第94讲 极坐标与参数方程
第94讲 极坐标与参数方程
极坐标与参数方程在高考中常以填空或选择的形式出现，在知识上结合解析几何，考查学生曲线方程的转化能力，以及解析几何的初步技能。题目难度不大，但需要学生能够快速熟练的解决问题 一、基础知识： （一）极坐标：
1、极坐标系的建立：以平面上一点为中心（作为极点），由此点引出一条射线，称为极轴，这样就建立了一个极坐标系
2、点坐标的刻画：用一组有序实数对(),ρθ确定平面上点的位置，其中ρ代表该点到极点的距离，而θ表示极轴绕极点逆时针旋转至过该点时转过的角度，通常：[)0,0,2ρθπ>∈
3、直角坐标系与极坐标系坐标的互化：如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴重合，则同一个点可具备极坐标(),ρθ和直角坐标(),x y ，那么两种坐标间的转
化公式为：222cos sin x y x y ρθ
ρθρ?=?
=??=+?
，由点组成的直角坐标方程与极坐标方程也可按照此法则进行转
化，例如：极坐标方程cos sin 11x y ρθρθ+=?+=（在转化成,x y 时要设法构造
cos ,sin ρθρθ ，然后进行整体代换即可）
（二）参数方程：
1、如果曲线(),0F x y =中的变量,x y 均可以写成关于参数t 的函数()()x f t y g t =???=??，那么()()x f t y g t =???
=??
就称为该曲线的参数方程，其中t 称为参数 2、参数方程与一般方程的转化：消参法 （1）代入消参：()3
23323x t y x y t =+??=+-?
=+?
（2）整体消参：2211
x t t y t t ?=+????=+??
，由222112t t t t ??+=++ ???可得：2
2x y =+
（3）平方消参：利用22
sin cos 1θθ+=消去参数
例如：22cos 3cos 312sin 94sin 2
x
x x y y y θθθθ
?=?=????+=?
?=??=?? 3、常见图形的参数方程：
（1）圆：()()2
2
2
x a y b r -+-=的参数方程为：[)cos 0,2sin x a r y b r θ
θπθ
=+?∈?
=+?，，其中θ
为参数，其几何含义为该圆的圆心角
（2）椭圆：()22
2210x y a b a b +=>>的参数方程为[)cos 0,2sin x a y b θθπθ
=?∈?=?，，其中θ为参
数，其几何含义为椭圆的离心角
（3）双曲线：()222210x y a b a b -=>>的参数方程为[)10,2cos tan x a
y b θπθθ
?=?∈??=?，，其中θ为
参数，其几何含义为双曲线的离心角
（4）抛物线：()2
20y px p =>的参数方程为2
22x pt y pt ?=?=?
，其中t 为参数
（5）直线：过(),M a b ，倾斜角为θ的直线参数方程为cos sin x a t t R y b t θ
θ=+?∈?=+?
，，其中t 代
表该点与M 的距离
注：对于极坐标与参数方程等问题，通常的处理手段是将方程均转化为直角坐标系下的一般方程，然后利用传统的解析几何知识求解 二、典型例题：
例1：已知直线参数方程为33x t y t =+??=-?，圆C 的参数方程为2cos 2sin 2
x y θ
θ=??=+?，则圆心到直线
的距离为____________
思路：将参数方程转化为一般方程：()2
2
:6,:24l x y C x y +=+-=
所以圆心为()0,2
，到直线的距离为：d =
=
答案：例2：以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点A
的极坐标为4π??
??
?
，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y θ
θ=+??
=-+?
，
则曲线C 上的点到点A 距离的最大值为___________
思路：()()()2
2
2,2,:221A C x y -++=，故曲线上距离A 最远的距离为A 到圆心的距离加上半径，故5d = 答案：5
例3：已知在平面直角坐标系xOy 中圆C
的参数方程为：3cos 13sin x y θ
θ
?=??
=+??，以Ox 为极轴
建立极坐标系，直线极坐标方程为cos 06πρθ?
?
+
= ??
?
，
则圆C 截直线所得弦长为__________ 思路：圆C
的方程为：(()2
219x y +-=，对于直线方程cos 06πρθ?
?+= ??
?，无法
直接替换为,x y ，需构造cos ,sin ρθρθ再进行转换：cos 06πρθ?
?
+
= ??
?
11sin 0022x y ρθθ??-=?-=???
再求出弦长即可：l =
答案：例4
：已知两曲线参数方程分别为()0sin x y θ
θπθ
?=?≤
=??和254x t
y t
?
=???=?，它们的交点坐
标为_____________
思路：曲线方程为222125
:1,:54
x C y C x y +==，
联立方程可解得：1x y =??
?=??
或5x =-（舍）
由[)0,θπ∈可得：0y >
所以1x y =???=??
，坐标为? ?
