高中数学3.2.3空间向量与空间角练习新人教A版选修2_1
3.2.3 空间向量与空间角
基础梳理
类 想一想:二面角al β的平面角为θ,平面α、β的法向量分别为n 1,n 2,如何去掉|cos θ|中的绝对值号?
基础梳理
? ????0,π2
?
?????0,π2 [0,π]
想一想:当n 1,n 2所在的角与θ相等时,cos θ=cos 〈n 1,n 2〉;当n 1,n 2所成角与θ互补时,cos θ=-cos 〈n 1,n 2〉.
自测自评
1.若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°,则直线l 与平面α所成的角等于 ( )
A .30°
B .60°
C .150°
D .以上均错
2.正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中,BD 1与AA 1所成角的余弦为( ) A.
33 B.63 C.2
2
D .1 3.已知两平面的法向量分别为m =(0,1,0),n =(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为( )
A .30°
B .45°
C .135°
D .45°或135° 自测自评 1.B 2.A
3.解析:(1)cos 〈m ,n 〉=
m·n |m ||n |=12=2
2
, 所以〈m ,n 〉=45°.所以二面角为45°或135°. 答案:D
基础巩固
1.已知线段AB 的两个端点的坐标分别为A (9,-3,4)和B (9,2,1),则线段AB ( ) A .与平面xOy 平行 B .与平面xOz 平行 C .与平面zOy 平行 D .与平面xOy 或zOy 平行 1.C
2.已知A ∈α,P ?α,PA →=? ????-32,12,2,平面α的一个法向量n =? ????0,-12,-2,
则直线PA 与平面α所成的角为( )
A .30°
B .45°
C .60°
D .150°
2.解析:设直线PA 与平面α所成的角为θ,则 sin θ=|cos 〈PA →
,n 〉|
=
??????
0×? ????-32-12×12-2×2? ????-322+? ??
??122+(2)2
×? ??
??-122+()-22
=
3
2
.∴θ=60°. 答案:C
3.(2014·重庆高二检测)设ABCD ,ABEF 都是边长为1的正方形,FA ⊥平面ABCD ,则异面直线AC 与BF 所成的角等于( )
A .45°
B .30°
C .90°
D .60°
3.解析:以B 为原点,BA 所在直线为x 轴,BC 所在直线为y 轴,BE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,则A (1,0,0),C (0,1,0),F (1,0,1),所以AC →
=(-1,1,0),BF →
=(1,0,1).
所以cos
.所以 >=120°. 利用空间向量求空间角 一、高考考纲要求: 能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题.体会向量法在立体几何中的应用. 二、命题趋势: 在高考中,本部分知识是考查的重点内容之一,主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算,属中档题,综合性较强,与平行垂直联系较多. 三、教学目标 知识与技能:能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题,了解向量法在研究立体几何问题中的应用; 过程与方法:通过向量这个载体,实现“几何问题代数化”的思想,进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力; 情感态度价值观:通过数形结合的思想和方法的应用,进一步让学生感受和体会空间直角坐标系,方向向量,法向量的魅力. 四、教学重难点 重点:用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角; 难点:将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程 (一)空间角公式 1、异面直线所成角公式:如图,设异面直线l ,m 的方向向量分别为a r ,b r ,异面直线l ,m 2、线面角公式:设直线l 为平面α的斜线,a r 为l 的方向向量,n r 为平面α的法向量,θ为 l 与α所成的角,则sin cos ,a n θ==r r a n a n ?r r r r . 3、面面角公式:设1n r ,2n r 分别为平面α、β的法向量,二面角为θ,则12,n n θ=r r 或 12,n n θπ=-r r (需要根据具体情况判断相等或互补) ,其中121212 cos ,n n n n n n ?=r r r r r r . α θ O n r a (二)典例分析 如图,已知:在直角梯形OABC 中,//OA BC ,90AOC ∠=o ,SO ⊥面OABC ,且 1,2OS OC BC OA ====.求: (1)异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值; (2)OS 与面SAB 所成角α的正弦值; (3)二面角B AS O --的余弦值. 解:如图建立空间直角坐标系,则(0,0,0)O , (2,0,0)A ,(1,1,0)B ,(0,1,0)C ,(0,0,1)S , 于是我们有(2,0,1)SA =-u u r ,(1,1,0)AB =-u u u r ,(1,1,0)OB =u u u r ,(0,0,1)OS =u u u r , (1)cos ,5SA OB SA OB SA OB ?== =u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r , 所以异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值为5 . (2)设平面SAB 的法向量(,,)n x y z =r , 则0,0, n AB n SA ??=???=??r u u u r r u u r ,即0,20.x y x z -+=??