TSP及蚁群算法在数学建模中的应用

TSP 及蚁群算法在数学建模中的应用

关键词：TSP 蚁群算法 数学建模

摘要：TSP ，即Traveling Salesman Problem ，也就是旅行商问题，是最基本的路线问题。该问题是在寻求单一旅行者由起点出发，通过所有给定的需求点之后，最后再回到原点的最小路径成本。由大量蚂蚁组成的蚁群的集体行为便表现出一种信息正反馈现象：某一路径上单位时间走过的蚂蚁越多，表明该路线的可用性越好，则后来者选择该路径的概率就越大.蚂蚁个体之间就是通过这种信息的交流寻找最优的到达食物源的线路.蚁群算法具有实现简单、正反馈、分布式的优点.本文通过对蚁群算法和TSP 的分析利用2012年西南交大新秀杯数学建模大赛的试题进行应用研究加以阐述

TSP ，即Traveling Salesman Problem ，也就是旅行商问题，是最基本的路线问题。该问题是在寻求单一旅行者由起点出发，通过所有给定的需求点之后，最后再回到原点的最小路径成本。

赋权连通图(,)G V E ，在权图G 中，i v ∈()V G 对应示意图中的固定停车点及

需求点，0v 表示始发站所在地，j e ∈()E G 对应示意图中路径.边权()j e ω∈对应示

意图中的路径长度.

建立的数学模型如下： {}0(),(),(G),(),e E G e N v V v T V v V ωω?∈?∈?∈?∈?∈

求G 中回路12,,

,(1)k L L L k >，

使得满足： （1）0(),1,2,

,;i v V L i k ∈=（2）1()();k i i V L V G ==

（3）1()()min(i n i e E L e ω=∈=∑∑目标为总距离最短）

或 1()()max ()()min(i i j k e E L e V L e v ωω≤≤∈∈????+=??????

∑∑目标为时间最短） 为了讨论方便，先给出图论中相关的一些定义.

定义1 经过图G 的每个顶点正好一次的圈，称为G 的哈密顿环路，也称Hamilton 圈.

定义2 在加权图(,)G V E =中

(1)权最小的哈米顿圈称为最佳Hamilton 圈；

(2)经过每个顶点至少一次且权最小的闭通路称为TSP 回路问题.

由定义2可知，寻找TSP 回路的问题.TSP 回路的问题可转化为最佳Hamilton 圈的问题.方法是由给定的图(,)G V E =构造一个以V 为顶点集的完备图(,)G V E ''=，E '中每条边(,)x y 的权等于顶点x 与y 在图中最短路径的权，即

111min{,}m m m m ij im mj ij d d d d ---=+

在图论中有以下定理：

定理1 加权图G 的校车回来的权和G '的最佳Hamilton 圈的权相同； 定理2 在加权完备图中求最佳Hamilton 圈的问题是NPC 问题.

由大量蚂蚁组成的蚁群的集体行为便表现出一种信息正反馈现象：某一路径上单位时间走过的蚂蚁越多，表明该路线的可用性越好，则后来者选择该路径的概率就越大.蚂蚁个体之间就是通过这种信息的交流寻找最优的到达食物源的线路.蚁群算法具有实现简单、正反馈、分布式的优点.

蚁群算法是一种本质上并行的算法。每只蚂蚁搜索的过程彼此独立，仅通过信息激素进行通信。所以蚁群算法则可以看作是一个分布式的多agent 系统，它在问题空间的多点同时开始进行独立的解搜索，不仅增加了算法的可靠性，也使得算法具有较强的全局搜索能力。

蚁群算法中有三个参数，分别是信息重要程度的参数α，启发式因子重要程度的参数β以及信息素蒸发系数ρ。α值的大小表明留在每个结点上的信息量受重视的程度，α值越大，蚂蚁选择以前经过的路线的可能性越大，但过大会使搜索过早陷于局部最小解；β的大小表明启发式信息受重视的程越大，蚂蚁选择离它近的城市的可能性也越大；ρ为信息素的蒸发系数，如果它的值取得不恰当，得到的结果会很差。对比蚁群算法模型中，α、β、ρ的取值情况发现若β、ρ取默认值，α=1时所得最优值和平均值比α取其他值更好，此时它的最优值和最差值之差也最小。这说明解的质量和稳定性都是最好的，所以模型中α的最佳设置应为1。对于β，其值在1～5之间逐渐增大，取αβ、默认值时，模型所得解的质量越来越高。当β的取值超过5时，所得解的质量开始下降，所以它们的β最佳设置为5；蒸发系数决定了收敛到局部最优解的速度，较大的ρ会使算法很快收敛到局部最优解，但解的质量往往较差；而太小的ρ会使得算法很难收敛到比较理想的解，本文ρ取0．1。

下面我们用西南交大2012年新秀杯数学建模竞赛的赛题来进行具体解释。、

问题重述

随着时间发展，犀浦校区的规模和人数都在日渐扩大。因此出现了因校园面积大而引发的交通需求。为解决这一问题，校园内出现了便捷通行车，师生只用花费一元钱就可以在校内往返。

目前，这种通行车采取招手即停的方式，校园内的任意地点都基本可以到达。但是为了使这种运行方式更加合理、规范，就需要通过数学建模确定新的运行模式，路线等。

利用题目所给平面图及网络数据，采用合适的建模方法，解决以下问题：

1、设置一些固定停车点，说明其合理性；

2、将固定停车和招手即停结合起来，给出每周通行车从上午7点到晚上10点的运行车辆数、运行路线及时刻表；

3、预测校园通行车在您安排的行驶方案下的运载能力。

具体解决

打开matlab，读出散点图坐标。编译出我们需要的函数并调用，即获得以下图像。（由于matlab本身的原因，所有坐标图均是纵向为x轴，横向为y轴）

1、南北区生活路线，需求点包含南北区体育场，南北区宿舍，西二门，校医院，建行，圆通等快递。

最佳Hamilton圈图最佳Hamilton圈搜素过程

图相中的交叉点为北区体育场，这说明围绕北区体育场绕比走学校外环线更加合理。具体线路在学校平面图中的分布随后给出。

2、生活区教学区连接线，主要方便早上北区学生上学，放学。以及南区学生去图书馆。进过需求点为南北区校车站，12教学楼，图书馆等。

最佳Hamilton 圈图 最佳Hamilton 圈搜索过程

观察图像我们发现，连接生活区和教学区的行车线路是一条环线。实际上，在现在开通的线路中，这条线是一条直线，往返都在一二教门前的那条路上。将其改进为环线，有几大好处。第一，一二教门前这条路本身不宽，尤其是在上下学高峰期时在这条路上行驶速度慢，让车难，还不安全。因此将其改造为环线，去程不变，回程走学校中轴线，速度快又安全，还可以顺便经过南区校车站接人。