答案：? ? 例5：在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线=2cos 4sin ρθθ-相交于,A B 两点，
且AB =a 的值为_____________
思路：先将直线与曲线转化为直角坐标方程：()sin cos a y x a ρθθ-=?-=，曲线222=2cos 4sin =2cos 4sin 24x y x y ρθθρρθρθ-?-?+=-，所以问题转化为直线:0l x y a -+=与圆()()2
2
125x y -++=相交于,A B ，
且AB =利用圆与直线
关系可求得圆心到直线距离
d ==32a +=，解得5a =-或1a =-
答案：5a =-或1a =-
例6：以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为()4
R π
θρ=
∈，它与曲线12cos 22sin x y α
α
=+??
=+?（α为参数）
相交于两点,A B ，则AB =_________
思路：先将两个方程转化为直角坐标系下的普通方程。对于4
π
θ=
，这种特殊的极坐标方
程可以考虑数形结合来确定直线：即:l y x =，曲线消参后可得：()()2
2
124x y -+-=即
圆心是()1,2
O ，半径为2
的圆，所
以
2O l d -
=
=
，
AB =
==
小炼有话说：对于形如4
π
θ=
的极坐标方程，可以作出图像并根据图像得到直角坐标方程，
或者可以考虑对θ赋予三角函数，然后向直角坐标进行转化：
sin sin tan 11114
cos cos y
y x x
π
θρθθθθρθ=
?=?
=?=?=?= 例7：在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11x t t
y t t ?
=-????=+
??
，以坐标原点为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是sin 13πρθ?
?
+= ??
?
，则两曲线交点间的距离是______________
思路：将12,C C
转变为直角坐标系的普通方程。2
2
121:4,:12C y x C y x -=+=，则为直线与双曲线位置关系，联立方程，利用韦达定理求得弦长即可
解：1:C 11
x t t
y t t ?
=-????=+??
2222114y x t t t t ????∴-=+--= ? ?????
21:sin cos
cos sin
1sin cos 13
32C π
π
ρθρθρθθ+=?+= 2C ∴
的方程为
1
122
x y +=
联立方程可得：224
2
y x y ?-=??=+?? 代入消去y 可得：
(
)
2
222420x x +-=?-=
设交点()()1122,,,A x y B x y
则120,x x ==
12AB x ∴=-=
答案：例8：已知曲线的极坐标方程分别为12:cos 3,:4cos C C ρθρθ==，其中
0,02
π
ρθ≥≤<
，则曲线12,C C 交点的极坐标为_______
思路一：按照传统思路，将12,C C 转变为直角坐标系的普通方程，求出交点坐标后再转换为
极坐标
解：1:cos 33C x ρθ=?=
2222:4cos 4cos 4C x y x ρθρρθ=?=?+=
22
334x x x y x y ==???∴???+==???
3
x y =???=??
将两个点转化为极坐标分别为,66ππ?
??
?
- ? ??
???
，因为0,02πρθ≥≤<
，所以只有6π?
? ???
符合条件
思路二：观察到所给方程12:cos 3,:4cos C C ρθρθ==形式简单，且所求也为极坐标，所以考虑直接进行极坐标方程联立求解 解：cos 34cos ρθρθ=??
=?
代入消去ρ
可得：2
4cos 3cos 2θθ=?=±
0,2πθ??
∈???? cos 26πθ
θ∴=?= 4cos
6
π
ρ
∴==∴ 交点坐标为6π?
? ??
?
小炼有话说：（1）思路一中规中矩，但解题过程中要注意原极坐标方程对,ρθ的限制条件 （2）思路二有些学生会对联立方程不很适应，要了解到极坐标中的,ρθ本身是实数，所以关于它们的方程与,x y 方程一样，都是实数方程，所以可以用实数方程的方法去解根，只是由于其具备几何含义（尤其θ）导致方程形式有些特殊（数与三角函数）。但在本题中，通过代入消元还是容易解出,ρθ的
例9：已知在极坐标系中，O 为极点，圆C 的极坐标方程为4sin 3πρθ?
?
=+
??
?
，点P 的极坐标为4,
3π??
???
，则OCP 的面积为___________
思路一：将C 转变为直角坐标系方程：
2
4sin 2sin 2sin cos 3πρθρθθρρθθ??
=+
?=+?=+ ??
?
(()2
2
22214x y y x y ?+=+?-+-=，
所以)
C
，再求出P 的直角坐
标为(2,，则12OCP
P OC S
OC d -=
?
，因为:303
OC y x x y =-=
，所以2P OC d -=
=，且2OC =，所以1
2222
OCP
S
=
??=
思路二：本题求出)
C
后，发现其极坐标为2,6π?? ???，而4,3P π??
???