-=? 取1x =,则1y =,2z =,所以(1,1,2)n =r , sin cos ,3OS n OS n OS n α?∴=== =u u u r r u u u r r u u u r r . (3)由(2)知平面SAB 的法向量1(1,1,2)n =u r , 又OC ⊥Q 平面AOS ,OC ∴u u u r 是平面AOS 的法向量, 令2(0,1,0)n OC ==u u r u u u r ,则有121212 cos ,n n n n n n ?== =u r u u r u r u u r u r u u r . ∴二面角B AS O --O A B C S 平面向量及空间向量高考数学专题训练(四) 一、选择题(本大题共12小题,每小题分6,共72分) 1.设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b , 则锐角α为( ) A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2.已知点)0,2(-A 、)0,3(B ,动点2),(x y x P =?满足,则点P 的轨迹是( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3.已知向量值是相互垂直,则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(( ) A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4.已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-( ) A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5.将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a (2,3 π )平移,再将所得图像上各点的横坐标 变为原来的2倍,则所得图像的解析式可以写成( ) A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x -3 π )-2 C.y=(321π+x )-2 D.y=sin(321π-x )+2 6.若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7.从点A(2,-1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为( ) A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8.平面直角坐标系中,O 为坐标原点, 已知两点A(3, 1), B(-1, 3),若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,则?的值为 ( ) A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10.O 为空间中一定点,动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0, 利用空间向量求空间角考点与题型归纳 一、基础知识 1.异面直线所成角 设异面直线a ,b 所成的角为θ,则cos θ=|a ·b | |a ||b | ? , 其中a ,b 分别是直线a ,b 的方向 向量. 2.直线与平面所成角 如图所示,设l 为平面α的斜线,l ∩α=A ,a 为l 的方向向量,n 为平面α的法向量, φ为l 与α所成的角,则sin φ=|cos 〈a ,n 〉|=|a ·n | |a ||n | ? . 3.二面角 (1)若AB ,CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线,则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→ 的夹角,如图(1). (2)平面α与β相交于直线l ,平面α的法向量为n 1,平面β的法向量为n 2,〈n 1,n 2〉=θ,则二面角α -l -β为θ或π-θ.设二面角大小为φ,则|cos φ|=|cos θ|= |n 1·n 2| |n 1||n 2| ? ,如图(2)(3). 两异面直线所成的角为锐角或直角,而不共线的向量的夹角为(0,π),所以公式中要加绝对值. 直线与平面所成角的范围为????0,π 2,而向量之间的夹角的范围为[0,π],所以公式中要加绝对值. 利用公式与二面角的平面角时,要注意〈n 1,n 2〉与二面角大小的关系,是相等还是互 补,需要结合图形进行判断. 二、常用结论 解空间角最值问题时往往会用到最小角定理 cos θ=cos θ1cos θ2. 如图,若OA 为平面α的一条斜线,O 为斜足,OB 为OA 在平面α内的射影,OC 为平面α内的一条直线,其中θ为OA 与OC 所成的角,θ1为OA 与OB 所成的角,即线面角,θ2为OB 与OC 所成的角,那么cos θ=cos θ1cos θ2. 考点一 异面直线所成的角 [典例精析] 如图,在三棱锥P -ABC 中,P A ⊥底面ABC ,∠BAC =90°.点D ,E ,N 分别为棱P A ,PC ,BC 的中点,M 是线段AD 的中点,P A =AC =4,AB =2. (1)求证:MN ∥平面BDE ; (2)已知点H 在棱P A 上,且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为7 21 ,求线段AH 的长. [解] 由题意知,AB ,AC ,AP 两两垂直,故以A 为原点,分别以AB ―→,AC ―→,AP ―→ 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.依题意可得A (0,0,0),B (2,0,0),C (0,4,0),P (0,0,4),D (0,0,2),E (0,2,2),M (0,0,1),N (1,2,0). (1)证明:DE ―→=(0,2,0),DB ―→ =(2,0,-2). 