高中数学完整讲义——概率_随机事件的概率1.事件及样本空间

高中数学讲义

版块一：事件及样本空间 1．必然现象与随机现象

必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；

随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．

2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果．

一次试验是指事件的条件实现一次．

在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；

在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；

在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件．

通常用大写英文字母A B C ，，，来表示随机事件，简称为事件．

3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果．

所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用Ω表示．

版块二：随机事件的概率计算

1．如果事件A B ，同时发生，我们记作A B ，简记为AB ；

2．一般地，对于两个事件A B ，，如果有()()()P AB P A P B =，就称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立．当事件A 与B 独立时，事件A 与B ，A 与B ，A 与B 都是相互独立的．

3．概率的统计定义

一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率m n

，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记为()P A ．

从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()P A 满足：0()1P A ≤≤．

当A 是必然事件时，()1P A =，当A 是不可能事件时，()0P A =．

4．互斥事件与事件的并

互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．

由事件A 和事件B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A B ，

都发生）所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并（或和），记作C A B =．

若C A B =，则若C 发生，则A 、B 中至少有一个发生，事件A B 是由事件A 或B 所包含的基本事件组成的集合．

5．互斥事件的概率加法公式：

若A 、B 是互斥事件，有()()()P A B P A P B =+

若事件12n A A A ，，，两两互斥（彼此互斥），有1

212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++． 事件“12n A A A ”发生是指事件12n A A A ，，，中至少有一个发生．

6．互为对立事件

知识内容

板块一.事件及样本空间

高中数学讲义 不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作A ． 有()1()P A P A =-．

<教师备案>

1．概率中的“事件”是指“随机试验的结果”，与通常所说的事件不同．基本事件空间是指一次试验中所有可能发生的基本结果．有时我们提到事件或随机事件，也包含不可能事件和必然事件，将其作为随机事件的特例，需要根据情况作出判断．

2．概率可以通过频率来“测量”，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统计定义．在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率．

随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某个常数附近摆，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率．

3．基本事件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形．

主要方法：

解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：

求概率的步骤是：

第一步，确定事件性质???????等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验

，即所给的问题归结为四类事件中的某一种． 第二步，判断事件的运算???

和事件积事件，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件． 第三步，运用公式()()()()()()()()(1)

k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B n P k C p p -?=???+=+???=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： 次独立重复试验:求解

第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复．

解决此类问题的关键是会正确求解以下六种事件的概率（尤其是其中的（4）、（5）两种概率）： ⑴ 随机事件的概率，等可能性事件的概率；

⑵ 互斥事件有一个发生的概率；

⑶ 相互独立事件同时发生的概率；

⑷ n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率；

⑸ n 次独立重复试验中在第k 次才首次发生的概率；

⑹ 对立事件的概率．

另外：要注意区分这样的语句：“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰好有一个发生”，“都发生”，“不都发生”，“都不发生”，“第k 次才发生”等．

题型一 事件及样本空间

【例1】 (2010安徽)

甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球．乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A ，表示由甲罐取出的球是红球．白球和黑球的

典例分析

高中数学讲义

事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是__ __（写出所有正确结论的编号）．

①()2

5

P B=；

②()15

|

11

P B A=；

③事件B与事件

1

A相互独立；

④

1

A，

2

A，

3

A两两互斥的事件；

⑤()

P B的值不能确定，因为它与

1

A，

2

A，

3

A中究竟哪一个发生有关．

【例2】下列事件：

①同学甲竞选班长成功；

②两队球赛，强队胜利了；

③一所学校共有998名学生，至少有三名学生的生日相同；

④若集合A B C

，，，满足A B B C

??

，，则A C

?；

⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2张签上都写上“死”字，再让画师抽“生死签”，

画师抽到死签；

⑥从1359

，，，中任选两数相加，其和为偶数；

其中属于随机事件的有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【例3】指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：

⑴六月天下雪；

⑵同时掷两颗骰子，事件“点数之和不超过12”；

⑶太阳从西边升起；

⑷当100

x≥时，事件“lg2

x≥”；

⑸数列{}

n

a是单调递增数列时，事件“

20082009

a a

>”；

⑹骑车通过10个十字路口，均遇红灯．

【例4】指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：

⑴在标准大气压下且温度低于0C时，冰融化；

⑵今天晚上下雨；

⑶没有水分，种子发芽；

⑷技术充分发达后，不需要任何能量的“永动机”将会出现；

⑸买彩票中一等奖；

⑹若平面α平面m

β=，nβ

∥，nα

∥，则m n

∥．

【例5】将一颗骰子连续投掷两次，观察落地后的点数．

⑴写出这个试验的基本事件空间和基本事件总数；

⑵“两次点数相同”这一事件包含了几个基本事件；

⑶“两次点数之和为6”这一事件包含了几个基本事件；

⑷“两次点数之差为1”这一事件包含了几个基本事件．

【例6】一个口袋中有完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中任取2球，观察球的颜色．

⑴写出这个试验的基本事件空间；

高中数学讲义 ⑵求这个试验的基本事件总数；

⑶“至少有1个白球”这一事件包含哪几个基本事件；

【例7】 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x ，转盘②得到的数为y ，结果为()x y ，．

⑴写出这个试验的基本事件空间；

⑵求这个试验的基本事件总数；

⑶“5x y +=”这一事件包含哪几个基本事件？“3x <且1y >”呢？ ⑷“4xy =”这一事件包含哪几个基本事件？“x y =”呢？

【例8】 在天气预报中，如果预报“明天的降水概率为85%”，这是指（ ）

A ．明天该地区约有85%的地区降水，其它15%的地区不降水

B ．明天该地区约有85%的时间降水，其它时间不降水

C ．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不会降水

D ．明天该地区降水的可能性为85%

【例9】 同时掷两枚骰子，点数之和在2~12点间的事件是 事件，点数之和为12点的事件是

事件，点数之和小于2或大于12的事件是 事件，点数之差为6点的事件是 事件．