，所以可结合图像利
用极坐标的几何含义求解，可得3
66
C O P π
π
π
∠=
-
=，2,4OC OP ==，所以
11sin 24sin 2226
OCP S OC OP COP π
=
?=???= 答案：2OCP
S =
小炼有话说：（1）在思路一中面积的求法用向量求解还可以更为简单：
(
)(3,1,2,OC OP =
=，所以(
)(
)
2
2
OCP
S
OC OP
OC OP
=
-?，代入即可
（2）思路二体现了极坐标本身具备几何特点，即长度（ρ）与角
()θ，在解决一些与几何相关的问题时，灵活运用极坐标的几何含义往往能达到出奇制胜的效果
例10：在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2212
x y ?=-????=-+??，（其中t 为参数），以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，
建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
ρ=
，设点()2,1M -，曲线12,C C 交于,A B ，求MA MB ?的值
思路一：将12,C C 转化为直角坐
标系下普通方程：1:1C y x =-+ ，
222:44C x y ρ=
?+=，联立方程，解出,A B 坐标，再求出MA MB ?即
可
解：1222:11112
x x C y x y y ?=-?-??=-?=-+?+?=-+??
()222222:213sin 43sin 4
C ρρθρρθ=
?=?+=?+= 2244x y ∴+=
()222
2444141
x y x x y x ?+=∴?+-+=?=-+? 2580x x ∴-= 设()()1122,,,A x y B x y
1101x y =?∴?=? ，22853
5x y ?=????=-?? ()830,1,,55A B ??
- ???
AM BM ∴==
8
5
AM BM ∴?= 思路二：本题在思路一的基础上通过作图可发现,,M A B 三点共线，则可以考虑将
MA MB ?转变为向量的数量积，即MA MB MA MB ?=?，进而向量坐标化后整体代入1212,x x x x +即可
解：（前面转化方程，联立方程同思路一）设()()1122,,,A x y B x y ，()2,1M -
()()11222,1,2,1MA x y MB x y ∴=-+=-+
()()()()12122211MA MB MA MB x x y y ∴?=?=--+++
()()()()()()121212*********x x x x x x =--+-++-++=-- ()1212224x x x x =-++????
由2
580x x -=得12128
,05
x x x x +=
= 88
202455
MA MB ??∴?=-?+= ???
思路三：观察到()2,1M -恰好是直线1C 参数方程的定点，且所求恰好是,A B 到M 的距离，所以联系到直线参数方程中参数t 的几何含义。只需求得对应参数12,t t 的乘积即可
解：设()11,A x y
，则有1111212x y ?=-????=-+??，()22,B x y
，则有2222212
x y ?=-????=-+?? 代入到222:41C x y +=中可得：
22
1122
222+414222+41422??
???
?--+= ? ?????????????--+= ? ????
??
??
所以12,t t
是方程2
2
2+41422????
--+= ? ????
?的两根，整理可得：
25402t -+= 1285
MA MB t t ∴?== 答案：85
小炼有话说：（1）思路二体现了处理线段模长乘积时，可观察涉及线段是否具备共线特点，如果具备可以将其转化为向量的数量积，从而简化运算，但要注意与图像结合，看好向量是同向还是反向
（2）思路三体现了对直线参数方程中参数几何含义的巧用。在处理两条曲线（其中一条为参数方程）的交点问题时，可以将参数代换掉另一曲线中的,x y 得到关于参数的方程。另外在使用直线参数方程时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值。否则参数不具备几何含义。例如本题中如果1C
参数方程为21x y ?=-??
=-+??，则t 并不代表点到
()2,1M -的距离。
三、历年好题精选
1、已知直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为3
x t y =-???
=??（t 为参数），以直角坐标系xOy
中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为2
4cos 30ρρθ-+=，
则圆心C 到直线l 的距离为________ 2、（2015，北京）在极坐标系中，点2,
3π??
???
到直线()
cos 6ρθθ+=的距离为______ 3、（2015，广东）已知直线l
的极坐标方程为2sin 4πρθ?
?
-
= ??
?
，点A
的极坐标为74A π?
?
??
?
，则点A 到直线l 的距离为_______ 4、（2015，新课标II ）在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t α
α=??
=?
（t 为参数，0t ≠），
其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲
线
23:2sin ,:C C ρθρθ==
（1）求23,C C 交点的直角坐标
（2）若12,C C 相交于点A ，13,C C 相交于点B ，求AB 的最大值
5、（2015，陕西）在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为132x t y ?
=+??
??=??（t 为参数），以
原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C
的极坐标方程为ρθ= （1）写出C 的直角坐标方程
（2）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标 习题答案： 1
、答案：
2
解析：可知直线l
的方程为：
)30y x y =
+?-+=，圆的直角坐标方程为
()2
22243021x y x x y +-+=?-+=，所以圆心到直线的距离为
2
d =
=
2、答案：1 解析：点2,
3π??
???
化为直角坐标系坐标为(
，直线方程为60x +-=，从而该点到直线的距离为
1d =
=
3、答案：
2
解析：直线sin cos sin cos 1l θθρθρθ=?-=，转化为直角坐标方程为1y x -=，点A 的直角坐标为()2,2-，则A 到直线的距离为
2
d =
=
4、解析：（1）曲线2
3,C C 的直角坐标方程分别为：222220,0x y y x y +-=+
-=
联立方程：2222
200x y y x y ?+-=??+-=??
解得：00x y =
??=?或232
x y ?
=??
??=??
∴ 23,C
C 交点的直角坐标为()30,0,2?
??