设n =(x ,y ,z )为平面BDE 的法向量, 则????? n ·DE ―→=0,n ·DB ―→=0, 即????? 2y =0,2x -2z =0. 不妨取z =1,可得n =(1,0,1). 高中数学-空间向量的基本定理练习 课后导练 基础达标 1.若对任意一点O ,且OP =y x +,则x+y=1是P 、A 、B 三点共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案:C 2.已知点M 在平面ABC 内,并且对空间任一点O ,OM OM=x + 31+31,则x 的值为…( ) A.1 B.0 C.3 D. 3 1 答案:D 3.在以下命题中,不正确的个数是( ) ①已知A,B,C,D 是空间任意四点,则DA CD BC AB +++=0 ②|a |+|b |=|a +b |是a ,b 共线的充要条件 ③若a 与b 共线,则a 与b 所在的直线的平行 ④对空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C,若z y x ++=,(其中x,y,z∈R ),则P,A,B,C 四点共面 A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C 4.设命题p:a ,b ,c 是三个非零向量;命题q:{a ,b ,c }为空间的一个基底,则命题p 是命题q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 5.下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM --= B.MC MB MA ++=0 C.3 13131++++ D.OC OB OA OM +-=2 答案:B 6.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 为矩形ABC D的对角线的交点,设A 1=a,11B A =b,11D A =c,则E A 1=____________. 答案:a +21b +21c 7.设O 为空间任意一点,a,b 为不共线向量,OA =a,OB =b,OC =ma+nb,(m,n∈k)若A,B,C 三点共线,则m,n 满足____________. 答案:m+n=1. 8.已知A 、B 、C 三点不共线,对平面ABC 外一点O ,在下列各条件下,点P 是否与A 、B 、C 一定共面? (1)OP =52OA +51OB +5 2OC ; (2)OP=2OA-2OB-OC. 解:(1)OP = 52OA +51OB +52OC . ∵1525152=++,∴P 与A 、B 、C 共面. (2)OP =OC OB OA --22. ∵2-2-1=-1,∴P 与A 、B 、C 不共面. 9.如右图,已知四边形ABCD 是空间四边形,E 、H 分别是边AB 、AD 的中点,F 、G 分别是边CB 、CD 上的点,且CF =32CB ,CG =3 2CD . 求证:四边形EFGH 是梯形. 证明:∵E、H 分别是AB 、AD 的中点, ∴= 21,=2 1, EH =-=21AD -21AB =21(AD -AB )=21BD =2 1(CB CD -) =21(23CG -23CF )=43(-)=4 3. ∴EH ∥FG 且|EH |=43|FG |≠|FG |. ∴四边形EFGH 是梯形. 综合运用 10.如右图,平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 为AC 与BD 的交点,若11B A =a ,11D A =b ,11A A =c ,则下列向量中与B 1M 相等的向量是( ) 高中数学空间向量训练题(含解析) 一.选择题 1.已知M、N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,点P在线MN上,且MP=2PN,设向量=,=,=,则=() A.++B.++C.++D.++ 2.已知=(2,﹣1,2),=(﹣1,3,﹣3),=(13,6,λ),若向量,,共面,则λ=() A.2 B.3 C.4 D.6 3.空间中,与向量同向共线的单位向量为() A.B.或 C. D.或 4.已知向量,且,则x的值为() A.12 B.10 C.﹣14 D.14 5.若A,B,C不共线,对于空间任意一点O都有=++,则P,A,B,C四点() A.不共面B.共面C.共线D.不共线 6.已知平面α的法向量是(2,3,﹣1),平面β的法向量是(4,λ,﹣2),若α∥β,则λ的值是() A.B.﹣6 C.6 D. 7.已知,则的最小值是()A.B.C.D. 8.有四个命题:①若=x+y,则与、共面;②若与、共面,则=x+y;③若=x+y,则P,M,A,B共面;④若P,M,A,B共面,则=x+y.其中真命题的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知向量=(2,﹣1,1),=(1,2,1),则以,为邻边的平行四边形的面积为()A.B.C.4 D.8 10.如图所示,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB的中点,则点E到平面ACD1的距离为() A.B. C.D. 11.正方体ABCDA1B1C1D1中,直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为() A. B. C.D. 二.填空题(共5小题) 12.已知向量=(k,12,1),=(4,5,1),=(﹣k,10,1),且A、B、C三点共线,则k= . 13.正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,MN是正方体内切球的直径,P为正方体表面上的动点,则?的最大值为. 14.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,﹣1,﹣4),=(4,利用空间向量求空间角教案设计
平面向量及空间向量高考数学专题训练
利用空间向量求空间角考点与题型归纳
高中数学-空间向量的基本定理练习
(完整版)高中数学空间向量训练题
利用向量法求空间角经典教案