数a 的取值范围为

（ ）

11. 1 . 1 . .2

2

A a

B a

C a

D a ≠-≠≠

≠-

5．不等式14x x

>

的解集为

（ ）

1111111. (,0)(

,) . (-,)(

,) . (,0)(0,,+) .(,0)(0,

)

22

2

2

2

2

2A B C D -

+∞∞-

+∞-∞-

6．已知函数2

()ax b

f x x c

+=

+的图象如图所示，则,,a b c 的大小关系为 （ ）

. . . .A a b c B a c b C b a c D b c a >>>>>>>>

7．若正数a 、b 满足,3++=b a ab 则ab 的取值范围是_____ 。 8．函数2

34

x y x =

+的值域是 。

9．若函数1

a x y x a -=

--的反函数的图象关于点(1,4)-成中心对称，则实数

a = 。

10．函数11

x

x

e y e -=

+的反函数的定义域是 。

11．不等式

2113

x x ->+的解集是 。

12．函数2

2

1

x x y x x -=

-+的值域是 。

13．设(),[0,+)1

a f x x x x =+

∈∞+。

（1）当a ＝2时，求()f x 的最小值；

（2）当0＜a ＜1时，判断()f x 的单调性，并写出()f x 的最小值。 14．设函数()(0)x a f x a b x b

+=>>+，求()f x 的单调区间，并证明()f x 在其单调区间上的单

调性． BABDAD

7．[9,+)∞ 8．33[,]44-

9．3 10．(1,1)- 11．3x <-或4x > 12．1

[,1)3

- 13．解：（1）a ＝2时，f （x ）＝x ＋12+x ＝ x ＋1＋12+x －1≥22－1，等号在x ＋1＝1

2

+x ，

x ＝2－1（∵x ∈[0，＋∞））时成立．

（2）当0＜a ＜1时，设x 1，x 2 ∈[0，＋∞），x 1＜x 2 ． 则f （x 2）－ f （x 1）＝（x 2－x 1）＋

1

2+x a －

1

1+x a ＝（x 2－x 1）（1－

)

1)(1(21++x x a

）．

∵ 0＜a ＜1，∴

)

1)(1(21++x x a

＜1，1－

)

1)(1(21++x x a

＞0，

又 x 2－x 1＞0，于是f （x 2）－ f （x 1）＝（x 2－x 1）（1－

)

1)(1(21++x x a

）＞0，

f （x 2）＞ f （x 1），f （x ）是增函数． 在x ＝0时，f （x ）的最小值是a ． 14．解：函数b

x a x x f ++=

)(的定义域为(,)(,)b b -∞--+∞

)(x f 在),(b --∞内是减函数，)(x f 在),(+∞-b 内也是减函数

证明

)

(x f 在),(+∞-b 内是减函数

取),(,21+∞-∈b x x ，且21x x <，那么

b

x a x b

x a x x f x f ++-

++=

-221121)()()

)(())(-( 2112b x b x x x b a ++-=

∵0))((,0,02112>++>->-b x b x x x b a ∴0)()(21>-x f x f 即

)

(x f 在),(+∞-b 内是减函数，同理可证

)

(x f 在),(b --∞内是减函数。

浅说函数的对称性

函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。

一、函数自身的对称性探究

定理1.函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是

f (x) + f (2a－x) = 2b

证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x)

即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)

∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。

故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0

定理2.函数y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是

f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）

推论：函数y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)

定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)

是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠

b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，

∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：

f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）

又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，

∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：

f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得

f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：

f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

二、不同函数对称性的探究

定理4.函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。

定理5.①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。

②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。

③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1，y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴点P‘（x1，y1）在函数x－a = f (y + a)的图像上。

同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。

推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。

三、函数对称性应用举例

例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（）（第十二届希望杯高二第二试题）

(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数

(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数

解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).

∴f (x)有两条对称轴x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。

故选(A)

例2：设定义域为R 的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x －1)和g -1

(x －2)函数的图像关于直线y = x 对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。

（A ） 1999； （B ）2000； （C ）2001； （D ）2002。

解：∵y = f(x －1)和y = g -1

(x －2)函数的图像关于直线y = x 对称，

∴y = g -1(x －2) 反函数是y = f(x －1)，而y = g -1(x －2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x －1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001 故f(4) = 2001,应选（C ）

例3.设f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x ≤0时，

f (x) = －2

1x ，则f (8.6 ) = _________ （第八届希望杯高二 第一试题）

解：∵f(x)是定义在R 上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；

又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3

例4. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x ≤1时， f (x) = x ，则f (7.5 ) = （ ） (A) 0.5

(B) －0.5

(C) 1.5

(D) －1.5

解：∵y = f (x)是定义在R 上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。

∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)