? （2）曲线1C 的极坐标方程为(),0,0R θαρραπ=∈≠≤
< 在极坐标系下
()()
2sin ,,,A B ααα
α∴
2sin 4sin 3AB πααα?
?∴=-=- ??
?
max
4AB ∴=，当56
π
α=
时取到
5、解析：（1
）2sin ρθρθ=
?=
∴直角坐标方程为22
x y +=整理可得：(2
2
3x y +=
（2）设1322P t ??
+
?
?
?，由（1）可得(C
PC ∴==≥
等号成立条件为0t =，此时()3,0P 6、答案：cos sin 1ρθρθ-=
解析：圆C 的直角坐标方程为：()()2
2
211x y -+-=，设直线l 方程为：y x m =+，因为2AB =，可知2AB r =，所以AB 为直径，即过圆心()2,1，计算可得：1m =-，直线方程为10x y --=，再转化为极坐标方程为cos sin 1ρθρθ-=
高考数学极坐标与参数方程(基础精心整理)教师版
第7讲 极坐标与参数方程(教师版 ) 【基础知识】 一．平面直角坐标系中的伸缩变换：设点(,)P x y 在变换?：//,(0) ,(0) x x y y λλμμ?=>??=>??的作用下对应到点 ///(,)P x y ，则称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 二.极坐标知识点 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴. ①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐 标系的四要素，缺一不可. 2.极坐标与直角坐标的互化： 三.参数方程知识点 1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点满足，该方程叫曲 线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 2．曲线的参数方程 （1）圆的参数方程可表示为. （2）椭圆的参数方程可表示为. （3）抛物线的参数方程可表示为. （4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）. 注意：t 的几何意义 3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致. 规律方法指导： 1.把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有： (,)P x y () () x f t y f t =?? =?2 2 2 )()(r b y a x =-+-)(.sin , cos 为参数θθθ? ??+=+=r b y r a x 122 22=+b y a x )0(>>b a )(. sin ,cos 为参数??????==b y a x px y 22 =)(.2, 22为参数t pt y pt x ? ? ?==),(o o O y x M αl ? ? ?+=+=.sin , cos o o ααt y y t x x t y x , ) 0(n t , sin , cos , 222≠===+=x x y a y x y x θθρθρρ
(极坐标与参数方程)教学案( 4 )
高二数学 (极坐标与参数方程)教学案( 4 ) 常见曲线的极坐标方程 一、课前自主预习 1.将下列极坐标方程化为直角坐标方程 ⑴5=ρ, ⑵sin 2ρθ=, ⑶πθ4 3 =, 2.写出下列特殊图形的直线方程 图3 图1 _________________ _________________ ____________________ 图5 图4 ______________ ________________ 3.写出下列特殊图形圆的极坐标方程 . 图3 图2 图1 O ____________________ ________________ ________________________ 图5 图4 _____________________ ____________________
4. 若直线过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：_____________ 若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为：__________________________________ 二、课堂合作探究 例1：按下列条件写出它的极坐标方程: ⑴求过极点，倾角为π/4的射线的极坐标方程.⑵求过极点, 倾角为π/4的直线的极坐标方程.⑶求过极点及??? ??6, 6πA 的直线方程.⑷求过点?? ? ??6,6πA 平行于极轴的直线⑸求过点?? ? ??6,6πA 且倾斜角为32π的直线方程.. 例2、:按下列条件写出圆的极坐标方程: (1)以()0,3A 为圆心,且过极点的圆(2)以?? ? ??2, 8πB 为圆心,且过极点的圆 (3)以极点O 与点()0,4-C 连接的线段为直径的圆(4)圆心在极轴上,且过极点与点??? ? ? 6,32πD 的圆 例3、自极点O 作射线与直线4=θρsos 相交于点M,在OM 上取一点P,使得OM ·OP=12,求点P 的轨迹方程.
2018年高考备考极坐标与参数方程专题
专题1 极坐标与参数方程 【基本方法】 1．两大坐标系：直角坐标系(普通方程、参数方程)；极坐标系(极坐标方程)； 2．基本转化公式： cos sin x y ρθ ρθ = ? ? = ? ， 222 (0) tan x y x y x ρ θ ?=+ ? ≠ ? = ?? ； 3．参数方程： () () x f t y g t = ? ? = ? ，消去参数t得关于,x y的普通方程，引入参数t得参数方程； 4．直线的参数方程0 0cos sin x x t y y t αα =+ ? ? =+ ? (t为参数)，注意参数t的几何意义；5．用转化法解决第(1)问，用图形法解决第(2)问. 【三年真题】 1．(2017全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos, sin, x y θ θ = ? ? = ? (θ为参数)，直线l的 参数方程为 4, 1, x a t t y t =+ ? ? =- ? （为参数）. (1)若1 a=-，求C与l的交点坐标； (2)若C上的点到l a. 2．(2016全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 cos 1sin x a t y a t = ? ? =+ ? (t为参数， a>).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ. (I)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； (II)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
3．(2015全国I)在直角坐标系xOy 中，直线1C : x =-2，圆2C ：()()22 121x y -+-=，以 坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求1C ，2C 的极坐标方程； (II)若直线3C 的极坐标方程为()4 θρπ =∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积. 【自主研究】 4．(2016届佛山二模)已知曲线C 的极坐标方程为4sin()3 ρθπ =-，以极点为原点， 极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系xOy ． (I)求曲线C 的直角坐标方程； (II)若点P 在曲线C 上，点Q 的直角坐标是(cos ,sin )?? (其中)?∈R ，求PQ 的最大值． 5．(2016届河南八市质检)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为333x y θ θ ???=??＝cos sin (θ为参 数)，以原点O 为起点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P 的极坐标为(2，－3 π )， 直线l 的极坐标方程为ρcos(3 π ＋θ)＝6． (Ⅰ)求点P 到直线l 的距离； (Ⅱ)设点Q 在曲线C 上，求点Q 到直线l 的距离的最大值． 6．(2016年全国卷II )在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2 2 (6)25x y ++=． (Ⅰ)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (Ⅱ)直线l 的参数方程是cos sin x t y t α α=??=? (t 为参数)， l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的 斜率．
高中数学极坐标与参数方程大题(详解)
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos=
∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．
极坐标与参数方程 经典练习题含答案详解
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．曲线25()12x t t y t =-+?? =-?为参数与坐标轴的交点是（ ）． A ．21(0,)(,0)5 2 、 B ．11(0,)(,0)5 2 、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9 、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）． A ．1 21 2x t y t -?=???=? B ．sin 1sin x t y t =???=?? C ．cos 1cos x t y t =???=?? D ．tan 1tan x t y t =???=?? 3．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（ ）． A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ θ=-+??=? 的（ ）． A ．内部 B ．外部 C ．圆上 D ．与θ的值有关 5．参数方程为1()2 x t t t y ?=+? ??=?为参数表示的曲线是（ ）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 6．两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与? ??==θθ sin 3cos 3y x 的位置关系是（ ）． A ．内切 B ．外切 C ．相离 D ．内含 7 ．与参数方程为)x t y ?=?? =??为参数等价的普通方程为（ ）． A ．22 14 y x + = B ．22 1(01)4y x x +=≤≤ C ．22 1(02)4y x y +=≤≤ D ．22 1(01,02)4 y x x y +=≤≤≤≤
极坐标与参数方程专题答案
2015年极坐标与参数方程专题答案 1 【解析】根据直线的位置特点，设出所求直线上点的坐标为(ρ，θ)，结合三角形的知识建立ρ和θ之间的等式，即可求出该直线的极坐标方程． 设直线上任意一点的坐标是(ρ，θ)， 由正弦定理 即 2 【解析】根据变换法则建立曲线C1的参数方程，求出普通方程，根据极坐标方程，曲线C2 的方程也是圆，求出普通方程即可求出公共弦长． (α为参数 )上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得到 1 最后横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 所以C1为(x－1)2＋y2＝4. 又C2为ρ＝4sinθ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝4y， 所以C1和C2公共弦所在直线为2x－4y＋3＝0，所以(1,0)到2x －4y＋3＝0 3．2 【解析】1．利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是：(1)极点与原点重合；(2)极轴与x轴正方向重合；(3)取相同的单位长度．2．参数方程化为普通方程常见方法有三种：(1)代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数．(2)三角法：利用三角恒等式消去参数．(3)整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去．化参数方程为普通方程F(x，y)＝0时，在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性． 由C1 (x－4)2＋(y－3)2＝1；由C2：ρ＝2得x2＋y2＝4，两圆圆心距
为5，两圆半径分别为1和2，故|AB|≥2，最小值为2. 4 由已知，以过原点的直线倾 斜角θ为参数,则 以 。所以所求圆的参数方程 为 本题考查与圆的参数方程有关的问题，涉及圆的标准方程和参数方程等知识，属于容易题。5 该题主要考查参数方程，极坐标系、极坐标方程以及它们的关系. 6 4 π θ?? += ? ? ? 对 7．2 【解析】本题考查抛物线的参数方程及抛物线的性质，考查运算求解能力及转化思想，中档 题． 化为普通方程为y2＝2px(p>0)，并且 又∵|EF|＝|MF|＝|ME|，即有3 p＝±2(负值舍去)，即p＝2. 8 【解析】考查极坐标方程，关键是写出直线的极坐标方程，再按要求化简．
极坐标与参数方程含答案(经典39题)(整理版)
高考极坐标参数方程(经典39题) 1．在极坐标系中，以点(2,)2 C π 为圆心，半径为3的圆C 与直线:() 3 l R π θρ= ∈交于,A B 两点. （1）求圆C 及直线l 的普通方程. （2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2 :sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α） （α为锐角且3tan 4α= ）作平行于()4 R π θρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直 角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程； (Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2 , 3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =；以 极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值． 4．已知直线l 的参数方程是)(24222 2 是参数t t y t x ??? ??? ?+== ，圆C 的极坐标方程为 )4 cos(2π θρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标； （2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．
5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3?? ?=+=.在极坐标 系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=. （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为 (2, ) 3π ，半径r=1，P 在圆C 上运 动。 （I ）求圆C 的极坐标方程； （II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。 7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C 的圆心坐标为 ) 4,2(C π，半径为2，直线l 的极坐标方程为22)4sin(= θ+πρ. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）若圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 8．平面直角坐标系中，将曲线? ? ?==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变， 横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度．
高中数学-极坐标与参数方程
2 2 坐 标 系 与 参 数 方 程 一、平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系 （1） 数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建 立一一对应关系 （2） 平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系 ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向 ③坐标轴水平的数轴叫做 x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做 y 轴或纵坐标轴，x 轴或 y 轴统称为坐标轴 ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点 ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y)之间可以建立一一对应关系 （3） 距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段 P 1P 2 的中点为P ①两点间的距离公式|P 1P 2|＝ ??x ＝x 1＋x 2 ②中点P 的坐标公式? y ＋y ??y ＝ 1 2 2. 平面直角坐标系中的伸缩变换 ?x′＝λx （λ>0） 设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：? ?y′＝μy （μ>0） 的作用下，点 P(x ，y)对应到点 P′(x′，y′)，称φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换二、极坐标系 1. 定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一 个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一 （x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2
极坐标参数方程高考练习含答案非常好的练习题
极坐标与参数方程高考精练（经典39题） 1．在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3 l R πθρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α= ）作平行于()4R π θρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标 系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4 sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值． 4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ???????+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2π θρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3???=+=.在极坐标系（与直角 坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方 程为θρcos 4=.
（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π ，半径r=1，P 在圆C 上运动。 （I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极 点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方 程。 7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C 的圆心坐标为 )4,2(C π，半径为2，直线l 的极坐标方程为22)4sin(=θ+πρ.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若圆C 和直线l 相交 于A ，B 两点，求线段AB 的长. 8．平面直角坐标系中，将曲线???==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变 为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍 得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方 程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度． 9．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=，直线l 的参数方程是??? ????=+-=. 21, 233t y t x （t 为参数）。求极点在直线l 上的射影点P 的极坐标；若M 、N 分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值。
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)
高考极坐标与参数方程大题题型汇总 1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ? ?? =+??=?为参数） ．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是 C 的交点为 O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分 (2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有 设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有 由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2. 2．已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+??=-? （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极 点， x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为 26sin 8 ρρθ-=-． （1）求圆M 的直角坐标方程； （2）若直线l 截圆M a 的值． 解：（1）∵2 222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-?=-?+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为2 2 (3)1x y +-=；(5分）
（2）把直线l的参数方程 4 31 x t a y t =-+ ? ? =- ? （t为参数）化为普通方程得：34340 x y a +-+=， ∵直线l截圆M所得弦长 为，且圆M的圆心(0,3) M到直线l的距 离 |163|19 522 a d a - ===?=或 37 6 a=，∴ 37 6 a=或 9 2 a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求曲线c的极坐标方程 （2）若直线l的极坐标方程为 ρ (sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。 解：(1)∵曲线c的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数) ∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 将? ? ? = = θ ρ θ ρ sin cos y x 代入并化简得： ρ =4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为 ρ =4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0 ∴圆心c到直线l的距离为d=2 2 =2∴弦长为22 5-=23 4．已知曲线C： 2 21 9 x y += ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin() 4 π ρθ-= （1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程； （2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.
高考数学：极坐标与参数方程知识点总结
高考数学：极坐标与参数方程知识点总结 极坐标与参数方程这部分题目比较简单，考法固定，同学们一定要掌握住，高考不失分啊！ 第一讲 一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．
(2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：
二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示
2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M 的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．
极坐标与参数方程专题复习
极坐标与参数方程专题复习
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试卷第8页，总6页 极坐标与参数方程专题复习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、知识点总结 1.直线的参数方程 (1)标准式过点()000P ,x y ，倾斜角为α的直线l (如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) 定点()000P ,x y 加t 个单位向量就是动点 于是，t 的绝对值就是定点和动点间的距离， (2)一般式?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 为参数) 转化为标准式 ??? ? ??? ++=++=t b a b y y t b a a x x 2202 20 2.圆锥曲线的参数方程。“1”的代换 (1)圆()() 22 2 x a y b r -+-=cos sin x a r y b r θ θ=+?? =+? (θ是参数) θ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，θ∈[]0,2π (2)椭圆122 22 =+b y a x cos sin x a y b θ θ=??=? (θ为参数)
试卷第8页，总6页 椭圆 1 22 22=+b y a y cos sin x b y a θ θ=?? =? (θ为参数) 3.极坐标 (1)极坐标与直角坐标互换。222cos sin x y x y ρρθρθ?=+? =??=? (2)过原点倾斜角为α的直线的极坐标方程：θα= (3)圆心在原点，半径为r 的圆极坐标方程：r ρ= 二、例题示范 题型一、坐标的互化。（略） 题型二、参数方程的本质（表示点）。 1、点到点、点到直线距离的最值。参数方程看做点带入距离公式。 2、点的轨迹方程。参数方程看做点，同时使用跟踪点发。 例1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t =+???=??（t 为参数），以 原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 23sin ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程及圆C 的直角坐标方程； （2）点P 是直线l 上的点，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小.
高中数学选修4_4_极坐标与参数方程_知识点与题型
选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系 (02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32,)4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π - 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．
北师大版2018-专题突破——极坐标与参数方程专题
极坐标与参数方程专题（1）——直线参数t几何意义的应用1．（2018?银川三模）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参 数），两曲线相交于M，N两点． （Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值． 解：（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x， 用代入法消去参数求得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0． （Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数）， 代入y2=4x，得到，设M，N对应的参数分别为t1，t2， 则t1+t2=12，t1?t2=48，∴|PM|+|PN|=|t1+t2|=． 2．（2018?乐山二模）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为 （t为参数），点A的极坐标为（，），设直线l与圆C交于点P、Q两点．（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）求|AP|?|AQ|的值． 解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，即（x﹣1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心、半径等于1的圆． （2）∵点A的直角坐标为（，），∴点A在直线（t为参数）上． 把直线的参数方程代入曲线C的方程可得t2+t﹣=0． 由韦达定理可得t1?t2=﹣＜0，根据参数的几何意义可得|AP|?|AQ|=|t1?t2|=．
3．（2018?西宁模拟）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣=0，C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（I）求直线l和C的普通方程； （II）直线l与C有两个公共点A、B，定点P（2，﹣），求||PA|﹣|PB||的值． 解：（I）直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣=0，所以：直线l的普通方程为： ， 因为圆C的极坐标方程为为ρ=4sin（θ﹣），所以圆C的普通方程：．（II）直线l：的参数方程为：（t为参数）， 代入圆C2的普通方程：消去x、y整理得：t2﹣9t+17=0，t1+t2=9，t1t2=17， 则：||PA|﹣|PB||=，=． 4．（2018?内江三模）在直角坐标系xOy中，直线l过点P（1，﹣2），倾斜角为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l与曲线C交于A，B两点． （Ⅰ）求直线l的参数方程（设参数为t）和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求的值．解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，﹣2），倾斜角为． ∴直线l以t为参数的参数方程为，（t为参数）…（3分） ∵曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．∴曲线C的普通方程为（x﹣2）2+y2=4．…（5分）（Ⅱ）将直线l的参数方程，（t为参数）代入曲线C的普通方程（x﹣2）2+y2=4，
高中数学极坐标与参数方程知识点
高中数学极坐标与参数方程知识点极坐标与参数方程知识点 (一)曲线的参数方程的定义: 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函 数，即 x,f(t), ,y,f(t), 并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程 组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称 参数( (二)常见曲线的参数方程如下: 1(过定点(x，y)，倾角为α的直线: 00 ,x,x，tcos0 (t为参数) y,y，tsin,0 其中参数t是以定点P(x，y)为起点，对应于t点M(x，y)为终点的有向线段PM00 的数量，又称为点P与点M间的有向距离( 根据t的几何意义，有以下结论( ABt,t1(设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t和t，则,,AB?BA 2(t,t),4t,t( BAAB t，tAB2(线段AB的中点所对应的参数值等于( ?2 2(中心在(x，y)，半径等于r的圆: 00 ,x,x，rcos0, (为参数) y,y，rsin,0 3(中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的椭圆: ,,x,bcosx,acos, (为参数) (或 ) y,bsin,y,asin,
中心在点(x0,y0)焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程 ,x,x，acos,,0(,为参数) ,y,y，bsin.,0, 4(中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的双曲线: 1 ,,x,btgx,asec, (为参数) (或 ) y,btg,y,asec, 5(顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线: 2x,2pt (t为参数，p,0) y,2pt 直线的参数方程和参数的几何意义 ,x,x，tcos,0过定点P(x，y)，倾斜角为的直线的参数方程是 (t为参 数)( ,00,yytsin,,，0, (三)极坐标系 1、定义:在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。 M , , Ox 图1 2、极坐标有四个要素:?极点;?极轴;?长度单位;?角度单位及它的方向(极坐标与 ,直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应,
极坐标与参数方程习题
！ 极坐标与参数方程习题 一、选择题 1.直线12+=x y 的参数方程是（ ） A 、???+==1 22 2 t y t x （t 为参数） B 、???+=-=1412t y t x （t 为参数） C 、 ???-=-=121 t y t x （t 为参数） D 、?? ?+==1 sin 2sin θθy x （t 为参数） 2.已知实数x,y 满足02cos 3=-+x x ，022cos 83=+-y y ，则=+y x 2（ ） A ．0 B ．1 C ．-2 D ．8 3.已知??? ? ? -3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( ) . A 、?? ? ? ?- 3,5π B 、?? ? ? ?3 4, 5π C 、?? ? ? ?- 3 2,5π D 、?? ? ? ?- -35,5π 4.极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线 对称的是（ ） A ．（-ρ，θ） B ．（-ρ，-θ） C ．（ρ，2π-θ） D ．（ρ，2π+θ） 5.点() 3,1-P ，则它的极坐标是 ( ) A 、?? ? ? ? 3, 2π B 、?? ? ? ?34, 2π C 、?? ? ? ?- 3,2π D 、?? ? ? ?- 34,2π 6.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲 线13cos :sin x C y θ θ =+?? =? （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( ). 】 7.参数方程为1()2 x t t t y ?=+? ??=?为参数表示的曲线是（ ）
极坐标与参数方程专题复习汇编
坐标系与参数方程 一、考试大纲解析： 1?坐标系 （1） 理解坐标系的作用； （2） 了解平面坐标系伸缩变换作用下图形的变化情况； （3） 能在坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标和平面之间坐标系表示点的位 置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化； （4） 能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标和直角坐标系中 的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义； 2?参数方程 （1） 了解参数方程和参数方程的意义； （2） 能选择适当的参数写出直线、圆、圆锥曲线的参数方程； （3） 能用参数方程解决一些数学问题和实际的运用； 极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一， 在每年的高考试卷中，极坐标和参 数方程都是放在选作题的一题中来考查。 由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所 以在考试中一般不会有很难的题目。 三、知识点回顾 坐标系 的作用下，点P （x, y ）对应到点P （X , y ），称「为平面直角坐标系中的坐标伸缩.变换，简 称伸缩变换? 2.极坐标系的概念： 在平面内取一个定点 0，叫做极点；自极点0引一条射线Ox 叫做极 轴；再选定一个长度单位、 一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这 样就建立了一个极坐标系。 3?点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点 0与点M 的距离|0M |叫做点M 的极径， 记为「；以极轴Ox 为始边，射线 0M 为终边的? xOM 叫做点M 的极角，记为二。有序 数对（OR 叫做点 M 的极坐标，记为M （几旳. 极坐标（几力与（亍门，2k 二）（k ?Z ）表示同一个点。极点 0的坐标为（0门）（” R ）. 4.若? :：: 0,则- ? 0,规定点（-匚力与点（：「）关于极点对称，即（-6力与（匚二 二） 表示同一点。 如果规定「7,0 V 2二，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 （「门）表 示; 、题型分布: 1 .伸缩变换：设点P （x, y ）是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换申：丿 X 「X, ( ■ 0),
高中数学讲义-极坐标与参数方程
极坐标与参数方程 一、教学目标 本次课是一堂新课，通过本次课的学习，让学生理解极坐标和参数方程的概念等基础知识，掌握极坐标与直角坐标的相互转化，掌握一般常见曲线和直线的极坐标方程和参数方程。深刻理解参数方程所代表的数学思想——换元思想。 二、考纲解读 极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一，只有理科生选学。在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在一道填空题中，与平面几何作为二选一的考题出现的。由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般以基础题出现，不会有很难的题目。 三、知识点回顾 （一）曲线的参数方程的定义： 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ? ? ?==)() (t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： α αsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数） 其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离． 根据t 的几何意义，有以下结论． ○ 1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ?--4)(2． ○ 2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2 B A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：
典型极坐标参数方程练习题带答案
极坐标参数方程练习题 1在直角坐标系xOy 中，直线Ci ： x = — 2，圆C 2： (x -1)2 + (y — 2)2= 1,以坐标原点为极 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1) 求 C i , C 的极坐标方程； n (2) 若直线C 3的极坐标方程为 归~4(p€ R),设C 2与C 3的交点为M , ”，求厶C 2MN 的面 积. 解：(1)因为x = pcos 0 ， y = pin 0，所以C i 的极坐标方程为pcos B= — 2， C 2 的极坐标方程为 p 2— 2 pcos 0 — 4 psin 0 + 4 = 0. n (2)将 0= ~4代入 p 2— 2 p cos 0 — 4 pin 0 + 4= 0，得 p 2 — 3 2 p + 4= 0，解得 p i = 2 2，p 2= 2故 p — p= 2,即 |MN| = 2. 1 由于C 2的半径为1,所以△ C 2MN 的面积为 4. (2014辽宁，23, 10分，中)将圆x 2 + y 2= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标 变为 原来的2倍，得曲线C. (1) 写出C 的参数方程； (2) 设直线I : 2x + y — 2 = 0与C 的交点为P 1,巨，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，求过线段 P 1P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程. x = X 1, 解：(1)设(X 1, y 1)为圆上的点，经变换为C 上点(x , y),依题意，得 c y = 2y 1, 由 X 1 + y 2= 1 得 x 2 + 2y 2 = 1. 即曲线C 的方程为x 2 +y 4 = 1. x = cos t , 故C 的参数方程为 (t 为参数). y =2sin t 不妨设P 1(1, 0), P 2(0, 2),则线段P 1P 2的中点坐标为 2 1，所求直线斜率为k =?, ⑵由 y 2 x 2+4 = 1, 4 解得 2x + y — 2 = 0 x = 1, y = 0 x = 0, y = 2.